第八章無窮級(jí)數(shù)

第八章無窮級(jí)數(shù)引言：所謂無窮級(jí)數(shù)就是無窮多項(xiàng)相加，它與有限項(xiàng)相加有本質(zhì)不同，歷史上曾經(jīng)對(duì)一個(gè)無窮級(jí)數(shù)問題引起爭(zhēng)論。例如：1—1+1—1+?.?+(―1)n+1+?.?歷史上曾有三種不同看法，得出三種不同的“和”第一種(1—1)+(1—1)+…+(1—1)+…=0第二種1—(1—1)—(1—1)(1—1)—?..=1第三種設(shè)1—1+1—1++(—1)n+1+...=S則1-1—1+1—1+-?]=S1—S=S,2S=1,S=-2這種爭(zhēng)論說明對(duì)無窮多項(xiàng)相加，缺乏一種正確的認(rèn)識(shí)。什么是無窮多項(xiàng)相加？如何考慮？無窮多項(xiàng)相加，是否一定有“和”？無窮多項(xiàng)相加，什么情形有結(jié)合律，什么情形有交換律等性質(zhì)。因此對(duì)無窮級(jí)數(shù)的基本概念和性質(zhì)需要作詳細(xì)的討論?！?.1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(甲)內(nèi)容要點(diǎn)一、基本概念與性質(zhì)基本概念無窮多個(gè)數(shù)u,u,u，一,u，—依次相加所得到的表達(dá)式工u=u+u+u+—+u+—TOC\o"1-5"\h\z123nn123nn=1(n=1,2,3,—)稱為級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)的部分和，(n=1,2,3,—)稱為級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)的部分和，S=u=u+u+u++unk123nk=1k)(n=1,2,3,—)稱為部分和數(shù)列。n..?若limS(存在)=S,則稱級(jí)數(shù)工u是收斂的，且其和為S,記以工u=SnT3..n=1n=1若limS〃不存在，則稱級(jí)數(shù)工匕是發(fā)散的，發(fā)散級(jí)數(shù)沒有和的概念。(注：在某些特殊含nT8.n=1義下可以考慮發(fā)散級(jí)數(shù)的和，但在基礎(chǔ)課和考研的考試大綱中不作這種要求。)基本性質(zhì)如果工u戒:V皆收斂，a,'為常數(shù)，則工0u+bv)收斂,且等于云u+疙Vnnnnnnn=1n=1n=1n=1n=1在級(jí)數(shù)中增加或減少或變更有限項(xiàng)則級(jí)數(shù)的收斂性不變。收斂級(jí)數(shù)具有結(jié)合律，也即對(duì)級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)所得到的新級(jí)數(shù)仍收斂，而且其和不變。發(fā)散級(jí)數(shù)不具有結(jié)合律，引言中的級(jí)數(shù)可見是發(fā)散的，所以不同加括號(hào)后得到級(jí)數(shù)的情形就不同。級(jí)數(shù)工u收斂的必要條件是limu=0TOC\o"1-5"\h\z1nsn=1(注：引言中提到的級(jí)數(shù)工(-1)〃+1,具有l(wèi)im(-11+1不存在，因此收斂級(jí)數(shù)的必要條件1nSn=1不滿足，￡(-11+1發(fā)散。調(diào)和級(jí)數(shù)￡1滿足lim-=0,但￡1卻是發(fā)散的，nnT8nnn=1n=1n=1所以滿足收斂級(jí)數(shù)的必要條件limu廣0，而￡〃〃收斂性尚不能確定。)nS1n=1兩類重要的級(jí)數(shù)等比級(jí)數(shù)(幾何級(jí)數(shù))￡arn(a豐0)n=0當(dāng)|r|<1時(shí)，￡arn=-^收斂1一rn=0當(dāng)|r槌1時(shí)，￡arn發(fā)散n=0p一級(jí)數(shù)￡-1npn=1當(dāng)p>1時(shí)，乙一收斂，當(dāng)p<1時(shí)￡一發(fā)散npnpTOC\o"1-5"\h\zn=1n=1(注：p>1時(shí)，￡—的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知￡—=二)npn26n=1n=1當(dāng)p>1時(shí)，乙一收斂，當(dāng)二、正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法若u>0(n=1,2,3,…)則￡u稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，這時(shí)S>S(n=1,2,3,…)所以k｝是單調(diào)nnn+1nnn=1

