揚(yáng)州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院

第四章

近獨(dú)立粒子的最概然分布§4-1粒子微觀狀態(tài)的描述§4-2系統(tǒng)微觀狀態(tài)的描述§4-3等概率原理§4-4分布和微觀狀態(tài)§4-5統(tǒng)計(jì)物理的基本原理1在經(jīng)典物理中，單個粒子的運(yùn)動遵守牛頓力學(xué)規(guī)律，若已知某個粒子在初始時刻的位置和速度后，求解牛頓方程可預(yù)言該粒子在任何時間的位置。宏觀體系是由大量原子和分子組成的。例如，在標(biāo)準(zhǔn)狀況下的氣體，每立方厘米有個分子。物體的宏觀性質(zhì)（壓強(qiáng)、比熱、相變等）是大量分子運(yùn)動的平均結(jié)果。統(tǒng)計(jì)規(guī)律性2如果想根據(jù)牛頓力學(xué)來確定氣體的宏觀性質(zhì)，就要求解

個相互碰撞的分子的牛頓方程。顯然，這在實(shí)際上是不能辦到的，而且也沒有必要，因?yàn)榇罅苛Ｗ咏M成的體系出現(xiàn)了新的規(guī)律性——統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。根據(jù)這種新的規(guī)律性，就能確定宏觀物體的性質(zhì)。3500個粒子的速率分布42000個粒子的速率分布5可以想象，當(dāng)很大很大時，像在氣體中那樣，，速率分布將趨向此穩(wěn)定曲線，起伏非常小，稱為Maxwell分布。

速率分布的時間平均值6有了統(tǒng)計(jì)分布，就可以通過計(jì)算平均值來求得各種宏觀物理量，不用知道各個分子的運(yùn)動細(xì)節(jié)了。前面的演示只是從計(jì)算機(jī)模擬看到的現(xiàn)象，我們自然會提出一個問題：此現(xiàn)象背后的物理原理是什么？如何從基本原理推導(dǎo)出Maxwell分布？這是統(tǒng)計(jì)物理的基礎(chǔ)，也是本門課程所要講解的中心內(nèi)容。7統(tǒng)計(jì)物理學(xué)宏觀物質(zhì)系統(tǒng)由大量微觀粒子組成物質(zhì)的宏觀特性是大量微觀粒子行為的集體表現(xiàn)宏觀物理量是相應(yīng)微觀物理量的統(tǒng)計(jì)平均值粒子運(yùn)動遵從經(jīng)典力學(xué)經(jīng)典描述遵從量子力學(xué)量子描述8§4-1粒子微觀狀態(tài)的描述

（Descriptionofmicroscopicstates）

一、粒子運(yùn)動狀態(tài)的經(jīng)典描述r個廣義坐標(biāo)：r個廣義動量:

2r維空間空間運(yùn)動狀態(tài)空間一個點(diǎn)表示粒子自由度r91自由粒子坐標(biāo)與共軛動量為102.線性諧振子彈性力

振動頻率振動能量兩個半軸分別為橢圓的面積

能量不同，橢圓也就不同畫出能量不同的兩個橢圓113.轉(zhuǎn)子描述質(zhì)點(diǎn)的位置轉(zhuǎn)動r=c共軛的動量121．自由粒子（Freeparticles）2．線性諧振子（Linearharmonicoscillators）

4．經(jīng)典極限（Classicallimit）

3．電子的自旋（Spinsofelectrons）

5．經(jīng)典粒子微觀狀態(tài)與μ空間體積元的對應(yīng)關(guān)系（Correspondingrelationbetweenmicroscopicstatesofclassicalparticlesandvolumeelementsinμspace）二、粒子運(yùn)動狀態(tài)的量子描述13

19、20世紀(jì)交替時，牛頓力學(xué)在解釋黑體輻射與固體低溫比熱時，遇到不可跨越的困難，需建立新的力學(xué)框架——量子力學(xué)，其基本原理如下：Dualityofwave—particleforamicro-particle1924年提出了deBroglieRelation；Uncertaintyrelation：動量與坐標(biāo)不可同時確定，為planck常數(shù)。在量子力學(xué)中粒子的微觀狀態(tài)——量子態(tài)：由一組量子數(shù)描述，量子數(shù)之?dāng)?shù)目等于粒子的自由度數(shù)141．線性諧振子：雙原子分子的相對振動，晶格振動

