初三圓經(jīng)典真題及答案詳解

圓經(jīng)典重難點(diǎn)真題一．選擇題（共10小題）1．（2015?安順）如右圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，∠A=22.5°，OC=4，CD的長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．4 D．82．（2015?酒泉）△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，若∠AOC=160°，則∠ABC的度數(shù)是（）A．80° B．160° C．100° D．80°或100°3．（2015?蘭州）如右圖，已知經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的⊙P與x、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是劣弧OB上一點(diǎn)，則∠ACB=（）A．80° B．90° C．100° D．無(wú)法確定4．（2015?包頭）如右圖，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后得到△ADE，點(diǎn)B經(jīng)過(guò)的路徑為，則圖中陰影部分的面積為（）A．π B．π C．π D．π5．（2015?黃岡中學(xué)自主招生）如右圖，直徑為10的⊙A經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，5）和點(diǎn)O（0，0），B是y軸右側(cè)⊙A優(yōu)弧上一點(diǎn)，則∠OBC的正弦值為（）A． B． C． D．6．（2015?黃岡中學(xué)自主招生）將沿弦BC折疊，交直徑AB于點(diǎn)D，若AD=4，DB=5，則BC的長(zhǎng)是（）A．3 B．8 C． D．27．（2015?齊齊哈爾）如圖，兩個(gè)同心圓，大圓的半徑為5，小圓的半徑為3，若大圓的弦AB與小圓有公共點(diǎn)，則弦AB的取值范圍是（）A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤58．（2015?衢州）如右圖，已知△ABC，AB=BC，以AB為直徑的圓交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D的⊙O的切線交BC于點(diǎn)E．若CD=5，CE=4，則⊙O的半徑是（）A．3 B．4 C． D．9．（2014?舟山）如圖，⊙O的直徑CD垂直弦AB于點(diǎn)E，且CE=2，DE=8，則AB的長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．6 D．810．（2015?海南）如右圖，將⊙O沿弦AB折疊，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心O，點(diǎn)P是優(yōu)弧上一點(diǎn)，則∠APB的度數(shù)為（）A．45° B．30° C．75° D．60°二．填空題（共5小題）11．（2015?黔西南州）如右圖，AB是⊙O的直徑，CD為⊙O的一條弦，CD⊥AB于點(diǎn)E，已知CD=4，AE=1，則⊙O的半徑為．12．（2015?宿遷）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠C=130°，則∠BOD=°．13．（2015?南昌）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，CO的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)D，∠A=50°，∠B=30°，則∠ADC的度數(shù)為．14．（2015?青島）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD兩組對(duì)邊的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠A=55°，∠E=30°，則∠F=．15．（2015?甘南州）如圖，AB為⊙O的弦，⊙O的半徑為5，OC⊥AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)C，且CD=1，則弦AB的長(zhǎng)是．三．解答題（共5小題）16．（2015?永州）如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB=AC，直徑AD交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)是OE上的一點(diǎn)，使CF∥BD．（1）求證：BE=CE；（2）試判斷四邊形BFCD的形狀，并說(shuō)明理由；（3）若BC=8，AD=10，求CD的長(zhǎng)．17．（2015?安徽）在⊙O中，直徑AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在⊙O上，且OP⊥PQ．（1）如圖1，當(dāng)PQ∥AB時(shí)，求PQ的長(zhǎng)度；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在BC上移動(dòng)時(shí)，求PQ長(zhǎng)的最大值．18．（2015?濱州）如圖，⊙O的直徑AB的長(zhǎng)為10，弦AC的長(zhǎng)為5，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D．（1）求的長(zhǎng)．（2）求弦BD的長(zhǎng)．19．（2015?丹東）如圖，AB是⊙O的直徑，=，連接ED、BD，延長(zhǎng)AE交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C．（1）若OA=CD=2，求陰影部分的面積；（2）求證：DE=DM．20．（2014?湖州）已知在以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點(diǎn)C，D（如圖）．（1）求證：AC=BD；（2）若大圓的半徑R=10，小圓的半徑r=8，且圓O到直線AB的距離為6，求AC的長(zhǎng)．參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2015?