不定方程-利潤(rùn)率相關(guān)問題（教師版）

不定方程一一利潤(rùn)率問題1.一家快餐店銷售A8、C三種套餐，其中A套餐包含一葷兩素，B套餐包含兩葷一素，C套餐包含兩葷兩素，每份套餐中一葷的成本相同，一素的成本也相同，己知一份C套餐的售價(jià)是一份A套餐和一份8套餐售價(jià)之和的，一天下來，店長(zhǎng)發(fā)現(xiàn)A套餐和8套餐的銷量相同，且A8套餐的利潤(rùn)和是C套餐利潤(rùn)的兩倍，當(dāng)天的總利潤(rùn)率是60%.第二天店內(nèi)搞活動(dòng)，C套餐的售價(jià)打五折，AB套餐的售價(jià)均不變，當(dāng)4、B、C三種套餐的銷量相同時(shí)，總利潤(rùn)率為.【答案】28%【解析】【分析】設(shè)葷菜的成本為，〃元，素菜的成本為〃元，葷菜的利潤(rùn)率為X,素菜的利潤(rùn)率為y,A套餐和B套餐的數(shù)量為。份，C套餐的數(shù)量為b份，根據(jù)48套餐的利潤(rùn)和是C套餐利潤(rùn)的兩倍得到6 再根據(jù)當(dāng)天的總利潤(rùn)率是60%可求得〃u+〃)，=0.6(“+〃)，進(jìn)而求出一份4、8、C的售價(jià)，設(shè)A、B、C三種套餐的銷量都為“分，根據(jù)新的售價(jià)列出總利潤(rùn)率的代數(shù)式，將代數(shù)式化簡(jiǎn)即可求得答案.【詳解】解：設(shè)一份葷菜的成本為由元，一份素菜的成本為〃元，一份葷菜的利潤(rùn)率為x,一份素菜的利潤(rùn)率為y,A套餐和8套餐的數(shù)量為a份，C套餐的數(shù)量為6份，：A8套餐的利潤(rùn)和是C套餐利潤(rùn)的兩倍，3(nvc+ny)*a=2x2(//u*+ny)b,整理得：八J%4:當(dāng)天的總利潤(rùn)率是60%,3("it+〃y>a+2("ix+"y>6=60%-[3(，”+〃>a+2(ni+〃>6],整理得nvc+ny=Q.6(m+n),；?一份A套餐和一份8套餐售價(jià)之和為3，”(l+x)+3〃(l+y)=3[(，”+")+(/nr+〃y)]=4.8(m+〃)元，2???一份C套餐的售價(jià)是一份A套餐和一份B套餐售價(jià)之和的:，2，一份C套餐的售價(jià)為§x4.8(,〃+〃)=3.2(m+〃)元，?.?第二天店內(nèi)搞活動(dòng)，C套餐的售價(jià)打五折，A,8套餐的售價(jià)均不變，，第二天的一份A套餐和一份3套餐售價(jià)之和為4.8(m+”)元，一份C套餐的售價(jià)為1.6(,〃+〃)元，VAB、C三種套餐的銷量相同，...設(shè)A、B、C三種套餐的銷量都為r份，則總利潤(rùn)率為：TOC\o"1-5"\h\zt-4.8(m+n)+r-1.6(/n+ri) 13/?(/n+/?)+21? +n)t-6.4?！?n)- 15/?(/w+n)=1.28-1=0.28=28%,故答案為：28%.【點(diǎn)睛】本題綜合性較強(qiáng)，考查了營(yíng)銷問題中的利潤(rùn)問題，用利潤(rùn)的基本等量關(guān)系列出關(guān)系式，設(shè)出相應(yīng)的未知數(shù)，根據(jù)利潤(rùn)率=利潤(rùn)?成本=售價(jià)?成本-1是解決本題的關(guān)鍵.2.疫情期間，為了降低外出感染風(fēng)險(xiǎn)，各大超市開通了送貨到小區(qū)的便民服務(wù).某超市推出A、&C三種蔬菜，并將A、8、C三種蔬菜搭配、裝袋，采用甲、乙、丙三種袋裝進(jìn)行銷售.已知每袋的成本分別為袋中A、B、C=種蔬菜的成本之和，且袋子的成本忽略不計(jì).每袋甲分別裝A、8、C三種蔬菜3斤、1斤、1斤，每袋乙分別裝4、B、C三種蔬菜1斤、2斤、2斤.每袋甲的總成本是每斤4成本的12倍，每袋甲的利潤(rùn)率為25%.每袋甲比每袋乙的售價(jià)低25%.每袋丙在成本上提高40%標(biāo)價(jià)后打八折銷售，每袋的獲利為每斤A成本的1.2倍.當(dāng)銷售甲、乙、丙三種袋裝蔬菜的數(shù)量之比為1：2：5時(shí)，則銷售的總利潤(rùn)率為.【答案】11%【解析】【分析】分別設(shè)每斤A、B、C三種蔬菜的成本為服從c,設(shè)丙每袋成本為膽，然后根據(jù)題意將甲、乙、丙三種袋裝的每袋成本和利潤(rùn)用〃表示出來即可求解.【詳解】解：設(shè)每斤A、B、C三種蔬菜的成本分別為a、b、c,依題意得：3a+b+c=12a,.,.b+c=9a,二每袋甲的銷售利潤(rùn)=12a?25%=3a,二每袋甲的銷售價(jià)為：12a+3a=15a,依題意得，乙種袋裝每袋成本=a+2加2c=a+18a=19a,?.?每袋甲比每袋乙的售價(jià)低25%,,乙種袋裝每袋售價(jià)=15a+(1-25%)=20a,每袋乙的銷售利潤(rùn)=20a-19a=a,設(shè)每袋丙成本為/”，依題意得：，〃(1+40%)*0.8-m=l.2a,解得m=10a.