增加數(shù)列，它是否收斂就只取決于七是否有上界，因此￥"〃收斂=Sn有上界，這是正n=1向級(jí)數(shù)比較判別法的基礎(chǔ)，從而也是正項(xiàng)級(jí)數(shù)其它判別法的基礎(chǔ)。1.比較判別法設(shè)c>0,當(dāng)n>N時(shí)，cv>unn=1>0皆成立，如果工V收斂，則工un設(shè)c>0,當(dāng)n>N時(shí)，cv>unn=1nn=12.比較判別法的極限形式設(shè)u>0,v>0,(n=1,2,3,1)當(dāng)0<A<1)當(dāng)0<A<+8時(shí)，工unn=1與工匕同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。n=13)3.當(dāng)A=+8時(shí)，若工un收斂n=1比值判別法（達(dá)朗倍爾）則工七收斂。n=1設(shè)u>0，而limnsun+3)3.當(dāng)A=+8時(shí)，若工un收斂n=1比值判別法（達(dá)朗倍爾）則工七收斂。n=1設(shè)u>0，而limnsun+1=pun1)當(dāng)P<1時(shí)則工u收斂

nn=12)當(dāng)P>1時(shí)（包括P=+8），則工un發(fā)散n=13)當(dāng)P=1時(shí)，此判別法無效（注：如果limnsuf廿不存在時(shí)，此判別法也無un2)nn=1法用）根值判別法（柯西）設(shè)u>0，而limn-u=pnnsn1）當(dāng)p<1時(shí)，n=1

當(dāng)p>1時(shí)(包括p=+8)，則芝U發(fā)散nn=1當(dāng)P=1時(shí)，此判別法無效事實(shí)上，比值判別法和根值判別法都是與等比級(jí)數(shù)比較得出相應(yīng)的結(jié)論，應(yīng)用時(shí)，根據(jù)所給級(jí)數(shù)的形狀有不同的選擇，但它們?cè)赑=1情形下都無能為力。數(shù)學(xué)上有更精細(xì)一些的判別法，但較復(fù)雜，對(duì)考研來說不作要求。三、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其萊布尼茲判別法交錯(cuò)級(jí)數(shù)概念若un>0,￡(—Dn+1un稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)。n=1萊布尼茲判別法設(shè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)￡(-Dn+1un滿足：n=11)u<u(n=1,2,3,)2)limu=0，nsn則￡(-1)n+1Un收斂，n=1且2)limu=0，nsn則￡(-1)n+1Un收斂，n=1且0<￡(-1)n+1u<u1n=1四、絕對(duì)收斂與條件收斂定理若￡|uj收斂n=12.定義則￡u一定收斂；反之不然。nn=1若￡|uj收斂n=1則稱￡un為絕對(duì)收斂;n=1n=1n=1n=13.有關(guān)性質(zhì)1)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)具有交換律，也即級(jí)數(shù)中無窮多項(xiàng)任意交換順序，得到級(jí)數(shù)仍是絕對(duì)收斂，且其和不變。2)條件收斂級(jí)數(shù)的正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng)構(gòu)成的級(jí)數(shù)，即￡1(u|+u)或￡1(u—u|)2nn2nnn=1n=1定是發(fā)散的。4.一類重要的級(jí)數(shù)n=11)當(dāng)p>1時(shí)，y（-1）〃+1乙」^是絕對(duì)收斂的npn=12)當(dāng)0<p<1時(shí)，尤旦生1是條件收斂的npn=13)當(dāng)p<0時(shí)，￡*蘭是發(fā)散的

npn=1（乙）典型例題一、主要用部分和數(shù)列的極限討論級(jí)數(shù)的斂散性例1.判定下列級(jí)數(shù)斂散性，若收斂并求級(jí)數(shù)的和。1)￡n=11\：'n(n+1)(v：n+\：n+1)21)當(dāng)p>1時(shí)，y（-1）〃+1乙」^是絕對(duì)收斂的npn=12)當(dāng)0<p<1時(shí)，尤旦生1是條件收斂的npn=13)當(dāng)p<0時(shí)，￡*蘭是發(fā)散的

