2022年北京市房山區(qū)房山中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末考試試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：12．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。xytx2y2

t2R有公共點(diǎn)，則tt的最大值為（ ）28A．4 B．9

32 32C． D．9 7n 在一個(gè)數(shù)列中，如果 *，都有aa a k（k為常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，kn n n1n2公積已知數(shù)列

是等積數(shù)列，且a

1，a

2，公積為8aa

a

（ ）n 1 2

1 2 2020A．4711 B．4712 C．4713 D．4715如圖所示數(shù)字塔有以下規(guī)律：每一層最左與最右的數(shù)字均為2，除此之外每個(gè)數(shù)字均為其兩肩的數(shù)字之積，該數(shù)字塔前10層的所有數(shù)字之積最接近20.3（ ）A．10300 B．10400 C．10500 D．10600x2已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足 y21，則x2y22x2y26x7x22A．6 25 B．6 27 C．6 3 D．96 2已知F,F是雙曲線(xiàn)C:x2y 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線(xiàn)與相交于 兩點(diǎn)，若2 F x C B1 2 a2 1AB 2ABF2

的內(nèi)切圓半徑為（ ） 33

3 3

2 33x2C：a2

y2b2

4=1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，過(guò)原點(diǎn)O作斜率為的直線(xiàn)交C的右支于點(diǎn)A，若|OA|=|OF|，3則雙曲線(xiàn)的離心率為（ ）A．3f(x

B．5 C．2 D．3+12,則函數(shù)yf(x1)的圖象大致為（ ）ln(x1)xA． B．C． D．x2 y2 已知雙曲線(xiàn)C: a2 b2

1a0,b0

Ex2y22x4y0的圓心，則雙曲線(xiàn)C的離心率為（ ） 2

B．5 C．2 D．2已知等邊△ABC內(nèi)接于圓：x2+y2=1，且P是圓上一點(diǎn)，則PA(PBPC)的最大值是（ ）A．2 B．1 C．3 D．2 已知集合A(x,y)|yx2 ，B(x,y)|x2y21，則A B的真子集個(gè)數(shù)為（ ）個(gè) B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)fx2sinx1（0，0）的一個(gè)零點(diǎn)是yfx圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是3直線(xiàn)x6

，則當(dāng)取得最小值時(shí)，函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）A．,3k（kZ） B．,3k（kZ）3 63 6C．2k,2k（kZ） D．2k,2k（kZ）3 63 6的滿(mǎn)意程度，用分層抽樣的方法抽取30%的戶(hù)主進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的戶(hù)主對(duì)四居室滿(mǎn)意的人數(shù)分別為A．240，18C．240，20

B．200，20D．200，18二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。2 1 n已知 x3dxn，則

2(x

展開(kāi)式x2的系數(shù)為 ．0已知拋物線(xiàn)C:y2

x 4xFF1的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)CBABE上存在點(diǎn)P,Q，使得以PQ為直徑的圓過(guò)點(diǎn)D(2,t)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍．設(shè)等比數(shù)列n

的前n

，若SSn 3 6

S，則數(shù)列9

的公比q是 ．已知非零向量a，b滿(mǎn)足b2a，且aa，則a與b的夾角為 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）己知a0，b0，c0.（1）a4a2b2b4

aba4b4；a2b2（2）若abc1，求證：a3b3c3 abbcac.18（12分）某精密儀器生產(chǎn)車(chē)間每天生產(chǎn)n個(gè)零件，質(zhì)檢員小張每天都會(huì)隨機(jī)地從中抽取50個(gè)零件進(jìn)行檢查是否合格，若較多零件不合格，則需對(duì)其余所有零件進(jìn)行檢查．根據(jù)多年的生產(chǎn)數(shù)據(jù)和經(jīng)驗(yàn)，這些零件的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布N(10,0.12)（單位：微米m，且相互獨(dú)立．若零件的長(zhǎng)度d滿(mǎn)足9.7md10.3m，則認(rèn)為該零件是合格的，否則該零件不合格．假設(shè)某一天小張抽查出不合格的零件數(shù)為X，求P(X≥2)及X的數(shù)學(xué)期望EX ；502個(gè)不合格的零件，若以此頻率作為當(dāng)天生產(chǎn)零件的不合格率．已知檢查一10元，而每個(gè)不合格零件流入市場(chǎng)帶來(lái)的損失為260元．假設(shè)n否需要檢查其余所有零件，試說(shuō)明理由．附：若隨機(jī)變量N(,，則P(33)0.9987,0.9987500.9370,0.9987490.00130.0012．19（12分）已知函數(shù)x＝|－2－|＋1|.（Ⅰ）解不等式f(x)>1；（Ⅱ）x>0g(x

ax2x1(a>0)的最小值恒大于f(x)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．x20（12分）在本題中，我們把具體如下性質(zhì)的函數(shù)f(x)叫做區(qū)間D上的閉函數(shù)：①f(x)的定義域和值域都是D；f(xD上是增函數(shù)或者減函數(shù).f(x)x在區(qū)間上是閉函數(shù)，求常數(shù)的值；xf(xalogxbx3

