2022-2023學(xué)年北京市昌平區(qū)高二年級上冊學(xué)期數(shù)學(xué)期末模擬測試（一）試題【含答案】

2022-2023學(xué)年北京市昌平區(qū)第二中學(xué)高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末模擬測試（一）試題一、單選題1．已知點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】由點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即.故選：B2．圓心為，半徑為的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，由題中條件，可直接得出結(jié)果.【詳解】圓心為，半徑為的圓的方程為.故選：D.3．已知直線和互相平行，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】根據(jù)兩直線平行的條件求解．【詳解】時(shí)，兩直線顯然不平行，時(shí)，則，解得或．故選：C．【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：本題考查由直線平行求參數(shù)值，解題時(shí)要注意在由條件求參數(shù)時(shí)，求得的參數(shù)值一般需代入直線方程檢驗(yàn)，去除兩直線重合的可能，否則易出錯．如果采取分類討論方法：先考慮系數(shù)為0，然后在一個(gè)方程中系數(shù)全不為0時(shí)，用比值進(jìn)行求解，一般不會出錯．4．在的展開式中，的系數(shù)為（

）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】B【分析】由展開式的通項(xiàng)，由得出的系數(shù).【詳解】展開式的通項(xiàng)為由，解得，則的系數(shù)為故選：B5．如圖所示,在正方體中,點(diǎn)F是側(cè)面的中心,設(shè),則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量基本定理將轉(zhuǎn)化為即可選出答案.【詳解】解:由題知,點(diǎn)F是側(cè)面的中心,為中點(diǎn),則,故選:A6．用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為A．24 B．48C．60 D．72【答案】D【詳解】試題分析：由題意，要組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)，則個(gè)位數(shù)應(yīng)該為1或3或5，其他位置共有種排法，所以奇數(shù)的個(gè)數(shù)為，故選D.【解析】排列、組合【名師點(diǎn)睛】利用排列、組合計(jì)數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類和分步，分類時(shí)要注意不重不漏，分步時(shí)要注意整個(gè)事件的完成步驟．在本題中，個(gè)位是特殊位置，第一步應(yīng)先安排這個(gè)位置，第二步再安排其他四個(gè)位置．7．設(shè)，則“”是“直線與直線垂直”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．重要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先根據(jù)直線垂直求出的值，再根據(jù)充分性和必要性的概念得答案.【詳解】直線與直線垂直則，解得或，則“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件.故選：A.8．已知雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【解析】先求出橢圓焦點(diǎn)坐（橢圓的半焦距），再由雙曲線中的關(guān)系計(jì)算出．【詳解】橢圓的半焦距為，∴雙曲線中，∴（∵）．故選：C．【點(diǎn)睛】晚錯點(diǎn)睛：橢圓與雙曲線中都是參數(shù)，但它們的關(guān)系不相同：橢圓中，雙曲線中，不能混淆．這也是易錯的地方．9．已知直線和圓：，則直線與圓的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【答案】A【解析】求出直線過的定點(diǎn)坐標(biāo)，確定定點(diǎn)在圓內(nèi)，則可判斷．【詳解】直線方程整理為，即直線過定點(diǎn)，而，在圓內(nèi)，∴直線與圓相交．故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與圓的位置關(guān)系．關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)：一是確定動直線所過定點(diǎn)坐標(biāo)，二是確定點(diǎn)到圓的位置關(guān)系：圓的一般方程為，點(diǎn)，則點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓外．10．如圖，P是邊長為1的正方體對角線上一動點(diǎn)，設(shè)的長度為x，若的面積為，則的圖象大致是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)正方體的棱長為，連接交于，連接，則是等腰的高，的面積為，，化簡代入，即可得到函數(shù)解析式，即可得到答案.【詳解】設(shè)正方體的棱長為，連接交于，連接，則是等腰的高，故的面積為在中，畫出其圖象如圖所示故選：A.二、填空題11．的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_______．【答案】【分析】先求出展開式的通項(xiàng)公式，令可得答案.【詳解】的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為．令得．所以的二項(xiàng)展開式的常數(shù)項(xiàng)為．故答案為：12．若空間向量，，共面，則______________.【答案】【解析】設(shè)，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于、、的方程組，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由于、、共面，設(shè)，因?yàn)榭臻g向量，，，則，解得，故答案為：.13．