聚焦纖維透鏡課件

第六

章

聚焦纖維透鏡第六章

聚焦纖維透鏡1前言§6.1聚焦纖維透鏡的折射率分布§6.2聚焦纖維中的光線軌跡§6.3聚焦纖維透鏡成像特性§6.4聚焦纖維透鏡的像差及測量§6.5聚焦纖維透鏡的應(yīng)用內(nèi)容提要內(nèi)容提要2均勻介質(zhì)傳像光纖集束技術(shù)光纖圖像傳輸位相變換器傳統(tǒng)光學(xué)工程:

光學(xué)玻璃、塑料，折射率梯度為零。非均勻介質(zhì)梯度折射率平板

——棱鏡前言均勻介質(zhì)前言3徑向梯度折射率分布——透鏡

軸對稱層狀梯度折射率平板——柱透鏡光線沿光纖作正弦曲線變化，這樣不僅較階躍光纖損耗小，而且避免了階躍光纖中不同模傳播速度不同的弊病。非均勻介質(zhì)光線軌跡滿足費(fèi)馬原理:ds:沿A—B微分元。梯度折射率光學(xué)徑向梯度折射率分布——透鏡梯度折射率光學(xué)4軌跡:x(s)、y(s)、z(s)非均勻介質(zhì)中的光線方程軌跡:x(s)、y(s)、z(s)5聚焦纖維透鏡課件6聚合物光纖自聚焦透鏡陣列進(jìn)行梯度聚合物光纖的元器件如梯度折射光纖透鏡的研制，對其成像和像差等相關(guān)特性的研究，在掃描儀、復(fù)印機(jī)等設(shè)備中得以應(yīng)用。同時(shí)該研究對提高局域網(wǎng)用聚合物梯度折射率光纖的帶寬和質(zhì)量具有重要意義聚合物光纖自聚焦透鏡陣列進(jìn)行梯度聚合物光纖的元器件如梯度折射7聚焦纖維透鏡課件8聚焦纖維透鏡課件9光纖傳感斐索自聚焦光纖透鏡干涉儀光纖傳感斐索自聚焦光纖透鏡干涉儀10光源元、器件探測器單位量級幾何光學(xué)固體、氣體激光器透鏡、光具座光電信倍管、攝像機(jī)米、分米微型光學(xué)LD、LEDGRIN、衍射光學(xué)元件PDcm集成光學(xué)LED、DFB波導(dǎo)器件、光子晶體PDμm納米光學(xué)納米光源納米波導(dǎo)遠(yuǎn)近場耦合、近場探針nm光源元、器件探測器單位量級幾何光學(xué)固體、氣體激光器透鏡、光具11SI與GIPOF的色散機(jī)制SI與GIPOF的色散機(jī)制121.25Gbps梯度折射率光纖

（傳輸實(shí)驗(yàn))

圖1GI聚合物光纖損耗特性圖2GI聚合物光纖1.25Gbps梯度折射率光纖

（傳輸實(shí)驗(yàn))

圖1G13圖350G示波器測量的1.25Gbps電調(diào)制信號眼圖圖350G示波器測量的1.25Gbps電調(diào)制信號眼圖14圖4直接調(diào)制650nmLD的1.25Gbps光信號眼圖（Backtobackeyediagram）圖4直接調(diào)制650nmLD的1.25Gbps光信號15(6.1.1)圖6.1.1光線通過聚焦纖維的軌跡(6.1.1)圖6.1.1光線通過聚焦纖維的軌跡16式中n(0)為纖維軸上折射率，

為光線離軸線最大距離，θ是光線與z軸之間的夾角，

是光線最大振幅處的折射率(6.1.2)可將式(6.1.2)改寫成:由于dr/dz表示路徑曲線在某點(diǎn)切線的斜率，所以有:(6.1.3)(6.1.4)式中n(0)為纖維軸上折射率，為光線離軸線最大距離，θ17將方程(6.1.5)代入式(6.1.6)可得:因?yàn)楣饩€在纖維中的軌跡是彎曲的，如果是一種正弦振蕩，即:(6.1.7)(6.1.6)由此可求得光線的微元ds(6.1.5)(6.1.8)將方程(6.1.5)代入式(6.1.6)可得:因?yàn)楣饩€在纖維18

考慮到z=0時(shí)，。所以(6.1.9)這里而由式(6.1.5)和式(6.1.10)有:(6.1.10)(6.1.11)(6.1.9)這里而由式(6.1.5)和式(6.1.10)有19(6.1.14)由此可得:(6.1.12)將式(6.1.7)和式(6.1.12)代入式(6.1.1)，則有:令，則式(6.1.13)變換后再進(jìn)行積分，結(jié)果是:(6.1.14)由此可得:(6.1.12)將式(6.1.7)20說明在軸上一點(diǎn)所發(fā)出的近軸光線聚焦在z≈l的一點(diǎn)。對于近軸情況，方程(6.1.12)折射率分布函數(shù)為:(6.1.15)(6.1.16)上式分布稱為拋物線型分布，通常用作波導(dǎo)的梯度折射率光纖的折射率是按拋物線分布沿徑向遞減的。如果假定折射率分布是一種雙曲函數(shù)形式，即:說明在軸上一點(diǎn)所發(fā)出的近軸光線聚焦在z≈l的一點(diǎn)。對于近軸情21在上式中，令，則式(6.1.18)就為:(6.1.18)由方程(6.1.2)和(6.1.17)有:用這種分布函數(shù)，方程(6.1.1)就為:(6.1.20)(6.1.19)在上式中，令22因此式(6.19)就變?yōu)?很顯然，該式對為任何值的光線均符合說明軸上點(diǎn)所發(fā)出的任何子午光線均聚焦在沿軸距離

處。式(6.1.17)為子午精確分布式。很清楚，當(dāng)時(shí)，方程(6.1.17)簡化為方程(6.1.16)。所以(6.1.22)對于螺旋光線(即以螺旋型路線通過纖維而離纖維軸距離保持不變的一種光線)，行進(jìn)路程中的折射率是不變的。為了滿足路程長度不變，光線在每繞軸一圈時(shí)必須沿軸行進(jìn)距離，光線可以在一平面上展成一直線，路程的長度等于因此式(6.19)就變?yōu)?很顯然，該式對為任何值的光23所以路程長度不變的條件為:

(a)(b)圖6.1.2螺旋型空間光線及展開即(6.1.24)(6.1.23)所以路程長度不變的條件為:24這就是螺旋光線的精確分布式。由此可知，對于子午光線是理想的折射率分布而對于螺旋光線就不是理想的，反過來也一樣。所以要建立完全理想的成像系統(tǒng)是不可能的。

通常只考慮子午光線，只要不把嚴(yán)格的成像系統(tǒng)作為問題，即使忽略

以上的高次項(xiàng)，在計(jì)算成像時(shí)也沒有問題。因此，折射率分布都可近似為二次拋物線分布，和公式(6.1.16)是相同的。這就是螺旋光線的精確分布式。由此可知，對于子午光線是理想的折25為使公式簡單，上式把折射率沿徑向的變化n(r)表示為n，軸上折射n(0)表示為，A是折射率變化特性常數(shù)，r是纖維上某點(diǎn)至軸的距離。這里只考慮近軸的子午光線§6.2聚焦纖維中的光線軌跡聚焦纖維的折射率分布一般可用式(6.1.16)的近似式表示:(6.2.1)非均勻介質(zhì)中的光線方程為:式中r為光線路徑上點(diǎn)的位置矢量，s為沿光線上弧長，▽是梯度算符，如圖6.2.1所示?，F(xiàn)在用直角坐標(biāo)來討論，仍取z為軸向，對近軸光線，ds近似于dz，則xoz平面內(nèi)的光線方程為:(6.2.2)(6.2.3)為使公式簡單，上式把折射率沿徑向的變化n(r)表示為n，軸上26(6.2.4)柱形纖維中的折射率對z軸對稱，式(6.2.1)可該寫成:(6.2.4)柱形纖維中的折射率對z軸對稱，式(6.2.1)27求導(dǎo)可得光線軌跡曲線得斜率:(6.2.6)(6.2.7)其中積分常數(shù)B、C可由初始條件確定。(6.2.5)它的通解即光線軌跡為:其中積分常數(shù)B、C可由初始條件確定。求導(dǎo)可得光線軌跡曲線得斜率:(6.2.6)(6.2.7)其中28(6.2.8)(6.2.10)設(shè)入射光線在聚焦點(diǎn)z=0處，以斜率