npn=1（乙）典型例題一、主要用部分和數(shù)列的極限討論級(jí)數(shù)的斂散性例1.判定下列級(jí)數(shù)斂散性，若收斂并求級(jí)數(shù)的和。1)￡n=11\：'n(n+1)(v：n+\：n+1)2)￡2n-12nn=11)解:￡n=11飛：n(n+1)(n+\n+1)=￡k=11.\..k(k+1)(、.k+h+1)S=￡,(汜-、)f=￡(4"=1-二nk=1<k(k+1)IVk+1妃頃，k=1展展+1氣以+1￡.=1*n(n+1)(*n+vn+1)收斂n=12)解:Sn2n-11=+++，，，+222232n1352n-32n-1=—+—+—+++——2223242n2n+11*111、2n-1①-②得一S=+2(—+—+???+—)n222232/2n+1巾12n-132n+3=—+(1-——)=—2n-12n+122n+1,/limS=3nsn￡2n-1..=32nn=1收斂例2設(shè)數(shù)列n）|攵斂，級(jí)數(shù)￡n（ann=1-a「收斂，證明￡a收斂n=0證:由題意可知limna=A存在

nsnlimS=lim￡k(a-a

nsnns,1*'k=1k1)=S存在na-￡ank因此，云a=na-Sk=0limIBa=limna-limS=A-Snsnsnns"k=0于是級(jí)數(shù)工。尸A-S是收斂的n=0二、主要用判別法討論級(jí)數(shù)的斂散性例1.設(shè)級(jí)數(shù)Ba”(an>0)收斂，則B斗收斂TOC\o"1-5"\h\zn=1n=1」\-aa,1,1、，—…解：j=、JfV不(a+—)(幾何平均值<算術(shù)平均值)n\n22nn2已知Ban收斂，工￡收斂，故工2(an+：)收斂n=1n=1n=1E、a....收斂nn=1吁(土，是否攵斂？并說明理例2.正項(xiàng)數(shù)列，｝單調(diào)減少，且B(-1)吐發(fā)散n=1由。吁(土，是否攵斂？并說明理解：a>0,又單調(diào)減少，.?.lima=a存在，如果a=0,根據(jù)萊布尼茲判別法可知nSB(-1)nan收斂，與假設(shè)矛盾，a>0,這樣，n=1—<-^<1,」）n<（上）na+1a+1a+1a+1由等比級(jí)數(shù)y上)n收斂袖較判別法可知?左)”收斂。例3?設(shè)a=J4tannxdxn0（1）求E"n+"n+2的值。（2）證明：對(duì)任意正常數(shù)人>0,E^收斂。nn人n=1n=11[h上、，=—J4tannx（1+tan2x）dx=n『nMtan尤=*〃+yTOC\o"1-5"\h\z蕓an+a,匕￡1nn(n+1)\o"CurrentDocument"n=1n=1幾1tn(2)an=J4tannxdx(2)an01+t20vJtndtJn+1X+1>1,.?2n=1上收斂，由比較判別法可知乏二收斂。X+1>1,.?2n=1n入+1n人n=1例4.設(shè)有方程xn+nx-1=0,其中n正整數(shù)，證明方程有唯一正實(shí)根七,并證明當(dāng)a當(dāng)a>1時(shí)，級(jí)數(shù)￡n=1xa收斂。n證:記f(x)=xn+nx-1當(dāng)x>0時(shí)，f'(x)=nxa-1+n>0n故f3)在［0,+3)上單調(diào)增加nWfn(0)=-1<0,fn⑴=n>0,由連續(xù)函數(shù)的介值定理知xn+nx-1=0存在唯一正實(shí)根xn由x”+nx-1=0與x>0知1-xn1n<—,nn故當(dāng)以>1時(shí),0<xa<(L)a1n=1而正項(xiàng)級(jí)數(shù)艾C)a收斂,所以當(dāng)a>1時(shí)，級(jí)數(shù)蕓xa收斂。nnn=1§8.2幕級(jí)數(shù)(甲)內(nèi)容要點(diǎn)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其收斂域與和函數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念設(shè)氣(x)(n=1,2,3,…)皆定義在區(qū)間I上，則￡un⑴稱為區(qū)間I上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。n=1收斂域TOC\o"1-5"\h\z設(shè)xel,如果常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)￡u(x)收斂，則稱x是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)￡u(x)的收斂點(diǎn)，如0n00nn=1n=1果￡u(x)發(fā)散，則稱x是￡u(x)的發(fā)散點(diǎn)。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)￡u(x)的所有收斂點(diǎn)構(gòu)n00nnn=1n=1n=1成的集合就稱為收斂域。所有發(fā)散點(diǎn)構(gòu)成的集合你為發(fā)散域。