吉林省長(zhǎng)春市弓棚中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析

吉林省長(zhǎng)春市弓棚中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知z=i（1+i），則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：B【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出．【解答】解：z=i（1+i）=﹣1+i，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（﹣1，1）在第二象限，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2.在實(shí)數(shù)集中定義一種運(yùn)算“”，，為唯一確定的實(shí)數(shù)，且具有性質(zhì)：（1）對(duì)任意，；

（2）對(duì)任意，．關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，有如下說(shuō)法：①函數(shù)的最小值為；②函數(shù)為偶函數(shù)；③函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．其中正確說(shuō)法的序號(hào)為（

）A．① B．①② C．①②③

D．②③參考答案：B知識(shí)點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用解析：∵=（ex）?+（ex）*0+*0=1+ex+，對(duì)于①，∵1+ex+≥1+=3（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取“=”），∴f（x）min=3，故①正確；對(duì)于②，∵f（x）=1+ex+=1+ex+e﹣x，∴f（﹣x）=1+ex+e﹣x=1+ex+e﹣x=f（x），∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，故②正確；對(duì)于③，∵f′（x）=ex﹣e﹣x=，∴當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）≥0，即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，﹣∞），故③錯(cuò)誤；∴正確說(shuō)法的序號(hào)為①②，故選：B．【思路點(diǎn)撥】依題意，可得f（x）=1+ex+e﹣x，對(duì)于①，可由基本不等式1+ex+≥1+=3判斷其正誤；對(duì)于②，利用偶函數(shù)的定義可判斷其正誤；對(duì)于③，由f′（x）≥0，求得其單調(diào)遞增區(qū)間，可判斷其正誤．

3.已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（2，0），點(diǎn)P（2，）在橢圓上．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F的直線，交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓C上，坐標(biāo)原點(diǎn)O恰為△ABM的重心，求直線l的方程．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）由題意可得c=2，|PF|=，運(yùn)用勾股定理可得|PF1|，再由橢圓的定義可得2a，由a，b，c的關(guān)系可得b，進(jìn)而得到橢圓方程；（Ⅱ）顯然直線l與x軸不垂直，設(shè)l：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和三角形的重心坐標(biāo)公式可得M的坐標(biāo)，代入橢圓方程，解方程即可得到所求直線的方程．【解答】解：（Ⅰ）由題意可得c=2，左焦點(diǎn)F1（﹣2，0），|PF|=，所以|PF1|==，即2a=|PF|+|PF1|=2，即a2=6，b2=a2﹣c2=2，故橢圓C的方程為+=1；（Ⅱ）顯然直線l與x軸不垂直，設(shè)l：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2）．將l的方程代入C得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，可得x1+x2=，所以AB的中點(diǎn)N（，），由坐標(biāo)原點(diǎn)O恰為△ABM的重心，可得M（，）．由點(diǎn)M在C上，可得15k4+2k2﹣1=0，解得k2=或﹣（舍），即k=±．故直線l的方程為y=±（x﹣2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的定義和a，b，c的關(guān)系及點(diǎn)滿足橢圓方程，同時(shí)考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和三角形的重心坐標(biāo)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．4.在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PA=AB，該四棱錐被一平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是過(guò)BD且平行于PA的平面截四棱錐P﹣ABCD所得的幾何體；畫出圖形結(jié)合圖形求出截取部分的體積與剩余部分的體積之比是多少即可．【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖，得；該幾何體是過(guò)BD且平行于PA的平面截四棱錐P﹣ABCD所得的幾何體；設(shè)AB=1，則截取的部分為三棱錐E﹣BCD，它的體積為V三棱錐E﹣BCD=××1×1×=，剩余部分的體積為V剩余部分=V四棱錐P﹣ABCD﹣V三棱錐E﹣BCD=×12×1﹣=；所以截取部分的體積與剩余部分的體積比為：=1：3．故選：B．5.設(shè)p:q:若非p是非q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A6.已知數(shù)列的通項(xiàng)為,，則“”是“”的

(A)充分不必要條件

(B)必要不充分條件

(C)充要條件

(D)既不充分也不必要條件參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】充分條件；必要條件.

A2A

解析：因?yàn)?，所以?duì)于n∈恒成立，所以”是“”的充分不必要條件.

【思路點(diǎn)撥】先求出的條件，再根據(jù)充分性、必要性的判定方法確定結(jié)論.

7.函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A.

B.

C.

