顏第章相關(guān)與回歸

第6章相關(guān)和回歸分析第一節(jié)相關(guān)關(guān)系和相關(guān)分析的內(nèi)容第二節(jié)相關(guān)圖表和簡單相關(guān)系數(shù)第三節(jié)簡單線性回歸分析第四節(jié)非線性回歸方程一、函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系1.函數(shù)關(guān)系當一個或幾個變量取一定的值時，另一個變量有確定值與之相對應，我們稱這種關(guān)系為確定性的函數(shù)關(guān)系。第一節(jié)相關(guān)關(guān)系和相關(guān)分析的內(nèi)容（函數(shù)關(guān)系）（1）是一一對應的確定關(guān)系（2）設(shè)有兩個變量x和y，變量y隨變量x一起變化，并完全依賴于x，當變量x取某個數(shù)值時，y依確定的關(guān)系取相應的值，則稱y是x的函數(shù)，記為y=f(x)，其中x稱為自變量，y稱為因變量（3）各觀測點落在一條線上xy變量間的關(guān)系

（函數(shù)關(guān)系）函數(shù)關(guān)系的例子某種商品的銷售額(y)與銷售量(x)之間的關(guān)系可表示為y=px(p為單價)圓的面積(S)與半徑之間的關(guān)系可表示為S=r2企業(yè)的原材料消耗額(y)與產(chǎn)量(x1)、單位產(chǎn)量消耗(x2)、原材料價格(x3)之間的關(guān)系可表示為y=x1x2x32.相關(guān)關(guān)系：當一個或幾個相互聯(lián)系的變量取一定數(shù)值時，與之相對應的另一變量的值雖然不確定，但它仍按某種規(guī)律在一定的范圍內(nèi)變化?，F(xiàn)象之間客觀存在的不嚴格、不確定的數(shù)量依存關(guān)系。變量間的關(guān)系

（相關(guān)關(guān)系）（1）變量間關(guān)系不能用函數(shù)關(guān)系精確表達；（2）一個變量的取值不能由另一個變量唯一確定；（3）當變量x取某個值時，變量y的取值可能有幾個；（4）各觀測點分布在直線周圍。xy（相關(guān)關(guān)系）相關(guān)關(guān)系的例子商品的消費量(y)與居民收入(x)之間的關(guān)系商品的消費量(y)與物價(x)之間的關(guān)系糧食畝產(chǎn)量(y)與施肥量(x1)、降雨量(x2)、溫度(x3)之間的關(guān)系收入水平(y)與受教育程度(x)之間的關(guān)系父親身高(y)與子女身高(x)之間的關(guān)系相關(guān)關(guān)系也具有某種變動規(guī)律性，所以，相關(guān)關(guān)系經(jīng)常可以用一定的函數(shù)形式去近似地描述?？陀^現(xiàn)象的函數(shù)關(guān)系可以用數(shù)學分析的方法去研究，而研究客觀現(xiàn)象的相關(guān)關(guān)系則是借助于統(tǒng)計學中的相關(guān)與回歸分析方法。指出下列現(xiàn)象之間屬于相關(guān)關(guān)系還是函數(shù)關(guān)系？1.商品流轉(zhuǎn)規(guī)模越大，流通費用率越低。2.秤砣的誤差越大，所權(quán)衡的誤差也越大。3.測量次數(shù)越多，其平均長度越接近于實際長度。4.物體體積隨著溫度升高而膨脹，隨著壓力加大而收縮。5.車輛使用年限越長，修理費用增長越快。6.圓的半徑越大，其面積也越大。7.廣告費用支出越多，商品銷售額也有增長傾向。8.機械化程度越高，勞動生產(chǎn)率一般也越高。二、相關(guān)關(guān)系的種類1.按相關(guān)的程度可分為完全相關(guān)、不完全相關(guān)和不相關(guān)。