???當(dāng)銷售甲、乙、丙三種袋裝蔬菜的數(shù)量之比為1：2：5時(shí)，總成本為：1+194?2+10〃?5=1（）0。，總利潤(rùn)為：3〃?1+。為+1.2。?5=11小銷售的總利潤(rùn)率為^-x100%=11%,10067故答案為：11%.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.3.2021年11月2日，重慶市九龍坡區(qū)、長(zhǎng)壽區(qū)分別新增1例新冠本土確診.當(dāng)疫情出現(xiàn)后，各級(jí)政府及有關(guān)部門高度重視，堅(jiān)決阻斷疫情傳播.開州區(qū)趙家工業(yè)園區(qū)一家民營(yíng)公司為了防疫需要，引進(jìn)一條口罩生產(chǎn)線生產(chǎn)口罩，該產(chǎn)品有三種型號(hào)，通過市場(chǎng)調(diào)研后，按三種型號(hào)受消費(fèi)者喜愛的程度分別對(duì)A型、8型、C型產(chǎn)品在成本的基礎(chǔ)上分別加價(jià)20%,30%,45%出售（三種型號(hào)的成本相同）.經(jīng)過一個(gè)月的經(jīng)營(yíng)后，發(fā)現(xiàn)C型產(chǎn)品的銷量占總銷量的]，且三種型號(hào)的總利潤(rùn)率為35%.第二個(gè)月，公司決定對(duì)A型產(chǎn)品進(jìn)行升級(jí)，升級(jí)后A型產(chǎn)品的成本提高了25%,銷量提高了20%；8型、C型產(chǎn)品的銷量和成本均不變，且三種產(chǎn)品在第二個(gè)月成本基礎(chǔ)上分別加價(jià)20%,30%,50%出售，則第二個(gè)月的總利潤(rùn)率為.【答案】34%【解析】【分析】由題意得出A型、B型、C型三種型號(hào)產(chǎn)品利潤(rùn)率分別為20%,30%,45%,設(shè)A型、B型、C型三種型號(hào)產(chǎn)品原來的成本為小A產(chǎn)品原銷量為x,8產(chǎn)品原銷量為y,C產(chǎn)品原銷量為z,由題意列出方程組，解得卜=3）第二[y=z個(gè)月A產(chǎn)品成本為（1+25%） a,B、C的成本仍為a,A產(chǎn)品銷量為（1+20%）x=^x,8產(chǎn)品銷量為y,C產(chǎn)4 5品銷量為z,則可求得第二個(gè)月的總利潤(rùn)率.【詳解】解：由題意得：A型、B型、。型三種型號(hào)產(chǎn)品利潤(rùn)率分別為20%,30%,45%,設(shè)A型、8型、C型三種型號(hào)產(chǎn)品原來的成本為mA產(chǎn)品原銷量為x,8產(chǎn)品原銷量為y,C產(chǎn)品原銷量為z,20%ar+30%ny+45%az=35%n（x+y+z）h' 3, 、 ，,（x+y+z）=z解得:1x=z3,y=z解得:5第二個(gè)月A產(chǎn)品的成本提高了25%,成本為：（1+25%）a=-a,B、C的成本仍為a,4A產(chǎn)品銷量為（1+20%） 8產(chǎn)品銷量為y,。產(chǎn)品銷量為z,???第二個(gè)季度的總利潤(rùn)率為：20%x；°x：x+30%ay+45%〃z5~~6axx+ay+az4 5_0.3x4-0.3y+0.45z1.5x+y+z0.3xz4-0.3z4-0.45z33=0.34=34%.故答案為：34%.【點(diǎn)睛】本題考查了利用三元一次方程組解實(shí)際問題，正確理解題意，設(shè)出未知數(shù)列出方程組是解題的關(guān)鍵.4.沁園銷售A、B、。三種型號(hào)的蛋糕，三月份每個(gè)4型蛋糕售價(jià)比成本高10%,每個(gè)B型蛋糕售價(jià)比成本高50%,每個(gè)C型蛋糕售價(jià)是成本的2倍，經(jīng)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)三月份三種類型的蛋糕總利潤(rùn)率為25%；四月份B型蛋糕成本降為三月的80%,但售價(jià)仍比四月份成本高50%,結(jié)果銷量比三月B型蛋糕少］,而。