入射在x=點(diǎn)，則求得B=，C=/，代入式(6.2.6)和(6.2.7)，則有:軌跡曲線(6.2.8)也可改寫為:(6.2.9)由此可知，通常情況下子午光線的軌跡是一個(gè)初相位不為零的正弦曲線，入射的斜率越大，振幅r越大；而特性常數(shù)A越大，振幅r越小。所以，當(dāng)一般非平行于z入射時(shí)，為了使光線在軸線附近進(jìn)行，應(yīng)使A值大一些，也就是要使聚焦纖維透鏡的折射率變化快一些。(6.2.8)(6.2.10)設(shè)入射光線在聚焦點(diǎn)z=0處，以29下面對兩種入射情形作具體討論:(1)光線斜入射在聚焦纖維透鏡軸上的情形。在子午平面內(nèi)，設(shè)入射光線和聚焦纖維軸成角入射，進(jìn)入透鏡后與軸成

角，則有，這時(shí)光線軌跡方程為:下面對兩種入射情形作具體討論:(1)光線斜入射在聚焦纖維透鏡30曲線振幅為:可知這時(shí)光線在聚焦纖維透鏡中的軌跡是初位相為零的正弦曲線，如圖6.2.2所示(6.2.13)(6.2.12)圖6.2.2斜入射于軸上時(shí)光線的軌跡曲線振幅為:可知這時(shí)光線在聚焦纖維透鏡中的軌跡是初位相為零的31在聚焦纖維中光線軌跡的最大振幅：等于纖維的半徑即，故有:(6.2.16)(6.2.15)(6.2.17)在聚焦纖維中光線軌跡的最大振幅：等于纖維的半徑即32(6.2.18)這樣有：(6.2.20)所以可得:若，則近似有:(6.2.19)假定聚焦纖維邊緣折射率為，則:(6.2.21)(6.2.18)這樣有：(6.2.20)所以可得:若33特性常數(shù)A：知道了聚焦纖維半徑和折射率的最大差值△n值及中心折射率就能計(jì)算。顯然在折射率差值相等的條件下，纖維直徑越小，A值就越大。由于(6.2.22)得:(6.2.23)(6.2.24)所以由式(6.2.15)，有:如果介質(zhì)為空氣，則

=1，且△n<<1時(shí)，可近似有最大接收角:特性常數(shù)A：知道了聚焦纖維半徑和折射率的最大差值△34但是，需要指出的是聚焦纖維的數(shù)值孔徑是隨著入射光線的入射位置不同而變化的，也就是說入射在軸上時(shí)孔徑角最大，入射點(diǎn)離光軸越遠(yuǎn)，孔徑角變得越小，在透鏡邊緣處為零?？紤]到一般情況，數(shù)值孔徑可表示為:周期長度為:(6.2.26)(6.2.25)(6.2.27)當(dāng)=0，r=0時(shí)，數(shù)值孔徑最大。D=r/r0光線入射面與相對軸上子午面的角度但是，需要指出的是聚焦纖維的數(shù)值孔徑是隨著入射光線的入射位置35圖6.2.3平行入射時(shí)光線在聚焦纖維中的軌跡從方程可知，這時(shí)光線在聚焦纖維中的軌跡是余弦曲線，其振幅為初始入射位置，如圖6.2.3所示。如果要得到平行光線出射，則應(yīng)有:(6.2.29)(6.2.28)圖6.2.3平行入射時(shí)光線在聚焦纖維中的軌跡從方程可知，36顯然n應(yīng)取正整數(shù)?？芍?dāng)聚焦纖維的長度等于其半周期長的整數(shù)倍時(shí)入射平行光線出射時(shí)仍為平行光線。從圖6.2.4可以看出，當(dāng)聚焦纖維的長度等于其1/4周期長度的奇數(shù)倍時(shí)，入射光線若平行于軸，則出射光線將在聚焦纖維出射端的軸心處會聚。反之，若點(diǎn)光源置于1/4周期長度的聚焦纖維端面軸心處，則出射光線為平行光線。(6.2.30)(6.2.31)所以圖6.2.4出射光線平行于聚焦纖維軸的情況顯然n應(yīng)取正整數(shù)。可知當(dāng)聚焦纖維的長度等于其半周期長的整數(shù)倍37§6.3聚焦纖維透鏡的折射率分布聚焦纖維透鏡：聚焦纖維是一種新型的光線傳輸介質(zhì)，不同于普通的光纖，光線再聚焦纖維中的軌跡呈現(xiàn)正弦曲線或余弦曲線。對于沿軸向傳播的光線不改變方向，而對于與軸平行和與軸成一定角度的子午光線，聚焦纖維的作用是使光線有規(guī)則地與軸相交或離散，就像光學(xué)系統(tǒng)中的透鏡一樣，因此這種聚焦纖維能夠聚焦和成像?！?.3聚焦纖維透鏡的折射率分布聚焦纖維透鏡：聚焦纖維是38聚焦纖維透鏡課件39③b光線和軸成一定角度，其入射位置為x=0，斜率為進(jìn)入聚焦纖維透鏡后為。如果求得a，b光線出射處的位置和斜率，則能得出a，b光線出射后的直線方程，然后求得其交點(diǎn)，這樣像位置也就確定了①沿聚焦纖維透鏡入射的光線，進(jìn)入聚焦纖維透鏡后方向不變，沿軸出射②a光線平行于聚焦纖維透鏡軸，其入射位置為，斜率為零；根據(jù)前面所述，a的軌跡方程為:其斜率方程為：(6.3.1)(6.3.2)③b光線和軸成一定角度，其入射位置為x=0，斜率為①沿聚焦纖40a光線在聚焦纖維透鏡出射端的位移若為，斜率為，則出射后的斜率按近軸光線近似，所以a光線出射后的直線方程為:(6.3.4)(6.3.5)(6.3.3)或:設(shè)a，b光線在聚焦纖維透鏡外交于(L，x)點(diǎn)，則上式可改寫為:a光線在聚焦纖維透鏡出射端的位移若為，斜率為41(6.3.8)b光線若在聚焦纖維出射端的位移為

，斜率為

，則出射后的斜率為:同樣，b光線的軌跡和斜率方程為:(6.3.7)(6.3.6)所以b光線出射后其直線方程為:(6.3.9)(6.3.8)b光線若在聚焦纖維出射端的位移為，斜42以L代z’，同樣得交點(diǎn)處的關(guān)系式為:聯(lián)立兩點(diǎn)處的關(guān)系式(6.3.5)和(6.3.11)，用行列式解得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)L和x為:(6.3.10)(6.3.11)即:(6.3.12)以L代z’，同樣得交點(diǎn)處的關(guān)系式為:聯(lián)立兩點(diǎn)處的關(guān)系式(6.43(6.3.13)所以可求得:(6.3.14)(6.3.15)(6.3.13)所以可求得:(6.3.14)(6.3.15)44(6.3.16)此處即為物距，L為像距，