——當一種現(xiàn)象的數(shù)量變化完全由另一個現(xiàn)象的數(shù)量變化所確定時，稱這兩種現(xiàn)象間的關(guān)系為完全相關(guān)。在這種場合，相關(guān)關(guān)系便成為函數(shù)關(guān)系。因此也可以說函數(shù)關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的一個特例。——當兩個現(xiàn)象彼此互不影響，其數(shù)量變化各自獨立時，稱為不相關(guān)現(xiàn)象?！獌蓚€現(xiàn)象之間的關(guān)系介于完全相關(guān)和不相關(guān)之間，稱為不完全相關(guān)，一般的相關(guān)現(xiàn)象都是指這種不完全相關(guān)。2.按相關(guān)形式劃分可以分為線性相關(guān)和非線性相關(guān)。圖中（1）、（2）為線性相關(guān)，（3）、（4）為非線性相關(guān)3.按相關(guān)的方向劃分可分為正相關(guān)和負相關(guān)。（1）正相關(guān)：兩個相關(guān)現(xiàn)象間，當一個變量的數(shù)值增加（或減少）時，另一個變量的數(shù)值也隨之增加（或減少），即同方向變化?！缡杖肱c消費的關(guān)系。（2）負相關(guān)：當一個變量的數(shù)值增加（或減少）時，而另一個變量的數(shù)值相反地呈減少（或增加）趨勢變化，即反方向變化?！缥飪r與消費的關(guān)系。4.按相關(guān)關(guān)系涉及的因素多少劃分分為單相關(guān)、復相關(guān)和偏相關(guān)。兩個變量之間的相關(guān)，稱為單相關(guān)。當所研究的是一個變量對兩個或兩個以上其他變量的相關(guān)關(guān)系時，稱為復相關(guān)。在某一現(xiàn)象與多種現(xiàn)象相關(guān)的場合，假定其他變量不變，專門考察其中兩個變量的相關(guān)關(guān)系稱為偏相關(guān)。例如，在假定人們的收入水平不變的條件下，某種商品的需求與其價格水平的關(guān)系就是一種偏相關(guān)。三、相關(guān)分析的內(nèi)容1.確定相關(guān)關(guān)系的存在，相關(guān)關(guān)系呈現(xiàn)的的形態(tài)和方向，相關(guān)的密切程度。繪制相關(guān)圖表，計算相關(guān)系數(shù)。2.確定相關(guān)系數(shù)的數(shù)學表達式——回歸分析。3.確定因變量估計值誤差的程度。擬合程度的評價計算估計標準誤第二節(jié)相關(guān)圖表和簡單相關(guān)系數(shù)一、相關(guān)表1.簡單相關(guān)表：將自變量x的數(shù)值按照從小到大的順序，并配合因變量y的數(shù)值一一對應而平行排列的表。例：為了研究分析某種勞務產(chǎn)品完成量與其單位產(chǎn)品成本之間的關(guān)系，調(diào)查30個同類服務公司得到的原始數(shù)據(jù)如表。 整理后有2.分組相關(guān)表：按自變量x分組，并計算次數(shù)f，對應的因變量y不分組，計算其平均數(shù)。二、相關(guān)圖：又稱散點圖。將x置于橫軸上，y置于縱軸上，將（x,y）繪于坐標圖上。三、簡單相關(guān)系數(shù)的計算1.簡單相關(guān)系數(shù)：在線性條件下說明兩個變量之間相關(guān)關(guān)系密切程度的統(tǒng)計分析指標,簡稱相關(guān)系數(shù)，通常用表示。2.計算：計算相關(guān)系數(shù)的“積差法”3.相關(guān)系數(shù)的特點（1）ｒ的取值介于－１與１之間，r的取值范圍是[-1,1]（2）在大多數(shù)情況下，０＜|ｒ|＜１，即Ｘ與Ｙ的樣本觀測值之間存在著一定的線性關(guān)系，當ｒ＞０時，Ｘ與Ｙ為正相關(guān)，當ｒ＜０時，Ｘ與Ｙ為負相關(guān)。