型蛋糕成本不變，售9 1價(jià)是三月份售價(jià)的5,結(jié)果銷量比三月C型蛋糕多;，若四月份A型蛋糕成本、售價(jià)、銷量均與三月份A型蛋糕10 4相同，且四月份8、C型號(hào)蛋糕總利潤(rùn)率為60%,則四月份A、C型號(hào)蛋糕的總利潤(rùn)率為.(總利潤(rùn)率=總利潤(rùn)+總成本)【答案】16%【解析】【分析】設(shè)三月份4、B、C三種型號(hào)的每個(gè)蛋糕的成本分別為x,y,z,則每個(gè)A型蛋糕售價(jià)為1.lx,每個(gè)8型蛋糕售價(jià)為L(zhǎng)5y,每個(gè)C型蛋糕售價(jià)為2z；四月份A、B、C三種型號(hào)的每個(gè)蛋糕的成本分別為x,0.8y,z,A、B、C三種9 ,型號(hào)的每個(gè)蛋糕的售價(jià)分別為1.lx,1.5xO.8y,—z；設(shè)三月份4、B、C三種型號(hào)蛋糕的銷量分別為a,h,c,則四月份A、B、C三種型號(hào)蛋糕的銷量分別為a,(l-J)b,(1+y)c；利用三月份三種類型的蛋糕總利潤(rùn)率為25%和四月份8、C型號(hào)蛋糕總利潤(rùn)率為60%,列出方程組，得出關(guān)系式即可得出結(jié)論.【詳解】解：設(shè)三月份A、B、C三種型號(hào)的每個(gè)蛋糕的成本分別為x,y,z,則每個(gè)4型蛋糕售價(jià)為1.lx,每個(gè)8型蛋糕售價(jià)為l.5y,每個(gè)C型蛋糕售價(jià)為2z；

四月份A、B、C三種型號(hào)的每個(gè)蛋糕的成本分別為x,0.8y,z,9A、8、C三種型號(hào)的每個(gè)蛋糕的售價(jià)分別為1.lx四月份A、B、C三種型號(hào)的每個(gè)蛋糕的成本分別為x,0.8y,z,9A、8、C三種型號(hào)的每個(gè)蛋糕的售價(jià)分別為1.lx,1.5xO.8y=1.2y,—x2z；設(shè)三月份A、B、C三種型號(hào)蛋糕的銷量分別為小仇c,3 5 1 5則四月份4、B、C三種型號(hào)蛋糕的銷量分別為〃，（1-b"b，（1+t）c=-c；8 8 4 4??,三月份三種類型的蛋糕總利潤(rùn)率為25%,四月份3、C型號(hào)蛋糕總利潤(rùn)率為60%,a(l.lx-x)+Z>(1.5y-y)+c(2z-z) =Z.J/Qar+力+cz5Ml.2y-0.8y)810=60%整理得:0.8yx-fo4-zx-c

.8 40.6ar=by+3czby=5cz40???四月份A、。型號(hào)蛋糕的總利潤(rùn)率為:0.\ax+cz5ax+—cz4竺cz+以

340 5=16%—CZ+—CZ3 4故答案為：16%.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三元一次方程組的使用，解題的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確找到等量關(guān)系列出方程求解.5.重陽(yáng)佳節(jié)來臨之際，某糕點(diǎn)店對(duì)桂圓味、核桃味、綠豆味重陽(yáng)糕（分別記為A,B,C）進(jìn)行混裝，推出了甲乙兩種盒裝重陽(yáng)糕.盒裝重陽(yáng)糕的成本是盒中所有A,B,C的成本與盒裝包裝成本之和.每盒甲裝有6個(gè)A,2個(gè)B,2個(gè)C,每盒乙裝有2個(gè)A,4個(gè)8,4個(gè)C.每盒甲中所有4,B,C的成本之和是1個(gè)A成本的15倍，每盒乙的盒裝包裝成本是每盒甲的盒裝包裝成本的;倍，每盒乙的利潤(rùn)率為20%.每盒乙的售價(jià)比每盒甲的售價(jià)高20%.