高考數(shù)學一輪復習 二次函數(shù)與冪函數(shù)講義

專題3.4二次函數(shù)與冪函數(shù)1.冪函數(shù)的圖象與性質與不等式、方程等問題綜合考查,凸顯數(shù)學抽象、邏輯推理；

2.二次函數(shù)的圖象與性質與一元二次方程、一元二次不等式相結合考查,凸顯邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng).1.二次函數(shù)（1）二次函數(shù)解析式的三種形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點坐標為(m，n)；零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點.（2）二次函數(shù)的圖象和性質解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象定義域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域單調(diào)性在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減對稱性函數(shù)的圖象關于x＝－對稱奇偶性當b=0時，二次函數(shù)為偶函數(shù)；當b≠0時，二次函數(shù)為非奇非偶函數(shù)2.三個“二次”之間的關系（1）關于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集；若二次函數(shù)為f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，就是分別使二次函數(shù)f(x)的函數(shù)值為正值或負值時自變量x的取值的集合.（2）三個“二次”之間的關系設f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判別式Δ＝b2－4ac判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0解不等式f(x)>0或f(x)<0的步驟求方程f(x)＝0的解有兩個不等的實數(shù)解x1，x2有兩個相等的實數(shù)解x1＝x2沒有實數(shù)解畫函數(shù)y＝f(x)的示意圖得不等式的解集f(x)>0{x|x<x1或x>x2}{x|x≠－}Rf(x)<0{x|x1<x<x2}??3.冪函數(shù)（1）冪函數(shù)的定義一般地，形如y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù).（2）常見的5種冪函數(shù)的圖象（3）常見的5種冪函數(shù)的性質函數(shù)特征性質y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定義域RRR[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇定點（1,1）單調(diào)性第一象限的單調(diào)性：=1\*GB3①當α>0時，單調(diào)遞增；=2\*GB3②當α<0時，單調(diào)遞減；=3\*GB3③當α=0時，無單調(diào)性；若函數(shù)在第二或第三象限有圖象，結合函數(shù)奇偶性，得出函數(shù)的單調(diào)性.圖象一定過第一象限，不過第四象限求二次函數(shù)的解析式【方法儲備】一般用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)已知條件，選擇合適的解析式的形式：【精研題型】1．已知fx是二次函數(shù)，該函數(shù)圖像開口向上，與x軸交點為：（0,0），（4,0)，且f（1）求fx（2）若fx在區(qū)間a,a+1上單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍.2．已知二次函數(shù)fx（1）若方程fx+2x=0有兩個實數(shù)根x1=1,x（2）若fx的圖像與x軸交于A?3,0,Bm,0兩點，且當?1≤x≤0時，【思維升華】3.已知二次函數(shù)fx滿足f（x+1）-f（x）=2x-1，且f（0）=3．

（1）求函數(shù)fx的解析式；

（2）若函數(shù)y=f（log3x+m），x∈[二次函數(shù)的圖象【方法儲備】1.要能夠準確快速地畫出二次函數(shù)的圖象，養(yǎng)成借助圖象解題的思維習慣；2.能夠準確地識別二次函數(shù)圖象：（1）一看符號：二次項前的系數(shù)的符號，決定了開口方向；（2）二看對稱軸：對稱軸和最值，確定了二次函數(shù)圖象的位置；（3）三看特殊點：看圖象與x,y軸的交點，最值點等.3.結合圖象，得出函數(shù)的性質，能夠利用圖象，解決相關問題.【精研題型】

4.已知二次函數(shù)fx=axA.a+bB.C.a-bD.b-a5.（多選）下列四個命題：其中錯誤的命題是A.第一象限角一定是銳角B.第二象限角比第一象限角大C.當時，則有成立D.若二次函數(shù)fx=ax2+bx+2圖象與6.已知二次函數(shù)fx=ax（1）求fx（2）畫fx【思維升華】7.已知二次函數(shù)fx

的圖象如圖所示，則其導函數(shù)f'xA.B.C.D.8.如果將一元二次函數(shù)的圖象向右平移個單位，再向下平移個單位，得到的函數(shù)圖象的對稱軸為，最大值為，則、的值為A.B.C.D.9.二次函數(shù)y=x2+bx的圖象如圖，對稱軸為x=1．若關于x的二次方程x2+bx-t=0（為實數(shù)）在-1＜x＜4的范圍內(nèi)有解，則t的取值范圍是