安順）如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，∠A=22.5°，OC=4，CD的長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．4 D．8【考點(diǎn)】垂徑定理；等腰直角三角形；圓周角定理．【分析】根據(jù)圓周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直徑AB垂直于弦CD，根據(jù)垂徑定理得CE=DE，且可判斷△OCE為等腰直角三角形，所以CE=OC=2，然后利用CD=2CE進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵⊙O的直徑AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE為等腰直角三角形，∴CE=OC=2，∴CD=2CE=4．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和垂徑定理．2．（2015?酒泉）△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，若∠AOC=160°，則∠ABC的度數(shù)是（）A．80° B．160° C．100° D．80°或100°【考點(diǎn)】圓周角定理．【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，由圓周角定理即可求得答案∠ABC的度數(shù)，又由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可求得∠ABC的度數(shù)．【解答】解：如圖，∵∠AOC=160°，∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°，∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°．∴∠ABC的度數(shù)是：80°或100°．故選D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理與圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．此題難度不大，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用，注意別漏解．3．（2015?蘭州）如圖，已知經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的⊙P與x、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是劣弧OB上一點(diǎn)，則∠ACB=（）A．80° B．90° C．100° D．無(wú)法確定【考點(diǎn)】圓周角定理；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【分析】由∠AOB與∠ACB是優(yōu)弧AB所對(duì)的圓周角，根據(jù)圓周角定理，即可求得∠ACB=∠AOB=90°．【解答】解：∵∠AOB與∠ACB是優(yōu)弧AB所對(duì)的圓周角，∴∠AOB=∠ACB，∵∠AOB=90°，∴∠ACB=90°．故選B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理．此題比較簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是觀察圖形，得到∠AOB與∠ACB是優(yōu)弧AB所對(duì)的圓周角．4．（2015?包頭）如圖，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后得到△ADE，點(diǎn)B經(jīng)過(guò)的路徑為，則圖中陰影部分的面積為（）A．π B．π C．π D．π【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算；勾股定理的逆定理；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【分析】根據(jù)AB=5，AC=3，BC=4和勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△AED的面積=△ABC的面積，得到陰影部分的面積=扇形ADB的面積，根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可．【解答】解：∵AB=5，AC=3，BC=4，∴△ABC為直角三角形，由題意得，△AED的面積=△ABC的面積，由圖形可知，陰影部分的面積=△AED的面積+扇形ADB的面積﹣△ABC的面積，∴陰影部分的面積=扇形ADB的面積==，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是扇形面積的計(jì)算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理的逆定理，根據(jù)圖形得到陰影部分的面積=扇形ADB的面積是解題的關(guān)鍵．5．（2015?黃岡中學(xué)自主招生）如圖，直徑為10的⊙A經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，5）和點(diǎn)O（0，0），B是y軸右側(cè)⊙A優(yōu)弧上一點(diǎn)，則∠OBC的正弦值為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】圓周角定理；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義．【分析】首先連接AC，OA，由直徑為10的⊙A經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，5）和點(diǎn)O（0，0），可得△OAC是等邊三角形，繼而可求得∠OAC的度數(shù)，又由圓周角定理，即可求得∠OBC的度數(shù)，則可求得答案．【解答】解：連接AC，OA，∵點(diǎn)C（0，5）和點(diǎn)O（0，0），∴OC=5，∵直徑為10，∴AC=OA=5，∴AC=OA=OC，∴△OAC是等邊三角形，∴∠OAC=60°，∴∠OBC=∠OAC=30°，∴∠OBC的正弦值為：sin30°=．