|ｒ|的數(shù)值愈接近于1，表示x與y直線相關(guān)程度愈高；反之，|ｒ|的數(shù)值愈接近于0，表示x與y直線相關(guān)程度愈低。通常判斷的標準是:|ｒ|＜0.3稱為微弱相關(guān)，0.3≤|ｒ|＜0.5稱為低度相關(guān)，0.５≤|ｒ|＜0.8稱為顯著相關(guān)，0.8≤|ｒ|＜1稱為高度相關(guān)或強相關(guān)。（3）如果|ｒ|=1，則表明Ｘ與Ｙ完全線性相關(guān)，當ｒ=1時，稱為完全正相關(guān)，而ｒ=-1時，稱為完全負相關(guān)。（4）ｒ是對變量之間線性相關(guān)關(guān)系的度量。ｒ=0只是表明兩個變量之間不存在線性關(guān)系，它并不意味著Ｘ與Ｙ之間不存在其他類型的關(guān)系。相關(guān)關(guān)系的測度

（相關(guān)系數(shù)取值及其意義）-1.0+1.00-0.5+0.5完全負相關(guān)無線性相關(guān)完全正相關(guān)負相關(guān)程度增加r正相關(guān)程度增加相關(guān)系數(shù)只度量變量間的線性關(guān)系，因此，弱相關(guān)不一定表明變量間沒有關(guān)系；極端值可能影響相關(guān)系數(shù)。警惕偽相關(guān)。相關(guān)關(guān)系可能是偽相關(guān)，即兩變量的相關(guān)只是表面上的,它實際上由第三變量引起，當?shù)谌兞肯r,相關(guān)關(guān)系亦隨之消失。請看下例。偽相關(guān)的例子：教堂數(shù)與監(jiān)獄服刑人數(shù)同步增長美國印第安納州的地區(qū)教會想要籌款興建新教堂，提出教堂能潔凈人們的心靈，減少犯罪，降低監(jiān)獄服刑人數(shù)的口號。為了增進民眾參與的熱誠和信心，教會的神父收集了近15年的教堂數(shù)與在監(jiān)獄服刑的人數(shù)進行統(tǒng)計分析。結(jié)果卻令教會大吃一驚。最近15年教堂數(shù)與監(jiān)獄服刑人數(shù)呈顯著的正相關(guān)。那么是否可以由此得出，教堂建得越多，就可能帶來更多的犯罪呢？2023/1/1024經(jīng)過統(tǒng)計學家和教會神父深入討論，并進一步收集近15年的當?shù)厝丝谧儎淤Y料和犯罪率等資料作進一步分析，發(fā)現(xiàn)：監(jiān)獄服刑人數(shù)的增加和教堂數(shù)的增加都與人口的增加有關(guān)。教堂數(shù)的增加并非監(jiān)獄服刑人數(shù)增加的原因。至此，教會人士總算松了一口氣。2023/1/1025還可以有：1234第三節(jié)簡單線性回歸分析相關(guān)分析與回歸分析的關(guān)系一元線性回歸模型擬合程度的評價估計標準誤2023/1/10281877年弗朗西斯?高爾頓爵士在遺傳學研究過程中測量了1078個父親及成年兒子的身高，它們之間的數(shù)量關(guān)系如圖1：2023/1/1029“回歸”一詞的由來：多數(shù)點子位于角平分斜線的兩側(cè)橢圓形面積之內(nèi)，落在斜線上的點子極少，即兒子與父親身高完全相同的極少。由點子落在斜線周圍還說明，高個子的父親有著較高身材的兒子，而矮個子父親的兒子身材也比較矮。同時，我們也看到一些遠離斜線的點子，這些點子反映的是父親的身高與兒子的身高相差甚遠的情況。比如高個子的父親有矮兒子的情況，或者矮父親有高個兒子的情況。45°線作相關(guān)分析知道，父親身高和兒子身高的相關(guān)系數(shù)為0.501，表明高個子的父親會有較高的兒子，而低個子父親的兒子也比較低，但這種相關(guān)關(guān)系并不明顯。那么，父子身高之間有什么規(guī)律呢？