?A.-1≤t＜3B.t≥-1C.3＜t＜8D.-1≤t＜8二次函數(shù)的性質及應用【方法儲備】1.二次函數(shù)的單調(diào)性問題（1）二次函數(shù)的單調(diào)性取決于開口方向與對稱軸的位置，若開口方向或對稱軸的位置不確定，需要分類討論；（2）若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在區(qū)間A上單調(diào)遞減(單調(diào)遞增)，則區(qū)間A一定在函數(shù)對稱軸的左側(右側).（3）利用二次函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小，結合二次函數(shù)的對稱性，將待比較的兩個自變量的值轉化到同一單調(diào)區(qū)間上，在進行比較．（4）利用二次函數(shù)的單調(diào)性解fa2.最值問題：二次函數(shù)閉區(qū)間上求最值問題是二次函數(shù)部分的重難點（1）二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動，本質上都是考慮對稱軸與區(qū)間的位置關系；（2）當含有參數(shù)時，要討論區(qū)間和對稱軸的位置關系，確定函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性，求出最值.3.對稱性問題：對于二次函數(shù)f（1）對稱軸方程：x=?（2）若fx1=f4.若二次函數(shù)只可能為偶函數(shù)，即當一次項前的系數(shù)為0時，二次函數(shù)為偶函數(shù).【精研題型】10．已知二次函數(shù)f(x)＝2x2－mx＋3.若f(－4)＝f(0)，則f(1)的值為_____．11.已知二次函數(shù)fx=x2+x+aA.負數(shù)

B.正數(shù)

C.0D.不確定，與a有關12.（多選）已知函數(shù)fxA.函數(shù)與軸有兩個不同的交點B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.當時，若fax在上的最大值為8，則D.當時，若fax在上的最大值為8，則a=13.已知二次函數(shù)y=g（x）滿足g（1-x）=g（1+x），g（0）=-3，且y=g（x）的圖象被x軸截得的線段長為4．

（1）求函數(shù)y=g（x）的解析式；

（2）當x∈[t，t+1]時，求函數(shù)y=g（x）的最大值和最小值．【思維升華】14.

已知二次函數(shù)fx的最小值為-4，f0=f2=?3,且y=fx15.已知二次函數(shù)f（x）=x2+bx+c，若對任意的x1，x2∈[-1，1]，有|f（x1）-f（x2）|≤4，則b的取值范圍是（）A.[-5，3]B.[-5，5]C.[-3，3]D.[-2，2]16.若二次函數(shù)f(x)=ax2-2x+c(x∈R)的值域為[0，+∞)，則+的最大值為____.17.已知a,b

是非零向量，且a⊥A.一次函數(shù)且是奇函數(shù)

B.

一次函數(shù)但不是奇函數(shù)

C.

二次函數(shù)且是偶函數(shù)

D.

二次函數(shù)但不是偶函數(shù)

18.已知二次函數(shù)

對任意

，都有

成立，設向量

，

，

，

，當

時，求不等式

解集.二次函數(shù)的恒成立問題【方法儲備】1.恒成立求參數(shù)的取值范圍的思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)；2.兩種思路最終都轉化為求函數(shù)的最值：若分離參數(shù)，求新函數(shù)的最值；若不分離參數(shù)，討論含參函數(shù)的單調(diào)性，求其最值；3.二次函數(shù)的其他問題，要數(shù)形結合，利用圖象圖象，從①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點函數(shù)值符號四個方面分析.【精研題型】19.不等式x2+ax+4<0的解集為空集，則a的取值范圍是A.B.C.，D.20.若不等式x2-ax+1≤0和ax2+x-1＞0對任意的x∈R均不成立，則實數(shù)a的取值范圍是A.B.C.D.21.若對于任意的x∈[0，2]，不等式x2-2x+a＞0恒成立，則a的取值范圍為

