債券的風(fēng)險度量培訓(xùn)課程課件

債券的風(fēng)險度量久期的介紹凸度的介紹程序?qū)崿F(xiàn)方法上機實驗檢查內(nèi)容債券的風(fēng)險度量久期的介紹1債券的久期久期的概念久期的概念最早是馬考勒(Macaulay)在1938年提出來的，所以又稱馬考勒久期（簡記為D）。馬考勒久期是使用加權(quán)平均數(shù)的形式計算債券的平均到期時間。它是債券在未來產(chǎn)生現(xiàn)金流的時間的加權(quán)平均,其權(quán)重是各期現(xiàn)金值在債券價格中所占的比重。

保羅·薩繆爾森、約翰·斯克斯和瑞丁敦在隨后的若干年獨立地發(fā)現(xiàn)了久期這一理論范疇，特別是保羅·薩繆爾森和瑞丁敦將久期用于衡量資產(chǎn)/負(fù)債的利率敏感性的研究，使得久期具有了第二種含義，即：資產(chǎn)針對利率變化的價格變化率。

債券的久期久期的概念2免疫策略久期是債券投資管理中的一個極其重要的策略----“免疫策略”的理論基礎(chǔ)，根據(jù)該策略，當(dāng)交易主體債券組合的久期與債權(quán)的持有期相等的時候，該交易主體短期內(nèi)就實現(xiàn)了“免疫”的目標(biāo)，即短期內(nèi)的總財富不受利率波動的影響。

免疫策略久期是債券投資管理中的一個極其重要的策略----“免3債券的風(fēng)險度量培訓(xùn)課程課件4麥考雷(Macaulay)久期的計算公式：麥考雷久期(以期間計)=麥考雷久期(年)=麥考雷久期(以期間計)/k其中：PV（C_t)為以t期對應(yīng)的市場普遍收益率進行貼現(xiàn)得到的債券在第t期的現(xiàn)金流現(xiàn)值；n為債券持有期內(nèi)現(xiàn)金流的期間總數(shù)；TPV為債券各期現(xiàn)金流的總現(xiàn)值;k為每年支付現(xiàn)金流的次數(shù)。

麥考雷(Macaulay)久期的計算公式：5

久期是反映債券價格波動的一個指標(biāo)。它對到期時間進行加權(quán)平均，權(quán)重等于各期現(xiàn)金流的現(xiàn)值占總債券現(xiàn)金流現(xiàn)值的比例。久期實際表示的是投資者收回初始投資的實際時間。

久期是反映債券價格波動的一個指標(biāo)。它對到期時間進行加權(quán)平6久期計算舉例假設(shè)面額為1000元的3年期變通債券，每年支付一次息票，年息票率為10%，此時到期收益率分別為為12%，5%，20%，則該種債券的久期為：

久期計算舉例假設(shè)面額為1000元的3年期變通債券，每年支付一7久期的一些特點從上面的計算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，久期隨著市場利率的下降而上升，隨著市場利率的升而下降，這說明兩者存在反比關(guān)系。

在持有期間不支付利息的金融工具，其久期等于到期期限或償還期限。分期付息的金融工具，其久期總是短于償還期限，是由于同等數(shù)量的現(xiàn)金流量，早兌付的比晚兌付的現(xiàn)值要高。金融工具到期期限越長其久期也越長；金融工具產(chǎn)生的現(xiàn)金流量越高，其久期越短。

久期的一些特點從上面的計算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，久期隨著市場利率的下8修正久期=修正久期本質(zhì)上是債券的對數(shù)關(guān)于到期收益率的導(dǎo)數(shù)的絕對值，反映了債券關(guān)于到期收益率的變化強度，其近似的表達關(guān)系是：

需要注意的是，另一種理解是債券作為風(fēng)險項目，其價格過程視為變化的，則此時，久期和凸度的概念就類似于股票的模型。這是值得注意的地方。修正久期=需要注意的是，另一種理解是債券作為風(fēng)險項目，其價格9債券組合的久期計算公式：債券組合的久期=其中：債券i市值總和在債券組合市值總和中所占的比重；債券i的修正久期；債券組合中債券的個數(shù)。債券組合的久期計算公式：其中：債券i市值總和在債券組合市值總10數(shù)學(xué)上的問題久期可以視作債券定價函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（除去定價初值），而導(dǎo)數(shù)反映了一個函數(shù)的變化強度，因此，從線性近似的程度來說，以價格-到期收益率曲線而言，存在導(dǎo)數(shù)最小和最大的點，這樣的點具有什么樣的特點，這種理解是否一定正確？如何尋找這樣的點？回想到期收益率的初衷，如何平衡風(fēng)險和項目的可靠性之間的關(guān)系？如何確定最優(yōu)的項目的到期收益率？上面的問題一和問題二是要檢查的內(nèi)容。數(shù)學(xué)上的問題久期可以視作債券定價函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（除去定價初值），11凸度凸性是指在某一到期收益率下,到期收益率發(fā)生變動而引起的價格變動幅度的變動程度。凸性是對債券價格曲線彎曲程度的一種度量。因為在利率變化比較大的情況下久期就不能完全描述債券價格對利率變動的敏感性。凸性越大,債券價格曲線彎曲程度越大,用修正久期度量債券的利率風(fēng)險所產(chǎn)生的誤差越大。