為物高。線放大率m定義為像高和物高之比，即:其中，L>0為實(shí)像，L<0為虛像；m>0為正立像，m<0為倒立像；|m|>1為放大像，|m|<1為縮小像。由此就能基本成像公式來討論聚焦纖維透鏡的像特點(diǎn)

焦點(diǎn)：假設(shè)有一段長度為z的聚焦纖維透鏡，當(dāng)光線平行于其軸入射時(shí)，其初始位置為x=，斜率為p=0，此光線經(jīng)過纖維透鏡傳遞后，其出射光線和軸線交于一點(diǎn)，此點(diǎn)即為焦點(diǎn)。(6.3.16)此處即為物距，L為像距，為物高45焦距：焦點(diǎn)到主點(diǎn)的距離。下面利用幾何光學(xué)的理想光具組的概念，來分析自聚焦透鏡的焦點(diǎn)和主平面位置，并導(dǎo)出焦距公式，在討論中，設(shè)纖維透鏡置于空氣中。圖6.3.2聚焦纖維透鏡焦點(diǎn)位置的確定焦距：焦點(diǎn)到主點(diǎn)的距離。下面利用幾何光學(xué)的理想光具組的概念，46(6.3.17)(6.3.19)設(shè)焦點(diǎn)位置到出射端面的距離為s，由仍考慮近軸光線，且設(shè)周圍介質(zhì)為空氣，仍有前面已用過的近似關(guān)系:于是有:(6.3.21)從圖6.8中可知出射光線的位置為:(6.3.18)(6.3.20)(6.3.17)(6.3.19)設(shè)焦點(diǎn)位置到出射端面的距離為47公式(6.3.21)和(6.3.22)都說明焦點(diǎn)位置是隨著聚焦纖維透鏡的特征常數(shù)A和長度z而變化的，圖6.3.3是方程(6.3.22)的圖解表示。同樣可由焦距定義求出焦距f，由得:得:(6.3.23)(6.3.22)公式(6.3.21)和(6.3.22)都說明焦點(diǎn)位置是隨著聚48

圖6.3.3聚焦纖維透鏡長度和焦距之間的關(guān)系利用公式(6.3.14)可以討論聚焦纖維透鏡幾種特殊成像情況:圖6.3.3聚焦纖維透鏡長度和焦距之間的關(guān)系利用公式(649(6.3.24)(6.3.25)

(1)如成像在無限遠(yuǎn)處，即L→∞，則式(6.3.14)中分母必為零，故有:顯然就是焦點(diǎn)的位置s，說明當(dāng)物距等于焦點(diǎn)位置s時(shí)，目標(biāo)成像于無限遠(yuǎn)處。即:(6.3.24)(6.3.25)(1)如成像在無限遠(yuǎn)處，即50(6.3.27)

(2)如成像在出射端面上，即L=0，有:(6.3.26)(3)如成像在主平面位置上，即線放大率|m|=1的位置上，則由公式(6.3.15)可定出物距，此處用h代替。若m=1，則:上述的一些公式除了焦距f是以主點(diǎn)為基準(zhǔn)外，其余的公式都是以端面為基準(zhǔn)。(6.3.27)(2)如成像在出射端面上，即L=0，有:(51(6.3.28)如果把物距和像距L也表示成以主點(diǎn)為基準(zhǔn)的公式，就可得到以主點(diǎn)為基準(zhǔn)得物距

和像距

為:(6.3.29)于是我們得到:(6.3.30)這和光學(xué)透鏡成像公式是一致的。(6.3.28)如果把物距和像距L也表示成以主點(diǎn)為52圖6.3.4以z為變量的正弦和余弦曲線成像特性：聚焦纖維透鏡的長度z在相當(dāng)大的程度上決定著它的，成像情況。把聚焦纖維透鏡的一個(gè)周期長度分成四個(gè)區(qū)域和四個(gè)特殊點(diǎn)分別來討論。關(guān)于為變量的正弦和余弦曲線我們表示于圖6.3.4。圖6.3.4以z為變量的正弦和余弦曲線成像特性：聚焦纖53利用這個(gè)圖和式(6.3.14)和(6.3.15)我們就能定出成像的性質(zhì):是實(shí)像還是虛像，是正立像還是倒立像等等。(1)在時(shí)，，。當(dāng)時(shí)，有L>0，m<0，為倒立的實(shí)像；當(dāng)時(shí)，有L<0，m>0，為正立的虛像，如圖6.3.5所示。當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)L→∞，成像在無限遠(yuǎn)處。圖6.11聚焦纖維透鏡長度小于1/4周期的成像利用這個(gè)圖和式(6.3.14)和(6.3.15)我們就能定出54(3)在時(shí)，

當(dāng)時(shí)，有L<0，m<0，為倒立的虛像；

當(dāng)即：L=0，故成像在出射端面上.圖6.3.5聚焦纖維透鏡長度等于1/4周期的成像(3)在55當(dāng)時(shí)，有L>0，m<0，為倒立的實(shí)像，如圖6.3.6所示圖6.3.6聚焦纖維透鏡長度在1/4~1/2周期之間的成像當(dāng)56(4)在時(shí)，，

。此時(shí)有L=<0，m=-1，故為倒立的放大率為1的虛像。當(dāng)=0時(shí),L=0，m=-1，故倒立成像在出射端面，放大率為1，如圖6.3.7所示。圖6.3.7聚焦纖維透鏡長度為1/2周期的成像(4)在時(shí)，57(5)在時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有L>0，m>0，為正立實(shí)像；當(dāng)時(shí)，L<0，m<0，為倒立的虛像；為圖6.3.8所示。當(dāng)時(shí)，同樣成像在無窮遠(yuǎn)處。圖6.3.8聚焦纖維透鏡長度為1/2~3/4周期(5)在58

(6)在時(shí)，，此時(shí)有L>0，m>0，為正立的實(shí)像。如圖6.3.9所示。圖6.3.9聚焦纖維透鏡長度為3/4周期的成像(6)在時(shí)，59(7)在時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有L<0，m>0，為正立的虛像。當(dāng)時(shí)，同樣此時(shí)成像在端面上，為正像。當(dāng)時(shí)，有L>0，m>0，為正立的實(shí)像。如圖6.3.10所示圖6.3.10聚焦纖維透鏡長度為3/4~1周期的成像(7)在60圖6.3.11聚焦纖維透鏡長度為1個(gè)周期的成像(8)在時(shí)，，。此時(shí)有L=-<0，m=1，故為正立的放大率為1的虛像；當(dāng)物距=0，兩端面共軛，在端面成一個(gè)放大率為1的正像。圖6.3.11聚焦纖維透鏡長度為1個(gè)周期的成像(8)在61通過以上研究，可以看出自聚焦透鏡成像的另一些優(yōu)點(diǎn):1?？梢栽谕哥R端面上形成實(shí)像，2。容易獲得與物體同樣大小的直立實(shí)像，3。能夠得出在光學(xué)成像上相當(dāng)于幾個(gè)球透鏡的單個(gè)透鏡，通過以上研究，可以看出自聚焦透鏡成像的另一些優(yōu)點(diǎn):1?？梢栽?2(6.4.2)(6.4.1)§6.4聚焦纖維透鏡的像差及測量聚焦纖維透鏡，無論其折射率是拋物線分布:還是雙曲線分布:像差光學(xué)系統(tǒng)并不能使來自物點(diǎn)的全部光線都會聚于一點(diǎn)也不能使像與物的形狀完全相似球差慧差像散綜合高級像差場曲畸變都會產(chǎn)生像差(6.4.2)(6.4.1)§6.4聚焦纖維透鏡的像差及63這里僅討論自聚焦透鏡的球差，如圖6.4.1所示，從物平面上點(diǎn)追跡一條實(shí)際光線，求得其在理想面上的交點(diǎn)，改交點(diǎn)到軸的距離TA’稱為這條光線對于近軸光線的橫向球差，而這條實(shí)際光線與光軸的交點(diǎn)到理想像面的距離LA’稱為這條光線的縱向球差，顯然LA’可能是正的也可能是負(fù)的圖6.4.1透鏡的球差這里僅討論自聚焦透鏡的球差，如圖6.4.1所示，從64(6.4.4)其中為近軸光線與光軸的交點(diǎn)到出射端的距離，為實(shí)際光線與光軸交點(diǎn)到出射端的距離。(6.4.3)而:

單獨(dú)存在球差時(shí)的波像差初級項(xiàng)可表示成:(6.4.5)式中第二項(xiàng)是考慮進(jìn)離焦時(shí)的波面誤差。測量普通光學(xué)透鏡像差通常有刀口法和哈德曼法，由于自聚焦透鏡口徑小，僅有1~2mm，用上述方法很不方便，所以這里介紹一種用全息雙頻光柵測量自聚焦透鏡像差的方法。(6.4.4)其中為近軸光線與光軸的交點(diǎn)到出射端的距65(6.4.7)全息雙頻光柵測量方法：全息雙頻光柵是用雙曝光技術(shù)，在全息干板上記錄兩套空間頻率像差甚微的正弦光柵。這樣入射光波面在兩套光的±1級衍射方向上就被剪切開了一個(gè)小量，產(chǎn)生波面剪切干涉。對兩套空間周期分別為

和

的光柵雙頻光柵對入射光波面的角剪切量有:(6.4.6)定義其拍頻的空間周期d’為:(6.4.7)全息雙頻光柵測量方法：全息雙頻光柵是用雙曝光技66(6.4.8)若觀察屏到光柵的軸間距離為z，則橫向剪切量:對旋轉(zhuǎn)對稱光學(xué)系統(tǒng)，可只對其中一個(gè)方向進(jìn)行剪切，這時(shí)式(6.4.5)波像差函數(shù)可寫成:由剪切引起的在觀察屏上某點(diǎn)x’處形成干涉的兩相干光線x1和x2的光程差(如圖6.4.2所示)為:(6.4.9)(6.4.10)(6.4.8)若觀察屏到光柵的軸間距離為z，則橫向剪切量:對67圖6.4.2雙頻光柵測透鏡像差原理圖在觀察平面上，暗條紋處每點(diǎn)對應(yīng)一對光程差為λ/2奇數(shù)倍的相干光線，亮條紋則為偶數(shù)倍。其中，暗條紋或亮條紋的位置坐標(biāo)x’按下式求得:(6.4.11)圖6.4.2雙頻光柵測透鏡像差原理圖在觀察平面上，暗條紋處每68通過對第n級暗(亮)條紋及其位置坐標(biāo)x’的追跡，可以得出數(shù)組式(6.4.10)的方程組，兩兩聯(lián)立求得數(shù)組

和

，最后取式(6.4.10)中的系數(shù)a和b分別為數(shù)組

和

的平均值，記為和:這樣，對應(yīng)不同位置坐標(biāo)x’處的干涉現(xiàn)場中的條紋間距Δx’可以按下面方法計(jì)算:(6.4.13)(6.4.12)相對于位置坐標(biāo)x’，由幾何關(guān)系可以求出

和

，對應(yīng)一個(gè)x’值，有一組A，B的值.通過對第n級暗(亮)條紋及其位置坐標(biāo)x’的追跡，可以得出數(shù)組69圖6.4.3測量自聚焦透鏡像差的剪切干涉光路(6.4.14)取A，

B的平均值，則求出球差的函數(shù)式:用于測量自聚焦透鏡像差的實(shí)驗(yàn)裝置如圖6.4.3所示，He-Ne激光束直接耦合待測自聚焦透鏡GRIN，雙頻光柵DH放置在自聚焦透鏡的焦平面附近，其拍頻周期d’=0.008mm，平均衍射角=27.8°，K為觀察屏。當(dāng)軸間距離z=119.5mm時(shí)，橫向剪切量Δx=9.9mm圖6.4.3測量自聚焦透鏡像差的剪切干涉光路(6.4.170該自聚焦透鏡的直徑是1.33mm，數(shù)值孔徑是0.15，1/4周期長度是12.36mm。透鏡本身的長度是11.38mm。實(shí)驗(yàn)表明這種測量自聚焦透鏡像差的方法是簡單、有效和方便的圖6.4.4自聚焦透鏡的球差曲線圖6.4.4是用雙頻光柵剪切干涉法測量的自聚焦透鏡的球差曲線。該自聚焦透鏡的直徑是1.33mm，圖6.4.4自聚焦透71§6.5聚焦纖維透鏡的應(yīng)用隨著聚焦纖維透鏡研究的進(jìn)一步深入，制作工藝的不斷改進(jìn)和透鏡質(zhì)量的不斷提高，聚焦纖維透鏡的應(yīng)用也越來越廣泛。應(yīng)用透鏡鏈低像差透鏡微型纖維透鏡應(yīng)用光學(xué)系統(tǒng)中。例如準(zhǔn)直透鏡，攝影物鏡，顯微物鏡，光通信中的耦合、連接、開關(guān)及復(fù)印傳真機(jī)中的纖維透鏡陣列等等在集成光學(xué)中，在同一元件上做成微型激光器、光波導(dǎo)、光放大器、光開關(guān)、光耦合器§6.5聚焦纖維透鏡的應(yīng)用隨著聚焦纖維透鏡研究的進(jìn)一步深726.5.1在光纖通信中的應(yīng)用在光纖通信中，除了要有理想的光源、光導(dǎo)纖維和接收元件之外，還要解決各部分之間的光耦合、連接、分路等問題。因聚焦纖維透鏡端面使平面，它能直接粘合到光纖或其它元件上，而得到一個(gè)緊湊、穩(wěn)定和牢固的整體結(jié)構(gòu)。下面介紹聚焦纖維透鏡在耦合器和波分復(fù)用器中的應(yīng)用

1.耦合器如果在激光器LD發(fā)光面和光纖端面之間用聚焦纖維透鏡耦合就可以把發(fā)光面成像到光纖端面上。從而增加光纖端面的光功率密度，使耦合效率提高到50%。6.5.1在光纖通信中的應(yīng)用在光纖通信中，除了要有理想的73體積小，便于密封在激光器內(nèi)，使激光器封裝起來圖6.5.1聚焦纖維透鏡的耦合作用重要特點(diǎn):作平行透鏡對使用體積小，便于密封在激光器內(nèi)，使激光器封裝起來圖6.5.174圖6.5.2聚焦纖維透鏡隔離器從左邊入射的光束經(jīng)過聚焦纖維透鏡稱為大致平行的光束，經(jīng)θ=0°的偏振器后，唯有偏振方向與光軸平行的光能繼續(xù)前進(jìn)。其偏振光在法拉第旋光器中旋轉(zhuǎn)45°，經(jīng)θ=45°的偏振器和聚焦纖維透鏡后與光纖耦合，從光纖一端反射回來或從器件反射回來的光經(jīng)θ=45°的偏振器后即變成與光軸成45°的偏振光。由于偏振光不能在θ=0°的偏振器中通過，從而起到隔離的作用圖6.5.2聚焦纖維透鏡隔離器從左邊入射的光束75另外，由于這種連接器聚焦纖維透鏡之間可以有一定的距離，因此在聚焦纖維透鏡之間準(zhǔn)直光束中可插入衰減器另外，由于這種連接器聚焦纖維透鏡之間可以有一定76聚焦纖維透鏡還可以用作光開關(guān)，光開關(guān)是使光信號從一條傳輸通道轉(zhuǎn)換到另一條傳輸通道的器件。這里介紹一種棱鏡移動機(jī)械式開關(guān),圖6.5.3所示的是用全反射棱鏡和聚焦纖維透鏡做成的一組轉(zhuǎn)換開關(guān)。圖6.5.3聚焦纖維透鏡光開關(guān)移至上方移動透鏡光波就在上方光纖和中間光纖中進(jìn)行耦合光就在中間光纖和下方光纖之間的耦合移至下方聚焦纖維透鏡還可以用作光開關(guān)，光開關(guān)是使光信號從一條傳輸通道77