一維：

由一個量子數(shù)n

描述狀態(tài)，能量可能值

能級間距：

特點(diǎn)：

等間距，無簡并。

152．電子的自旋：通過Stern-Gerlach實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

Hatsstate

Realorbitpoints

Expectedorbit

NSZ如圖z

向磁場，s態(tài)H的軌道分為二條。

說明：H有Internal磁矩（Spin），

161925年Uhlenbeck解釋：其自旋角動量在或任意方向投影為，且，自旋量子數(shù)。

自旋磁矩

能級

即：電子自旋為一個自由度，無磁場時為二度簡并，量子數(shù)為，為量子效應(yīng)。

173．自由粒子：理想氣體分子，金屬中的電子

一維：由周期性邊界條件

有，，故一個態(tài)在平面占據(jù)的面積為h,能量的可能值稱為Energylevel。

18特點(diǎn)：

能級分立

能級間距

若一個能級的狀態(tài)不止一個時，稱為Degeneracy，狀態(tài)數(shù)為簡并度，上述能級為二度簡并。

19三維：

動量能級

狀態(tài)由三個量子數(shù)描述，能級簡并較復(fù)雜，如：能級，簡并度為6。

20粒子在宏觀大小的容器內(nèi)運(yùn)動準(zhǔn)連續(xù)的動量和能量值內(nèi)量子態(tài)數(shù)？量子態(tài)數(shù)三．粒子運(yùn)動狀態(tài)的量子描述

21粒子自由度為r由不確定原理：相格大小為空間體積元中微觀狀態(tài)數(shù)為：

描述粒子的運(yùn)動狀態(tài)一個狀態(tài)空間的一個體積，or一個相格自由度為1相格大小為h空間的體積與相格大小hr的比微觀狀態(tài)數(shù)22一個三維自由粒子在動量間隔，坐標(biāo)間隔內(nèi)的微觀狀態(tài)數(shù)為：

在體積V中，內(nèi)可能的微觀狀態(tài)數(shù)為

:23在V內(nèi)

范圍內(nèi)可能的微觀狀態(tài)數(shù)為:

稱為態(tài)密度，對于自由電子，考慮自旋，狀態(tài)數(shù)需對上面各式乘2。

24粒子能態(tài)密度⒈的定義叫粒子能態(tài)密度，它表示粒子能量在附近單位能量間隔范圍的量子態(tài)數(shù)。設(shè)粒子能量在到的量子態(tài)數(shù)為，則25例求一個二維自由粒子在動量間隔面積A內(nèi)的微觀狀態(tài)數(shù)。在面積A中，內(nèi)可能的微觀狀態(tài)數(shù)為

:解26范圍內(nèi)可能的微觀狀態(tài)數(shù)為:

稱為態(tài)密度，對于自由電子，考慮自旋，狀態(tài)數(shù)需對上面各式乘2。

在A內(nèi)27⒉常見的幾種粒子的能態(tài)密度長度為L直線上運(yùn)動粒子面積為L2中的平面運(yùn)動粒子（⒍3題）①能量為的自由粒子的態(tài)密度體積為V中的運(yùn)動粒子（⒍1題）28

作業(yè)P246—247⒍1⒍3⒍4②能量為的自由粒子29問題討論：

1．量子力學(xué)對粒子運(yùn)動狀態(tài)描寫的特點(diǎn)？2．邊界條件的選定對粒子物理的影響？3．什么是“半經(jīng)典”近似？

30§4.2系統(tǒng)微觀狀態(tài)的描述

（DescriptionofMicroscopicStatesofSystems）

1．全同粒子組成的系統(tǒng)。

Systemsconsistingofidenticalparticles2．量子情形。

QuantumCase

3．經(jīng)典情形。

Classicalcase311．全同粒子組成的系統(tǒng)

統(tǒng)計(jì)物理的目的：由微觀量求宏觀量，而宏觀量與系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)有關(guān)。全同粒子組成的系統(tǒng)遵從全同性原理，即粒子不可分辨。

討論近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)，即強(qiáng)調(diào)相互作用弱到經(jīng)充分長時間后系統(tǒng)處于平衡態(tài)。全同粒子：相同質(zhì)量、自旋、電荷等322．量子情形：