故選A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)以與三角函數(shù)的知識(shí)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．6．（2015?黃岡中學(xué)自主招生）將沿弦BC折疊，交直徑AB于點(diǎn)D，若AD=4，DB=5，則BC的長(zhǎng)是（）A．3 B．8 C． D．2【考點(diǎn)】圓周角定理；翻折變換（折疊問(wèn)題）；射影定理．【專題】計(jì)算題．【分析】若連接CD、AC，則根據(jù)同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弦相等，求得AC=CD；過(guò)C作AB的垂線，設(shè)垂足為E，則DE=AD，由此可求出BE的長(zhǎng)，進(jìn)而可在Rt△ABC中，根據(jù)射影定理求出BC的長(zhǎng)．【解答】解：連接CA、CD；根據(jù)折疊的性質(zhì)，知所對(duì)的圓周角等于∠CBD，又∵所對(duì)的圓周角是∠CBA，∵∠CBD=∠CBA，∴AC=CD（相等的圓周角所對(duì)的弦相等）；∴△CAD是等腰三角形；過(guò)C作CE⊥AB于E．∵AD=4，則AE=DE=2；∴BE=BD+DE=7；在Rt△ACB中，CE⊥AB，根據(jù)射影定理，得：BC2=BE?AB=7×9=63；故BC=3．故選A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是折疊的性質(zhì)、圓周角定理、以與射影定理；能夠根據(jù)圓周角定理來(lái)判斷出△ACD是等腰三角形，是解答此題的關(guān)鍵．7．（2015?齊齊哈爾）如圖，兩個(gè)同心圓，大圓的半徑為5，小圓的半徑為3，若大圓的弦AB與小圓有公共點(diǎn)，則弦AB的取值范圍是（）A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系；勾股定理；垂徑定理．【分析】此題可以首先計(jì)算出當(dāng)AB與小圓相切的時(shí)候的弦長(zhǎng)．連接過(guò)切點(diǎn)的半徑和大圓的一條半徑，根據(jù)勾股定理和垂徑定理，得AB=8．若大圓的弦AB與小圓有公共點(diǎn)，即相切或相交，此時(shí)AB≥8；又因?yàn)榇髨A最長(zhǎng)的弦是直徑10，則8≤AB≤10．【解答】解：當(dāng)AB與小圓相切，∵大圓半徑為5，小圓的半徑為3，∴AB=2=8．∵大圓的弦AB與小圓有公共點(diǎn)，即相切或相交，∴8≤AB≤10．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了切線的性質(zhì)、勾股定理和垂徑定理．此題可以首先計(jì)算出和小圓相切時(shí)的弦長(zhǎng)，再進(jìn)一步分析有公共點(diǎn)時(shí)的弦長(zhǎng)．8．（2015?衢州）如圖，已知△ABC，AB=BC，以AB為直徑的圓交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D的⊙O的切線交BC于點(diǎn)E．若CD=5，CE=4，則⊙O的半徑是（）A．3 B．4 C． D．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】首先連接OD、BD，判斷出OD∥BC，再根據(jù)DE是⊙O的切線，推得DE⊥OD，所以DE⊥BC；然后根據(jù)DE⊥BC，CD=5，CE=4，求出DE的長(zhǎng)度是多少；最后判斷出BD、AC的關(guān)系，根據(jù)勾股定理，求出BC的值是多少，再根據(jù)AB=BC，求出AB的值是多少，即可求出⊙O的半徑是多少．【解答】解：如圖1，連接OD、BD，，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AC，又∵AB=BC，∴AD=CD，又∵AO=OB，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥BC，∵DE是⊙O的切線，∴DE⊥OD，∴DE⊥BC，∵CD=5，CE=4，∴DE=，∵S△BCD=BD?CD÷2=BC?DE÷2，∴5BD=3BC，∴，∵BD2+CD2=BC2，∴，解得BC=，∵AB=BC，∴AB=，∴⊙O的半徑是；．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線的性質(zhì)，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．②經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)．③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心．9．（2014?舟山）如圖，⊙O的直徑CD垂直弦AB于點(diǎn)E，且CE=2，DE=8，則AB的長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．6 D．8【考點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)CE=2，DE=8，得出半徑為5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE，根據(jù)垂徑定理得出AB的長(zhǎng)．【解答】解：∵CE=2，DE=8，∴OB=5，∴OE=3，∵AB⊥CD，∴在△OBE中，得BE=4，∴AB=2BE=8．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理以與垂徑定理，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．10．（2015?海南）如圖，將⊙O沿弦AB折疊，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心O，點(diǎn)P是優(yōu)弧上一點(diǎn)，則∠APB的度數(shù)為（）A．45° B．30° C．75° D．60°【考點(diǎn)】圓周角定理；含30度角的直角三角形；翻折變換（折疊問(wèn)題）．