例談數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中應(yīng)用的價(jià)值

例談數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中應(yīng)用的價(jià)值在教學(xué)中，老師有意識(shí)地向?qū)W生浸透基本數(shù)學(xué)思想方法是提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力和思維能力的主要手段，是數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)現(xiàn)從教授知識(shí)到培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力改變的主要途徑。而數(shù)學(xué)思想方法不可勝數(shù)，每一種數(shù)學(xué)思想方法都閃爍著智慧的火花。在小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)中，隱含著很多思想方法，需要老師用心地發(fā)掘、有機(jī)地浸透。現(xiàn)就在教學(xué)中怎樣浸透數(shù)學(xué)思想方法談一些筆者的領(lǐng)會(huì)。一、浸透假設(shè)的思想，培養(yǎng)推理判定能力假設(shè)的思想，是要求人們對(duì)事物發(fā)展的趨勢(shì)進(jìn)行一種假設(shè)，通過(guò)這種假設(shè)，使思維有繼續(xù)向前發(fā)展的依托和基礎(chǔ)，進(jìn)而開(kāi)拓出從未知通向已經(jīng)知道的道路。假設(shè)的思想，在數(shù)學(xué)研究中應(yīng)用極廣，尤其對(duì)那些逆向型的問(wèn)題，更是雪中送炭。在教學(xué)分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)中，老師呈現(xiàn)了這樣一道例題：在學(xué)校舉行的捐款獻(xiàn)愛(ài)心活動(dòng)中，小明捐了自己零花錢(qián)總數(shù)的，小芳捐了自己零花錢(qián)總數(shù)的。小芳捐的錢(qián)比小明捐的多嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。生：不一定。師：你能想個(gè)辦法讓大家一聽(tīng)就明白嗎？生：有時(shí)小明捐的多，有時(shí)小芳捐的多，比方，小明有20元他捐的就是4元；假如小芳有10元她捐的也是4元，兩人一樣多。生：假設(shè)小芳小明都有10元，那就是小芳捐的多。生：假設(shè)小芳有10元，她就捐了4元；假設(shè)小明有100元，他就捐了10元，這樣就是小明捐的錢(qián)多。師：聽(tīng)出來(lái)了嗎？他剛剛在解釋的時(shí)候用了一個(gè)很好的方法生：假設(shè)。師：真不簡(jiǎn)單，我們用掌聲來(lái)表?yè)P(yáng)他！我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，經(jīng)常會(huì)用到假設(shè)的方法，這樣可使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。再如這樣一道題：雞兔同籠，有22個(gè)頭、60條腿，雞兔各有多少只？假設(shè)22只全部是雞，則有腿222=44〔條〕，比60條少了16條。每只兔子被假設(shè)成雞時(shí)，少了2條腿。那么，兔子一共是l62=8〔只〕，這樣就能夠求出雞有22-8=14〔只〕。在解題經(jīng)過(guò)中，靈敏地運(yùn)用假設(shè)法，往往能夠使問(wèn)題化難為易。碰到難以表達(dá)清楚的事或抽象的、數(shù)目較大的問(wèn)題，通過(guò)例子能夠使學(xué)生容易理解，再根據(jù)題里的已經(jīng)知道條件進(jìn)行推算，把假定加以糾正調(diào)整，進(jìn)而得到正確答案:。確實(shí)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和生活中，假設(shè)是一種非常主要的思想方法。它能讓復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，使問(wèn)題易于解決。經(jīng)過(guò)不斷的浸透，讓學(xué)生在潛移默化中逐步領(lǐng)悟用假設(shè)法對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行推理與判定，有時(shí)容易解決問(wèn)題，進(jìn)而使學(xué)生推理判定能力提升于潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲中。二、浸透對(duì)應(yīng)的思想，培養(yǎng)比較分析能力所謂對(duì)應(yīng)是指一個(gè)系統(tǒng)中某一項(xiàng)在性質(zhì)、作用、位置或數(shù)量上跟另一系統(tǒng)中某一項(xiàng)相當(dāng)。對(duì)應(yīng)是人們對(duì)兩個(gè)集合元素之間的聯(lián)絡(luò)的一種思想方法。浸透對(duì)應(yīng)的思想，有助于擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)面，有助于加深他們對(duì)某些內(nèi)容的理解，有助于初步培養(yǎng)學(xué)生對(duì)事物進(jìn)行辨析和歸類(lèi)的能力，有助于培養(yǎng)學(xué)生清楚明晰的、有條理的考慮方法，也有利于進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)。