凸度凸性是指在某一到期收益率下,到期收益率發(fā)生變動而引起的12凸度的數(shù)學(xué)原理凸度的數(shù)學(xué)原理13債券價格—收益率曲線債券價格—收益率曲線14凸度的性質(zhì)凸性隨久期的增加而增加。若收益率、久期不變，票面利率越大，凸性越大。利率下降時，凸性增加。對于沒有隱含期權(quán)的債券來說，凸性總大于0，即利率下降，債券價格將以加速度上升；當(dāng)利率上升時，債券價格以減速度下降。含有隱含期權(quán)的債券的凸性一般為負(fù)，即價格隨著利率的下降以減速度上升，或債券的有效持續(xù)期隨利率的下降而縮短，隨利率的上升而延長。因為利率下降時買入期權(quán)的可能性增加了。

凸度的性質(zhì)凸性隨久期的增加而增加。若收益率、久期不變，票面利15債券定價定理4：

若債券期限一定，同等收益率變化下，債券收益率上升導(dǎo)致價格下跌的量，要小于收益率下降導(dǎo)致價格上升的量。例：三債券的面值都為1000元，到期期限5年，息票率7%，當(dāng)?shù)狡谑找媛首兓瘯r。

到期收益率(%)678價格1042.121000960.07債券價格變化率(%)4.210-4.00但是從久期和凸度的近似并不能看出這一點。這是值得關(guān)注的地方。債券定價定理4：678價格1042.121000960.16債券凸性投資價值的評估

假設(shè)我們面對兩個不同期次，具有相同存續(xù)期間的政府公債（無信用風(fēng)險），兩者的市場到期收益率也正好相同，投資人對這兩張債券是否會有不同的偏好呢？基于債券凸性的特質(zhì)，如果兩者有著不同的債券凸率，理性投資人應(yīng)該會偏好債券凸率較高的公債。因此，在市場供給需求的調(diào)整下，我們可以預(yù)期兩公債的到期收益率必將有所調(diào)整，以反應(yīng)投資人對高凸率公債的偏好。投資人對于高凸率債券的到期收益率要求將會低于凸率較小的債券，也就是說，在其他條件相同的情況下，高凸率債券的價格應(yīng)該比低凸率債券為高，以反應(yīng)債券凸性的價值，由此衍生的問題是凸度的價值問題。

債券凸性投資價值的評估假設(shè)我們面對兩個不同期次17一些詭異的結(jié)論然而，市場中的債券價格果真有反應(yīng)出債券凸性的價值嗎？KahnandLochoff(1990)使用1981年至1986年的美國公債為樣本，發(fā)現(xiàn)債券凸性在某些情況下會給投資人帶來超額投資報酬，也就是說即使投資人以較高的價格購入具有高債券凸率的債券，其投資報酬仍然要比投資于低凸率債券為佳，這顯示出交易市場對于債券凸性的定價并不正確，因此存在有超額獲利空間。LaceyandNawalkha(1993)則提出了不同的結(jié)論。這兩位學(xué)者以1976到1987年的美國公債為樣本作分析，結(jié)果并未發(fā)現(xiàn)高債券凸性會帶給投資人超額的報酬，表示其已被市場正確的定價。