經(jīng)過對1078對父子身高數(shù)據(jù)的計算，得到：父親的平均身高=67.6英寸≈68英寸兒子的平均身高=68.7英寸≈69英寸兒子的平均身高比父親高一英寸，表明下一代的平均身高比上一代要高?這樣，我們會自然地猜測72英寸的父親平均會有73英寸的兒子；64英寸的父親平均會有65英寸的兒子。2023/1/1030圖2中斜虛線是從父子身高推測的關(guān)系，即58英寸父親有59英寸的兒子，59英寸的父親有60英寸的兒子等等。圖2中的實線是回歸線。2023/1/1031在父親身高64英寸和72英寸處的兩個條形虛線，表明64英寸高父親和72英寸高父親的兒子們身高的分布情況回歸regression平均身高圖2表明64英寸高父親的兒子們的身高多數(shù)高于65英寸，即較矮父親的兒子們多少比父親身材要高。而72英寸高父親的兒子們身高多數(shù)低于73英寸，甚至多數(shù)低于與父親同樣高度的72英寸，即較高父親的兒子們多數(shù)比父親身材要矮。這種現(xiàn)象稱為“回歸效應”即回歸到一般高度的效應。2023/1/1032一、回歸分析與相關(guān)分析的關(guān)系1.相關(guān)分析就是用一個指標來表明現(xiàn)象間相互依存關(guān)系的密切程度。廣義的相關(guān)分析包括相關(guān)關(guān)系的分析（狹義的相關(guān)分析）和回歸分析。2.回歸分析是指對具有相關(guān)關(guān)系的現(xiàn)象，根據(jù)其相關(guān)關(guān)系的具體形態(tài)，選擇一個合適的數(shù)學模型（稱為回歸方程式），用來近似地表達變量間的平均變化關(guān)系的一種統(tǒng)計分析方法。

相關(guān)分析回歸分析區(qū)別不必確定自變量和因變量必須事先確定哪個為自變量，哪個為因變量不能指出變量間相互關(guān)系的具體形式能確切的指出變量之間相互關(guān)系的具體形式變量一般都是隨機變量因變量是隨機的，自變量則作為研究時給定的非隨機變量聯(lián)系相關(guān)分析是回歸分析的基礎(chǔ)和前提；回歸分析是相關(guān)分析的深入和繼續(xù)。2023/1/1034二、簡單線性回歸方程回歸方程：經(jīng)整理，得到以下標準方程組b表示自變量x每變動一個計量單位時,因變量y的平均變動值，稱回歸系數(shù)。當b的符號為正時，x和y按相同方向變動，是正相關(guān)關(guān)系；當b的符號為負時，自變量x和因變量y按相反方向變動，是負相關(guān)關(guān)系。解該方程組可得例：現(xiàn)以前例的資料配合回歸直線，計算如下：b表示人口增加量每增加（或減少）1千人，該種食品的年需求量平均來說增加（或減少）0.530１十噸即5.301噸。根據(jù)回歸方程，還可以給出自變量的某一數(shù)值來估計或預測因變量平均可能值。例如，當人口增長量為400千人時，該食品的年需求量為用Excel進行回歸分析第1步：選擇“工具”下拉菜單第2步：選擇“數(shù)據(jù)分析”選項第3步：在分析工具中選擇“回歸”，然后選擇“確定”第4步：當對話框出現(xiàn)時在“Y值輸入?yún)^(qū)域”方框內(nèi)鍵入Y的數(shù)據(jù)區(qū)域在“X值輸入?yún)^(qū)域”方框內(nèi)鍵入X的數(shù)據(jù)區(qū)域在“置信度”選項中給出所需的數(shù)值在“輸出選項”中選擇輸出區(qū)域在“殘差”分析選項中選擇所需的選項Excel的輸出結(jié)果直線回歸方程中的回歸系數(shù)與相關(guān)系數(shù)的關(guān)系:三、一元線性回歸模型的檢驗2023/1/1042回歸模型的檢驗包括理論意義檢驗、一級檢驗和二級檢驗。