教學(xué)中，幫助學(xué)生逐步構(gòu)成對(duì)應(yīng)思想，把握對(duì)應(yīng)方法，對(duì)于提升學(xué)生比較問(wèn)題、分析問(wèn)題，進(jìn)而解決問(wèn)題的能力是大有裨益的。小學(xué)數(shù)學(xué)常用一一對(duì)應(yīng)的直觀圖表。〔一〕在計(jì)算教學(xué)中浸透對(duì)應(yīng)思想欄式題目右邊的方框里的數(shù)是這欄式題的得數(shù)，把每道題和它的得數(shù)用線(xiàn)段連起來(lái)。通過(guò)這種練習(xí)能夠復(fù)習(xí)已學(xué)的加、減法。〔二〕在應(yīng)用題教學(xué)中浸透對(duì)應(yīng)思想解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，抓準(zhǔn)分率與實(shí)際的量的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解答的關(guān)鍵。分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系比較抽象，必需充足利用線(xiàn)段圖作為解題工具。通過(guò)分析線(xiàn)段圖，明確誰(shuí)是單位1、誰(shuí)是對(duì)應(yīng)分率，它能夠幫助學(xué)生在復(fù)雜的條件和問(wèn)題中，理清思路，找到解題線(xiàn)索，有利于發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。例如：小青看一本書(shū)，第一天看的頁(yè)數(shù)比總頁(yè)數(shù)的多16頁(yè)，第二天看的頁(yè)數(shù)比總頁(yè)數(shù)的少2頁(yè)，還余下88頁(yè)，這本書(shū)共有多少頁(yè)？三、浸透函數(shù)的思想，培養(yǎng)推理判定能力函數(shù)思想是與現(xiàn)實(shí)聯(lián)絡(luò)最親密的內(nèi)容之一，其可貴之處在于它是用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)，去反映客觀事物數(shù)量間的互相聯(lián)絡(luò)和內(nèi)在規(guī)律，如溫度的變化、速度的變化、物價(jià)的變化、股市的變化、月相的變化、身高體重的變化等。函數(shù)思想具體表現(xiàn)出在：〔1〕認(rèn)識(shí)到這個(gè)世界是普遍聯(lián)絡(luò)的，各個(gè)量之間老是互相依存的，即普遍聯(lián)絡(luò)的思想。〔2〕于變化中尋求規(guī)律〔關(guān)系式〕，即形式化思想?！?〕于規(guī)律中尋求有序構(gòu)造化對(duì)稱(chēng)等思想?！?〕感悟變化有快有慢，有時(shí)變化的速度是固定的，有時(shí)是變化的?！?〕根據(jù)規(guī)律判定發(fā)展趨勢(shì)，預(yù)測(cè)將來(lái)，并把握將來(lái)。由此可見(jiàn)老師在教學(xué)中浸透函數(shù)思想，必將為學(xué)生推理判定能力的提升打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。例如：教學(xué)用字母表示數(shù)，老師借助課件演示擺三角形，學(xué)生探究得出：三角形的個(gè)數(shù)能夠用字母來(lái)表示，所需小棒根數(shù)可用含有字母的式子來(lái)表示。如用a表示三角形的個(gè)數(shù)，就用a3表示所需要的小棒根數(shù)。通過(guò)師生溝通，函數(shù)思想就天然地浸透于教學(xué)之中。這個(gè)經(jīng)過(guò)讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)到字母能夠表示任意的數(shù)，可以以表示一些關(guān)系式。在學(xué)生自立探究的經(jīng)過(guò)中浸透了函數(shù)思想，揭示了用字母表示數(shù)的內(nèi)涵，使學(xué)生收獲的不僅僅僅是知識(shí)技能，更主要的是數(shù)學(xué)思想方法。四、浸透化歸的思想，培養(yǎng)分析概括能力化歸，就是通過(guò)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化來(lái)解決問(wèn)題的一種方法，它是最具有數(shù)學(xué)思維特色的一種方法。人們學(xué)習(xí)新知識(shí)之前往往會(huì)利用已有的知識(shí)去認(rèn)識(shí)，進(jìn)而構(gòu)成新的經(jīng)歷體驗(yàn)，變成自己的知識(shí)，而這一經(jīng)過(guò)其實(shí)就是一個(gè)化歸的經(jīng)過(guò)?；瘹w的方向是由未知到已經(jīng)知道，由難到易，由繁到簡(jiǎn)，由暗到明。平常教學(xué)中不斷向?qū)W生浸透化歸的思想，學(xué)生就能在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)新知識(shí)時(shí)對(duì)舊知識(shí)進(jìn)行分析概括，轉(zhuǎn)化為已經(jīng)知道的舊知識(shí)。這樣能夠激發(fā)學(xué)生的探尋求索欲望和求知欲望，進(jìn)而提升學(xué)生分析概括能力。植樹(shù)問(wèn)題兩種教學(xué)思路的比較。