高中數(shù)學(xué) 1.2.1 集合之間的關(guān)系 二 新人教B必修1

1.2集合之間的關(guān)系與運(yùn)算.1．2.1集合之間的關(guān)系

.知識(shí)整合.1．對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的________一個(gè)元素都是集合B的元素，就說(shuō)集合A________集合B(或集合B______集合A)，記作A______B(或B________A)，這時(shí)，也說(shuō)集合A是集合B的________．2．集合A不包含于集合B(或集合B不包含集合A)，記作A________B(或B________A)．3．如果________，并且________，那么集合A叫集合B的真子集，記作________或________．.4．空集是任意一個(gè)集合的________，記作?________A；空集又是任意________集合的________，任意一個(gè)集合都是它本身的________．特別警示：若A?B，則先考慮A＝?的情形，在解題時(shí)容易忽略這一點(diǎn)而導(dǎo)致不必要的錯(cuò)誤．.5．一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的________一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)，集合B的________一個(gè)元素都是集合A的元素，就說(shuō)集合A________集合B，記作________，對(duì)于集合A、B，如果A?B，同時(shí)B?A，那么________．經(jīng)驗(yàn)公式：有限集合的子集的個(gè)數(shù)：n個(gè)元素組成的集合的子集有2n個(gè)，真子集有2n－1個(gè)，非空真子集有2n－2個(gè)．.答案：1.任意包含于包含??子集2．3．集合A是集合B的子集B中至少有一個(gè)元素不屬于A

AB

BA4．子集?非空真子集子集5．任意任意等于A＝B

A＝B.名師解答.我們知道，兩個(gè)實(shí)數(shù)之間有相等、大于、小于等關(guān)系，那么元素與集合、集合與集合之間是否也有類似的關(guān)系？集合間的基本關(guān)系與實(shí)數(shù)間的關(guān)系可否比較？(1)從屬關(guān)系(∈)只能用在元素與集合之間；包含關(guān)系(?、)只能用在集合與集合之間．在使用以上符號(hào)的時(shí)候先要弄清楚是元素與集合還是集合與集合之間的關(guān)系．比如表示元素與集合之間的關(guān)系有：1∈N，－1?N,1∈{1},0∈{0}等，但不能寫成0＝{0}或0?{0}；表示集合與集合之間的關(guān)系有：N?R，{1,2,3}?{1,2,3}，{1,2,3}{1,2,3,4}等．.(2)集合與集合的關(guān)系有包含關(guān)系、相等關(guān)系．其中包含關(guān)系有：包含于(?)、包含(?)、真包含于()、真包含()等．用這些符號(hào)時(shí)要注意方向，如A?B與B?A是相同的，但A?B與B?A是不同的．.

(3)集合間的基本關(guān)系與實(shí)數(shù)間的關(guān)系比較：研究對(duì)象關(guān)系及符號(hào)比較集合關(guān)系包含于(被包含)真包含于包含真包含等于不包含于符號(hào)??＝實(shí)數(shù)關(guān)系小于等于小于大于等于大于等于不等于符號(hào)≤<≥>＝≠.通過(guò)比較，相信我們能較好地理解元素與集合之間，集合與集合之間的關(guān)系，并能夠找到很好的學(xué)習(xí)和記憶本節(jié)知識(shí)的方法——類比法！.深入學(xué)習(xí).題型一判定集合間的關(guān)系【例1】判斷下列關(guān)系是否正確．(1){a}?{a}；(2){1,2,3}＝{3,2,1}；(3)?{0}；(4)0∈{0}；(5)?∈{0}；(6)?＝{0}；(7)?{0,1,2}；(8){1}{x|x≤5}．.解：(1)任何一個(gè)集合是它本身的子集，因此，{a}?{a}，正確；(2)兩個(gè)集合中的元素相同，故用“＝”號(hào)，正確；(3)空集是任何非空集合的真子集，正確；(4){0}中只有一個(gè)元素0,0∈{0}，正確；(5)?與{0}是兩個(gè)集合，不能用∈連接；(6)?中沒(méi)有任何元素，而{0}中有一個(gè)元素，二者不相等；.(7)空集是任何非空集合的真子集，正確；(8)∵1<5，∴1∈{x|x≤5}．∴{1}{x|x≤5}，正確．由以上分析可知：(1)(2)(3)(4)(7)(8)正確，(5)(6)錯(cuò)誤．