一些詭異的結(jié)論然而，市場中的債券價格果真有反應(yīng)出債券凸性的價18中國的情況林聰欽(1995)以國內(nèi)公債及公司債為樣本，發(fā)現(xiàn)債券凸性對于超額投資報酬有解釋能力。李耀宗(1995)針對國內(nèi)公司債作分析，也發(fā)現(xiàn)債券凸性是超額投資報酬的解釋因子之一，顯示出針對債券凸性的操作策略是值得投資人重視的。(1997)使用1992到1996年國內(nèi)所發(fā)行之35期次的政府公債來測試債券凸性以及其他因子解釋債券超額報酬的能力。發(fā)現(xiàn)債券凸性在解釋國內(nèi)公債超額報酬的能力上并不顯著，再度驗證國內(nèi)公債市場投資人對于債券凸性并未做出合理定價，這表示市場投資人或可針對債券凸性找出套利機會。中國的情況林聰欽(1995)以國內(nèi)公債及公司債為樣本，發(fā)現(xiàn)債19我們可以做的工作從前面的幾件比較烏龍的事件可以看出，對于債券凸度的價值的定價并不同意，檢驗方法也有很大的差別，因此在這個領(lǐng)域存在很多有價值的課題。這些課題及時本科生也可以做出很有意思的成果。已經(jīng)有相關(guān)的工作可以做這件事情，但是很多的開問題值得關(guān)注。我們可以做的工作從前面的幾件比較烏龍的事件可以看出，對于債券20久期的計算例子例3.16面值為100美元，票息率為10%的5年期債券,收益率為10%,計算久期(以年計)及修正久期。久期的計算例子例3.16面值為100美元，票息率為10%的21dataa;c2=0;tc2=0;don=1to10;t=n;ifn<10thenc=5;elseifn=10thenc=105;a=1/((1+0.05)**n);c1=c/((1+0.05)**n);tc1=t*c1;c2=c2+c/((1+0.05)**n);tc2=tc2+t*c/((1+0.05)**n);ifn=10thend=tc2/(c2*2);md=d/(1+0.05);output;end;datab;seta;dropc2tc2n;labelt='時間'c='現(xiàn)金流'a='1美元的現(xiàn)值'c1='現(xiàn)金流的現(xiàn)值'tc1='t*pvcf'd='久期(以年計)'md='修正久期';procprintdata=blabelnoobs;title'久期及修正久期';vardmd;run;輸出結(jié)果：久期(以年計)修正久期4.053913.86087dataa;datab;輸出結(jié)果：22注：修正久期可直接用SAS函數(shù)計算：Modifdur=DURP(100,0.1,2,10,0.5,0.1);函數(shù)DURP用法：DURP(A,c,n,K,k0,y)，其中A表示面值，c表示名義年票息率，n為年付息次數(shù)，K為生于付息次數(shù)，k0為現(xiàn)在到下一次付息日的間隔，y為收益率。本章開始時所提出的問題，能否集合這個函數(shù)來實現(xiàn)？注：修正久期可直接用SAS函數(shù)計算：Modifdur=DUR23例3.19面值為100美元，票息率為10%，到期收益率為10%的5年期債券，以平價出售，計算久期。%macrod(i,y,p);dataa;x=100*(&i/2)*((1-1/((1+&y/2)**10))/(&y/2));h=x/&p;d=((1+(&y/2))/(&y/2))*h+(((&y/2)-(&i/2))/(&y/2))*10*(1-h);putd=;%mendd(i,y,p);%d(0.10,0.10,100);run;輸出結(jié)果：d=8.1078216756，這是否說明久期比發(fā)行期限來的大？例3.19面值為100美元，票息率為10%，到期收益率為124修正久期的近似計算近似久期=其中：V-為收益率下降證券的估計價格；V+為收益率上升證券的估計價格；V0為證券初始價格；為證券收益率的變化。修正久期的近似計算近似久期=25例3.20票息率為7%，到期收益率為10%的20年期債券，以74.26美元的價格出售，收益率上升或下降20個基本點的價格變化如下所示，試計算近似修正久期。V-=75.64468623V+=72.917291682 V0=74.261370469=0.002(半年變化10個基本點)例3.20票息率為7%，到期收益率為10%的20年期債券，26收益率上升或下降20個基本點的債券初始價格計算程序：dataa;delete;%macroa(n,y,cupon,par);dataa1;p1=0;%doi=1%to&n;p1=p1+&cupon*&par/(1+&y)**&i;output;%end;dataa1;seta1end=lasobs;iflasobs;p2=&par/(1+&y)**&n;p=p1+p2;y=200*&y;y1=100*&y;dataa;setaa1;putp=;%menda;%a(40,0.05,0.035,100);%a(40,0.052,0.035,100);%a(40,0.048,0.035,100);run;p=74.261370469p=71.611134614p=77.068604183收益率上升或下降20個基本點的債券初始價格計算程序：data27近似久期計算程序%macromd(Vu,Vd,V,y);dataa;md=(&vu-&vd)/(2*&v*&y);putmd=;%mendmd;%md(75.64,72.92,74.26,0.002);run;輸出結(jié)果：MD=9.15701589結(jié)果接近精確值md=9.1802370384近似久期計算程序%macromd(Vu,Vd,V,y);輸28精確值計算程序：%macrod(y,cupon,period,p0);dataa;c2=0;tc2=0;don=1to.t=n;ifn<&periodthenc=&cupon;elseifn=&periodthenc=&cupon+&p0;a=1/((1+&y)**n);c1=c/((1+&y)**n);tc1=t*c1;c2=c2+c/((1+&y)**n);tc2=tc2+t*c/((1+&y)**n);ifn=&periodthend=tc2/(c2*2);md=D/(1+&y);putd=md=;output;dropntc2c2;end;%mendd;%d(0.05,3.5,40,100);run;輸出結(jié)果為：md=9.1802370384精確值計算程序：%macrod(y,cupon,perio29債券凸度計算舉例例3.21假設(shè)面值為100美元，5年期的票息率為8%的債券,每半年付息。假設(shè)該債券的初始收益率為10%，計算該債券的凸度。債券凸度計算舉例例3.21假設(shè)面值為100美元，5年期的票30ifn=&periodthenconcave=tc2/(c2*((1+&y)**2));yearlyconcave=concave/4;putconcave=;putyearlyconcave=;output;dropntc2c2;end;procprintdata=a;%mendd;%d(0.05,4,10,100);run;計算結(jié)果：凸度(以半年記)concave=78.29424228凸度(以年計)yearlyconcave=19.57356057%macro(y,cupon,period,p0);dataa;c2=0;tc2=0;don=1to.t=n;ifn<&periodthenc=&cupon;elseifn=&periodthenc=&cupon+&p0;a=1/((1+&y)**n);c1=c/((1+&y)**n);tc1=t*(t+1)*c1;c2=c2+c/((1+&y)**n);tc2=tc2+t*(t+1)*c/((1+&y)**n);ifn=&periodthen31注：也可以用SAS函數(shù)直接計算：convx=convxp(100,0.08,2,10,0.5,0.1);同久期一樣，能否結(jié)合這個函數(shù)，實現(xiàn)求凸度最大的點？注：也可以用SAS函數(shù)直接計算：convx=convxp(132例3.22假設(shè)面值為100美元，5年期的零息票債券，年收益率為10%，計算凸度。%macroconcave(n,y);dataa;concave=&n*(&n+1)/((1+&y)**2);putconcave=;%mendconcave;%concave(10,0.05);run;計算結(jié)果：凸度concave=99.77324263例3.22假設(shè)面值為100美元，5年期的零息票債券，年收益33計算凸度引起的價格變化凸度引起價格變化百分比的估計值