2.波分復(fù)用器波分復(fù)用器是使大量的光信道以不同波長在一根光纖中傳播的技術(shù)目前光纖通信中使用的波分復(fù)用方法較先進(jìn)的是密集波分復(fù)用。例如在1.55μm波段的1540~1565nm之間使用32各波道，每個(gè)波道之間間隔在1nm左右，使光纖通信的傳輸容量提高幾十倍。根據(jù)波長敏感元件，一種是采用干涉濾光片的波分復(fù)用器，如圖6.5.4所示。圖6.5.4干涉濾光片型波分復(fù)用器這種結(jié)構(gòu)緊湊、穩(wěn)定而且容易制作。缺點(diǎn)是復(fù)用路數(shù)不多2.波分復(fù)用器波分復(fù)用器是使大量的光信道以不同波長在一根光78另一種是衍射光柵型復(fù)用器的結(jié)構(gòu)如圖6.5.5所示。聚焦纖維透鏡一端有光柵，另一端與輸入輸出光纖對準(zhǔn)。光束從光纖入射聚焦纖維透鏡后變成準(zhǔn)直光束，再射入衍射光柵。衍射一個(gè)角度(各波長角度不同)后再通過聚焦纖維透鏡變成會聚光，然后分別耦合到不同的輸出光纖中。

圖6.5.5衍射光柵型波分復(fù)用器優(yōu)點(diǎn)：復(fù)用路數(shù)多，損耗低但一般只能作分路器，不能作合路器另一種是衍射光柵型復(fù)用器的結(jié)構(gòu)如圖6.5.5所示。聚焦纖維透79(6.5.1)6.5.2在復(fù)印機(jī)中的應(yīng)用對于橫向放大率m=1的聚焦纖維透鏡，在式(6.3.16)中，設(shè)L=，則有:這里一旦加上正立、倍、實(shí)像的條件，圖6.5.6表示與L的關(guān)系曲線。從6.5.6可知，透鏡長必須介于π和2π之間，把這種透鏡排列成直線形式，就可以進(jìn)行1:1的圖像變換。圖6.5.6與L的關(guān)系曲線(6.5.1)6.5.2在復(fù)印機(jī)中的應(yīng)用對于橫向放大率m80以前，一直使用著將3塊球面透鏡組合的方法，在傳送大幅圖像時(shí)，就需要將作用距離放長。為了得到1:1的目標(biāo)像，其共軛長度一般是焦距的四倍。采用聚焦纖維透鏡陣列后可大大地縮短其共軛長度如圖6.5.7所示圖6.5.7聚焦纖維透鏡共軛長度以前，一直使用著將3塊球面透鏡組合的方法，在傳送大幅81聚焦纖維用熱拉伸的辦法可做成錐形聚焦纖維透鏡。在垂直于軸的任意截面上，它的折射率仍呈拋物線分布，可用下式表示:這里r=r1-kz，k=(r1-r2)/z，r1、r2是錐形透鏡兩端的半徑，z是長度。如圖6.30所示。6.5.3錐形聚焦纖維的應(yīng)用(6.5.2)6.5.3錐形聚焦纖維的應(yīng)用(6.5.2)82圖6.30錐形聚焦纖維示意圖錐形聚焦纖維可用作光耦合器，多路復(fù)用等場合。還可以用作傳光，比普通光纖優(yōu)越的地方在于，它傳送的波前不被擾亂，這樣就保證了超高速光脈沖低畸變傳送。同時(shí)，聚焦纖維外表的缺陷不影響光傳送。聚焦纖維透鏡課件83r1/r2=25，λ=632.8

，α=0.4%。光二極管接收單位面積光強(qiáng)可大大增加。聚焦纖維透鏡課件84第六

章

聚焦纖維透鏡第六章

聚焦纖維透鏡85前言§6.1聚焦纖維透鏡的折射率分布§6.2聚焦纖維中的光線軌跡§6.3聚焦纖維透鏡成像特性§6.4聚焦纖維透鏡的像差及測量§6.5聚焦纖維透鏡的應(yīng)用內(nèi)容提要內(nèi)容提要86均勻介質(zhì)傳像光纖集束技術(shù)光纖圖像傳輸位相變換器傳統(tǒng)光學(xué)工程:

光學(xué)玻璃、塑料，折射率梯度為零。非均勻介質(zhì)梯度折射率平板

——棱鏡前言均勻介質(zhì)前言87徑向梯度折射率分布——透鏡

軸對稱層狀梯度折射率平板——柱透鏡光線沿光纖作正弦曲線變化，這樣不僅較階躍光纖損耗小，而且避免了階躍光纖中不同模傳播速度不同的弊病。非均勻介質(zhì)光線軌跡滿足費(fèi)馬原理:ds:沿A—B微分元。梯度折射率光學(xué)徑向梯度折射率分布——透鏡梯度折射率光學(xué)88軌跡:x(s)、y(s)、z(s)非均勻介質(zhì)中的光線方程軌跡:x(s)、y(s)、z(s)89聚焦纖維透鏡課件90聚合物光纖自聚焦透鏡陣列進(jìn)行梯度聚合物光纖的元器件如梯度折射光纖透鏡的研制，對其成像和像差等相關(guān)特性的研究，在掃描儀、復(fù)印機(jī)等設(shè)備中得以應(yīng)用。同時(shí)該研究對提高局域網(wǎng)用聚合物梯度折射率光纖的帶寬和質(zhì)量具有重要意義聚合物光纖自聚焦透鏡陣列進(jìn)行梯度聚合物光纖的元器件如梯度折射91聚焦纖維透鏡課件92聚焦纖維透鏡課件93光纖傳感斐索自聚焦光纖透鏡干涉儀光纖傳感斐索自聚焦光纖透鏡干涉儀94光源元、器件探測器單位量級幾何光學(xué)固體、氣體激光器透鏡、光具座光電信倍管、攝像機(jī)米、分米微型光學(xué)LD、LEDGRIN、衍射光學(xué)元件PDcm集成光學(xué)LED、DFB波導(dǎo)器件、光子晶體PDμm納米光學(xué)納米光源納米波導(dǎo)遠(yuǎn)近場耦合、近場探針nm光源元、器件探測器單位量級幾何光學(xué)固體、氣體激光器透鏡、光具95SI與GIPOF的色散機(jī)制SI與GIPOF的色散機(jī)制961.25Gbps梯度折射率光纖

（傳輸實(shí)驗(yàn))

圖1GI聚合物光纖損耗特性圖2GI聚合物光纖1.25Gbps梯度折射率光纖

（傳輸實(shí)驗(yàn))

圖1G97圖350G示波器測量的1.25Gbps電調(diào)制信號眼圖圖350G示波器測量的1.25Gbps電調(diào)制信號眼圖98圖4直接調(diào)制650nmLD的1.25Gbps光信號眼圖（Backtobackeyediagram）圖4直接調(diào)制650nmLD的1.25Gbps光信號99(6.1.1)圖6.1.1光線通過聚焦纖維的軌跡(6.1.1)圖6.1.1光線通過聚焦纖維的軌跡100式中n(0)為纖維軸上折射率，