當(dāng)該店銷售這兩種盒裝重陽(yáng)糕的總銷售額為31000元，總利潤(rùn)率為24%時(shí)，銷售甲種盒裝重陽(yáng)糕的總利潤(rùn)是一元.【答案】2500.【解析】【分析】設(shè)A的單價(jià)為x元，8的單價(jià)為y元，C的單價(jià)為z元，求出乙每盒的重陽(yáng)糕的成本是甲每盒的重陽(yáng)糕的成本的設(shè)甲每盒的成本為加，則乙每盒的成本為當(dāng)銷售這兩種盒裝重陽(yáng)糕的銷售利潤(rùn)率為24%時(shí)，該店銷售甲的銷售量為。盒，乙的銷售量為6盒，根據(jù)題意列出方程，即可得出結(jié)果.【詳解】解：設(shè)A的單價(jià)為x元，8的單價(jià)為y元，。的單價(jià)為z元，當(dāng)銷售這兩種盒裝重陽(yáng)糕的銷售利潤(rùn)率為24%時(shí)，該店銷售甲的銷售量為。盒，乙的銷售量為方盒，甲每盒裝的重陽(yáng)糕的成本是：15x=6x+2y+2z,化簡(jiǎn)得：y+z=4.5x,乙每盒裝的重陽(yáng)糕的成本是：2x+4y+4z=2x+4(y+z)=2x+4X4.5x=20x,..20x_4?——=—，TOC\o"1-5"\h\z15x 34，乙每盒的重陽(yáng)糕的成本是甲每盒的重陽(yáng)糕的成本的1,一 ,4??,每盒乙的盒裝包裝成本是每盒甲的盒裝包裝成本的1倍，一 _ 4???乙每盒的成本是甲每盒的成本的,4設(shè)甲每盒的成本為加，則乙每盒的成本為§也4乙每盒的售價(jià)為：(1+20%)=1.6/72,???每盒乙的售價(jià)比每盒甲的售價(jià)高20%,TOC\o"1-5"\h\z16/77 4-甲每盒的售價(jià)為：/黑7=?5，1+20% 3根據(jù)甲乙的利潤(rùn)得：4 . 4 4 、(一/〃-〃？)。+(1.6/77 m)b=(nia+—mb)X24%,3 3化簡(jiǎn)得：0.285=0.16mb,*/yina-^1.6mb=31000,4 7—ma+1.6mX—67=31000,3 4解得：/to=7500,人 4 1 1，銷售甲種品裝重陽(yáng)糕的總利潤(rùn)是：-ma-ma=-ma=-X7500=2500(元)，故答案為：2500.【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)；由題意列出方程是解題的關(guān)鍵.6.某食品公司為迎接端午節(jié)，特別推出三種新品粽子，分別是鮑魚粽、水果粽、香芋粽，并包裝成甲、乙兩種盒裝禮盒.每盒禮盒的總成本是盒中鮑魚粽、水果粽、香芋粽三種粽子的成本之和(盒子成本忽略不計(jì)).甲禮盒每盒裝有3個(gè)鮑魚粽、2個(gè)水果粽和2個(gè)香芋粽；乙禮盒每盒裝有1個(gè)鮑魚粽、4個(gè)水果粽和4個(gè)香芋粽.每盒甲禮盒的成本正好是1個(gè)鮑魚粽成本的1倍，而每盒甲禮盒的售價(jià)是在甲禮盒成本的基礎(chǔ)上增加了每盒乙禮盒的利潤(rùn)率為20%.當(dāng)該公司銷售這兩種盒裝禮盒的總利潤(rùn)為24%,且銷售甲禮盒的總利潤(rùn)是4500元時(shí)，這兩種禮盒的總銷售額是元.【答案】37200【解析】【分析】設(shè)設(shè)1個(gè)鮑魚粽的成本為。元，1個(gè)水果粽的成本為6元，1個(gè)香芋粽的成本為c元，分別表示出A、8禮盒的總成本和總利潤(rùn)，通過題干的已知條件找到等量關(guān)系列出方程即可進(jìn)行求解.【詳解】解：設(shè)1個(gè)鮑魚粽的成本為4元，1個(gè)水果粽的成本為6元，1個(gè)香芋粽的成本為C元，則每盒甲禮盒的成本為(3a+2計(jì)2c)元，每盒乙禮盒的成本為(a+4b+4c)元，每盒甲禮盒的成本正好是1個(gè)鮑魚粽成本的y倍，；?3。+2H2c=—a,2。+4/?+4c=6a,3?.?每盒甲禮盒的售價(jià)是在甲禮盒成本的基礎(chǔ)上增加了3 11.,.每盒甲禮