=計算凸度引起的價格變化凸度引起價格變化百分比的估計值34例3.24面值為100美元，期限為15年的票息率為8%的債券，每半年付息，其初始收益率為10%。若收益率由10%增長到13%，計算凸度引起的價格變化。首先計算年凸度：只需要將上面凸度計算程序中的宏參數(shù)值改為%d(0.05,4,30,100)即可求得年凸度為94.3571。%macrovp(x,y);dataa;caused=0.5*&x*(&y**2)*100;putcaused=’%’;%mendvp;%vp(94.3571,0.03);run;計算結(jié)果：凸度引起的價格變化為caused=4.2460695%

例3.24面值為100美元，期限為15年的票息率為8%的債35美元凸度美元凸度=凸度×初始價格.為確定美元引起的價格變化幅度，可以利用以下公式：凸度解釋的價格變化幅度=美元凸度美元凸度=凸度×初始價格.36例3.25期限為15年的票息率為8%的債券，收益率為10%，計算每100美元面值債券的美元凸度。首先計算凸度和初始價格：凸度=94.36初始價格=84.627548973凸度前面已經(jīng)計算過，初始價格的計算程序為：dataa;delete;%macroa(n,y,cupon,par);dataa1;p1=0;%doi=1%to&n;p1=p1+&cupon*&par/(1+&y)**&i;output;%end;dataa1;seta1end=lasobs;iflasobs;p2=&par/(1+&y)**&n;p=p1+p2;y=200*&y;y1=100*&y;dataa;setaa1;%menda;%a(30,0.05,0.04,100);putp=;run;計算的初始價格為p=84.627548973例3.25期限為15年的票息率為8%的債券，收益率為10%37計算美元凸度程序：%macroanlaye(x,y,p);dataa;concave=&x*&p;vp=0.5*concave*(&y**2);putconcave=;putvp=;%mendanlaye;%anlaye(94.36,0.01,84.627548973);%anlaye(94.36,0.02,84.627548973);run;計算結(jié)果：美元凸度concave==7985.4555211100基點的價格變化vp=0.3992727761200基點的價格變化vp=1.5970911042計算美元凸度程序：38近似凸度近似凸度=其中：V-為收益率下降證券的估計價格；V+為收益率上升證券的估計價格；V0為證券初始價格；為證券收益率的變化。近似凸度39例3.26面值為100美元，期限為20年，票息率為7%的債券，到期收益率為10%，假設(shè)發(fā)生20個基點的變化，計算凸度。已知條件：V-=75.64V+=72.92V0=74.26=0.002%macroconcave(Vu,Vd,V,y);dataa;yearlyconcoave=(&vu+&vd-2*&v)/(&v*(&y**2));putyearlyconcoave=;%mendconcave;%concave(75.64,72.92,74.26,0.002);run;計算結(jié)果：concoave=134.66199838精確計算凸度(以年計)yearlyconcave=132.077能否結(jié)合程序?qū)崿F(xiàn)求V+，V-等，能否結(jié)合這個程序?qū)崿F(xiàn)最大的凸度求解？到期收益率函數(shù)的源程序的A(n,d,p,Par)值得學(xué)習(xí)和借鑒例3.26面值為100美元，期限為20年，票息率為7%的債40精確計算凸度的程序：%macrod(y,cupon,period,p0);dataa;c2=0;tc2=0;don=1to.t=n;ifn<&periodthenc=&cupon;elseifn=&periodthenc=&cupon+&p0;a=1/((1+&y)**n);c1=c/((1+&y)**n);tc1=t*(t+1)*c1;c2=c2+c/((1+&y)**n);tc2=tc2+t*(t+1)*c/((1+&y)**n);ifn=&periodthenconcave=tc2/(c2*((1+&y)**2));yearlyconcave=concave/4;putconcave=;putyearlyconcave=;output;dropntc2c2;end;procprintdata=a;%mendd;%d(0.05,3.5,40,100);run;結(jié)果：精確計算凸度(以年計)yearlyconcave=132.077精確計算凸度的程序：%macrod(y,cupon,per41演講完畢，謝謝觀看！演講完畢，謝謝觀看！42債券的風(fēng)險度量久期的介紹凸度的介紹程序?qū)崿F(xiàn)方法上機實驗檢查內(nèi)容債券的風(fēng)險度量久期的介紹43債券的久期久期的概念久期的概念最早是馬考勒(Macaulay)在1938年提出來的，所以又稱馬考勒久期（簡記為D）。馬考勒久期是使用加權(quán)平均數(shù)的形式計算債券的平均到期時間。它是債券在未來產(chǎn)生現(xiàn)金流的時間的加權(quán)平均,其權(quán)重是各期現(xiàn)金值在債券價格中所占的比重。