為光線離軸線最大距離，θ是光線與z軸之間的夾角，

是光線最大振幅處的折射率(6.1.2)可將式(6.1.2)改寫成:由于dr/dz表示路徑曲線在某點(diǎn)切線的斜率，所以有:(6.1.3)(6.1.4)式中n(0)為纖維軸上折射率，為光線離軸線最大距離，θ101將方程(6.1.5)代入式(6.1.6)可得:因?yàn)楣饩€在纖維中的軌跡是彎曲的，如果是一種正弦振蕩，即:(6.1.7)(6.1.6)由此可求得光線的微元ds(6.1.5)(6.1.8)將方程(6.1.5)代入式(6.1.6)可得:因?yàn)楣饩€在纖維102

考慮到z=0時(shí)，。所以(6.1.9)這里而由式(6.1.5)和式(6.1.10)有:(6.1.10)(6.1.11)(6.1.9)這里而由式(6.1.5)和式(6.1.10)有103(6.1.14)由此可得:(6.1.12)將式(6.1.7)和式(6.1.12)代入式(6.1.1)，則有:令，則式(6.1.13)變換后再進(jìn)行積分，結(jié)果是:(6.1.14)由此可得:(6.1.12)將式(6.1.7)104說明在軸上一點(diǎn)所發(fā)出的近軸光線聚焦在z≈l的一點(diǎn)。對于近軸情況，方程(6.1.12)折射率分布函數(shù)為:(6.1.15)(6.1.16)上式分布稱為拋物線型分布，通常用作波導(dǎo)的梯度折射率光纖的折射率是按拋物線分布沿徑向遞減的。如果假定折射率分布是一種雙曲函數(shù)形式，即:說明在軸上一點(diǎn)所發(fā)出的近軸光線聚焦在z≈l的一點(diǎn)。對于近軸情105在上式中，令，則式(6.1.18)就為:(6.1.18)由方程(6.1.2)和(6.1.17)有:用這種分布函數(shù)，方程(6.1.1)就為:(6.1.20)(6.1.19)在上式中，令106因此式(6.19)就變?yōu)?很顯然，該式對為任何值的光線均符合說明軸上點(diǎn)所發(fā)出的任何子午光線均聚焦在沿軸距離

處。式(6.1.17)為子午精確分布式。很清楚，當(dāng)時(shí)，方程(6.1.17)簡化為方程(6.1.16)。所以(6.1.22)對于螺旋光線(即以螺旋型路線通過纖維而離纖維軸距離保持不變的一種光線)，行進(jìn)路程中的折射率是不變的。為了滿足路程長度不變，光線在每繞軸一圈時(shí)必須沿軸行進(jìn)距離，光線可以在一平面上展成一直線，路程的長度等于因此式(6.19)就變?yōu)?很顯然，該式對為任何值的光107所以路程長度不變的條件為:

(a)(b)圖6.1.2螺旋型空間光線及展開即(6.1.24)(6.1.23)所以路程長度不變的條件為:108這就是螺旋光線的精確分布式。由此可知，對于子午光線是理想的折射率分布而對于螺旋光線就不是理想的，反過來也一樣。所以要建立完全理想的成像系統(tǒng)是不可能的。

通常只考慮子午光線，只要不把嚴(yán)格的成像系統(tǒng)作為問題，即使忽略

以上的高次項(xiàng)，在計(jì)算成像時(shí)也沒有問題。因此，折射率分布都可近似為二次拋物線分布，和公式(6.1.16)是相同的。這就是螺旋光線的精確分布式。由此可知，對于子午光線是理想的折109為使公式簡單，上式把折射率沿徑向的變化n(r)表示為n，軸上折射n(0)表示為，A是折射率變化特性常數(shù)，r是纖維上某點(diǎn)至軸的距離。這里只考慮近軸的子午光線§6.2聚焦纖維中的光線軌跡聚焦纖維的折射率分布一般可用式(6.1.16)的近似式表示:(6.2.1)非均勻介質(zhì)中的光線方程為:式中r為光線路徑上點(diǎn)的位置矢量，s為沿光線上弧長，▽是梯度算符，如圖6.2.1所示。現(xiàn)在用直角坐標(biāo)來討論，仍取z為軸向，對近軸光線，ds近似于dz，則xoz平面內(nèi)的光線方程為:(6.2.2)(6.2.3)為使公式簡單，上式把折射率沿徑向的變化n(r)表示為n，軸上110(6.2.4)柱形纖維中的折射率對z軸對稱，式(6.2.1)可該寫成:(6.2.4)柱形纖維中的折射率對z軸對稱，式(6.2.1)111求導(dǎo)可得光線軌跡曲線得斜率:(6.2.6)(6.2.7)其中積分常數(shù)B、C可由初始條件確定。(6.2.5)它的通解即光線軌跡為:其中積分常數(shù)B、C可由初始條件確定。求導(dǎo)可得光線軌跡曲線得斜率:(6.2.6)(6.2.7)其中112(6.2.8)(6.2.10)設(shè)入射光線在聚焦點(diǎn)z=0處，以斜率

入射在x=點(diǎn)，則求得B=，C=/，代入式(6.2.6)和(6.2.7)，則有:軌跡曲線(6.2.8)也可改寫為:(6.2.9)由此可知，通常情況下子午光線的軌跡是一個(gè)初相位不為零的正弦曲線，入射的斜率越大，振幅r越大；而特性常數(shù)A越大，振幅r越小。所以，當(dāng)一般非平行于z入射時(shí)，為了使光線在軸線附近進(jìn)行，應(yīng)使A值大一些，也就是要使聚焦纖維透鏡的折射率變化快一些。(6.2.8)(6.2.10)設(shè)入射光線在聚焦點(diǎn)z=0處，以113下面對兩種入射情形作具體討論:(1)光線斜入射在聚焦纖維透鏡軸上的情形。在子午平面內(nèi)，設(shè)入射光線和聚焦纖維軸成角入射，進(jìn)入透鏡后與軸成

角，則有，這時(shí)光線軌跡方程為:下面對兩種入射情形作具體討論:(1)光線斜入射在聚焦纖維透鏡114曲線振幅為:可知這時(shí)光線在聚焦纖維透鏡中的軌跡是初位相為零的正弦曲線，如圖6.2.2所示(6.2.13)(6.2.12)圖6.2.2斜入射于軸上時(shí)光線的軌跡曲線振幅為:可知這時(shí)光線在聚焦纖維透鏡中的軌跡是初位相為零的115在聚焦纖維中光線軌跡的最大振幅：等于纖維的半徑即，故有:(6.2.16)(6.2.15)(6.2.17)在聚焦纖維中光線軌跡的最大振幅：等于纖維的半徑即116(6.2.18)這樣有：(6.2.20)所以可得:若，則近似有:(6.2.19)假定聚焦纖維邊緣折射率為，則:(6.2.21)(6.2.18)這樣有：(6.2.20)所以可得:若117特性常數(shù)A：知道了聚焦纖維半徑和折射率的最大差值△n值及中心折射率就能計(jì)算。顯然在折射率差值相等的條件下，纖維直徑越小，A值就越大。由于(6.2.22)得:(6.2.23)(6.2.24)所以由式(6.2.15)，有:如果介質(zhì)為空氣，則