的函數(shù)（a,b都是常數(shù)，使其在區(qū)間[1,9]上是閉函數(shù).21（12分）已知向量acosx,,b

3sinx,1，函數(shù)fxaba2．22fx的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；在BC的對(duì)邊分別為abcfx的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)1bac成等差數(shù)列， 2 2ABAC9a的值．

22x2 2t22（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為y1

（t為參數(shù)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸2t22C的極坐標(biāo)方程為24cos3.lC的直角坐標(biāo)方程；直線(xiàn)l與圓C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(2,1)，求|PB|的值.參考答案125601、C【解析】x2y2

t2Rxytx2y2t2R有公共點(diǎn)，得到0t43

，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】x2y2

t2R表示圓，所以2tt20，解得0t2，xytx2y2所以圓心到直線(xiàn)的距離dr

t2R有公共點(diǎn)，t2t2t20t4，30t4，3 4因?yàn)閒tt4tt2tt224，在0, 遞增，所以tt

34323 9

3故選：C【點(diǎn)睛】2、B【解析】a

的值，推導(dǎo)出an3

a N再由202036731，結(jié)合數(shù)列的周期性可求得數(shù)列的前2020 項(xiàng)n n和.【詳解】由題意可知aa n n1

n2

8，則對(duì)任意的nN

0，則aaan 12

8a 8 4，3 aa12由aa a 8，得a a a 8aa a a a a ，a a，n n1n2 n1n2 n3 n n1n2 n1n2n3 n3 n202036731aa1 2

a2020

673aa1

aa3

673714712.B.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列求和，考查了數(shù)列的新定義，推導(dǎo)出數(shù)列的周期性是解答的關(guān)鍵，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.3、A【解析】結(jié)合所給數(shù)字特征，我們可將每層數(shù)字表示成2的指數(shù)的形式，觀(guān)察可知，每層指數(shù)的和成等比數(shù)列分布，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式和對(duì)數(shù)恒等式即可求解【詳解】如圖，將數(shù)字塔中的數(shù)寫(xiě)成指數(shù)形式，可發(fā)現(xiàn)其指數(shù)恰好構(gòu)成“楊輝三角”，前10層的指數(shù)之和為1222291102310層所有數(shù)字之積為101023lg210300.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查與“楊輝三角”有關(guān)的規(guī)律求解問(wèn)題，邏輯推理，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式應(yīng)用，屬于中檔題4、D【解析】設(shè)x 2cos，ysin，去絕對(duì)值，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出．【詳解】x

x2滿(mǎn)足 y21x22x

2cos，ysin，x2y22||x2y26x72cos2sin22||2cos2sin26 2cos7sin2||cos26 2cos8|，cos26 2cos8(cos3 2)2100恒成立，x2y22||x2y26x7|sin2cos26 2cos896 2cos 96 2，故則|x2y22||x2y26x7|的最小值等于96 2.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．5、B【解析】首先由AB解.

2【詳解】由題意b1xc代入雙曲線(xiàn)C的方程y12a a

2,a 2,c 3,由AFAF2

BF2

BF1

2a2 2,ABF2

的周長(zhǎng)為AFBF2

|AB2aAF1

2aBF1

|AB4a2|AB6 2,

的內(nèi)切圓的半徑為r則6 2r

12 3 2,r 3,12 2 2 31故選：B【點(diǎn)睛】6、B【解析】

x2y2c2

a c2b2 b2以O(shè)為圓心，以O(shè)F 為半徑的圓的方程為x2

y2

c2x2

y2

，可求出點(diǎn)A c

,c，則2a22

b 1 ca c2ca c2b243，整理計(jì)算可得離心率.c【詳解】解：以O(shè)為圓心，以O(shè)F為半徑的圓的方程為x2a ca c2b2

y2

c2，x2y2聯(lián)立

c2

xc，取第一象限的解得 ，cx2y21a2 b2

yb2 ca c2b2a c2b2A ,

b2a c2a c2b2即 ，則 3， c cc 整理得9c25a2 c25a2 0，則c2a2

51（舍去，c29 a2

5，5ec .5aB.【點(diǎn)睛】7、A【解析】用排除法，通過(guò)函數(shù)圖像的性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，找出不符合函數(shù)解析式的圖像，最后剩下即為此函數(shù)的圖像.【詳解】