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】作半徑OC⊥AB于D，連結(jié)OA、OB，如圖，根據(jù)折疊的性質(zhì)得OD=CD，則OD=OA，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到∠OAD=30°，接著根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠AOB=120°，然后根據(jù)圓周角定理計(jì)算∠APB的度數(shù)．【解答】解：作半徑OC⊥AB于D，連結(jié)OA、OB，如圖，∵將⊙O沿弦AB折疊，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心O，∴OD=CD，∴OD=OC=OA，∴∠OAD=30°，而OA=OB，∴∠CBA=30°，∴∠AOB=120°，∴∠APB=∠AOB=60°．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系和折疊的性質(zhì)．二．填空題（共5小題）11．（2015?黔西南州）如圖，AB是⊙O的直徑，CD為⊙O的一條弦，CD⊥AB于點(diǎn)E，已知CD=4，AE=1，則⊙O的半徑為．【考點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理．【分析】連接OC，由垂徑定理得出CE=CD=2，設(shè)OC=OA=x，則OE=x﹣1，由勾股定理得出CE2+OE2=OC2，得出方程，解方程即可．【解答】解：連接OC，如圖所示：∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，∴CE=CD=2，∠OEC=90°，設(shè)OC=OA=x，則OE=x﹣1，根據(jù)勾股定理得：CE2+OE2=OC2，即22+（x﹣1）2=x2，解得：x=；故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理、勾股定理、解方程；熟練掌握垂徑定理，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．12．（2015?宿遷）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠C=130°，則∠BOD=100°．【考點(diǎn)】圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠A=180°﹣∠C=50°，然后根據(jù)圓周角定理求∠BOD．【解答】解：∵∠A+∠C=180°，∴∠A=180°﹣130°=50°，∴∠BOD=2∠A=100°．故答案為100．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．也考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．13．（2015?南昌）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，CO的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)D，∠A=50°，∠B=30°，則∠ADC的度數(shù)為110°．【考點(diǎn)】圓周角定理．【分析】根據(jù)圓周角定理求得∠BOC=100°，進(jìn)而根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求得∠BDC=70°，然后根據(jù)鄰補(bǔ)角求得∠ADC的度數(shù)．【解答】解：∵∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°，∵∠B=30°，∠BOC=∠B+?BDC，∴∠BDC=∠BOC﹣∠B=100°﹣30°=70°，∴∠ADC=180°﹣∠BDC=110°，故答案為110°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角和圓周角的關(guān)系與三角形外角的性質(zhì)，圓心角和圓周角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．14．（2015?青島）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD兩組對(duì)邊的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠A=55°，∠E=30°，則∠F=40°．【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．【專題】計(jì)算題．【分析】先根據(jù)三角形外角性質(zhì)計(jì)算出∠EBF=∠A+∠E=85°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算出∠BCD=180°﹣∠A=125°，然后再根據(jù)三角形外角性質(zhì)求∠F．【解答】解：∵∠A=55°，∠E=30°，∴∠EBF=∠A+∠E=85°，∵∠A+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°﹣55°=125°，∵∠BCD=∠F+∠CBF，∴∠F=125°﹣85°=40°．故答案為40°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角．也考查了三角形外角性質(zhì)．15．（2015?甘南州）如圖，AB為⊙O的弦，⊙O的半徑為5，OC⊥AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)C，且CD=1，則弦AB的長(zhǎng)是6．【考點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理．【專題】壓軸題．【分析】連接AO，得到直角三角形，再求出OD的長(zhǎng)，就可以利用勾股定理求解．【解答】解：連接AO，∵半徑是5，CD=1，∴OD=5﹣1=4，根據(jù)勾股定理，AD===3，∴AB=3×2=6，因此弦AB的長(zhǎng)是6．【點(diǎn)評(píng)】解答此題不僅要用到垂徑定理，還要作出輔助線AO，這是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）16．