2023年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案2

2023年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案第一試一、選擇題：〔此題總分值42分，每題7分〕1．，，，那么的大小關(guān)系是〔C〕A.B.C.D.2．方程的整數(shù)解的組數(shù)為〔B〕A．3.B．4.C．5.D．6.3．正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，E為BC邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE＝1，連接AE，與CD交于點(diǎn)F，連接BF并延長(zhǎng)與線段DE交于點(diǎn)G，那么BG的長(zhǎng)為〔D〕A．B．C．D．4．實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，那么的最小值為〔B〕A．.B．0.C．1.D．.5．假設(shè)方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根滿(mǎn)足，那么實(shí)數(shù)的所有可能的值之和為〔B〕A．0.B．.C．.D．.6．由1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字組成四位數(shù)〔數(shù)字可重復(fù)使用〕，要求滿(mǎn)足.這樣的四位數(shù)共有〔C〕A．36個(gè).B．40個(gè).C．44個(gè).D．48個(gè).二、填空題：〔此題總分值28分，每題7分〕1．互不相等的實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，那么．2．使得是完全平方數(shù)的整數(shù)的個(gè)數(shù)為1．3．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，P為AB上一點(diǎn)，∠ACP＝20°，那么＝．4．實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，，，那么＝．第二試〔A〕一、〔此題總分值20分〕直角三角形的邊長(zhǎng)均為整數(shù)，周長(zhǎng)為30，求它的外接圓的面積.解設(shè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為〔〕，那么.顯然，三角形的外接圓的直徑即為斜邊長(zhǎng)，下面先求的值.由及得，所以.由及得，所以.又因?yàn)闉檎麛?shù)，所以.根據(jù)勾股定理可得，把代入，化簡(jiǎn)得，所以，因?yàn)榫鶠檎麛?shù)且，所以只可能是解得所以，直角三角形的斜邊長(zhǎng)，三角形的外接圓的面積為.二．〔此題總分值25分〕如圖，PA為⊙O的切線，PBC為⊙O的割線，AD⊥OP于點(diǎn)D.證明：.證明：連接OA，OB，OC.∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得，.又由切割線定理可得，∴，∴D、B、C、O四點(diǎn)共圓，∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD，∴，∴.三．〔此題總分值25分〕拋物線的頂點(diǎn)為P，與軸的正半軸交于A、B〔〕兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，PA是△ABC的外接圓的切線.設(shè)M，假設(shè)AM//BC，求拋物線的解析式.解易求得點(diǎn)P，點(diǎn)C.設(shè)△ABC的外接圓的圓心為D，那么點(diǎn)P和點(diǎn)D都在線段AB的垂直平分線上，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為.顯然，是一元二次方程的兩根，所以，，又AB的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為，所以AE＝.因?yàn)镻A為⊙D的切線，所以PA⊥AD，又AE⊥PD，所以由射影定理可得，即，又易知，所以可得.又由DA＝DC得，即，把代入后可解得〔另一解舍去〕.又因?yàn)锳M//BC，所以，即.把代入解得〔另一解舍去〕.因此，拋物線的解析式為.第二試〔B〕一．〔此題總分值20分〕直角三角形的邊長(zhǎng)均為整數(shù)，周長(zhǎng)為60，求它的外接圓的面積.解設(shè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為〔〕，那么.顯然，三角形的外接圓的直徑即為斜邊長(zhǎng)，下面先求的值.由及得，所以.由及得，所以.又因?yàn)闉檎麛?shù)，所以.根據(jù)勾股定理可得，把代入，化簡(jiǎn)得，所以，因?yàn)榫鶠檎麛?shù)且，所以只可能是或解得或當(dāng)時(shí)，，三角形的外接圓的面積為；當(dāng)時(shí)，，三角形的外接圓的面積為.二．〔此題總分值25分〕如圖，PA為⊙O的切線，PBC為⊙O的割線，AD⊥OP于點(diǎn)D，△ADC的外接圓與BC的另一個(gè)交點(diǎn)為E.證明：∠BAE＝∠ACB.證明：連接OA，OB，OC，BD.∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得，.又由切割線定理可得，∴，∴D、B、C、O四點(diǎn)共圓，∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD，∴，∴，∴.又∠BDA＝∠BDP＋90°＝∠ODC＋90°＝∠ADC，∴△BDA∽△ADC，∴∠BAD＝∠ACD，∴AB是△ADC的外接圓的切線，∴∠BAE＝∠ACB.三．〔此題總分值25分〕題目和解答與〔A〕卷第三題相同.第二試〔C〕一．〔此題總分值20分〕題目和解答與〔B〕卷第一題相同.二．〔此題總分值25分〕題目和解答與〔B〕卷第二題相同.三．〔此題總分值25分〕拋物線的頂點(diǎn)為P，與軸的正半軸交于A、B〔〕兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，PA是△ABC的外接圓的切線.將拋物線向左平移個(gè)單位，得到的新拋物線與原拋物線交于點(diǎn)Q，且∠QBO＝∠OBC.求拋物線的解析式.解拋物線的方程即，所以點(diǎn)P，點(diǎn)C.設(shè)△ABC的外接圓的圓心為D，那么點(diǎn)P和點(diǎn)D都在線段AB的垂直平分線上，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為.顯然，是一元二次方程的兩根，所以，，又AB的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為，所以AE＝.因?yàn)镻A為⊙D的切線，所以PA⊥AD，又AE⊥PD，所以由射影定理可得，即，又易知，所以可得.又由DA＝DC得，即，把代入后可解得〔另一解舍去〕.