和函數(shù)在￡氣(x)的收斂域的每一點(diǎn)都有和，它與x有關(guān)，因此S(x)=￡氣(x)，xe收斂域n=1n=1稱S(x)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)￡un(x)的和函數(shù)，它的定義域就是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域。n=1二、冪級(jí)數(shù)及其收斂域冪級(jí)數(shù)概念黨a(x-x)n稱為(x-x)的冪級(jí)數(shù)，a(n=0,1,2,…)稱為冪級(jí)數(shù)的系數(shù)，是常數(shù)，當(dāng)n00nn=0x0=0時(shí)，￡anxn稱為x的冪級(jí)數(shù)。一般討論￡anxn有關(guān)問題，作平移替換就可以得n=0n=0出有關(guān)￡a(x—x0)n的有關(guān)結(jié)論。n=0冪級(jí)數(shù)的收斂域冪級(jí)數(shù)￡axn的收斂域分三種情形:nn=0收斂域?yàn)?-8,+8)，亦即￡anxn對(duì)每一個(gè)x皆收斂，我們稱它的收斂半徑n=0R=+3收斂域僅為原點(diǎn)，除原點(diǎn)外冪級(jí)數(shù)￡axn皆發(fā)散，我們稱它的收斂半徑R=0。(3)收斂域?yàn)?一R,R)或(一R,R］或［—R,R］中的一種，我們稱它收斂半徑為R(0<R<+8)所以求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R非常重要，(1)(2)兩種情形的收斂域就確定的。而(3)的情形，還需討論土R兩點(diǎn)上的斂散性。如果lim^n+i=l(包括+8)或lim=l(包括+8),則收斂半徑R=-(若l=+8,nsan—8nl則R=0,若l=0則R=+8)，如果上述兩極限不成立,那么就要用其它方法求收斂半徑，后面有所討論.三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)1.四則運(yùn)算、r.y8設(shè)工axnnn=0=f(x),|x|<R「工bxn=g(x),|x|<Rn=0則￡(an土b「xn=f(x)土g(x),n=0(乙xn)(￡bxn)=￡(ab++ab++ab)xn=f(x)-g(x)nn0nkn-kn0n=0n=0n=02.分析性質(zhì)|x|vmin(R,R)|x|<min(R,R)設(shè)冪級(jí)數(shù)工axn的收斂半徑R>0,S(x)=工axn為和函數(shù)，則有下列重要性質(zhì)。nnn=0n=0(1)S(x)在(-R,R)內(nèi)可導(dǎo)，且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式s3=(工axn)r=￡(axn)'=工naxn-1求導(dǎo)后冪級(jí)數(shù)的收斂半徑不變，因此得出n=0n=0n=1S(x)在(-R,R)內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，公式為S(k)(x)=工n(n-1).??(n-k+1)axn-k,|x|vRnn=k(2)S(x)在(-R,R)內(nèi)有逐項(xiàng)積分公式(k=1,2,3,…)js(t)dt—切jatndt—切土xn+1且這個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑也不變。0n=00n=0⑶若工axn—S(x)在x=R(-R)成立，則有下列性質(zhì):nn=0①lim5(x)=S6/Rn成立(lim5(x)=Sa(-/?)?成立)TOC\o"1-5"\h\znnxtRn=oj-R)+”=ofS(x)(ix=工一^^R〃+i成立(js(x)(i￥=工一(~R)n+i成立)\o"CurrentDocument"n+1n+1qn=0_rn=0孫-i在x=R(—R)不一定收斂nn=l也即E混Rn-i=Sf(R)不一定成立.(S'(-R))n-+n=l如果"x=R(—R)發(fā)散,那么逐項(xiàng)求導(dǎo)后的級(jí)數(shù)nn=QEwSi在x=R(—R)一定發(fā)散，而逐項(xiàng)積分后的級(jí)數(shù)n72=1￡-孫+i在X=R(—R)有可能收斂.n+1n=Q四、慕級(jí)數(shù)求和函數(shù)的基本方法1.把已知函數(shù)的慕級(jí)數(shù)展開式(§8.3將討論)反過來用。下列基本公式應(yīng)熟背：⑴乙—n=0kl<l(2)V—=exn\〃=o|x|<+00(―1)?n=0%2n+l|x|<+oo(—1)?n=QX2n(W—cosX,|x|<⑴乙—n=0kl<l(2)V—=exn\〃=o|x|<+00(―1)?n=0%2n+l|x|<+oo(—1)?n=QX2n(W—cosX,|x|<+00n=Q(6)1+工一xn=(l+x)?,-1<x<1(a為實(shí)常數(shù))n\n=l2、用逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分方法以及等比級(jí)數(shù)求和公式3、用逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分方法化為和函數(shù)的微分方程從而求出微分方程的解。