保羅·薩繆爾森、約翰·斯克斯和瑞丁敦在隨后的若干年獨立地發(fā)現(xiàn)了久期這一理論范疇，特別是保羅·薩繆爾森和瑞丁敦將久期用于衡量資產(chǎn)/負(fù)債的利率敏感性的研究，使得久期具有了第二種含義，即：資產(chǎn)針對利率變化的價格變化率。

債券的久期久期的概念44免疫策略久期是債券投資管理中的一個極其重要的策略----“免疫策略”的理論基礎(chǔ)，根據(jù)該策略，當(dāng)交易主體債券組合的久期與債權(quán)的持有期相等的時候，該交易主體短期內(nèi)就實現(xiàn)了“免疫”的目標(biāo)，即短期內(nèi)的總財富不受利率波動的影響。

免疫策略久期是債券投資管理中的一個極其重要的策略----“免45債券的風(fēng)險度量培訓(xùn)課程課件46麥考雷(Macaulay)久期的計算公式：麥考雷久期(以期間計)=麥考雷久期(年)=麥考雷久期(以期間計)/k其中：PV（C_t)為以t期對應(yīng)的市場普遍收益率進行貼現(xiàn)得到的債券在第t期的現(xiàn)金流現(xiàn)值；n為債券持有期內(nèi)現(xiàn)金流的期間總數(shù)；TPV為債券各期現(xiàn)金流的總現(xiàn)值;k為每年支付現(xiàn)金流的次數(shù)。

麥考雷(Macaulay)久期的計算公式：47

久期是反映債券價格波動的一個指標(biāo)。它對到期時間進行加權(quán)平均，權(quán)重等于各期現(xiàn)金流的現(xiàn)值占總債券現(xiàn)金流現(xiàn)值的比例。久期實際表示的是投資者收回初始投資的實際時間。

久期是反映債券價格波動的一個指標(biāo)。它對到期時間進行加權(quán)平48久期計算舉例假設(shè)面額為1000元的3年期變通債券，每年支付一次息票，年息票率為10%，此時到期收益率分別為為12%，5%，20%，則該種債券的久期為：

久期計算舉例假設(shè)面額為1000元的3年期變通債券，每年支付一49久期的一些特點從上面的計算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，久期隨著市場利率的下降而上升，隨著市場利率的升而下降，這說明兩者存在反比關(guān)系。

在持有期間不支付利息的金融工具，其久期等于到期期限或償還期限。分期付息的金融工具，其久期總是短于償還期限，是由于同等數(shù)量的現(xiàn)金流量，早兌付的比晚兌付的現(xiàn)值要高。金融工具到期期限越長其久期也越長；金融工具產(chǎn)生的現(xiàn)金流量越高，其久期越短。

久期的一些特點從上面的計算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，久期隨著市場利率的下50修正久期=修正久期本質(zhì)上是債券的對數(shù)關(guān)于到期收益率的導(dǎo)數(shù)的絕對值，反映了債券關(guān)于到期收益率的變化強度，其近似的表達關(guān)系是：