如圖，在正方體中，E，F(xiàn)，G，H分別為AA1，AB，BB1，B1C1的中點(diǎn)，則異面直線EF與GH所成的角等于_________．【答案】##【分析】根據(jù)中點(diǎn)，得到∥，∥，然后根據(jù)平行得到為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，最后求角即可.【詳解】如圖，連接，，，因?yàn)?，，，分別為，，，的中點(diǎn)，所以∥，∥，為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，因?yàn)闉檎襟w，所以三角形為正三角形，所以.故答案為：.14．拋物線上到其焦點(diǎn)的距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________．【答案】【解析】設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)拋物線的定義求得，并求出對應(yīng)的，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線的準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義得，解得，此時(shí).因此，拋物線上到其焦點(diǎn)的距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用拋物線的定義求點(diǎn)的坐標(biāo)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15．已知曲線，，其中.①當(dāng)時(shí)，曲線與有4個(gè)公共點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，曲線圍成的區(qū)域面積大于曲線圍成的區(qū)域面積；③，曲線圍成的區(qū)域面積等于圍成的區(qū)域面積；④，曲線圍成的區(qū)域內(nèi)整點(diǎn)（即橫、坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）個(gè)數(shù)不少于曲線圍成的區(qū)域內(nèi)整點(diǎn)個(gè)數(shù).其中，所有正確結(jié)論的序號是________.【答案】①③④【解析】當(dāng)時(shí)，由可解得交點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷①；當(dāng)時(shí)，可知，當(dāng)取同一個(gè)值時(shí)，即可判斷②；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)與的方程中取同一個(gè)大于的數(shù)，可得即可判斷③；分別討論當(dāng)和時(shí)的整數(shù)點(diǎn)比較可判斷④，進(jìn)而可得正確答案.【詳解】對于①：當(dāng)時(shí)，曲線，，令可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以與有4個(gè)公共點(diǎn)分別為，，，，共個(gè)，故①正確；對于②：當(dāng)時(shí)，由與的方程可知，當(dāng)取同一個(gè)值時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以曲線圍成的區(qū)域面積小于曲線圍成的區(qū)域面積；故②不正確；對于③：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)與的方程中取同一個(gè)大于的數(shù)，可得，所以，曲線圍成的區(qū)域面積等于圍成的區(qū)域面積；故③正確；對于④：當(dāng)時(shí)，曲線圍成的區(qū)域內(nèi)整點(diǎn)個(gè)數(shù)等于曲線圍成的區(qū)域內(nèi)整點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，取同一個(gè)大于的數(shù)，可得，此時(shí)曲線圍成的區(qū)域內(nèi)整點(diǎn)個(gè)數(shù)較多，所以曲線圍成的區(qū)域內(nèi)整點(diǎn)個(gè)數(shù)不少于曲線圍成的區(qū)域內(nèi)整點(diǎn)個(gè)數(shù)，故④正確；故答案為：①③④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是分情況討論和時(shí)，當(dāng)取同一個(gè)值時(shí)，兩個(gè)曲線方程中的大小的比較，此類多采用數(shù)形結(jié)合的思想.三、雙空題16．已知雙曲線（其中）的漸近線方程為，則________，的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為________.【答案】

2

【分析】由雙曲線的漸近線方程為可得：a=b，再求出焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】∵雙曲線（其中）的漸近線方程為∴，∴∴，∴即的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為故答案為：2，.四、解答題17．已知圓的圓心坐標(biāo)為，且與軸相切，直線過與圓交于、兩點(diǎn)，且．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求直線的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）求出圓的半徑，即可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）利用勾股定理計(jì)算出圓心到直線的距離，分析可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可得出直線的方程.【詳解】（1）解：由題意可知，圓的半徑為，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：設(shè)圓心到直線的距離為，則.若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為，不合乎題意.所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得或，所以，直線的方程為或，即或.18．