五、利用冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)得出有關(guān)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和（乙）典型例題例1求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。（1）工（2n+1）xnn=0解：（1）可求出收斂半徑R=1,收斂域?yàn)?2)（-1，（1）工（2n+1）xnn=0解：（1）可求出收斂半徑R=1,收斂域?yàn)?2)（-1，^(n-1)2n+1n=01)S(x)=￡(2n+1)xn=￡2nxn+工xnn=0n=0n=0:Efntn-1dtLn=10n=12xXn,+M=2xL亡1+1-x(1-x)21-x(1-x)2Xe(-1,1)（2）可以從求出和函數(shù)后，看出其收斂域S（x）=￡Hxn=Y［（n+1）-21

n+1

n=0xnn+1n=0=￡(n+1)xn-4工xn+4&n=0n=0Xnn+1n=0令S(x)=￡(n+1)xnn=0,S2(x)=4^xn=4|x|V1,n=0S(x)=4工上xnn=0jS(t)dt=工j(n+1)tndt=￡xn+1=11—x0n=00n=0Ix|V1x1S1⑴=匕),=ElxlV1n=1xS3(x)=Ngxn+1=-4S—n=0n=1=-4ln(1-x)(-1<xV1)

這里用到公式工(T)〃T"=ln(1+1)(-1<t<1)nn=1144于是S(x)=S1(x)-S2(x)+S3(x)=(1―--1—--ln(l-x)_4x-3=(1-x)24-ln(1-x)xxG(-1,1)且x豐0從上面運(yùn)算也看先要假設(shè)x壬0,但S(0)=%=_4x-3=(1-x)24-ln(1-x)xxG(-1,1)且x豐0TOC\o"1-5"\h\zx-0x-0L(1-x)2x_=(-3)-4lim上二=1,說明S⑴在x=0處不但有定義而且是連續(xù)的這正x—01是冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)應(yīng)具備的性質(zhì).1,x=0因此,S(x)=]4x-34|R—ln(1-x)x<1,且x豐0(1-x)2x1例2已知f(x)滿心'(x)=f(x)+xn-1ex,(n為正整數(shù)),且f⑴=-,求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)nnnnn￡f(x)之和.nn=1解：解一組微分方程可得通解fn(x)=exG-+,(n=1,2,3,)e，一由初始條件f(1)=—,得c-0(n=1,2,3,)故n(x)=1xnex(n=1,2,3,)???從而￡fn(x)=ex￡三令S(x)=￡1xn,xg[-1,1)n=1n=1n=1而在xG(-1,1內(nèi)S，(x)=￡xn-1=—i—1—x故S(x)=f—^—dt——ln(l—x)1-to于是(x)=—exln(l—x),|x|<1,n71=1又E/(-l)-e-iE(-1>--e-iIn2nnn=ln=l因此，在-1<X<W,都有￡f⑴=-exln(l-x)nn=l例3設(shè)級(jí)數(shù)壬+任+赤+g<x<+8）的和函數(shù)為s⑴，求:（1）5（、）所滿足的一階微分方程(2)S(x)的表達(dá)式解：⑴5(0)=0\尤3X5X7TOC\o"1-5"\h\zS(X)=——+——++22-4246/入2X4X6、=X(—++4)22-42463+S3)得3)-#(])=一2因此，S(jt)是初值問題yr-xy=土,y(0)=0解.2(2)勺=丑為一階線性非齊次方程，它的通解fX3fjq2^2y=eixdxf-^e~ixdxdx+c=-—-\+cei