2 g1

2 0

2

2設(shè)g(x)f(x1) ，由于

2 1 1

，排除B選項(xiàng)；由于g(e) ,g e2

，所lnxx1

ln 2e 3e22 2g(e)gCxg(x)0D選項(xiàng)A選項(xiàng)正確.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的性質(zhì)，屬于中檔題.8、B【解析】求出圓心，代入漸近線(xiàn)方程，找到a、b的關(guān)系，即可求解.【詳解】解：E1,2，C:x2y2a2 b2

1a0,b0一條漸近線(xiàn)ybxa2b1，2aba5c2a2+b2,c2a22a2,e5故選：B【點(diǎn)睛】b9、D【解析】Pcosθ,sinθPA(PBPC1cos，計(jì)算得到答案.【詳解】

A1,0

1B ,

1 33C ,33

Pcosθ,sinθ如圖所示建立直角坐標(biāo)系，則

， 2 2， 2

2，設(shè) ， PA(PBPC(1cossin(12cos2sin)(1cos)(12cos)2sin22cos2cos12sin21cos2.當(dāng)P1,0時(shí)等號(hào)成立D.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的計(jì)算，建立直角坐標(biāo)系利用坐標(biāo)計(jì)算是解題的關(guān)鍵.10、C【解析】求出A B的元素，再確定其真子集個(gè)數(shù)．【詳解】

2 52 2 52yx2由x2y2【點(diǎn)睛】

x1，解得y

2512

xy

2512

，∴A

中有兩個(gè)元素，因此它的真子集有3個(gè)．本題考查集合的子集個(gè)數(shù)問(wèn)題，解題時(shí)可先確定交集中集合的元素個(gè)數(shù)，解題關(guān)鍵是對(duì)集合元素的認(rèn)識(shí)，本題中集合A,B都是曲線(xiàn)上的點(diǎn)集．11、B【解析】fxx

0x

k, kZ，3 3

6 6 2 w的最小值與對(duì)應(yīng)的fx.【詳解】依題意得，

f2sin10，即sin1，3

3

3 2 2k2k

（其中kk

Z）.①3 1 6 3

2 6 1 2又sin1， 6 6 即 k6 3

（k2

Z）.②2

2k1

k3 3 2

2k2

k，3 3即22k

k

2或22k

k

2（其中kkk

Z，因此的最小值為2.1 3

2 3

1 2 3 3因?yàn)閟insin

1，所以

k（kZ）. 6 9 9 2 又0，所以

，所以

fx2sin2x

12cos2x1，2 9 3 2 9 3 9令2k

2x2k（kZ，則3kx3k（kZ）.3 9 3 6因此，當(dāng)fx

,3k（kZ）.3 6故選：B【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，在對(duì)稱(chēng)軸處取得最值，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)處函數(shù)值為零，屬于較易題目.12、A【解析】利用統(tǒng)計(jì)圖結(jié)合分層抽樣性質(zhì)能求出樣本容量，利用條形圖能求出抽取的戶(hù)主對(duì)四居室滿(mǎn)意的人數(shù)．【詳解】（150+250+40）30＝24，240A．【點(diǎn)睛】

150 40%18.150250400本題考查樣本容量和抽取的戶(hù)主對(duì)四居室滿(mǎn)意的人數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意統(tǒng)計(jì)圖的性質(zhì)的合理運(yùn)用．4520138【解析】先根據(jù)定積分求出n的值，再用二項(xiàng)展開(kāi)式公式即可求解.【詳解】2 1 2 1因?yàn)閤3dx4x4

2444 0 0所以n4(x1)4的通項(xiàng)公式為T(mén)

Cr14rxrCrxrr1 42當(dāng)r Cr14r23 4

C2x24

46x2r3T4

C3x34

4x31 故 2(x1)n展開(kāi)式中x2的系數(shù)為4(2)61 x 故答案為：8【點(diǎn)睛】此題考查定積分公式，二項(xiàng)展開(kāi)式公式等知識(shí)點(diǎn)，屬于簡(jiǎn)單題目.14、[1,3]【解析】由題意求出以線(xiàn)段AB為直徑的圓ED恒在圓EEP,QDPDQDPDQE相切時(shí)，此時(shí)PDQ2

，由此列出不等式，即可求解?！驹斀狻?/p>

xy1ABxy1，聯(lián)立方程組y24x

，可得y24y40，設(shè)Ax,yBx,y，則yy 4，yy

4，1 1 2 2 1 2 12Ex,yE

，則y E

yy1 22，x2

y 13，E又ABxx1 2

2y1

1y2

128，E是以3,2為圓心，4DE外．EP,QPQD2,tEP,Q，使得DPDQD點(diǎn)的兩EP',Q點(diǎn)，要滿(mǎn)足題意，則

P'DQ'

4EP'DEEP'DE3222t22

2 ，277整理得t24t30，解得2 t2 ，277故實(shí)數(shù)t的取值范圍為2 7,2 7 【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線(xiàn)與拋物線(xiàn)位置關(guān)系的應(yīng)用，以及直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中準(zhǔn)確求得圓EEP,QPQD2,tEP,QDPDQ是解答的151.【解析】q=1S3

