特征值、特征向量及相似矩陣

特征值、特征向量及相似矩陣特征值相似對角化特征向量相似矩陣定義:

AX=λX(X≠0)求法：解|λE

–A|=

0性質(zhì)：5同定義：B=T-1AT

性質(zhì):不同λ的特征向量線性無關(guān)定義:

AX=λX

(X≠0)求法:解(λiE

–A)

X=

0性質(zhì)：

tr(A),|A|

條件3方法應(yīng)用求:An,|A|,

Anβ實(shí)對稱陣4正交1《線性代數(shù)與解析幾何》第二十四講哈工大數(shù)學(xué)系代數(shù)與幾何教研室王寶玲第六章特征值、特征向量

及相似矩陣習(xí)題課21.若A有n個互異特征值

A可相似對角化.2.A可對角化A有n個線性無關(guān)的特征向量.3.

A可對角化A每個特征值的幾何重?cái)?shù)R(λiE–A)=n–ri

(i=1,2,…,s)=代數(shù)重?cái)?shù).總結(jié)(A為方陣)4.實(shí)對稱陣在實(shí)數(shù)域內(nèi)對角化,首先特征值都是實(shí)數(shù),且每個特征值的幾何重?cái)?shù)=代數(shù)重?cái)?shù).5.實(shí)對稱陣一定可以正交相似對角化.3(1)特征多項(xiàng)式,

(2)

特征值,(1)A的k次冪,(2)(4)已知特征值,特征向量,反求矩陣A.(3)判斷矩陣相似(若A~,B~,則A~B.)(A可相似對角化).2.可以簡化方陣A的某些計(jì)算如求A相似與對角陣的應(yīng)用：1.有5同,所以易求(3)行列式,

(4)

跡,

(5)

秩.4正誤識別例1

A是n階方陣,則下列結(jié)論正確的是(A)若|E-A||-E-A|=0,則A的特征值只能是(B)若|E-A||-E-A|=0,則1和-1是A的特征值.

(C)若A2=A,則A的特征值只能是1或0.

(D)若A的特征值都是0,則A

=0.

±1.(D)的反例5

A是3階方陣,

A

的特征值為0,0,1,X1,X2

是AX=0的基礎(chǔ)解系,

X3是AX=X的非零解,(A)k1X1

+k2X2+k3X3;

k1,k2,k3不全為零.(B)

k1X1,k2X2,k3X3;

k1≠0,k2

≠0,k3

≠0.(C)k1X1

+k2X2及

k3X3;

k1,k2

不全為零,

k3

≠0(D)k1(

X1

+X2

),k2X3;

k1,k2不全為零.則A的全部特征向量為例26可以,特征向量相同.例3例4設(shè)A是3階矩陣,有特征值為1,-1,2,則下列矩陣中可逆的是().(A)E-A.(B)E+A.(C)2E-A.(D)2E+A.解若A可逆且可對角化,則A*是否可對角化?理由是?解7例5若4階矩陣A與B相似,A的特征值為則解因?yàn)锳與B相似,B的特征值也為故的特征值為2,3,4,5,有4個互異特征值,可相似對角化8A是3階方陣,1,2,3是A的特征值,其對應(yīng)的特征向量為計(jì)算解例6A有3個互異特征值,所以A可相似對角化，其對應(yīng)的特征向量構(gòu)成可逆陣另有910例7設(shè)是常數(shù)項(xiàng)不為零的k次多項(xiàng)式,A是n階方陣,且證明A沒有零特征值.證

設(shè)所以A可逆,故A沒有零特征值.11例8設(shè)A是3階非零方陣,AX=0有非零解,又有兩個不共線的非零向量滿足AX=X,

則解則A有0特征值,AX1=0=0X1所以X1是A的屬于0的特征向量.設(shè)AX=0的非零解為X10,A=0又設(shè)兩個不共線(線性無關(guān))的非零向量為X20,X30,滿足AX2=X2,

AX3=X3X2,

X3是A的屬于特征值1的線性無關(guān)特征向量.2A+3E=.12所以A有3個線性無關(guān)的特征向量,故可以相似對角化,存在可逆陣P使13例9設(shè)A,B都是n階實(shí)對稱矩陣,且有正交陣T,使及都是對角陣.試證AB也是實(shí)對稱矩陣.證

設(shè)都是對角陣.而故

AB是實(shí)對稱陣.14例10問A,B,C中哪些相似?為什么?解

R(A)=2

R(B)=R(C)=1A不與B,C相似.對于B,C,其特征值都是0,0,1,只需判斷B,C是否都能相似對角化即可.R(0E-B)=R(B)=1=R(C)=R(0E-C)設(shè)故

都能相似對角化為diag(0,0,1),即B,C相似.都對應(yīng)2個線性無關(guān)的特征向量.于是B,C都有3個線性無關(guān)的特征向量.15例11

已知5階矩陣問A與B是否相似?為什么?解A為實(shí)對稱矩陣,可以相似對角化.A的特征值為5,0,0,0,0.16B的特征值也是5,0,0,0,0.R(0E-B)=R(B)=1對應(yīng)4個線性無關(guān)的特征向量.所以B共有5個線性無關(guān)的特征向量.故17例12

已知問與是否相似?說明理由.18解都是對角陣,其對角元都是它的特征值.經(jīng)計(jì)算知與的特征值分別相同.有3個互異特征值,能相似對角化為與相似.有為三重特征值,而只對應(yīng)1個線性無關(guān)的特征向量.不能相似對角化為,與不相似.實(shí)對稱陣,與相似.19例13設(shè)n階實(shí)對稱矩陣A的特征值都大于零,試證證因?yàn)锳是實(shí)對稱陣,所以存在正交陣P,使20例14

設(shè)矩陣且A有3個線性無關(guān)的特征向量,是A的二重特征值,求可逆陣P,使為對角陣.解A有3個線性無關(guān)的特征向量,故可相似對角化.而21特征值為:1.將代入方程組(2E-A)X=0

得基礎(chǔ)解系:22得基礎(chǔ)解系:2.將代入方程組(6E-A)X=023設(shè)求正交陣P,使得PTAP成對角陣.解

(1)例1５24求得基礎(chǔ)解系:

(