教法一：課一開(kāi)始，將一只手岔開(kāi)的5個(gè)指頭看作5棵樹(shù)，每?jī)煽脴?shù)之間就有一個(gè)間隔，以此引出間隔數(shù)、棵數(shù)，進(jìn)而得出間隔數(shù)與棵數(shù)的關(guān)系，然后用這個(gè)關(guān)系解決例題中的問(wèn)題。教法二：在一條l00米長(zhǎng)的路的一側(cè)種樹(shù)，假如兩端都種，每2米種一棵，能種幾棵？面對(duì)這一挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，學(xué)生紛紛猜想，有的說(shuō)種50棵，有的說(shuō)種51棵。到底種幾棵？能否從種2棵和3棵出發(fā)，先來(lái)找一找其中的規(guī)律呢？隨著問(wèn)題的拋出，學(xué)生陷入了尋思。假如把一只手岔開(kāi)的5個(gè)指頭看作5棵樹(shù)，每?jī)煽脴?shù)之間就有一個(gè)間隔〔板書(shū)〕，一共有幾個(gè)間隔？學(xué)生回答是4個(gè)。假如種6棵、7棵棵數(shù)與間隔的個(gè)數(shù)有如何的關(guān)系呢？于是可啟發(fā)學(xué)生通過(guò)動(dòng)手?jǐn)[一擺、畫(huà)一畫(huà)、議一議的方法，發(fā)如今一段路上兩端都種樹(shù)時(shí)棵數(shù)和間隔數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系：棵數(shù)=間隔數(shù)+1。于是就順利地解決了上述問(wèn)題。老師又將問(wèn)題改為只種一端或兩端不種時(shí)可分別種幾棵，學(xué)生運(yùn)用同樣的方法興趣盎然地找到了答案:。以上兩種教學(xué)思路反映了截然不同的教學(xué)條理。教法一著眼的是找出問(wèn)題的答案:，講授與傳遞知識(shí)。教法二卻在問(wèn)題解決的經(jīng)過(guò)中給學(xué)生傳遞這樣一種策略：當(dāng)碰到復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，不妨退到簡(jiǎn)單問(wèn)題上，然后從簡(jiǎn)單問(wèn)題的研究中找到規(guī)律，以最終解決復(fù)雜問(wèn)題。這樣的教學(xué)，浸透了化繁為簡(jiǎn)、歸納遞推的方法和數(shù)學(xué)的建模思想，使學(xué)生感遭到思想方法在問(wèn)題解決中的主要作用。五、浸透猜測(cè)驗(yàn)證的思想，培養(yǎng)觀察探究能力數(shù)學(xué)猜測(cè)能縮短解決問(wèn)題的時(shí)間，能獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的時(shí)機(jī)，能鍛煉數(shù)學(xué)思維。猜測(cè)驗(yàn)證不只有利于學(xué)生迅速發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律，獲得探尋求索知識(shí)的線(xiàn)索和方法，而且能加強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自動(dòng)性和參與性，進(jìn)而更好地發(fā)展創(chuàng)造性思維，提升學(xué)生觀察探究的能力。在探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)中，猜測(cè)驗(yàn)證是一種主要的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的思維方法。在教學(xué)三角形內(nèi)角和時(shí)，筆者設(shè)計(jì)了如下教學(xué)流程：猜測(cè)聯(lián)絡(luò)前面三角形的分類(lèi)。大膽猜測(cè)：三角形的3個(gè)內(nèi)角的和可能是多少度？驗(yàn)證用你喜歡的三角形進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?？纯茨銈兊牟聹y(cè)能否正確？學(xué)生匯報(bào)的實(shí)驗(yàn)方法可謂出人意料、精彩紛呈。方法1：量、算法。先量出三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再相加。發(fā)現(xiàn)有時(shí)候小于180度，有時(shí)候等于180度，有時(shí)候大于l80度。方法2：剪、拼法。把三角形另外兩個(gè)內(nèi)角剪下來(lái)，和第一個(gè)內(nèi)角拼在一起，發(fā)現(xiàn)基本上拼成了一個(gè)平角，是180度。方法3：用特殊三角形直接計(jì)算法。等邊三角形的內(nèi)角和等于60度乘3，即180度，還有直角三角板的內(nèi)角和計(jì)算出來(lái)也是180度。驗(yàn)證再任意畫(huà)一個(gè)三角形，驗(yàn)證內(nèi)角和能否等于l80度。應(yīng)用已經(jīng)知道三角形的兩個(gè)內(nèi)角，求另一個(gè)內(nèi)角等。猜測(cè)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)驗(yàn)證應(yīng)用，并將其貫穿于教學(xué)的始終。在整個(gè)教學(xué)經(jīng)過(guò)中，老師根據(jù)教學(xué)環(huán)節(jié)及時(shí)歸納，并板書(shū)猜測(cè)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)驗(yàn)證應(yīng)用等具體表現(xiàn)出數(shù)學(xué)思想方法的術(shù)語(yǔ)，把隱含在知識(shí)中的數(shù)學(xué)思