第三章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值

第三章

人壽保險(xiǎn)的

精算現(xiàn)值本章結(jié)構(gòu)離散型壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值連續(xù)型壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值兩類壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值之間的關(guān)系本章學(xué)習(xí)目標(biāo)理解壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值的含義熟悉離散型各險(xiǎn)種壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值的計(jì)算公式熟練使用換算函數(shù)計(jì)算離散型各險(xiǎn)種的壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值掌握離散型、連續(xù)型壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值之間的關(guān)系保費(fèi)的分類-按保費(fèi)繳納的方式躉繳保費(fèi)（一次性繳納保費(fèi)）自然保費(fèi)(根據(jù)當(dāng)年保險(xiǎn)賠付成本確定的保費(fèi)，年齡越大，繳納的越多)均衡保費(fèi)（定期繳納保費(fèi)）人壽保險(xiǎn)給付方式的分類分為：連續(xù)型壽險(xiǎn)和離散型壽險(xiǎn)連續(xù)型壽險(xiǎn)：保險(xiǎn)金在死亡后立即賠付，以連續(xù)型未來壽命T(x)作為隨機(jī)變量來計(jì)算期望值離散型壽險(xiǎn)：保險(xiǎn)金在死亡的年末賠付，以離散型未來壽命K(x)作為隨機(jī)變量來計(jì)算期望值實(shí)務(wù)中，多采用連續(xù)給付的方式（被保人死亡到保險(xiǎn)金的賠付時(shí)間很短，計(jì)算時(shí)，把被保險(xiǎn)人的死亡和保險(xiǎn)金的給付看作在同一時(shí)間發(fā)生，即認(rèn)為是立即賠付）人壽保險(xiǎn)給付上的兩大特點(diǎn)不確定性：是否發(fā)生給付不確定給付的時(shí)間不確定給付發(fā)生在較長(zhǎng)時(shí)間以后，其成本受利率影響很大。凈保費(fèi)的計(jì)算原理收支平衡原理（精算等價(jià)原理）：凈保費(fèi)的精算現(xiàn)值＝保險(xiǎn)賠付的精算現(xiàn)值它的實(shí)質(zhì)是在統(tǒng)計(jì)意義上的收支平衡。是在大數(shù)場(chǎng)合下，收入期望現(xiàn)時(shí)值等于支出期望現(xiàn)時(shí)值

精算現(xiàn)值（包含兩層含義）：保險(xiǎn)賠付在投保時(shí)的期望現(xiàn)值把所有可能的賠付先折現(xiàn)到保單簽發(fā)時(shí)刻，然后再求期望值精算現(xiàn)值=躉繳凈保費(fèi)由于賠付的不確定性源于人的死亡不確定，所以，以連續(xù)型（離散型）未來壽命為隨機(jī)變量，來求期望值。第一節(jié)離散型壽險(xiǎn)的躉繳凈保費(fèi)本節(jié)的主要目標(biāo)理解躉繳凈保費(fèi)的計(jì)算公式并熟練應(yīng)用掌握用換算函數(shù)計(jì)算各類離散型壽險(xiǎn)躉繳凈保費(fèi)主要險(xiǎn)種n年期定期壽險(xiǎn)終身壽險(xiǎn)n年期生存保險(xiǎn)n年期兩全保險(xiǎn)延期m年的終身壽險(xiǎn)延期m年的n年定期壽險(xiǎn)遞增終身壽險(xiǎn)遞減n年定期壽險(xiǎn)一般變額壽險(xiǎn)例3.1100個(gè)40歲的人投保了1000元5年期定期壽險(xiǎn)，死亡賠付在死亡年年末。如果預(yù)定年利率為3%，各年預(yù)計(jì)的死亡人數(shù)分別為1、2、3、4、5人。每年的賠付支出及其折現(xiàn)值如表所示：年份年內(nèi)死亡人數(shù)賠付支出折現(xiàn)因子賠付支出現(xiàn)值（1）（2）(3)=1000×(2)(4)(5)=(3)×(4)1110001.03-1970.872220001.03-21885.193330001.03-32745.434440001.03-43553.955550001.03-54313.04例3.1答案100張保單的未來賠付支出總現(xiàn)值平均每張保單的未來賠付現(xiàn)值（保單的精算現(xiàn)值）為：134.68元?；痉?hào)——?dú)q投保的人整值剩余壽命bk+1——保險(xiǎn)金在死亡年末給付函數(shù)vk+1——貼現(xiàn)函數(shù)zk+1——保險(xiǎn)賠付金在簽單時(shí)的現(xiàn)時(shí)值E(ZK+1)——壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值（躉繳凈保費(fèi)）計(jì)算原理K的不同上下限，對(duì)應(yīng)著不同的險(xiǎn)種（一）n年定期壽險(xiǎn)給付函數(shù)保險(xiǎn)金給付在簽單時(shí)的現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳凈保費(fèi)躉繳凈保費(fèi)的變形公式思考：該公式的含義？自然保費(fèi)即中n=1的躉繳凈保費(fèi).