.變式訓(xùn)練1已知X＝{x|x＝n2＋1，n∈N＋}，Y＝{y|y＝k2－4k＋5，k∈N＋}，試判斷集合X與Y的關(guān)系，并給出證明．解：集合X中，x＝2,5,10,17，…，集合Y中，y＝(k－2)2＋1＝2,1,2,5,10,17，…，可得XY.證明如下：對(duì)于任意的元素x∈X，有x＝n2＋1＝(n2＋4n＋4)－4(n＋2)＋5＝(n＋2)2－4(n＋2)＋5.由n∈N＋，知n＋2∈N＋，∴x具有y＝k2－4k＋5，k∈N＋的形式．∴x?Y.又k＝2時(shí)，y＝1，∴1∈Y.而1?X，從而XY..題型二子集關(guān)系的應(yīng)用【例2】滿足條件{1,2}M?{1,2,3,4,5}的集合M的個(gè)數(shù)是()A．3 B．6C．7 D．9分析：根據(jù)已知條件確定M中元素的組成情況，進(jìn)而求解．答案：C.解法一：由已知得集合M必含有元素1和2，且至少有一個(gè)不同于1和2的元素，故符合條件的集合M為{1,2,3}、{1,2,4}、{1,2,5}、{1,2,3,4}、{1,2,3,5}、{1,2,4,5}、{1,2,3,4,5}共7個(gè)，故選C.解法二：由已知得集合M必含有元素1和2，且至少有一個(gè)不同于1和2且等于3，或4，或5的元素，所以集合M的個(gè)數(shù)為集合{3,4,5}的非空子集的個(gè)數(shù)，即23－1＝7，故選C.評(píng)析：本題是利用真子集和子集的定義解題，可根據(jù)元素個(gè)數(shù)由少到多來(lái)分類處理．.變式訓(xùn)練2已知集合A＝{x|x>2或x<－1}，B＝{x|a<x<a＋1}，若B?A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：將集合A中的元素，即適合x>2或x<－1的實(shí)數(shù)在數(shù)軸上表示出來(lái)．如下圖①②.∵B?A，∴a≥2或a＋1≤－1.解得a≥2或a≤－2.即所求a的取值范圍為a≥2或a≤－2..題型三集合相等關(guān)系的應(yīng)用【例3】已知三元素集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，求x與y的值．分析：依據(jù)“相等”的定義和集合中元素的互異性，構(gòu)造x、y的方程．.解：∵0∈B，A＝B，∴0∈A.∵集合A為三元素集，∴x≠xy.∴x≠0.又∵0∈B，y∈B，∴y≠0.從而x－y＝0，x＝y(tǒng).這時(shí)，A＝{x，x2,0}，B＝{0，|x|，x}，∴x2＝|x|.解得x＝0(舍去)或x＝1(舍去)或x＝－1.經(jīng)驗(yàn)證：x＝－1，y＝－1是本題的解．.變式訓(xùn)練3已知M＝{a，a＋d，a＋2d}，N＝{a，aq，aq2}(a≠0)，且M＝N，求q的值．..整體探究解讀.題型一判定集合的個(gè)數(shù)【例1】滿足{a}?M{a，b，c，d}的集合M共有()A．6個(gè) B．7個(gè)C．8個(gè) D．15個(gè)分析：用子集及真子集的概念來(lái)解決．.解：∵{a}?M，∴M中至少含有一個(gè)元素a.又∵M(jìn){a，b，c，d}，∴M中至多含有三個(gè)元素．由此可知滿足條件的集合M有：{a}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}共7個(gè)．故選B.答案：B.答案：B..評(píng)析：當(dāng)判定用特征性質(zhì)描述法表示的兩個(gè)集合關(guān)系時(shí)，一是可用賦值法，二是從兩集合元素的特征性質(zhì)p(x)入手，通過(guò)整理化簡(jiǎn)，看是否是一類元素．.題型三利用集合之間的關(guān)系求參數(shù)范圍【例3】設(shè)A＝{x|－2≤x≤a，a≥－2}，B＝{y|y＝2x＋3，x∈A}，C＝{z|z＝x2，x∈A}，且C?B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．分析：B與C分別是函數(shù)y＝2x＋3，x∈A及z＝x2，x∈A的值域，且兩個(gè)函數(shù)定義域均為A，可借助函數(shù)圖象分析得a，需以2為界分兩部分進(jìn)行討論．.解：∵A＝{x|－2≤x≤a，a≥－2}，∴B＝{y|y＝2x＋3，x∈A}＝{y|－1≤y≤2a＋3}．(1)當(dāng)a≥2時(shí)，C＝{z|0≤z≤a2}，∵C?B，∴a2≤2a＋3，解得2≤a≤3.(2)當(dāng)－2≤a<2時(shí)，C＝{z|0≤z≤4}．∵C?B，∴4≤2a＋3，解得≤a<2.綜合(1)(2)得≤a≤3..評(píng)析：集合與不等式的關(guān)系問(wèn)題主要分兩類：(1)不含參數(shù)的一般可直接求解；(2)含參數(shù)問(wèn)題，往往要等價(jià)轉(zhuǎn)換集合的表示或化簡(jiǎn)集合，然后依據(jù)數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分類討論．.【例4】(1)設(shè)A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若B?A，求實(shí)數(shù)a組成的集合；(2)設(shè)A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．分析：以上兩題，雖然一個(gè)是等式，一個(gè)是不等式，但殊途同歸，解題方法一樣．由于B可能為空集，且B＝?時(shí)，仍然有B?A成立，因此，都要分B＝?，B≠?兩種情況討論．.解：(1)∵x2－8x＋15＝0，∴x＝3，或x＝5.∴A＝{3,5}．∵B?A，∴①B＝?時(shí)，a＝0.②B≠?時(shí)，由B?A知，3∈B或5∈B..(2)當(dāng)B≠?時(shí)，如下圖，由B?A得解得2≤m≤3.當(dāng)B＝?時(shí)，m＋1>2m－1，解得m<2.由以上可得m≤3.