x2x2由初始條件y(0)=0,求出。=1,故y=——-1+e22x2x2于是$(x)=-萬-1+e2x2x2由初始條件y(0)=0,求出。=1,故y=——-1+e22x2x2于是$(x)=-萬-1+e2求￡㈠川2—〃+d的和2nn=0￡(-1)n(n2-n+2nn=012=￡n(n-1)(-2)n+工(-2)nn=2n=0——^w1而產(chǎn)(-)n=2n=0令S(x)=￡n(n-1)(-4)nXn-2=2n=2￡jn(n—1)(-1)ntn-2dtLn=202=￡1、

n(-—)nxn-12」n=2￡(-1)nxnn=21—x24x=1在收斂域的內(nèi)部￡n(n-1)(-)n=S⑴=——\o"CurrentDocument"27n=2n=0-n+1)24=—+=2n3272227§8.3將函數(shù)展開成幕級(jí)數(shù)n=02227(甲)內(nèi)容要點(diǎn)一、泰勒級(jí)數(shù)與麥克勞林級(jí)數(shù)的概念1.基本概念設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x的某一領(lǐng)域x-xV5內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)則級(jí)數(shù)考處里(x-x)0】0n!0n=0稱為函數(shù)f(x)在x0處的泰勒級(jí)數(shù)(注：這里泰勒級(jí)數(shù)是否收斂，是否收斂于f(x)均不知)，特別地，當(dāng)％二°時(shí)，則級(jí)數(shù)￡火蕓xn稱為f（x）的麥克勞林級(jí)數(shù)n=02.函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)的條件設(shè)f（x）在|x-x0<人內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)它的泰勒公式/(x)=f(x)+ff(x)(x-x)+f：0)(x-x)2++—(x-x)n+R(x)00。2!0n!0n其中R(x)為n階余項(xiàng)，它的拉格朗日型為nR(x)=f(n+1)[V°(x-x0)](x-x)n+1n(n+1)!0(0<0<1)則f(x)=￡P(guān)(x-x0)n

n=0x-x|<R的充要條件為limR(x)=0,I

nsx-xJ<R而田⑴在、處冪級(jí)數(shù)展開式是唯一的.特別地，當(dāng)x0=0時(shí)，得到函數(shù)展成麥克勞林0級(jí)數(shù)的充分必要條件。二、函數(shù)展成幕級(jí)數(shù)的方法1.套公式nn=0nn!f(n)(x)貝ga=0—n

(n=0,1,2,)x<+8蝕x=￡1xn,

n!x<+8n=0sinx=￡(-1)nn=0x2n+1(2n+1)!'x<+8(1+x)a=1+冬-1)(a-n+Dxn,n!n=1x<1,（a為實(shí)常數(shù)）2.逐項(xiàng)求導(dǎo)例:cosx=(sinx)，=￡(-1)nx22n=0(2n)!'x<+81(I)2=—(￡x〃)，=￡nxn-1,1-xlxl<1n=0n=13.變量替換法例：ex2=etn!n=0n!n=0X<+81_1+X21一(-x2)」=￡(-X2)n=0=Y(-1)nx2n,n=04.逐項(xiàng)積分法例：ln(1+x)=j—dt=j工(-t)ndt1+100n=0=￡=￡土Xn+1n+1(-1<X<1)由此可得ln2=￡n+1n=0arctanx=j1dt=DE(-t2)ndt=切*+!1+122n+100n=0n=0由此可得'由此可得'崇1=arctan1=4n=05.其它方法例=尹把洶2庶變童替挽法展開，代人化簡(jiǎn)即可上面都是把函數(shù)展成必儒級(jí)數(shù)遺瑟樨熟如果要展成;淵繇K麴泰勒級(jí)魏）,7朝適當(dāng)處理后可利用表克勞林級(jí)數(shù)的籍果后面典型例題中再討論’（乙）典型例題/(O)=arctanl=丁"珂)+嗣、忒=蘭-方巨（一1）寸"出耳，n』=*戲*H皿第）4M2m+122（乙）典型例題/(O)=arctanl=例4.求f(x)=—(牛一-)在x=1處的泰勒級(jí)數(shù)

dxx-1解:ex-ex-1-e-e黨^X^)-(s<x<+s)n!

