東大考研-信號與線性系統(tǒng)第5章

第五章連續(xù)系統(tǒng)的s域分析以傅里葉變換為基礎(chǔ)的頻域分析方法的優(yōu)點(diǎn)在于：它給出的結(jié)果有著清楚的物理意義，但也有不足之處，傅里葉變換只能處理符合狄利克雷條件的信號，而有些信號是不滿足絕對可積條件的，因而其信號的分析受到限制；另外在求時域響應(yīng)時運(yùn)用傅里葉反變換對頻率進(jìn)行的無窮積分求解困難。為了解決對不符合狄氏條件信號的分析，第四章中引入了廣義函數(shù)理論去解釋傅里葉變換，同時，還可利用本章要討論的拉氏變換法擴(kuò)大信號變換的范圍。優(yōu)點(diǎn)：求解比較簡單，特別是對系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行變換時，初始條件被自動計(jì)入，因此應(yīng)用更為普遍。缺點(diǎn)：物理概念不如傅氏變換那樣清楚。本章內(nèi)容及學(xué)習(xí)方法

本章首先由傅氏變換引出拉氏變換，然后對拉氏正變換、拉氏反變換及拉氏變換的性質(zhì)進(jìn)行討論。本章重點(diǎn)在于，以拉氏變換為工具對系統(tǒng)進(jìn)行復(fù)頻域分析。注意與傅氏變換的對比，便于理解與記憶。5.1拉普拉斯變換主要內(nèi)容從傅里葉變換到拉普拉斯變換拉氏變換的收斂一些常用函數(shù)的拉氏變換一些函數(shù)的傅氏變換和拉氏變換一.拉氏變換的定義——從傅氏變換到拉氏變換有幾種情況不滿足狄利克雷條件：u(t)增長信號周期信號若乘一衰減因子為任意實(shí)數(shù)，則收斂，可以滿足狄利克雷條件則1．拉普拉斯正變換2．拉氏逆變換二．拉氏變換的收斂

收斂域：使F(s)存在的s的區(qū)域稱為收斂域。記為：ROC(regionofconvergence)實(shí)際上就是拉氏變換存在的條件；下面舉例說明Fb(s)收斂域的問題。例1因果信號f1(t)=et

(t)，求拉氏變換。解可見，對于因果信號，僅當(dāng)Re[s]=>時，其拉氏變換存在。收斂域如圖所示。收斂域收斂邊界例2反因果信號f2(t)=et(-t)，求拉氏變換。解可見，對于反因果信號，僅當(dāng)Re[s]=<時，其拉氏變換存在。收斂域如圖所示。例3雙邊信號求其拉普拉斯變換。

求其拉普拉斯變換。解其雙邊拉普拉斯變換Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)僅當(dāng)>時，其收斂域?yàn)?lt;Re[s]<的一個帶狀區(qū)域，如圖所示。例4求下列信號的雙邊拉普拉斯變換。

f1(t)=e-3t(t)+e-2t(t)

f2(t)=–e-3t(–t)–e-2t(–t)

f3(t)=e-3t(t)–e-2t(–t)解Re[s]=>–2Re[s]=<–3–3<<–2可見，象函數(shù)相同，但收斂域不同。雙邊拉氏變換必須標(biāo)出收斂域。三、單邊拉普拉斯變換單邊拉氏變換采用0－系統(tǒng)優(yōu)點(diǎn)通過微分方程求系統(tǒng)響應(yīng)時，不必考慮系統(tǒng)響應(yīng)在t=0點(diǎn)是否有跳變；可以求得系統(tǒng)在t＝0點(diǎn)時的響應(yīng)，若取0＋，則不能求得這一點(diǎn)的響應(yīng)；對于在t＝0點(diǎn)含有沖激函數(shù)的信號，可以求得其完整的拉氏變換，若取0＋，則所得的變換式中不包括沖激函數(shù)的變換；可以簡單而明確的將系統(tǒng)的完全響應(yīng)分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。傅立葉,單邊拉氏變換是雙邊拉氏變換的特殊情況單邊拉氏變換雙邊拉氏變換付氏變換

當(dāng)σ0<0時，收斂區(qū)包含虛軸jω，函數(shù)的傅氏變換存在；當(dāng)σ0>0時，收斂區(qū)不包含虛軸jω，函數(shù)的傅氏變換不存在；當(dāng)σ0=0時，收斂區(qū)雖不包含虛軸jω，但函數(shù)的傅氏變換存在，不過有沖激項(xiàng)。因?yàn)橹笖?shù)階函數(shù)的單邊拉氏變換一定存在，所以一般可以不標(biāo)明收斂區(qū)。

說明6.一般求函數(shù)的單邊拉氏變換可以不加注其收斂范圍。表4-1常用信號及其拉氏變換P181

5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

1.線性特性若則

a和b為任意常數(shù)。

2．尺度變換3.延時（時域平移）時移和標(biāo)度變換都有時:設(shè)f(t)=sinω0t,因而

,若t0>0,試求下列信號的拉氏變換:

（1）f(t-t0)=sinω0(t-t0);

（2）f(t-t0)·u(t)=sinω0(t-t0)·u(t)

（3）f(t)·u(t-t0)=sinω0t·u(t-t0);

（4）f(t-t0)·u(t-t0)=sinω0(t-t0)·u(t-t0)。解：四種信號如下圖(a)、(b)、(c)、(d)所示。例

對于（1）和（2）兩種信號t≥0的波形相同,因此它們的拉氏變換也相同,即

對于信號（3）,它的拉氏變換是

對于信號（4）,它的拉氏變換是

求周期函數(shù)的單邊拉普拉斯變換，或求如圖所示單邊“周期”函數(shù)的拉普拉斯變換。周期信號的拉氏變換解:令f1(t)、f2(t)、f3(t)、…分別表示f(t)第一周期、第二周期、第三周期、…的函數(shù)。則f(t)=f1(t)+f2(t)+f3(t)+…=f1(t)+f1(t-T)+f1(t-2T)+…

令為周期因子，由以上推導(dǎo)過程中可以得到周期函數(shù)的單邊拉氏變換基本步

驟為:(1)求f(t)第一周期的象函數(shù)f1(t)F1(s)；

(2)周期函數(shù)的單邊拉氏變換等于函數(shù)第一周期的象函數(shù)乘以周期因子，即周期信號的拉氏變換

例：求如圖(a)所示周期的半波整流波形的單邊象函數(shù)。

解：半波整流波形第一周期的波形如圖(b)所示，可由兩個波形疊加，即4.s域平移例:已知因果信號f(t)的象函數(shù)F(s)=求e-tf(3t-2)的象函數(shù)。解：e-tf(3t-2)←→

式中f(0-)及f(n)(0-)分別表示f(t)及f(t)的n階微分f(n)(t)在t=0-時的值。

5.原函數(shù)微分若若f(t)為單邊信號,則f(0-)=0，可簡化為電感元件的s域模型電感元件的s模型應(yīng)用原函數(shù)微分性質(zhì)設(shè)6.原函數(shù)積分電容元件的s域模型電容元件的s模型7．卷