需要注意的是，另一種理解是債券作為風(fēng)險項目，其價格過程視為變化的，則此時，久期和凸度的概念就類似于股票的模型。這是值得注意的地方。修正久期=需要注意的是，另一種理解是債券作為風(fēng)險項目，其價格51債券組合的久期計算公式：債券組合的久期=其中：債券i市值總和在債券組合市值總和中所占的比重；債券i的修正久期；債券組合中債券的個數(shù)。債券組合的久期計算公式：其中：債券i市值總和在債券組合市值總52數(shù)學(xué)上的問題久期可以視作債券定價函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（除去定價初值），而導(dǎo)數(shù)反映了一個函數(shù)的變化強度，因此，從線性近似的程度來說，以價格-到期收益率曲線而言，存在導(dǎo)數(shù)最小和最大的點，這樣的點具有什么樣的特點，這種理解是否一定正確？如何尋找這樣的點？回想到期收益率的初衷，如何平衡風(fēng)險和項目的可靠性之間的關(guān)系？如何確定最優(yōu)的項目的到期收益率？上面的問題一和問題二是要檢查的內(nèi)容。數(shù)學(xué)上的問題久期可以視作債券定價函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（除去定價初值），53凸度凸性是指在某一到期收益率下,到期收益率發(fā)生變動而引起的價格變動幅度的變動程度。凸性是對債券價格曲線彎曲程度的一種度量。因為在利率變化比較大的情況下久期就不能完全描述債券價格對利率變動的敏感性。凸性越大,債券價格曲線彎曲程度越大,用修正久期度量債券的利率風(fēng)險所產(chǎn)生的誤差越大。

凸度凸性是指在某一到期收益率下,到期收益率發(fā)生變動而引起的54凸度的數(shù)學(xué)原理凸度的數(shù)學(xué)原理55債券價格—收益率曲線債券價格—收益率曲線56凸度的性質(zhì)凸性隨久期的增加而增加。若收益率、久期不變，票面利率越大，凸性越大。利率下降時，凸性增加。對于沒有隱含期權(quán)的債券來說，凸性總大于0，即利率下降，債券價格將以加速度上升；當(dāng)利率上升時，債券價格以減速度下降。含有隱含期權(quán)的債券的凸性一般為負(fù)，即價格隨著利率的下降以減速度上升，或債券的有效持續(xù)期隨利率的下降而縮短，隨利率的上升而延長。因為利率下降時買入期權(quán)的可能性增加了。

凸度的性質(zhì)凸性隨久期的增加而增加。若收益率、久期不變，票面利57債券定價定理4：

若債券期限一定，同等收益率變化下，債券收益率上升導(dǎo)致價格下跌的量，要小于收益率下降導(dǎo)致價格上升的量。例：三債券的面值都為1000元，到期期限5年，息票率7%，當(dāng)?shù)狡谑找媛首兓瘯r。

到期收益率(%)678價格1042.121000960.07債券價格變化率(%)4.210-4.00但是從久期和凸度的近似并不能看出這一點。這是值得關(guān)注的地方。債券定價定理4：678價格1042.121000960.58債券凸性投資價值的評估

假設(shè)我們面對兩個不同期次，具有相同存續(xù)期間的政府公債（無信用風(fēng)險），兩者的市場到期收益率也正好相同，投資人對這兩張債券是否會有不同的偏好呢？基于債券凸性的特質(zhì)，如果兩者有著不同的債券凸率，理性投資人應(yīng)該會偏好債券凸率較高的公債。因此，在市場供給需求的調(diào)整下，我們可以預(yù)期兩公債的到期收益率必將有所調(diào)整，以反應(yīng)投資人對高凸率公債的偏好。投資人對于高凸率債券的到期收益率要求將會低于凸率較小的債券，也就是說，在其他條件相同的情況下，高凸率債券的價格應(yīng)該比低凸率債券為高，以反應(yīng)債券凸性的價值，由此衍生的問題是凸度的價值問題。

債券凸性投資價值的評估假設(shè)我們面對兩個不同期次59一些詭異的結(jié)論然而，市場中的債券價格果真有反應(yīng)出債券凸性的價值嗎？KahnandLochoff(1990)使用1981年至1986年的美國公債為樣本，發(fā)現(xiàn)債券凸性在某些情況下會給投資人帶來超額投資報酬，也就是說即使投資人以較高的價格購入具有高債券凸率的債券，其投資報酬仍然要比投資于低凸率債券為佳，這顯示出交易市場對于債券凸性的定價并不正確，因此存在有超額獲利空間。LaceyandNawalkha(1993)則提出了不同的結(jié)論。這兩位學(xué)者以1976到1987年的美國公債為樣本作分析，結(jié)果并未發(fā)現(xiàn)高債券凸性會帶給投資人超額的報酬，表示其已被市場正確的定價。