S 3a6

6a1

9a1

S.9a(1q3) a

(1q6) a(1q9)S S S1

1 2q3q61q9,(q31)2(q31)0當(dāng)q1時(shí)， 3 6 9

1q 1q 1qq1q1.16、（或?qū)懗?0）3【解析】a與b的夾角為，通過(guò)aa，可得aa=0，化簡(jiǎn)整理可求出cos.【詳解】a與b的夾角為b

aaba2aba2=0 abcosa2=0b2a得到cos1，2a與b的夾角為.3.3【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0是解決本題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，分析能力及計(jì)算能力.7017（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】采用分析法論證，要證a4a2b2b4

aba4

，分式化整式為a2b2

a4a2b2b4

aba4b4 ，a2b2再利用立方和公式轉(zhuǎn)化為a6b6 a5bab5，再作差提取公因式論.由基本不等式得a3b31 3ab,b3c31 3bc,a3c31 3ac，再用不等式的基本性質(zhì)論.【詳解】要證a4a2b2b4

aba4b4，a2b2即證a2b2

a4a2b2b4

aba4b4 ，0，即證a6b6 a5bab5即證a6b6a5bab50，即證a5(ab)(ab)b5 0，即證a5b5

b) 0，該式顯然成立，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立，故a4a2b2b4

aba4b4.a2b23abc，由基本不等式得a3b33abc，a3b31 3ab,b3c31 3bc,a3c31 3ac當(dāng)且僅當(dāng)abc1時(shí)等號(hào)成立.將上面四式相加，可得3a33b33c33 3abc3ab3ac即a3b3c3 abbcac.【點(diǎn)睛】18（1）見(jiàn)解析（2）需要，見(jiàn)解析【解析】由零件的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布N(10,0.12)且相互獨(dú)立零件的長(zhǎng)度d滿(mǎn)足9.7md10.3m即為合格則每一個(gè)零件的長(zhǎng)度合格的概率為0.9987,X滿(mǎn)足二項(xiàng)分布利用補(bǔ)集的思想求得PX2,再根據(jù)公式求得EX ；【詳解】

2,檢查的成本為10n,求出不檢查時(shí)損失的期望,與成本作差,再與0比較大小即可判斷.50（1）P(X≥2)1P(X1)P(X0)1C 10.9987490.00130.998750X滿(mǎn)足二項(xiàng)分布EX0.0013500.065.2

0.003,（2）由題意可知不合格率為 ,50若不檢查E(Y260n22052n20；50 5若檢查,成本為10n,由于E(Y)10n52n2010n2n20,5 52當(dāng)n充分大時(shí),E(Y)10n n200,5所以為了使損失盡量小,小張需要檢查其余所有零件.【點(diǎn)睛】考查二項(xiàng)分布的期望19（Ⅰ）x|x（Ⅱ）[1＋)?！窘馕觥縜（Ⅰ）分類(lèi)討論，去掉絕對(duì)值，求得原絕對(duì)值不等式的解集（Ⅱ）由條件利用基本不等式求得gx 2amin

1，afx2a

11，求得a的范圍．【詳解】（Ⅰ）x2x2x11，此時(shí)不成立；1x2時(shí)，原不等式可化為2xx11x0，即x0；x1時(shí)，原不等式可化為2xx11x1.綜上，原不等式的解集是x|x0．a(chǎn)（Ⅱ）gxax112ax

1，當(dāng)且僅當(dāng)x 時(shí)等號(hào)成立，aaagx

g

2 1aa 所以 min aaa 3,x當(dāng)x0時(shí)，fx12x,0x2，所以f3,x2

11，解得a1，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為a【點(diǎn)睛】a本題主要考查了絕對(duì)值不等式的解法，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想，難度一般；常見(jiàn)的絕對(duì)值不等式的解法，法一：利用絕零點(diǎn)分段法通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想．x20（））f(x)3logx .x4 3【解析】（）依據(jù)新定義，f(x)的定義域和值域都是[1,1，且f(x)在[1,1（）依據(jù)新定義，討f(x的單調(diào)性，列出方程求解即可?！驹斀狻?/p>

,, 2 2當(dāng)0f(xx在區(qū)間[1,1]上是增函數(shù)，即有

tan(1 ，解得= ；4

,

tan1 2 2 同理，當(dāng)0

tan()1

，解得= ，綜上，= 。 tan1 4 4f(x在[1,9]f(x在[1,9]上是單調(diào)函數(shù)，f(x在[1,9]上是單調(diào)增函數(shù)，則

f(1)b1

a3，解得 ，檢驗(yàn)符合；f(9)2a f(1)b9②當(dāng)f(x)在[1,9]上是單調(diào)減