立體幾何中外接內(nèi)切球溝通

立體幾何中的外接內(nèi)切球假如一個多面體的各個極點都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的內(nèi)接多面體，這個球稱為多面體的外接球。相關(guān)多面體外接球的問題，是立體幾何的一個要點，也是高考察看的一個熱門。察看學(xué)生的空間想象能力及概括能力。研究多面體的外接球問題，既要運(yùn)用多面體的知識，又要運(yùn)用球的知識。而且還要特別注意多面體的相關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中常常會起到至關(guān)重要的作業(yè)。本專題主要討論補(bǔ)形法和軸截面法。補(bǔ)形法：狀況一：若一個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為，則就能夠?qū)⑦@個三棱錐補(bǔ)成一個長方體，于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為，則有.狀況二：若出現(xiàn)對邊相等，一般也是結(jié)構(gòu)長方體，再利用。此類題要點要找出三邊。例1：已知點A、B、C、D在同一個球面上，則外接球的體積是______。解析：如圖，易得，，，則此球內(nèi)接長方體三條棱長為長），進(jìn)而球外接圓的直徑為，即.

AB、BC、CD（CD

的對邊與

CD

等例2.如圖，已知球O點面上四點A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，則O的體積等于___________。解析：本小題主要察看球的內(nèi)接幾何體體積計算問題。其要點是找出球心，進(jìn)而確立球的半徑。由題意，三角形DAC,三角形DBC都是直角三角形，且有公共斜邊。因此DC邊的中點就是球心（到D、A、C、B四點距離相等），因此球的半徑就是線段DC長度的一半。例3.在正三棱錐中，、分別是棱、的中點，且，若側(cè)棱，則正三棱錐外接球的表面積是（A．B．C．D．解析：正三棱錐對棱相互垂直，即，又SB∥MN，且，∴，進(jìn)而.∴，認(rèn)為極點，將三棱錐補(bǔ)成一個正方體，故球的直徑，即，∴。

）4.在四周體中,,則四周體的外接球的表面積為________________.【答案】解析:結(jié)構(gòu)一個長方體,使得它的三條面對角線分別為4、5、6,設(shè)長方體的三條邊分別為,則,而長方體的外接球就是四周體的外接球,因此練習(xí)題：1.一個三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩相互垂直，且長度分別為1、、3，則這個三棱錐的外接球的表面積為（）A、16πB、32πC、36πD、64π答案：A2.在三棱錐A-BCD中，側(cè)棱AB、AC、AD兩兩垂直，△ABC、△ACD、△ADB別為，則三棱錐A-BCD的外接球的體積為（）3.三棱錐P-ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，假如此三棱錐外接球的表面積為PA?PB+PA?PC+PB?PC的最大值為（）

的面積分9π，那么A.

B.

C.9

D.18軸截面法：我們選擇最正確角度找出含有找出含有正棱錐特點元素的外接球的一個軸截面面圓，于是該圓的半徑就是所求的半徑，把立體幾何問題轉(zhuǎn)變?yōu)槠矫鎺缀螁栴}來研究。這類等價轉(zhuǎn)變的思想是我們應(yīng)當(dāng)研究的要點。例1.已知四周體正四棱錐

S－ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為，點

S、A、B、C、D都在同一個球面上，則該球的體積為

_．[審題導(dǎo)引

]

以以下圖，依據(jù)對稱性，只需在四棱錐的高線

SE上找到一個點

O使得

OA＝OS，則四棱錐的五個極點就在同一個球面上．[規(guī)范解答]以以下圖，在Rt△SEA中，SA＝，AE＝1，故

SE＝1.設(shè)球的半徑為

r，則OA＝OS＝r，OE＝1－r.在Rt△OAE中，r2＝(1－r)2＋1，解得r＝1，即點O即為球心，故這個球的體積是.例2.已知四周體在同一球面上，且,,當(dāng)四周體的體積最大時且為，求球的表面積（）解析：∵,∴是直角三角形,∴的外接圓的圓心是邊AC的中點O1,以以下圖,若使四周體ABCD體積的最大值只需使點D到平面ABC的距離最大,又平面ABC,因此點D是直線與球的交點，設(shè)球的半徑為R,則由體積公式有:，在中,,解得:,應(yīng)選C1.已知球O點面上四點A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，則球O的體積等于