一些詭異的結(jié)論然而，市場中的債券價格果真有反應(yīng)出債券凸性的價60中國的情況林聰欽(1995)以國內(nèi)公債及公司債為樣本，發(fā)現(xiàn)債券凸性對于超額投資報酬有解釋能力。李耀宗(1995)針對國內(nèi)公司債作分析，也發(fā)現(xiàn)債券凸性是超額投資報酬的解釋因子之一，顯示出針對債券凸性的操作策略是值得投資人重視的。(1997)使用1992到1996年國內(nèi)所發(fā)行之35期次的政府公債來測試債券凸性以及其他因子解釋債券超額報酬的能力。發(fā)現(xiàn)債券凸性在解釋國內(nèi)公債超額報酬的能力上并不顯著，再度驗證國內(nèi)公債市場投資人對于債券凸性并未做出合理定價，這表示市場投資人或可針對債券凸性找出套利機會。中國的情況林聰欽(1995)以國內(nèi)公債及公司債為樣本，發(fā)現(xiàn)債61我們可以做的工作從前面的幾件比較烏龍的事件可以看出，對于債券凸度的價值的定價并不同意，檢驗方法也有很大的差別，因此在這個領(lǐng)域存在很多有價值的課題。這些課題及時本科生也可以做出很有意思的成果。已經(jīng)有相關(guān)的工作可以做這件事情，但是很多的開問題值得關(guān)注。我們可以做的工作從前面的幾件比較烏龍的事件可以看出，對于債券62久期的計算例子例3.16面值為100美元，票息率為10%的5年期債券,收益率為10%,計算久期(以年計)及修正久期。久期的計算例子例3.16面值為100美元，票息率為10%的63dataa;c2=0;tc2=0;don=1to10;t=n;ifn<10thenc=5;elseifn=10thenc=105;a=1/((1+0.05)**n);c1=c/((1+0.05)**n);tc1=t*c1;c2=c2+c/((1+0.05)**n);tc2=tc2+t*c/((1+0.05)**n);ifn=10thend=tc2/(c2*2);md=d/(1+0.05);output;end;datab;seta;dropc2tc2n;labelt='時間'c='現(xiàn)金流'a='1美元的現(xiàn)值'c1='現(xiàn)金流的現(xiàn)值'tc1='t*pvcf'd='久期(以年計)'md='修正久期';procprintdata=blabelnoobs;title'久期及修正久期';vardmd;run;輸出結(jié)果：久期(以年計)修正久期4.053913.86087dataa;datab;輸出結(jié)果：64注：修正久期可直接用SAS函數(shù)計算：Modifdur=DURP(100,0.1,2,10,0.5,0.1);函數(shù)DURP用法：DURP(A,c,n,K,k0,y)，其中A表示面值，c表示名義年票息率，n為年付息次數(shù)，K為生于付息次數(shù)，k0為現(xiàn)在到下一次付息日的間隔，y為收益率。本章開始時所提出的問題，能否集合這個函數(shù)來實現(xiàn)？注：修正久期可直接用SAS函數(shù)計算：Modifdur=DUR65例3.19面值為100美元，票息率為10%，到期收益率為10%的5年期債券，以平價出售，計算久期。%macrod(i,y,p);dataa;x=100*(&i/2)*((1-1/((1+&y/2)**10))/(&y/2));h=x/&p;d=((1+(&y/2))/(&y/2))*h+(((&y/2)-(&i/2))/(&y/2))*10*(1-h);putd=;%mendd(i,y,p);%d(0.10,0.10,100);run;輸出結(jié)果：d=8.1078216756，這是否說明久期比發(fā)行期限來的大？例3.19面值為100美元，票息率為10%，到期收益率為166修正久期的近似計算近似久期=其中：V-為收益率下降證券的估計價格；V+為收益率上升證券的估計價格；V0為證券初始價格；為證券收益率的變化。修正久期的近似計算近似久期=67例3.20票息率為7%，到期收益率為10%的20年期債券，以74.26美元的價格出售，收益率上升或下降20個基本點的價格變化如下所示，試計算近似修正久期。V-=75.64468623V+=72.917291682 V0=74.261370469=0.002(半年變化10個基本點)例3.20票息率為7%，到期收益率為10%的20年期債券，68收益率上升或下降20個基本點的債券初始價格計算程序：dataa;delete;%macroa(n,y,cupon,par);dataa1;p1=0;%doi=1%to&n;p1=p1+&cupon*&par/(1+&y)**&i;output;%end;dataa1;seta1end=lasobs;iflasobs;p2=&par/(1+&y)**&n;p=p1+p2;y=200*&y;y1=100*&y;dataa;setaa1;putp=;%menda;%a(40,0.05,0.035,100);%a(40,0.052,0.035,100);%a(40,0.048,0.035,100);run;p=74.261370469p=71.611134614p=77.068604183收益率上升或下降20個基本點的債券初始價格計算程序：data69近似久期計算程序%macromd(Vu,Vd,V,y);dataa;md=(&vu-&vd)/(2*&v*&y);putmd=;%mendmd;%md(75.64,72.92,74.26,0.002);run;輸出結(jié)果：MD=9.15701589結(jié)果接近精確值md=9.1802370384近似久期計算程序%macromd(Vu,Vd,V,y);輸70精確值計算程序：%macrod(y,cupon,period,p0);dataa;c2=0;tc2=0;don=1to.t=n;ifn<&periodthenc=&cupon;elseifn=&periodthenc=&cupon+&p0;a=1/((1+&y)**n);c1=c/((1+&y)**n);tc1=t*c1;c2=c2+c/((1+&y)**n);tc2=tc2+t*c/((1+&y)**n);ifn=&periodthend=tc2/(c2*2);md=D/(1+&y);putd=md=;output;dropntc2c2;end;%mendd;%d(0.05,3.5,40,100);run;輸出結(jié)果為：md=9.1802370384精確值計算程序：%macrod(y,cupon,perio71債券凸度計算舉例例3.21假設(shè)面值為100美元，5年期的票息率為8%的債券,每半年付息。假設(shè)該債券的初始收益率為10%，計算該債券的凸度。債券凸度計算舉例例3.21假設(shè)面值為100美元，5年期的票72ifn=&periodthenconcave=tc2/(c2*((1+&y)**2));yearlyconcave=concave/4;putconcave=;putyearlyconcave=;output;dropntc2c2;end;procprintdata=a;%mendd;%d(0.05,4,10,100);run;計算結(jié)果：凸度(以半年記)concave=78.29424228凸度(以年計)yearlyconcave=19.57356057%macro(y,cupon,period,p0);dataa;c2=0;tc2=0;don=1to.t=n;ifn<&periodthenc=&cupon;elseifn=&periodthenc=&cupon+&p0;a=1/((1+&y)**n);c1=c/((1+&y)**n);tc1=t*(t+1)*c1;c2=c2+c/((1+&y)**n);tc2=tc2+t*(t+1)*c/((1+&y)**n);ifn=&periodthen73注：也可以用SAS函數(shù)直接計算：convx=convxp(100,0.08,2,10,0.5,0.1);同久期一樣，能否結(jié)合這個函數(shù)，實現(xiàn)求凸度最大的點？注：也可以用SAS函數(shù)直接計算：convx=convxp(174例3.22假設(shè)面值為100美元，5年期的零息票債券，年收益率為10%，計算凸度。%macroconcave(n,y);dataa;concave=&n*(&n+1)/((1+&y)**2);putconcave=;%mendconcave;%concave(10,0.05);run;計算結(jié)果：凸度concave=99.77324263例3.22假設(shè)面值為100美元，5年期的零息票債券，年收益75計算凸度引起的價格變化凸度引起價格變化百分比的估計值