D.參考答案：D8.如圖，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，A是拋物線E上任意一點(diǎn)。現(xiàn)給出下列四個(gè)結(jié)論： ①以線段AF為直徑的圓必與y軸相切； ②當(dāng)點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，|AF|為最短； ③若點(diǎn)B是拋物線E上異于點(diǎn)A的一點(diǎn)，則當(dāng)直線AB過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)，|AF|+|BF|取得最小值；

④點(diǎn)B、C是拋物線E上異于點(diǎn)A的不同兩點(diǎn)，若|AF|、|BF|、|CF|成等差數(shù)列，則點(diǎn)A、B、C的橫坐標(biāo)亦成等差數(shù)列。

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(

)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)參考答案：C略9.下列四個(gè)命題中，正確的是A.已知服從正態(tài)分布,，且，則B.設(shè)回歸直線方程為，當(dāng)變量增加一個(gè)單位時(shí)，平均增加個(gè)單位；C.已知函數(shù)，則；D.對(duì)于命題：,使得，則：，均有參考答案：C10.已知，，且，則為（

）A．

B．

C．2

D．參考答案：B∵，2=+2+=1+2=3，∴=二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（5分）已知P是橢圓上一點(diǎn)，若，則|PF1||PF2|=．參考答案：4∵P是橢圓上一點(diǎn)，∴|PF1|+|PF2|=4，兩邊平方，得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=16，①在△F1PF2中，∵|F1F2|=2，，∴由余弦定理，得|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos60°=4，即|PF1|2+|PF2|2﹣|PF1||PF2|=4，②①﹣②，得：3|PF1||PF2|=12，∴|PF1||PF2|=4．故答案為：4．12.函數(shù)滿足是偶函數(shù)，又，為奇函數(shù)，則_______參考答案：13.如圖，AB是圓的直徑，弦CD與AB相交于點(diǎn)E，BE=2AE=2，BD=ED，則線段CE的長(zhǎng)為__________.參考答案：試題分析：設(shè)，則由相交弦定理得，，又，所以，因?yàn)槭侵睆?，則，，在圓中，則，即，解得14.設(shè)常數(shù)，展開式中的系數(shù)為，則的值為

．參考答案：答案：15.在球O的內(nèi)接四面體ABCD中，且，則A,B兩點(diǎn)的球面距離是_______________參考答案：略16.已知向量不超過(guò)5，則k的取值范圍是

參考答案：17.若f(x)是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，又有f(－3)＝0，則x·f(x)<0的解集是________．參考答案：(－3,0)∪(0,3)略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)，且。（1）求的值；（2）設(shè)，；求的值參考答案：（1）

（2）

19.如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是等腰梯形，，，，，為等邊三角形，且點(diǎn)P在底面ABCD上的射影為AD的中點(diǎn)G，點(diǎn)E在線段BC上，且.（1）求證：DE⊥平面PAD.（2）求二面角的余弦值.參考答案：（1）證明見解析（2）【分析】（1）由等腰梯形的性質(zhì)可證得,由射影可得平面,進(jìn)而求證；（2）取的中點(diǎn)F,連接,以G為原點(diǎn),所在直線為x軸,所在直線為y軸,所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,分別求得平面與平面的法向量,再利用數(shù)量積求解即可.【詳解】（1）在等腰梯形中,點(diǎn)E在線段上,且,點(diǎn)E為上靠近C點(diǎn)的四等分點(diǎn),,,,,點(diǎn)P在底面上的射影為的中點(diǎn)G,連接,平面,平面,.又,平面,平面,平面.（2）取的中點(diǎn)F,連接,以G為原點(diǎn),所在直線為x軸,所在直線為y軸,所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,由（1）易知,,,又,,,為等邊三角形,,則,,,,,,,,,設(shè)平面的法向量為,則，即,令,則,,,設(shè)平面的法向量為,則,即,令,則,,,設(shè)平面與平面的夾角為θ,則二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明,考查空間向量法求二面角,考查運(yùn)算能力與空間想象能力.20.（本題滿分14分）如圖所示的幾何體中，平面平面,為等腰直角三角形，，四邊形為直角梯形，，，，，.

（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案：解：（Ⅰ）因?yàn)?，，所以四邊形是平行四邊?所以因?yàn)槠矫?，平面，所以平?/p>

……

4分（Ⅱ）取的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以因?yàn)槠矫嫫矫?平面，所以平面

……

5分以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線，為軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則軸在平面內(nèi)．因?yàn)?，，，所以，，，，所以?

……

7分設(shè)平面的法向量為，所以

即所以令，則，.

所以.

……

8分設(shè)平面的法向量為，所以又因?yàn)槎娼菫殇J角，所以二面角的余弦值是

……

10分（Ⅲ）存在.設(shè)點(diǎn)，，所以，所以，，.

所以點(diǎn)所以又平面的法向量為，平面，所以所以所以在線段上存在點(diǎn)，使平面，且的值是……………

14分21.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)是奇函數(shù).（1）求a,b的值；（2）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求k的取值范圍.參考答案：（1）因?yàn)槭荝上的奇函數(shù)，所以從而有又由，解得（2）解法一：由（1）知由上式易知在R上為減函數(shù)，又因是奇函數(shù)，從而不等式等價(jià)于因是R上的減函數(shù)，由上式推得即對(duì)一切從而22.袋中有紅、白兩種顏色的球，作無(wú)放回的抽樣試驗(yàn)，連抽3次，每次抽一球。