=1，且△n<<1時(shí)，可近似有最大接收角:特性常數(shù)A：知道了聚焦纖維半徑和折射率的最大差值△118但是，需要指出的是聚焦纖維的數(shù)值孔徑是隨著入射光線的入射位置不同而變化的，也就是說入射在軸上時(shí)孔徑角最大，入射點(diǎn)離光軸越遠(yuǎn)，孔徑角變得越小，在透鏡邊緣處為零?？紤]到一般情況，數(shù)值孔徑可表示為:周期長度為:(6.2.26)(6.2.25)(6.2.27)當(dāng)=0，r=0時(shí)，數(shù)值孔徑最大。D=r/r0光線入射面與相對軸上子午面的角度但是，需要指出的是聚焦纖維的數(shù)值孔徑是隨著入射光線的入射位置119圖6.2.3平行入射時(shí)光線在聚焦纖維中的軌跡從方程可知，這時(shí)光線在聚焦纖維中的軌跡是余弦曲線，其振幅為初始入射位置，如圖6.2.3所示。如果要得到平行光線出射，則應(yīng)有:(6.2.29)(6.2.28)圖6.2.3平行入射時(shí)光線在聚焦纖維中的軌跡從方程可知，120顯然n應(yīng)取正整數(shù)。可知當(dāng)聚焦纖維的長度等于其半周期長的整數(shù)倍時(shí)入射平行光線出射時(shí)仍為平行光線。從圖6.2.4可以看出，當(dāng)聚焦纖維的長度等于其1/4周期長度的奇數(shù)倍時(shí)，入射光線若平行于軸，則出射光線將在聚焦纖維出射端的軸心處會聚。反之，若點(diǎn)光源置于1/4周期長度的聚焦纖維端面軸心處，則出射光線為平行光線。(6.2.30)(6.2.31)所以圖6.2.4出射光線平行于聚焦纖維軸的情況顯然n應(yīng)取正整數(shù)?？芍?dāng)聚焦纖維的長度等于其半周期長的整數(shù)倍121§6.3聚焦纖維透鏡的折射率分布聚焦纖維透鏡：聚焦纖維是一種新型的光線傳輸介質(zhì)，不同于普通的光纖，光線再聚焦纖維中的軌跡呈現(xiàn)正弦曲線或余弦曲線。對于沿軸向傳播的光線不改變方向，而對于與軸平行和與軸成一定角度的子午光線，聚焦纖維的作用是使光線有規(guī)則地與軸相交或離散，就像光學(xué)系統(tǒng)中的透鏡一樣，因此這種聚焦纖維能夠聚焦和成像。§6.3聚焦纖維透鏡的折射率分布聚焦纖維透鏡：聚焦纖維是122聚焦纖維透鏡課件123③b光線和軸成一定角度，其入射位置為x=0，斜率為進(jìn)入聚焦纖維透鏡后為。如果求得a，b光線出射處的位置和斜率，則能得出a，b光線出射后的直線方程，然后求得其交點(diǎn)，這樣像位置也就確定了①沿聚焦纖維透鏡入射的光線，進(jìn)入聚焦纖維透鏡后方向不變，沿軸出射②a光線平行于聚焦纖維透鏡軸，其入射位置為，斜率為零；根據(jù)前面所述，a的軌跡方程為:其斜率方程為：(6.3.1)(6.3.2)③b光線和軸成一定角度，其入射位置為x=0，斜率為①沿聚焦纖124a光線在聚焦纖維透鏡出射端的位移若為，斜率為，則出射后的斜率按近軸光線近似，所以a光線出射后的直線方程為:(6.3.4)(6.3.5)(6.3.3)或:設(shè)a，b光線在聚焦纖維透鏡外交于(L，x)點(diǎn)，則上式可改寫為:a光線在聚焦纖維透鏡出射端的位移若為，斜率為125(6.3.8)b光線若在聚焦纖維出射端的位移為

，斜率為

，則出射后的斜率為:同樣，b光線的軌跡和斜率方程為:(6.3.7)(6.3.6)所以b光線出射后其直線方程為:(6.3.9)(6.3.8)b光線若在聚焦纖維出射端的位移為，斜126以L代z’，同樣得交點(diǎn)處的關(guān)系式為:聯(lián)立兩點(diǎn)處的關(guān)系式(6.3.5)和(6.3.11)，用行列式解得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)L和x為:(6.3.10)(6.3.11)即:(6.3.12)以L代z’，同樣得交點(diǎn)處的關(guān)系式為:聯(lián)立兩點(diǎn)處的關(guān)系式(6.127(6.3.13)所以可求得:(6.3.14)(6.3.15)(6.3.13)所以可求得:(6.3.14)(6.3.15)128(6.3.16)此處即為物距，L為像距，

為物高。線放大率m定義為像高和物高之比，即:其中，L>0為實(shí)像，L<0為虛像；m>0為正立像，m<0為倒立像；|m|>1為放大像，|m|<1為縮小像。由此就能基本成像公式來討論聚焦纖維透鏡的像特點(diǎn)

焦點(diǎn)：假設(shè)有一段長度為z的聚焦纖維透鏡，當(dāng)光線平行于其軸入射時(shí)，其初始位置為x=，斜率為p=0，此光線經(jīng)過纖維透鏡傳遞后，其出射光線和軸線交于一點(diǎn)，此點(diǎn)即為焦點(diǎn)。(6.3.16)此處即為物距，L為像距，為物高129焦距：焦點(diǎn)到主點(diǎn)的距離。下面利用幾何光學(xué)的理想光具組的概念，來分析自聚焦透鏡的焦點(diǎn)和主平面位置，并導(dǎo)出焦距公式，在討論中，設(shè)纖維透鏡置于空氣中。圖6.3.2聚焦纖維透鏡焦點(diǎn)位置的確定焦距：焦點(diǎn)到主點(diǎn)的距離。下面利用幾何光學(xué)的理想光具組的概念，130(6.3.17)(6.3.19)設(shè)焦點(diǎn)位置到出射端面的距離為s，由仍考慮近軸光線，且設(shè)周圍介質(zhì)為空氣，仍有前面已用過的近似關(guān)系:于是有:(6.3.21)從圖6.8中可知出射光線的位置為:(6.3.18)(6.3.20)(6.3.17)(6.3.19)設(shè)焦點(diǎn)位置到出射端面的距離為131公式(6.3.21)和(6.3.22)都說明焦點(diǎn)位置是隨著聚焦纖維透鏡的特征常數(shù)A和長度z而變化的，圖6.3.3是方程(6.3.22)的圖解表示。同樣可由焦距定義求出焦距f，由得:得:(6.3.23)(6.3.22)公式(6.3.21)和(6.3.22)都說明焦點(diǎn)位置是隨著聚132

圖6.3.3聚焦纖維透鏡長度和焦距之間的關(guān)系利用公式(6.3.14)可以討論聚焦纖維透鏡幾種特殊成像情況:圖6.3.3聚焦纖維透鏡長度和焦距之間的關(guān)系利用公式(6133(6.3.24)(6.3.25)

(1)如成像在無限遠(yuǎn)處，即L→∞，則式(6.3.14)中分母必為零，故有:顯然就是焦點(diǎn)的位置s，說明當(dāng)物距等于焦點(diǎn)位置s時(shí)，目標(biāo)成像于無限遠(yuǎn)處。即:(6.3.24)(6.3.25)(1)如成像在無限遠(yuǎn)處，即134(6.3.27)

(2)如成像在出射端面上，即L=0，有:(6.3.26)(3)如成像在主平面位置上，即線放大率|m|=1的位置上，則由公式(6.3.15)可定出物距，此處用h代替。若m=1，則:上述的一些公式除了焦距f是以主點(diǎn)為基準(zhǔn)外，其余的公式都是以端面為基準(zhǔn)。(6.3.27)(2)如成像在出射端面上，即L=0，有:(135(6.3.28)如果把物距和像距L也表示成以主點(diǎn)為基準(zhǔn)的公式，就可得到以主點(diǎn)為基準(zhǔn)得物距