如圖長方體中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）見解析（2）見解析（3）【分析】（1）作輔助線，由中位線定理證明，再由線面平行的判定定理證明即可；（2）連接，由勾股定理證明，，再結(jié)合線面垂直的判定定理證明即可；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求面面角的余弦值即可.【詳解】（1）連接交與點(diǎn)，連接四邊形為正方形，點(diǎn)為的中點(diǎn)又點(diǎn)為的中點(diǎn)，平面，平面平面（2）連接由勾股定理可知，，則同理可證，平面平面（3）建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系顯然平面的法向量即為平面的法向量，不妨設(shè)為由（2）可知平面，即平面的法向量為又二面角是鈍角二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在第一問中，關(guān)鍵是利用中位線定理找到線線平行，再由定義證明線面平行；在第二問中，關(guān)鍵是利用勾股定理證明線線垂直，從而得出線面垂直；在第三問中，關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，利用向量法求面面角的余弦值.19．已知直線l過，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求直線l的方程以及線段的中點(diǎn)坐標(biāo)；(2)判斷與是否垂直，并說明理由．【答案】(1)直線l的方程為，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為；直線l的方程為，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為；(2)不垂直于，理由見解析【分析】（1）討論直線的斜率存在或不存在，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線和拋物線的方程得到，利用韋達(dá)定理和弦長公式得到關(guān)于的方程，即可求解；（2）結(jié)合（1）的韋達(dá)定理得到，從而得到，即可判斷.【詳解】（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即直線的方程為，此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線和拋物線的方程，得，又，則，，所以，解得：或，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，當(dāng)時(shí)，直線的方程為；此時(shí)，，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，綜上：直線l的方程為，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為；直線l的方程為，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）不垂直于，理由如下：由（1）得：，又，，則，所以不垂直于.20．在四棱錐中，為正三角形，平面平面，E為的中點(diǎn)，，，．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在點(diǎn)M，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）在棱上存在點(diǎn)M滿足題意，．【分析】（Ⅰ）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可證得平面，由面面垂直的判定定理證得結(jié)論；（Ⅱ）取中點(diǎn)，可證得兩兩互相垂直，由此以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面角的向量求法可求得結(jié)果；（Ⅲ）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，由線面垂直的性質(zhì)可知，，由此得到，解出后即可得到結(jié)果.【詳解】（Ⅰ），，，平面平面，平面底面，平面，平面，又平面，平面平面.（Ⅱ）取中點(diǎn)，連接，分別為中點(diǎn)，，平面；為等邊三角形，為中點(diǎn)，，平面平面，平面底面，平面，平面，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，可建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，，設(shè)直線與平面所成角為，.即直線與平面所成角的正弦值為.（Ⅲ）假設(shè)在棱上存在點(diǎn)，使得平面，則，，設(shè)，又，，，，，解得：，即，在棱上存在點(diǎn)，使得平面，此時(shí).【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中面面垂直關(guān)系的證明、空間向量法求解線面角和存在性問題；利用空間向量法求解存在性問題的關(guān)鍵是首先假設(shè)存在，采用待定系數(shù)法的方式得到所求點(diǎn)所滿足的方程，解方程求得系數(shù)即可.21．已知橢圓的離心率為，四邊形的各頂點(diǎn)均在橢圓上，且對角線、均過坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，、的斜率之積為．(1)求橢圓的方程；(2)過作直線平行于．若直線平行于，且與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，與直線交于點(diǎn)．①證明：直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；②證明：存在常數(shù)，使得，并求出的值．【答案】(1)(2)①證明見解析；②存在，且【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）①求出直線的方程，再將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，由可證得結(jié)論成立；②設(shè)直線的方程為，其中、，將直線的方程與橢圓的方程，列出韋達(dá)定理，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用弦長公式并結(jié)合韋