玻色子（Boson）情形（系統(tǒng)）：自旋量子數(shù)為整數(shù)，如光子（量子數(shù)為1），遵從全同性原理，交換任何兩粒子的微觀狀態(tài)不變，任一量子態(tài)填充的粒子數(shù)無限制。

33費(fèi)米子（Fermion）自旋為半整數(shù)，如電子，遵從全同性原理和泡利不相容原理；任一量子態(tài)最多只能被一個粒子占據(jù)。

定域子系統(tǒng)（Localizedparticle）為Boltzmann系統(tǒng)，粒子可分辨，即經(jīng)典情形。

34例1：一個二粒子系統(tǒng)，單粒子態(tài)有三個，0，

和就粒子屬于如下的幾種分別，寫出可能的填充狀態(tài)①服從經(jīng)典分布,粒子可分辨;②服從Fermi-Dirac統(tǒng)計(jì);③服從Bose-Einstein統(tǒng)計(jì).35①服從經(jīng)典分布,粒子可分辨定域子系統(tǒng)Boltzmann

Distri.粒子ab系統(tǒng)狀態(tài)9個36②服從Fermi-Dirac統(tǒng)計(jì)FermiDistribution3個37③服從Bose-Einstein統(tǒng)計(jì)BoseDistribution6個383．經(jīng)典情形：粒子運(yùn)動為軌道性的，可分辨

N粒子系統(tǒng)

,每粒子自由度為

r

r個,r個

N

r個,Nr個

空間一個代表點(diǎn)

空間N個點(diǎn)

連續(xù)變量，粒子和系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)是不可數(shù)的將和

分為大小相等地小間隔39空間的粗粒近似相格足夠小，同一相格內(nèi)的不同相點(diǎn)所代表的狀態(tài)可近似認(rèn)為相同。同一相格中各相點(diǎn)對應(yīng)的粒子能量近似相同。空間一個相格40經(jīng)典的全同粒子可通過對軌道運(yùn)動的跟蹤加以區(qū)分。系統(tǒng)微觀狀態(tài)由所有粒子的微觀運(yùn)動狀態(tài)決定。任意交換一對粒子的不同運(yùn)動狀態(tài)得到新的系統(tǒng)微觀狀態(tài)。確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)必須指出各粒子占據(jù)的相格。足夠小，由粒子運(yùn)動狀態(tài)代表點(diǎn)所在相格確定粒子運(yùn)動狀態(tài)41表示運(yùn)動狀態(tài)處在內(nèi)的粒子所具有的能量體積元簡并度粒子數(shù)空間劃分為許多體積元粒子微觀狀態(tài)數(shù)由大小為的相格確定，的運(yùn)動狀態(tài)數(shù)與量子統(tǒng)計(jì)中的簡并度相當(dāng)！N個粒子處在各表示運(yùn)動狀態(tài)處在的分布可以描述為能量42應(yīng)當(dāng)認(rèn)為系統(tǒng)的能量是在§4.3等幾率原理在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中，我們研究系統(tǒng)在給定宏觀條件下的宏觀性質(zhì)。如果我們研究的是一個孤立系，給定的宏觀條件是系統(tǒng)具有確定的粒子數(shù)N，體積V和能量E。由于自然界中實(shí)際上不存在與外界完全沒有任何相互作用的嚴(yán)格的孤立系統(tǒng)，給定了這宏觀條體,系統(tǒng)可能的微觀狀態(tài)是大量的。43玻耳茲曼(Boltzmann)在十九世紀(jì)70’s提出了著名的等幾率原理對于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的幾率是相等的。等幾率原理等幾率原理在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中是一個基本假設(shè)。它的正確性是由它的種種推論都與客現(xiàn)實(shí)際相符而得到肯定的。等幾率原理是平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理的基礎(chǔ)。44§4-4分布和微觀狀態(tài)

（Distribution&MicroscopicStates)

1.BoseSystems

2.FermiSystems

3.BoltzmannSystems

4.Classicallimit45孤立系（IsolatedSystems）：

與外界既無能量又無粒子交換的系統(tǒng)

考慮近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)粒子能級為，簡并度為；

粒子數(shù)為

，稱為分布

設(shè)給定的宏觀條件為:46討論對于給定的分布時，系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)