=計算凸度引起的價格變化凸度引起價格變化百分比的估計值76例3.24面值為100美元，期限為15年的票息率為8%的債券，每半年付息，其初始收益率為10%。若收益率由10%增長到13%，計算凸度引起的價格變化。首先計算年凸度：只需要將上面凸度計算程序中的宏參數(shù)值改為%d(0.05,4,30,100)即可求得年凸度為94.3571。%macrovp(x,y);dataa;caused=0.5*&x*(&y**2)*100;putcaused=’%’;%mendvp;%vp(94.3571,0.03);run;計算結(jié)果：凸度引起的價格變化為caused=4.2460695%

例3.24面值為100美元，期限為15年的票息率為8%的債77美元凸度美元凸度=凸度×初始價格.為確定美元引起的價格變化幅度，可以利用以下公式：凸度解釋的價格變化幅度=美元凸度美元凸度=凸度×初始價格.78例3.25期限為15年的票息率為8%的債券，收益率為10%，計算每100美元面值債券的美元凸度。首先計算凸度和初始價格：凸度=94.36初始價格=84.627548973凸度前面已經(jīng)計算過，初始價格的計算程序為：dataa;delete;%macroa(n,y,cupon,par);dataa1;p1=0;%doi=1%to&n;p1=p1+&cupon*&par/(1+&y)**&i;output;%end;dataa1;seta1end=lasobs;iflasobs;p2=&par/(1+&y)**&n;p=p1+p2;y=200*&y;y1=100*&y;dataa;setaa1;%menda;%a(30,0.05,0.04,100);putp=;run;計算的初始價格為p=84.627548973例3.25期限為15年的票息率為8%的債券，收益率為10%79計算美元凸度程序：%macroanlaye(x,y,p);dataa;concave=&x*&p;vp=0.5*concave*(&y**2);putconcave=;putvp=;%mendanlaye;%anlaye(94.36,0.01,84.627548973);%anlaye(94.36,0.02,84.627548973);run;計算結(jié)果：美元凸度concave==7985.4555211100基點的價格變化vp=0.3992727761200基點的價格變化vp=1.5970911042計算美元凸度程序：80近似凸度近似凸度=其中：V-為收益率下降證券的估計價格；V+為收益率上升證券的估計價格；V0為證券初始價格；為證券收益率的變化。近似凸度81例3.26面值為100美元，期限為20年，票息率為7%的債券，到期收益率為10%，假設(shè)發(fā)生20個基點的變化，計算凸度。已知條件：V-=75.64V+=72.92V0=74.26=0.002%macroconcave(Vu,Vd,V,y);dataa;yearlyconcoave=(&vu+&vd-2*&v)/(&v*(&y**2));putyearlyconcoave=;%mendconcave;%concave(75.64,72.92,74.2