江蘇省2023年高考數(shù)學(xué)試題及答案(Word版)

江蘇省2023年高考數(shù)學(xué)試題及答案（Word版）（試卷滿分：160分，考試時間：120分鐘）注意事項：1．試卷滿分160分，另設(shè)附加題40分。理科類考生加試附加題。2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。參考公式：錐體的體積，其中是錐體的底面積，是錐體的高．數(shù)學(xué)Ⅰ一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．1．已知集合，，那么．2．若復(fù)數(shù)滿足，其中i是虛數(shù)單位，則的實部為．3．已知5位裁判給某運動員打出的分數(shù)的莖葉圖如圖所示，那么這5位裁判打出的分數(shù)的平均數(shù)為．4．一個算法的偽代碼如圖所示，執(zhí)行此算法，最后輸出的S的值為．5．函數(shù)的定義域為．6．某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動，則恰好選中2名女生的概率為．7．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的值是．8．在平面直角坐標系中，若雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離為，則其離心率的值是．9．函數(shù)滿足，且在區(qū)間上，則的值為．10．如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為．11．若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為．12．在平面直角坐標系中，A為直線上在第一象限內(nèi)的點，，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D．若，則點A的橫坐標為．13．在中，角所對的邊分別為，，的平分線交于點D，且，則的最小值為．14．已知集合，．將的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列．記為數(shù)列的前n項和，則使得成立的n的最小值為．二、解答題：本大題共6小題，共計90分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分14分）在平行六面體中，．求證：（1）平面；（2）平面平面．16．（本小題滿分14分）已知為銳角，，．（1）求的值；（2）求的值．17．（本小題滿分14分）某農(nóng)場有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧（P為此圓弧的中點）和線段MN構(gòu)成．已知圓O的半徑為40米，點P到MN的距離為50米．現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個溫室大棚，大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD，大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為，要求均在線段上，均在圓弧上．設(shè)OC與MN所成的角為．（1）用分別表示矩形和的面積，并確定的取值范圍；（2）若大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為．求當為何值時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大．18．（本小題滿分16分）如圖，在平面直角坐標系中，橢圓C過點，焦點，圓O的直徑為．（1）求橢圓C及圓O的方程；（2）設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點P．①若直線l與橢圓C有且只有一個公共點，求點P的坐標；②直線l與橢圓C交于兩點．若的面積為，求直線l的方程．19．（本小題滿分16分）記分別為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個“S點”．（1）證明：函數(shù)與不存在“S點”；（2）若函數(shù)與存在“S點”，求實數(shù)a的值；（3）已知函數(shù)，．對任意，判斷是否存在，使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“S點”，并說明理由．20．（本小題滿分16分）設(shè)是首項為，公差為d的等差數(shù)列，是首項為，公比為q的等比數(shù)列．（1）設(shè)，若對均成立，求d的取值范圍；（2）若，證明：存在，使得對均成立，并求的取值范圍（用表示）．數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題)21．【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩小題評分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．A．[選修4—1：幾何證明選講](本小題滿分10分)如圖，圓O的半徑為2，AB為圓O的直徑，P為AB延長線上一點，過P作圓O的切線，切點為C．若，求BC的長．B．[選修4—2：矩陣與變換](本小題滿分10分)已知矩陣．（1）求的逆矩陣；（2）若點P在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到點，求點P的坐標．C．[選修4—4：坐標系與參數(shù)方程](本小題滿分10分)在極坐標系中，直線l的方程為，曲線C的方程為，求直線l被曲線C截得的弦長．D．[選修4—5：不等式選講](本小題滿分10分)若x，y，z為實數(shù)，且x+2y+2z=6，求的最小值．【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．22．（本小題滿分10分）如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，點P，Q分別為A1B1，BC的中點．（1）求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；（2）求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值．23．(本小題滿分10分)設(shè)，對1，2，···，n的一個排列，如果當s<t時，有，則稱是排列的一個逆序，排列的所有逆序的總個數(shù)稱為其逆序數(shù)．例如：對1，2，3的一個排列231，只有兩個逆序(2，1)，(3，1)，則排列231的逆序數(shù)為2．記為1，2，···，n的所有排列中逆序數(shù)為k的全部排列的個數(shù)．（1）求的值；（2）求的表達式(用n表示)．參考答案一、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識、基本運算和基本思想方法．每小題5分，共計70分．1．{1，8} 2．2 3．90 4．85．[2，+∞） 6． 7．8．29．10．11．–3 12．313．9 14．27二、解答題15．本小題主要考查直線與直線、直線與平面以及平面與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力和推理論證能力．滿分14分．證明：（1）在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1因為AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABB1A平行四邊形．又因為AA1=AB，所以四邊形ABB1A1因此AB1⊥A1B．又因為AB1⊥B1C1，BC∥B1C所以AB1⊥BC．又因為A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因為AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC16．本小題主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和（差）及二倍角的三角函數(shù)，考查運算求解能力．滿分14分．解：（1）因為，，所以．因為，所以，因此，．（2）因為為銳角，所以．又因為，所以，因此．因為，所以，因此，．17．