.評(píng)析：(1)①B?A說(shuō)明集合B的任何一個(gè)元素都屬于A.②集合B可能為?，這一點(diǎn)在解題時(shí)常常容易忽視，從而致錯(cuò)．在解題時(shí)要特別注意這個(gè)“陷阱”．(2)①畫數(shù)軸解決不等式問(wèn)題，形象直觀，提高了正確率和解題速度．②本題能夠加深對(duì)空集的理解．空集是不含任何元素的集合．本題中的集合B在什么條件下是空集呢？當(dāng)且僅當(dāng)不等式m＋1≤x≤2m－1不成立時(shí)，B＝?，這個(gè)不等式何時(shí)不成立？當(dāng)且僅當(dāng)m＋1>2m－1時(shí)，不成立．.③當(dāng)B≠?時(shí)，2≤m≤3；當(dāng)B＝?時(shí)，m<2.怎么最終結(jié)果變成了m≤3？這是因?yàn)?≤m≤3時(shí)和m<2時(shí)，都有B?A.將這兩個(gè)不等式標(biāo)在數(shù)軸上，如下圖，可以發(fā)現(xiàn)，這兩部分連接成一體了，因此，只要寫出m≤3就可以．④在集合問(wèn)題中，常常需要分類討論，當(dāng)A?B時(shí)，A可以是?，但常常由于解題時(shí)忽略這一點(diǎn)而致錯(cuò)．.題型四子集綜合問(wèn)題【例5】一特警小組共有5人，上級(jí)要求組長(zhǎng)至少帶一名特警隊(duì)員去執(zhí)行一項(xiàng)特殊任務(wù)．問(wèn)有多少種不同的分組方案？分析：可把這一特警小組的5名隊(duì)員看做一個(gè)集合．.解：設(shè)特警小組組長(zhǎng)為a，其他四名特警隊(duì)員分別為b，c，d，e.組成含組長(zhǎng)a去執(zhí)行任務(wù)的集合為A，則滿足{a}A?{a，b，c，d，e}．則A為{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，c，d}，{a，c，e}，{a，d，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}，{a，c，d，e}，{a，b，c，d，e}．共計(jì)15種不同的分組方案．.【例6】同時(shí)滿足：①M(fèi)?{1,2,3,4,5}，②若a∈M，則6－a∈M的非空集合M有多少個(gè)？寫出這些集合．解：由題意知，a∈M,6－a∈M，且M?{1,2,3,4,5}，故以M中元素的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類．①M(fèi)中含1個(gè)元素時(shí)，若3∈M，則6－3∈M，