___________2.已知四棱錐V-ABCD的極點都在同一球面上，底面面ABCD，AB=，ＡＤ＝３，ＶＧ＝，則該球的體積為（內(nèi)切圓：等體積法

ABCD

為矩形，）

AC∩BD=G，VG⊥平例1．設(shè)棱錐的底面是正方形，且，，假如的面積為1，試求能夠放入這個棱錐的最大球的半徑.解：平面，由此，面面.記是的中點，進(jìn)而.平面，設(shè)球是與平面、平面、平面都相切的球.如圖2，得截面圖及內(nèi)切圓不如設(shè)平面，于是是的心里.設(shè)球的半徑為，則，設(shè),.,當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號建立.∴當(dāng)時，知足條件的球最大部分徑為.練習(xí)：1.一個正四周體內(nèi)切球的表面積為，求正四周體的棱長。（答案為：）2.在底面半徑為

3，高為

4+2的圓柱形有蓋容器內(nèi)，放入一個半徑為

3的大球后，再放入與球面、圓柱側(cè)面及上底面均相切的小球，則放入小球的個數(shù)最多為（A、4B、、6D、7

）作業(yè)：1．已知三棱柱ABC﹣A1B1的6個極點都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，則球O的半徑為（）A．B．C．D．2．將一個氣球的半徑擴(kuò)大1倍，它的體積擴(kuò)大到本來的（）A．2倍B．4倍C．8倍D．16倍3．用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為π，則球的體積為（）A．B．C．D．4．球的表面積與它的內(nèi)接正方體的全面積之比為（）A．B．C．D．15．將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則這個球的表面積為（）A．2πB．4πC．8πD．16π6．已知三棱柱ABC﹣A1B1的6個極點都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，則球O的半徑為（）A．B．C．D．7．已知三棱錐P－ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，PA＝PB＝2PC＝，且三棱錐外接球的表面積為S＝9π，則實數(shù)a的值為( )A．1B．C.D.8．半徑為5的球面上有三個點A，B，C，若AB＝6，BC＝8，AC＝10，經(jīng)過這3個點作截面，那么球心到截面的距離為( )A．4B．C．5D．99．已知三棱錐的三視圖以以下圖，則它的外接球表面積為( )A．16π

B．8π

C．4π

D．2π10．已知三棱錐S-ABC的全部極點都在球O的球面上，△ABC為球O的直徑，且SC=2，則此棱錐的體積為（）

是邊長為

1的正三角形，

SCA．

B．

C．

D．二、填空題：1．如圖，已知球O的面上四點A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，則球O的體積等于．2．已知點A、B、C在球心為O的球面上，△ABCb、c，且a2＝b2＋c2＋bc，a＝，球心O到截面ABC

的內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a、的距離為，則該球的表面積為________．3．過正四周體外接球球心的平面截正四周體所得截面以以下圖，圖中三角形面積為2，則正四周體棱長為____________．4．給出以下命題：①一個球與棱長為的正方體的全部棱都相切，則此球的體積為；②若( )＝2，則實數(shù)a＝1＋；③已知函數(shù)f(x)＝ln(x2＋1)，則方程f(x)＝0在(1，2)內(nèi)必有實根；④圓(x－2)2＋y2＝2外的點M對該圓的視角為90°時，則點M的軌跡方程是(x－2)2＋y2＝4.此中正確的命題序號是______．5．過半徑為2的球O表面上一點A，作球O的截面，若OA與該截面所成的角為30°，則該截面的面積為________．6．已知正四棱柱ABCD－A1B1D1的底面邊長AB＝6，側(cè)棱長AA1＝2，它的外接球的球心為O，點E是AB的中點，點P是球O的球面上隨意一點，有以下判斷：(1)PE長的最大值是9；三棱錐P－EBC體積的最大值是；存在過點E的平面，截球O的截面面積是8π；三棱錐P