是根據(jù)每一保險(xiǎn)年度，每一被保險(xiǎn)人當(dāng)年年齡的預(yù)定死亡率計(jì)算出的該年度的死亡純保費(fèi)。隨著年齡的增長(zhǎng)而提高,即年齡越大，自然保費(fèi)就越高。在壽險(xiǎn)實(shí)務(wù)中,一般不采用這種方式。例3.2某人在40歲時(shí)投保了3年期10000元定期壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金在死亡年末賠付。假設(shè)預(yù)定利率為5%，以中國(guó)人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993年，男女混合表），計(jì)算躉繳凈保費(fèi)。例3.2答案（二）終身壽險(xiǎn)給付函數(shù)給付現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳凈保費(fèi)例3.3張某50歲時(shí)購(gòu)買了一份保額為100000元的終身壽險(xiǎn)。已知：設(shè)預(yù)定利率為0.08求這份保單的躉繳凈保費(fèi)。例3.3答案（三）n年期生存保險(xiǎn)被保險(xiǎn)人生存至n年期滿時(shí),保險(xiǎn)人在第n年末支付保險(xiǎn)金.只有一個(gè)因素不確定:是否給付保險(xiǎn)金,而保險(xiǎn)金給付的時(shí)間和數(shù)量可以預(yù)先確定.保險(xiǎn)金給付相當(dāng)于一個(gè)二項(xiàng)分布:即在n年末只有只有兩種可能,要么給付1,要么不給付,且給付的概率為.給付函數(shù):給付現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳凈保費(fèi)（四）兩全保險(xiǎn)兩全保險(xiǎn)是定期壽險(xiǎn)與純生存保險(xiǎn)的組合給付函數(shù)給付現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳凈保費(fèi)例3.4某人在40歲時(shí)投保了3年期10000元兩全壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金在死亡年末賠付。假設(shè)預(yù)定利率為5%，以中國(guó)人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993年，男女混合表），計(jì)算躉繳凈保費(fèi)。例3.4答案（五）延期m年終身壽險(xiǎn)保險(xiǎn)金在被保險(xiǎn)人投保m年后，發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡給付保險(xiǎn)金。給付函數(shù)給付現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳凈保費(fèi)（六）延期m年的n年定期壽險(xiǎn)保險(xiǎn)金在被保險(xiǎn)人投保m年后的n年內(nèi)，發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡給付保險(xiǎn)金。給付函數(shù)給付現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳凈保費(fèi)

幾個(gè)關(guān)系式（七）遞增型壽險(xiǎn)終身壽險(xiǎn)n年定期（八）遞減型壽險(xiǎn)給付函數(shù)給付現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳凈保費(fèi)

一般變額壽險(xiǎn)給付現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳凈保費(fèi)例3.5對(duì)一份3年期變額壽險(xiǎn)，各年的死亡賠付額和死亡概率如下表所示：假設(shè)預(yù)定利率為6%，計(jì)算這一保單的精算現(xiàn)值。kbk+1qk+103000000.0213500000.0424000000.06例3.5答案死亡年末給付躉繳凈保費(fèi)公式歸納遞減n年定期壽險(xiǎn)遞增終身壽險(xiǎn)n年期兩全保險(xiǎn)延期m年的終身壽險(xiǎn)延期m年的n年定期壽險(xiǎn)終身壽險(xiǎn)基本換算函數(shù)在給定預(yù)定利率下，基本換算函數(shù)按不同年齡排列，編制成換算函數(shù)表。用換算函數(shù)表示常見險(xiǎn)種的躉繳凈保費(fèi)