本小題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用、用導(dǎo)數(shù)求最值等基礎(chǔ)知識，考查直觀想象和數(shù)學(xué)建模及運用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力．滿分14分．解：（1）連結(jié)PO并延長交MN于H，則PH⊥MN，所以O(shè)H=10．過O作OE⊥BC于E，則OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，則矩形ABCD的面積為2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面積為×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．過N作GN⊥MN，分別交圓弧和OE的延長線于G和K，則GK=KN=10．令∠GOK=θ0，則sinθ0=，θ0∈（0，）．當θ∈[θ0，）時，才能作出滿足條件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范圍是[，1）．答：矩形ABCD的面積為800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面積為1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范圍是[，1）．（2）因為甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3，設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為4k，乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k（k>0），則年總產(chǎn)值為4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．設(shè)f（θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），則．令，得θ=，當θ∈（θ0，）時，，所以f（θ）為增函數(shù)；當θ∈（，）時，，所以f（θ）為減函數(shù)，因此，當θ=時，f（θ）取到最大值．答：當θ=時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大．18．本小題主要考查直線方程、圓的方程、圓的幾何性質(zhì)、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓及橢圓的位置關(guān)系等知識，考查分析問題能力和運算求解能力．滿分16分．解：（1）因為橢圓C的焦點為，可設(shè)橢圓C的方程為．又點在橢圓C上，所以，解得因此，橢圓C的方程為．因為圓O的直徑為，所以其方程為．（2）①設(shè)直線l與圓O相切于，則，所以直線l的方程為，即．由消去y，得．（*）因為直線l與橢圓C有且只有一個公共點，所以．因為，所以．因此，點P的坐標為．②因為三角形OAB的面積為，所以，從而．設(shè)，由（*）得，所以．因為，所以，即，解得舍去），則，因此P的坐標為．綜上，直線l的方程為．19．本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究初等函數(shù)的性質(zhì)，考查綜合運用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問題以及邏輯推理能力．滿分16分．解：（1）函數(shù)f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，則f′（x）=1，g′（x）=2x+2．由f（x）=g（x）且f′（x）=g′（x），得，此方程組無解，因此，f（x）與g（x）不存在“S”點．（2）函數(shù)，，則．設(shè)x0為f（x）與g（x）的“S”點，由f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），得，即，（*）得，即，則．當時，滿足方程組（*），即為f（x）與g（x）的“S”點．因此，a的值為．（3）對任意a>0，設(shè)．因為，且h（x）的圖象是不間斷的，所以存在∈（0，1），使得．令，則b>0．函數(shù)，則．由f（x）=g（x）且f′（x）=g′（x），得，即，（**）此時，滿足方程組（**），即是函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)的一個“S點”．因此，對任意a>0，存在b>0，使函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)存在“S點”．20．本小題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運用數(shù)學(xué)知識探究與解決問題的能力．滿分16分．解：（1）由條件知：．因為對n=1，2，3，4均成立，即對n=1，2，3，4均成立，即11，1d3，32d5，73d9，得．因此，d的取值范圍為．（2）由條件知：．若存在d，使得（n=2，3，···，m+1）成立，即，即當時，d滿足．因為，則，從而，，對均成立．因此，取d=0時，對均成立．下面討論數(shù)列的最大值和數(shù)列的最小值（）．①當時，，當時，有，從而．因此，當時，數(shù)列單調(diào)遞增，故數(shù)列的最大值為．②設(shè)，當x>0時，，所以單調(diào)遞減，從而<f（0）=1．當時，，因此，當時，數(shù)列單調(diào)遞減，故數(shù)列的最小值為．因此，d的取值范圍為．數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題)參考答案21．【選做題】A．[選修4—1：幾何證明選講]本小題主要考查圓與三角形等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力．滿分10分．證明：連結(jié)OC．因為PC與圓O相切，所以O(shè)C⊥PC．又因為PC=，OC=2，所以O(shè)P==4．又因為OB=2，從而B為Rt△OCP斜邊的中點，所以BC=2．B．[選修4—2：矩陣與變換]本小題主要考查矩陣的運算、線性變換等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．滿分10分．解：（1）因為，，所以A可逆，從而．（2）設(shè)P(x，y)，則，所以，因此，點P的坐標為(3，–1)．C．[選修4—4：坐標系與參數(shù)方程]本小題主要考查曲線的極坐標方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．滿分10分．解：因為曲線C的極坐標方程為，所以曲線C的圓心為（2，0），直徑為4的圓．因為直線l的極坐標方程為，則直線l過A（4，0），傾斜角為，所以A為直線l與圓C的一個交點．設(shè)另一個交點為B，則∠OAB=．連結(jié)OB，因為OA為直徑，從而∠OBA=，所以．因此，直線l被曲線C截得的弦長為．D．[選修4—5：不等式選講]本小題主要考查柯西不等式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力．滿分10分．證明：由柯西不等式，得．因為，所以，當且僅當時，不等式取等號，此時，所以的最小值為4．22．【必做題】本小題主要考查空間向量、異面直線所成角和線面角等基礎(chǔ)知識，考查運用空間向量解決問題的能力．滿分10分．解：如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，設(shè)AC，A1C1的中點分別為O，O1，則OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以為基底，建立空間直角坐標系O?xyz因為AB=AA1=2，所以．（1）因為P為A1B1的中點，所以，從而，故．因此，異面直線BP與AC1所成角的余弦值為．（2）因為Q為BC的中點，所以，因此，．設(shè)n=（x，y，z）為平面AQC1的一個法向量，則即不妨取，設(shè)直線CC1與平面AQC1所成角為，則，所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為．23．【必做題】本小題主要考查計數(shù)原理