（2015?永州）如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB=AC，直徑AD交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)是OE上的一點(diǎn)，使CF∥BD．（1）求證：BE=CE；（2）試判斷四邊形BFCD的形狀，并說(shuō)明理由；（3）若BC=8，AD=10，求CD的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理；菱形的判定．【分析】（1）證明△ABD≌△ACD，得到∠BAD=∠CAD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證明；（2）菱形，證明△BFE≌△CDE，得到BF=DC，可知四邊形BFCD是平行四邊形，易證BD=CD，可證明結(jié)論；（3）設(shè)DE=x，則根據(jù)CE2=DE?AE列方程求出DE，再用勾股定理求出CD．【解答】（1）證明：∵AD是直徑，∴∠ABD=∠ACD=90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACD，∴∠BAD=∠CAD，∵AB=AC，∴BE=CE；（2）四邊形BFCD是菱形．證明：∵AD是直徑，AB=AC，∴AD⊥BC，BE=CE，∵CF∥BD，∴∠FCE=∠DBE，在△BED和△CEF中，∴△BED≌△CEF，∴CF=BD，∴四邊形BFCD是平行四邊形，∵∠BAD=∠CAD，∴BD=CD，∴四邊形BFCD是菱形；（3）解：∵AD是直徑，AD⊥BC，BE=CE，∴CE2=DE?AE，設(shè)DE=x，∵BC=8，AD=10，∴42=x（10﹣x），解得：x=2或x=8（舍去）在Rt△CED中，CD===2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)：垂徑定理、圓周角定理，三角形全等的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判定與性質(zhì)，熟悉圓的有關(guān)性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．17．（2015?安徽）在⊙O中，直徑AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在⊙O上，且OP⊥PQ．（1）如圖1，當(dāng)PQ∥AB時(shí)，求PQ的長(zhǎng)度；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在BC上移動(dòng)時(shí)，求PQ長(zhǎng)的最大值．【考點(diǎn)】圓周角定理；勾股定理；解直角三角形．【專題】計(jì)算題．【分析】（1）連結(jié)OQ，如圖1，由PQ∥AB，OP⊥PQ得到OP⊥AB，在Rt△OBP中，利用正切定義可計(jì)算出OP=3tan30°=，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可計(jì)算出PQ=；（2）連結(jié)OQ，如圖2，在Rt△OPQ中，根據(jù)勾股定理得到PQ=，則當(dāng)OP的長(zhǎng)最小時(shí)，PQ的長(zhǎng)最大，根據(jù)垂線段最短得到OP⊥BC，則OP=OB=，所以PQ長(zhǎng)的最大值=．【解答】解：（1）連結(jié)OQ，如圖1，∵PQ∥AB，OP⊥PQ，∴OP⊥AB，在Rt△OBP中，∵tan∠B=，∴OP=3tan30°=，在Rt△OPQ中，∵OP=，OQ=3，∴PQ==；（2）連結(jié)OQ，如圖2，在Rt△OPQ中，PQ==，當(dāng)OP的長(zhǎng)最小時(shí)，PQ的長(zhǎng)最大，此時(shí)OP⊥BC，則OP=OB=，∴PQ長(zhǎng)的最大值為=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．也考查了勾股定理和解直角三角形．18．（2015?濱州）如圖，⊙O的直徑AB的長(zhǎng)為10，弦AC的長(zhǎng)為5，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D．（1）求的長(zhǎng)．（2）求弦BD的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】圓周角定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形；弧長(zhǎng)的計(jì)算．【分析】（1）首先根據(jù)AB是⊙O的直徑，可得∠ACB=∠ADB=90°，然后在Rt△ABC中，求出∠BAC的度數(shù)，即可求出∠BOC的度數(shù)；最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式，求出的長(zhǎng)即可．（2）首先根據(jù)CD平分∠ACB，可得∠ACD=∠BCD；然后根據(jù)圓周角定理，可得∠AOD=∠BOD，所以AD=BD，∠ABD=∠BAD=45°；最后在Rt△ABD中，求出弦BD的長(zhǎng)是多少即可．【解答】解：（1）如圖，連接OC，OD，，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ABC中，∵，∴∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，∴的長(zhǎng)=．（2）∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠AOD=∠BOD，∴AD=BD，∴∠ABD=∠BAD=45°，在Rt△ABD中，BD=AB×sin45°=10×．【點(diǎn)評(píng)】（1）此題主要考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半，要熟練掌握．（2）此題還考查了含30度角的直角三角形，以與等腰直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握．（3）此題還考查了弧長(zhǎng)的求法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①弧