例3.6某人在40歲時(shí)投保了一份壽險(xiǎn)保單，死亡年末賠付。如果在40歲至65歲之間死亡，保險(xiǎn)公司賠付50000元；在65歲到75歲之間死亡，受益人可領(lǐng)取100000元的保險(xiǎn)金；在75歲后死亡，保險(xiǎn)金為30000元。利用換算函數(shù)寫出這一保單精算現(xiàn)值的表達(dá)式。例3.6答案（1）這份保單可以分解為下列保單的組合50000元的25年定期壽險(xiǎn)100000元延期25年的10年定期壽險(xiǎn)30000元延期35年的終身壽險(xiǎn)的組合這份保單的精算現(xiàn)值的表達(dá)式為：例3.6答案（2）或者，將這份保單分解成下列保單的組合30000元的終身壽險(xiǎn)20000元的35年定期壽險(xiǎn)50000元延期25年的10年定期壽險(xiǎn)的組合練習(xí)現(xiàn)年36歲的人，購(gòu)買了一張終身壽險(xiǎn)保單。該保單規(guī)定：被保險(xiǎn)人在10年內(nèi)死亡，則給付數(shù)額為15000元；10年以后死亡，則給付數(shù)額為20000元。設(shè)死亡給付發(fā)生在保單年度末。試求其躉繳凈保費(fèi)。答案第二節(jié)連續(xù)型壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值相關(guān)符號(hào)x：投保年齡

t：保單簽發(fā)到被保險(xiǎn)人死亡的時(shí)間長(zhǎng)度

T：連續(xù)型未來壽命，連續(xù)型隨機(jī)變量：t時(shí)刻給付的保險(xiǎn)金，一般是事先確定好的：折現(xiàn)函數(shù)，：保險(xiǎn)金在保單簽發(fā)時(shí)的現(xiàn)值，是一隨機(jī)變量。連續(xù)型保險(xiǎn)躉繳凈保費(fèi)的計(jì)算原理計(jì)算公式保險(xiǎn)金給付在保單簽發(fā)時(shí)的精算現(xiàn)值，即先將t時(shí)刻的保險(xiǎn)金轉(zhuǎn)化為現(xiàn)值，然后求其期望值。上式中的積分號(hào)的上下限有多種形式，這就對(duì)應(yīng)實(shí)際中人壽保險(xiǎn)的多種形式。n年定期保險(xiǎn)的躉繳凈保費(fèi)給付函數(shù)給付現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳凈保費(fèi)遞增終身壽險(xiǎn)(一年遞增一次）給付現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳凈保費(fèi)遞增終身壽險(xiǎn)（連續(xù)遞增）給付現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳凈保費(fèi)遞減定期壽險(xiǎn)（一年遞減一次）給付現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳凈保費(fèi)遞減定期壽險(xiǎn)（連續(xù)遞減）給付現(xiàn)值隨機(jī)變量躉繳凈保費(fèi)其他各險(xiǎn)種的躉繳凈保費(fèi)與離散型壽險(xiǎn)的躉繳凈保費(fèi)計(jì)算原理完全一樣,符號(hào)也很類似，也有類似的關(guān)系.注意掌握各險(xiǎn)種及連續(xù)型、離散型壽險(xiǎn)躉繳凈保費(fèi)之間的異同點(diǎn)。第三節(jié)UDD假設(shè)下連續(xù)型壽險(xiǎn)和離散型壽險(xiǎn)躉繳凈保費(fèi)之間的關(guān)系以終身壽險(xiǎn)為例，有剩余壽命等于整值剩余壽命加死亡之年分?jǐn)?shù)生存壽命：則有

假設(shè)(UDD)下兩類躉繳保費(fèi)之間的關(guān)系關(guān)于的計(jì)算含義：相當(dāng)于把死亡發(fā)生年劃分成m個(gè)相等的部分，保額在死亡發(fā)生的那個(gè)第m部分的期末給付1單位的終身壽險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)在UDD假設(shè)下，有當(dāng)時(shí)，相當(dāng)于連續(xù)壽險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)例3.7某人在30歲時(shí)投保了50000元30年期兩全保險(xiǎn)，設(shè)預(yù)定利率為6%，以中國(guó)人壽業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993年，男女混合表），求這一保單的躉繳凈保費(fèi)。其他條件同上。但保單規(guī)定：投保的前10年死亡賠付50000元，后20年死亡賠付30000元，滿期存活給付20000元。求這一保單的躉繳凈保費(fèi)。例3.7答案（1）例3.7答案（2）考慮第1年死亡即刻賠付10000，第2年死亡即刻賠付9000元并以此類推遞減人壽保險(xiǎn)。按i=0.06計(jì)算（30）的人躉繳