n-0ex—e1工(x—1).(x—1)^.(x—1)n-1—e1+1+…++…x-1L2!3!n!_(這里補(bǔ)充定義x-1時(shí)函數(shù)值為e)dex—e12(n—1)()=e~+~(x-1)+1:—(x-1)n-2+dxx-12!3!n!(這里補(bǔ)充定義f⑴-e)2!?！?.求f(x)-sinx在x-—處的泰勒級(jí)數(shù)?兀兀、?兀，兀、，兀?,兀、解:sinx-sin一+(x一一)-sin—cos(x-—)+cos—sin(x-—)4444449]L4<2「，兀、，?/

=5(x一才)+sin(x一，兀、，兀、”(x-)2(x-)31+(x——)44—+…42!3!§8.4傅里葉級(jí)數(shù)(甲)內(nèi)容要點(diǎn)一、三角函數(shù)系的正交性定義在Li,i](i>0)上的三角函數(shù)系.丸.丸2丸.2丸n丸.n兀1,cos—x,sin—x,cos——x,sin——x,…，cos——x,sin——x,???

llllll看作實(shí)數(shù)域上的線性空間，再定義內(nèi)積(f,g)—jf(x)g(x)dx則任意兩個(gè)元素的內(nèi)積皆為0,也即有-lj1.cos—dx-j1?sin—xdx—0l(n=1,2,)(一3<x<+3)mKsi二Jsinxcos—xdx—0,ll-1(m,n-1,2,)…[mn兀l.mn.n兀cosxcos——xdx—Jsinxsin——xdx—0(m,n—1,2,,且m豐n)llll-1-1故稱這個(gè)三角函數(shù)系是正交的.二、傅里葉系數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)f⑴以2/(l>0)為周期或只定義在［-1,l］上的可積函數(shù)令a=上Jf(x)cos竺xdx,

nl“l(fā)-1b=叮f(x)sin生xdx,

ll-1則稱氣,b為f(x)的傅里葉系數(shù).n=0,1,2,n—0,1,2；??一n丸、sin——x)l稱為f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)(關(guān)于周期為2l,或只在［-l,l］)三角級(jí)數(shù)a0+￡(acos—x+bn—1記以「(x)?幻+X(acos竺x+bsin呸x)2nlnln—1值得注意在現(xiàn)在假設(shè)條件下有f(x)傅里葉系數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)的相關(guān)概念，但并不知道傅里葉級(jí)數(shù)是否收斂,更不知道傅里葉級(jí)數(shù)是否收斂于f(x)三、狄利克雷收斂定理設(shè)f(x)在［-l,l］上定義，且滿足f(x)在［-l,l〕上連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)f(x)在［-l,l］上只有有限個(gè)極值點(diǎn)則/(x)在［-l,l］上的傅里葉級(jí)數(shù)號(hào)+工(ann—1cosmx+bsin§x)—S(x)收斂,且f(x),2[f(x+0)+f(x-0)],1ri1[f(-l+0)+f(l-0)],<2當(dāng)xe(-l,l)為了(x)的連續(xù)點(diǎn)當(dāng)xe(-l,l)為(x)的第一類間斷點(diǎn)當(dāng)x—±l我們把上述兩個(gè)條件稱為狄利克雷條件四、正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)1.設(shè)f(x)以2l為周期或在［-l,l］上定義，且滿足狄利克雷條件(1如果f⑴是奇函數(shù)，則氣=0(n=0,1,2,)而b=|ff(x)sin?xdx(n=1,2,)0這時(shí)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)為正弦級(jí)數(shù)(2)如果/⑴是偶函數(shù)，則氣=0(n=1,2,3)而a=—^f(x)cos竺xdx(n=0,1,2,)nl"l??-這時(shí)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)為余弦級(jí)數(shù).???2.設(shè)f(x)在［0,l］上定義，且在［0,l］上連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)只有有限個(gè)極值點(diǎn)那么f(x)在［。,1］上可以有下列兩個(gè)傅里葉展開式(1)f(x)?a^+￡acos竺x2n1n=1其中。=—^f(x)cos性xdx(n=0,