A.(-∞，1)B.(1，+∞)C.(0，+∞)D.[1，+∞)【思維升華】22.設奇函數(shù)f(x)在[-1，1]上是增函數(shù)，f(-1)＝-1，若f(x)≤t2-t+1對任意的x∈[-1，1]恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是.23．已知二次函數(shù)gx=mx（1）求函數(shù)gx（2）設fx=gx?2x“三個二次”關系的應用【方法儲備】1.三個二次之間的關系：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端點是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交點的橫坐標.2.一元二次方程ax2（1）在R上沒有實根，有且只有一個實根，有兩個不相等的實根的情況，考慮判別式即可；（2）在某個區(qū)間內(nèi)的實根分布有4種情況，從開口方向,判別式,對稱軸,端點函數(shù)值的角度考慮：

=1\*GB3①兩根與0比較即根的正負情況：考慮兩根之和兩根之積的正負=2\*GB3②一個根比k大，另一個根比k小：fk<0=3\*GB3③在兩個區(qū)間m,n和p,qn<p內(nèi)各有一根：fm>0=4\*GB3④在區(qū)間m,n內(nèi)有兩個相異的實根：Δ>0m<?b【精研題型】24.設不等式x2+ax+b<0的解集是{x|-2<x<3}，則a-b=A.7B.5C.-5D.-725.（多選）已知一元二次方程的兩個根為,,且,那么滿足的的取值有A.B.C.D.26.要使關于x的方程x2+(a2-1)x+a-2＝0的一根比1大且另一根比1小，則實數(shù)a的取值范圍是

A.{a|-1＜a＜2}B.{a|-2＜a＜1}C.{a|a＜-2}D.{a|a＞1}【思維升華】27.（多選）若關于x的一元二次方程(x-2)(x-3)＝m有實數(shù)根x1，x2，且x1＜x2，則下列結論正確的是

A.當m＝0時，x1＝2，x2＝3B.m>?C.當m＞0時，2＜x1＜x2＜3D.二次函數(shù)y＝(x-x1)(x-x2)+m的圖象與x軸交點的坐標為(2，0)和(3，0)28.已知關于x的不等式x2-4ax+3a2＜0（a＜0）的解集為（x1，x2），則x1+x2+???????axA.B.C.D.29.若二次函數(shù)f(x)=x2-2mx-5在區(qū)間(3,4)上存在一個零點，則m的取值范圍是A.B.C.D.(-,)(,+)30.已知二次函數(shù)f（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)存在零點，求a的取值范圍．冪函數(shù)的概念【方法儲備】1.利用待定系數(shù)法求冪函數(shù)，只需一個條件求出α的值即可；2.注意區(qū)分冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù).【精研題型】31.冪函數(shù)fx=k?xA.12B.1C.D.232.函數(shù)fx既是冪函數(shù)又是二次函數(shù)，則fx=

；函數(shù)gx既是冪函數(shù)又是反比例函數(shù)，則gx【思維升華】33.已知a＞0且a≠1，函數(shù)的圖象恒過定點P，若P在冪函數(shù)fx的圖象上，則f8=

冪函數(shù)的圖象及性質【方法儲備】1.函數(shù)y＝xα的形式的圖象都過點(1，1)；2.牢記冪函數(shù)在第一象限的特征：當α>0時，單調(diào)遞增；當α＜0時，單調(diào)遞減；3.奇偶性：當α為分數(shù)時，先化為根式，在判斷；4.比較冪值的大小時，結合冪值的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較；既不同底又不同次數(shù)的冪函數(shù)值比較大小，常找到一個中間值，通過比較冪函數(shù)值與中間值的大小進行判斷.【精研題型】34.如圖是y=;y=;y=在第一象限的圖象,則a,b,c的大小關系為(

)

A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<b35.設，則a，b，c的大小關系為A.B.C.D.36.已知函數(shù)是冪函數(shù)，對任意，且，滿足，若a，b∈R，且a+b>0，則f（a）+f（b）的值A.恒大于0

B.恒小于0

C.等于0

D.無法判斷37.(多選)已知冪函數(shù)（為常數(shù)），則下列命題正確的是A.若冪函數(shù)過點，則B.若，則在是增函數(shù)C.D.若，則在是增函數(shù)，且為奇函數(shù)【思維升華】38.設a=0.20.2，b=0.20.3，c=0.30.2，d=0.30.3，則a，b，c，d的大小關系是A.c＞a＞d＞b