:1．玻色系統(tǒng)：□○○□○○○□○□……

粒子不可分辨，每一個個體量子態(tài)容納的粒子數(shù)沒有限制個粒子占據(jù)能級上的個量子態(tài)的可能性共有如下排列因?yàn)榱Ｗ硬豢煞直?，還應(yīng)除去量子態(tài)之間的相互交換數(shù)用□表示狀態(tài)，○表示粒子

47占據(jù)方式數(shù)為

系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為

個粒子占據(jù)能級上的個量子態(tài)的482．費(fèi)米系統(tǒng)：

對能級

個態(tài)，要求

每個態(tài)上只能有一個粒子個粒子占據(jù)能級上的個量子態(tài)的個量子態(tài)中選出從個來占據(jù)粒子，有49可能的占據(jù)方式數(shù)為

微觀狀態(tài)數(shù)

50定域子可以分辨，對其編號個編了號的粒子占據(jù)能級上的個量子態(tài)第一個粒子可以占據(jù)個量子態(tài)中的任一態(tài)種第n個粒子可以占據(jù)個量子態(tài)中的任一態(tài)種共有種可能3．Boltzmann系統(tǒng)

51占據(jù)方式數(shù)微觀狀態(tài)數(shù)

編號的粒子分別占據(jù)能級上的各量子態(tài)N個粒子交換應(yīng)除去在同一能級上個粒子的交換數(shù)52

當(dāng)，Pauli不相容和能級簡并對占據(jù)影響不大，此時稱為非簡并性條件。

53例：由兩個全同粒子組成的體系,粒子可以占據(jù)能級中的任何一個,最低能態(tài)是雙重簡并的,體系處在溫度為的熱平衡狀態(tài).就下列每種情況,確定體系的狀態(tài)數(shù)和能量.①粒子服從費(fèi)米分布;②粒子服從玻色分布;③粒子是可分辨的服從玻耳茲曼統(tǒng)計(jì).54粒子ab554．經(jīng)典極限

用描寫狀態(tài)，將空間分為一系列相格

能量體積元簡并度粒子數(shù)56§4-5統(tǒng)計(jì)物理的基本原理

BasicPrinciplesofStatisticalPhysics

1.統(tǒng)計(jì)規(guī)律性（Statisticallaw）

2.統(tǒng)計(jì)系綜（Statisticalensemble）

571.統(tǒng)計(jì)規(guī)律性（Statisticallaw）

經(jīng)典力學(xué)規(guī)律是確定論，量子力學(xué)為非確定論，但兩者均為力學(xué)規(guī)律。統(tǒng)計(jì)物理研究熱現(xiàn)象的宏觀規(guī)律，對于給定的宏觀條件下，不能確定微觀態(tài)究竟為何，但可假定系統(tǒng)處于某一態(tài)的幾率，根據(jù)該幾率可對力學(xué)量求統(tǒng)計(jì)平均而得宏觀性質(zhì)。

統(tǒng)計(jì)規(guī)律為：宏觀量是微觀量的統(tǒng)計(jì)平均。582.統(tǒng)計(jì)系綜（Statisticalensemble）

對于一個系統(tǒng)進(jìn)行大量次觀測和對大量個系統(tǒng)進(jìn)行一次觀測是等價的。統(tǒng)計(jì)定義：

大量性質(zhì)相同的力學(xué)系統(tǒng)，每一系統(tǒng)處于獨(dú)立的運(yùn)動狀態(tài)，其集合稱為統(tǒng)計(jì)系綜。59宏觀量的觀測值等于統(tǒng)計(jì)平均值

宏觀量的觀測值等于統(tǒng)計(jì)平均值——基本假設(shè)之二

統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的主要任務(wù)是從物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)和微觀運(yùn)動來說明物質(zhì)的宏觀性質(zhì)。由于對任何宏觀量的觀測總是要在一段時間Δt中進(jìn)行的。因此，觀測到的宏觀物理量A觀測，實(shí)際上是在Δt內(nèi)就系統(tǒng)經(jīng)歷的一切微觀態(tài)所對應(yīng)的微觀量A(t)取平均值，稱為時間平均值。其表達(dá)式為

60實(shí)際上，統(tǒng)計(jì)物理學(xué)所要解釋的宏觀性質(zhì)是在一定的宏觀條件下大量觀測數(shù)值的平均結(jié)果。因此統(tǒng)計(jì)物理學(xué)所求的平均值將不