和像距

為:(6.3.29)于是我們得到:(6.3.30)這和光學(xué)透鏡成像公式是一致的。(6.3.28)如果把物距和像距L也表示成以主點(diǎn)為136圖6.3.4以z為變量的正弦和余弦曲線成像特性：聚焦纖維透鏡的長度z在相當(dāng)大的程度上決定著它的，成像情況。把聚焦纖維透鏡的一個(gè)周期長度分成四個(gè)區(qū)域和四個(gè)特殊點(diǎn)分別來討論。關(guān)于為變量的正弦和余弦曲線我們表示于圖6.3.4。圖6.3.4以z為變量的正弦和余弦曲線成像特性：聚焦纖137利用這個(gè)圖和式(6.3.14)和(6.3.15)我們就能定出成像的性質(zhì):是實(shí)像還是虛像，是正立像還是倒立像等等。(1)在時(shí)，，。當(dāng)時(shí)，有L>0，m<0，為倒立的實(shí)像；當(dāng)時(shí)，有L<0，m>0，為正立的虛像，如圖6.3.5所示。當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)L→∞，成像在無限遠(yuǎn)處。圖6.11聚焦纖維透鏡長度小于1/4周期的成像利用這個(gè)圖和式(6.3.14)和(6.3.15)我們就能定出138(3)在時(shí)，

當(dāng)時(shí)，有L<0，m<0，為倒立的虛像；

當(dāng)即：L=0，故成像在出射端面上.圖6.3.5聚焦纖維透鏡長度等于1/4周期的成像(3)在139當(dāng)時(shí)，有L>0，m<0，為倒立的實(shí)像，如圖6.3.6所示圖6.3.6聚焦纖維透鏡長度在1/4~1/2周期之間的成像當(dāng)140(4)在時(shí)，，

。此時(shí)有L=<0，m=-1，故為倒立的放大率為1的虛像。當(dāng)=0時(shí),L=0，m=-1，故倒立成像在出射端面，放大率為1，如圖6.3.7所示。圖6.3.7聚焦纖維透鏡長度為1/2周期的成像(4)在時(shí)，141(5)在時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有L>0，m>0，為正立實(shí)像；當(dāng)時(shí)，L<0，m<0，為倒立的虛像；為圖6.3.8所示。當(dāng)時(shí)，同樣成像在無窮遠(yuǎn)處。圖6.3.8聚焦纖維透鏡長度為1/2~3/4周期(5)在142

(6)在時(shí)，，此時(shí)有L>0，m>0，為正立的實(shí)像。如圖6.3.9所示。圖6.3.9聚焦纖維透鏡長度為3/4周期的成像(6)在時(shí)，143(7)在時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有L<0，m>0，為正立的虛像。當(dāng)時(shí)，同樣此時(shí)成像在端面上，為正像。當(dāng)時(shí)，有L>0，m>0，為正立的實(shí)像。如圖6.3.10所示圖6.3.10聚焦纖維透鏡長度為3/4~1周期的成像(7)在144圖6.3.11聚焦纖維透鏡長度為1個(gè)周期的成像(8)在時(shí)，，。此時(shí)有L=-<0，m=1，故為正立的放大率為1的虛像；當(dāng)物距=0，兩端面共軛，在端面成一個(gè)放大率為1的正像。圖6.3.11聚焦纖維透鏡長度為1個(gè)周期的成像(8)在145通過以上研究，可以看出自聚焦透鏡成像的另一些優(yōu)點(diǎn):1?？梢栽谕哥R端面上形成實(shí)像，2。容易獲得與物體同樣大小的直立實(shí)像，3。能夠得出在光學(xué)成像上相當(dāng)于幾個(gè)球透鏡的單個(gè)透鏡，通過以上研究，可以看出自聚焦透鏡成像的另一些優(yōu)點(diǎn):1?？梢栽?46(6.4.2)(6.4.1)§6.4聚焦纖維透鏡的像差及測量聚焦纖維透鏡，無論其折射率是拋物線分布:還是雙曲線分布:像差光學(xué)系統(tǒng)并不能使來自物點(diǎn)的全部光線都會聚于一點(diǎn)也不能使像與物的形狀完全相似球差慧差像散綜合高級像差場曲畸變都會產(chǎn)生像差(6.4.2)(6.4.1)§6.4聚焦纖維透鏡的像差及147這里僅討論自聚焦透鏡的球差，如圖6.4.1所示，從物平面上點(diǎn)追跡一條實(shí)際光線，求得其在理想面上的交點(diǎn)，改交點(diǎn)到軸的距離TA’稱為這條光線對于近軸光線的橫向球差，而這條實(shí)際光線與光軸的交點(diǎn)到理想像面的距離LA’稱為這條光線的縱向球差，顯然LA’可能是正的也可能是負(fù)的圖6.4.1透鏡的球差這里僅討論自聚焦透鏡的球差，如圖6.4.1所示，從148(6.4.4)其中為近軸光線與光軸的交點(diǎn)到出射端的距離，為實(shí)際光線與光軸交點(diǎn)到出射端的距離。(6.4.3)而:

單獨(dú)存在球差時(shí)的波像差初級項(xiàng)可表示成:(6.4.5)式中第二項(xiàng)是考慮進(jìn)離焦時(shí)的波面誤差。測量普通光學(xué)透鏡像差通常有刀口法和哈德曼法，由于自聚焦透鏡口徑小，僅有1~2mm，用上述方法很不方便，所以這里介紹一種用全息雙頻光柵測量自聚焦透鏡像差的方法。(6.4.4)其中為近軸光線與光軸的交點(diǎn)到出射端的距149(6.4.7)全息雙頻光柵測量方法：全息雙頻光柵是用雙曝光技術(shù)，在全息干板上記錄兩套空間頻率像差甚微的正弦光柵。這樣入射光波面在兩套光的±1級衍射方向上就被剪切開了一個(gè)小量，產(chǎn)生波面剪切干涉。對兩套空間周期分別為

和

的光柵雙頻光柵對入射光波面的角剪切量有:(6.4.6)定義其拍頻的空間周期d’為:(6.4.7)全息雙頻光柵測量方法：全息雙頻光柵是用雙曝光技150(6.4.8)若觀察屏到光柵的軸間距離為z，則橫向剪切量:對旋轉(zhuǎn)對稱光學(xué)系統(tǒng)，可只對其中一個(gè)方向進(jìn)行剪切，這時(shí)式(6.4.5)波像差函數(shù)可寫成:由剪切引起的在觀察屏上某點(diǎn)x’處形成干涉的兩相干光線x1和x2的光程差(如圖6.4.2所示)為:(6.4.9)(6.4.10)(6.4.8)若觀察屏到光柵的軸間距離為z，則橫向剪切量:對151圖6.4.2雙頻光柵測透鏡像差原理圖在觀察平面上，暗條紋處每點(diǎn)對應(yīng)一對光程差為λ/2奇數(shù)倍的相干光線，亮條紋則為偶數(shù)倍。其中，暗條紋或亮條紋的位置坐標(biāo)x’按下式求得:(6.4.11)圖6.4.2雙頻光柵測透鏡像差原理圖在觀察平面上，暗條紋處每152通過對第n級暗(亮)條紋及其位置坐標(biāo)x’的追跡，可以得出數(shù)組式(6.4.10)的方程組，兩兩聯(lián)立求得數(shù)組

和

，最后取式(6.4.10)中的系數(shù)a和b分別為數(shù)組

和

的平均值，記為和:這樣，對應(yīng)不同位置坐標(biāo)x’處的干涉現(xiàn)場中的條紋間距Δx’可以按下面方法計(jì)算:(6.4.13)(6.4.12)相對于位置坐標(biāo)x’，由幾何關(guān)系可以求出

和

，對應(yīng)一個(gè)x’值，有一組A，B的值.通過對第n級暗(亮)條紋及其位置坐標(biāo)x’的追跡，可以得出數(shù)組153圖6.4.3測量自聚焦透鏡像差的剪切干