理論意義檢驗主要涉及參數(shù)估計值的符號和取值區(qū)間，如果它們與實質(zhì)性科學的理論以及人們的實踐經(jīng)驗不相符，就說明模型不能很好地解釋現(xiàn)實的現(xiàn)象。一級檢驗又稱統(tǒng)計學檢驗，它是利用統(tǒng)計學中的抽樣理論來檢驗樣本回歸方程的可靠性，具體又可分為擬合程度評價和顯著性檢驗。一級檢驗是對所有現(xiàn)象進行回歸分析時都必須通過的檢驗。二級檢驗又稱計量經(jīng)濟學檢驗，它是對標準線性回歸模型的假定條件能否得到滿足進行檢驗，具體包括序列相關(guān)檢驗、異方差性檢驗、多重共線性檢驗等。所謂擬合優(yōu)度，是指樣本觀測值聚集在樣本回歸線周圍的緊密程度。測量緊密程度最常用的數(shù)量尺度是樣本判定系數(shù)（又稱決定系數(shù)）。它是建立在對總離差平方和進行分解的基礎(chǔ)之上的。2023/1/1043擬合優(yōu)度的評價總離差平方和的分解因變量y的取值是不同的，y取值的這種波動稱為變差。變差來源于兩個方面：由于自變量x的取值不同造成的；除x以外的其他因素(如x對y的非線性影響、測量誤差等)的影響。對一個具體的觀測值來說，離差的大小可以通過該實際觀測值與其均值之差來表示。離差平方和的分解（圖示）xyy{}}離差分解圖離差平方和的分解（三個平方和的關(guān)系）1、從圖上看有2、兩端平方后求和有SST=SSR+SSE殘差平方和（SSE）回歸平方和（SSR）總離差平方和（SST）{{{離差平方和的分解（三個平方和的意義）總離差平方和(SST)反映因變量的n個觀察值與其均值的總離差回歸平方和(SSR)反映自變量x的變化對因變量y取值變化的影響，或者說，是由于x與y之間的線性關(guān)系引起的y的取值變化，也稱為可解釋的離差平方和。殘差平方和(SSE)反映除x以外的其他因素對y取值的影響，也稱為不可解釋的離差平方和或剩余離差平方和。樣本決定系數(shù)（判定系數(shù)）1.回歸平方和占總離差平方和的比例：2.反映回歸直線的擬合程度。3.取值范圍在[0,1]之間。4.1，說明回歸方程擬合的越好；0，說明回歸方程擬合的越差。5.在一元線性回歸模型中，判定系數(shù)等于相關(guān)系數(shù)的平方，即四、估計標準誤差1.定義：是反映觀測值與其估計值的平均差異程度的指標?？傻煤喕?.在大樣本(n足夠大)情況下：3.作用（1）說明以回歸方程的估計值的代表性大小。（2）說明x和y的相關(guān)性大小。這時有定性分析是依據(jù)研究者的理論知識和實踐經(jīng)驗，對客觀現(xiàn)象之間是否存在相關(guān)關(guān)系、何種關(guān)系以及自變量因變量的確定作出判斷。定量分析在定性分析的基礎(chǔ)上，通過編制相關(guān)表、繪制相關(guān)圖、計算相關(guān)系數(shù)等方法，來判斷現(xiàn)象之間相關(guān)的方向、形態(tài)及密切程度，以及相應的回歸方程的擬合。五、正確運用回歸分析的條件——在定性的基礎(chǔ)上再進行定量分析。第四節(jié)非線性相關(guān)與回歸分析一、非線性函數(shù)形式的確定在對實際的客觀現(xiàn)象進行定量分析時，選擇回歸方程的具體形式應遵循以下原則：首先，方程形式應與有關(guān)實質(zhì)性科學的基本理論相一致。例如，采用冪函數(shù)的形式，能夠較好地表現(xiàn)生產(chǎn)函數(shù)；采用多項式方程能夠較好地反映總成本與總產(chǎn)量之間的關(guān)系等等。其次，方程有較高的擬合程度。因為只有這樣，才能說明回歸方程可以較好地反映現(xiàn)實經(jīng)濟的運行情況。最后，方程的數(shù)學形式要盡可能簡單。如果幾種形式都能基本符合上述兩項要求，則應該選擇其中數(shù)學形式較簡單的一種。一般來說，數(shù)學形式越簡單，其可操作性就越強。（一）拋物線函數(shù)（二）雙曲線函數(shù)（三