第四章圖像變換

第四章圖像變換4.1酉矩陣和正交矩陣的變換4.2傅立葉變換4.3離散余弦變換（DCT）4.4

離散沃爾什變換（WalshTransform4.5

哈達(dá)瑪變換(HadamardTransform,HT)4.6其它變換為什么引入圖像變換？圖像變換是許多圖像處理和分析技術(shù)地基礎(chǔ)。人眼只能籠統(tǒng)分析圖像信息，而圖像經(jīng)變換后，可以用光譜、頻譜等方法細(xì)致分析，突出表現(xiàn)圖像細(xì)節(jié)。將圖像從時(shí)域變換到頻域，優(yōu)點(diǎn)之一就是能將復(fù)雜的卷積運(yùn)算變?yōu)楹?jiǎn)單的相乘運(yùn)算。變換的另一個(gè)意義是用于圖像識(shí)別，如多光譜圖像，對(duì)同一目標(biāo)用不同波長(zhǎng)的微波或紅外來(lái)照射，獲取回波形成幾幅圖像，彼此相關(guān)，在時(shí)域中這種相關(guān)很復(fù)雜，而在頻域中就能被很簡(jiǎn)單地處理。理論依據(jù)：信號(hào)分析的一個(gè)重要概念是任何波形可由許多基波的加權(quán)和合成；反之任何波形可分解為許多基波及其加權(quán)值。根據(jù)線性可疊加系統(tǒng)的結(jié)論，系統(tǒng)對(duì)某個(gè)波形的影響可看作是系統(tǒng)對(duì)各基波影響的累加。這就是圖像分析技術(shù)的重要依據(jù)。把一維信號(hào)分析的結(jié)論擴(kuò)展到二維，即任何圖像都可分解為許多基圖像及其權(quán)值。根據(jù)線性可疊加系統(tǒng)的結(jié)論，系統(tǒng)對(duì)某幅圖象的影響可以考慮為系統(tǒng)對(duì)各基圖像的影響的累加。基波和基圖像都是互相正交的。4.1酉矩陣和正交矩陣的變換4.1.1

一維變換1.連續(xù)函數(shù)集合的正交性

一維連續(xù)實(shí)值函數(shù)的集合，若此集合中的函數(shù)滿足式式中T為周期。當(dāng)C＝1時(shí)，稱(chēng)集合為歸一化正交函數(shù)集合。正交函數(shù)集合常用作基函數(shù)，它應(yīng)滿足正交性和完備性兩個(gè)條件。2.離散情況連續(xù)一維基函數(shù)經(jīng)采樣，可看作下列向量集合：若它們彼此正交，則向量元素應(yīng)滿足下式：

當(dāng)C＝1，稱(chēng)為歸一化正交。即每一個(gè)向量為單位向量。其物理意義為多維空間坐標(biāo)的基軸方向互相正交。用滿足上式的基向量組成矩陣則一定滿足

3.一維變換利用上述矩陣對(duì)任一數(shù)據(jù)向量進(jìn)行運(yùn)算為若恢復(fù)，則若，即A為正交陣，則若A的每一個(gè)元素可能為復(fù)數(shù)，則正交的條件可用式中為A的復(fù)數(shù)共軛。滿足這個(gè)條件的矩陣稱(chēng)為酉矩陣。此時(shí)對(duì)任意向量的運(yùn)算和恢復(fù)稱(chēng)為酉變換。若A為酉陣，則滿足下式：若A不是復(fù)數(shù)時(shí)，就成為正交變換。所以說(shuō)正交變換是酉變換的一個(gè)特例。因而把各種正交變換都統(tǒng)稱(chēng)為酉變換(unitarytransform)。酉陣的每一個(gè)向量都可作為基向量(基函數(shù))，基向量的加權(quán)和可以合成任意向量（函數(shù)）。完備性

若f(x)是定義在t0和t0+T區(qū)間的實(shí)值信號(hào)，則可用展開(kāi)式表示，即

對(duì)任何平方可積的分段連續(xù)信號(hào)f(x)及無(wú)窮小量＞o，總存在一個(gè)正整數(shù)N與有限展開(kāi)式，使f(x)的估值為使得物理意義:任何數(shù)量的奇函數(shù)累加仍為奇函數(shù)，任何數(shù)量的偶函數(shù)累加仍為偶函數(shù)。因此，為表示一個(gè)任意函數(shù)f(x)，這個(gè)函數(shù)集合應(yīng)既有奇函數(shù)又有偶函數(shù)，這是一個(gè)必要條件，就是完備性。滿足正交性、完備性兩個(gè)條件的函數(shù)集或矩陣才能用于圖像的分析。常用的幾種變換如傅里葉變換、WALSH變換、哈達(dá)瑪變換、Haar變換、K-L變換等都滿足正交性和完備性兩個(gè)條件。正交函數(shù)集合(a)完備(b)不完備4.1.2二維變換1.二維變換其中稱(chēng)為正變換核，稱(chēng)為反變換核。這兩個(gè)變換核應(yīng)滿足正交性和完備性。2.變換核可分離式中，都是一維完備正交基向量的集合，用矩陣A、B表示它們，則通常選B＝A，則二維酉變換為：正變換逆變換寫(xiě)作寫(xiě)作矩陣相乘的意義為：A左乘f相當(dāng)于對(duì)f進(jìn)行列變換，右乘f相當(dāng)于對(duì)f進(jìn)行行變換。

3.基圖像由二維變換的反變換公式看出，是一個(gè)矩陣，也可以看作是基圖像。因此一幅N×N圖像就有N2個(gè)基圖像。f(x,y)可用N2個(gè)基圖像的加權(quán)和來(lái)表示。令則f圖像表示為F(u,v)可看成是f圖像在基圖像上的投影，是二維酉變換的頻域系數(shù)，可以看作是基圖像的加權(quán)值。把基圖像加權(quán)累加就得到原圖像f(x,y)。４.１.3酉變換的性質(zhì)

酉變換的主要性質(zhì)是變換前后的矢量長(zhǎng)度保持不變，因此才能保持圖像中的某些物理量不變，而物理量的分布在變換后更適于處理。只有矢量長(zhǎng)度保持不變，才能保證正變換、逆變換的唯一性。酉變換是復(fù)頻域中的一種線性正交變換，變換中的基本線性運(yùn)算是準(zhǔn)確可逆的，且變換核滿足正交條件。它實(shí)質(zhì)上是把圖像數(shù)據(jù)分解為廣義二維頻譜，每一譜分量反映原圖中譜函數(shù)的能量。酉變換也可解釋為多維坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)。其變換的一個(gè)重要特性是測(cè)度守恒，如兩幅圖像的均方值之差在變換前后是不變的。酉陣是正交陣A為酉陣，則和皆為酉陣酉變換是能量保持的變換N階矩陣A滿足：AAT=IN

N

為正交陣

AA*T=IN

N

為酉陣即

A-1＝AT及A-1＝A*T4.均值和方差5.去相關(guān)6.其他性質(zhì)４.２傅立葉變換是最早研究與應(yīng)用的酉變換。６０年代用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)快速傅里葉變換之后才獲得廣泛應(yīng)用。傅里葉變換后的變換域也稱(chēng)為頻域。４.２.1連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換

若把一個(gè)一維輸入信號(hào)作一維傅立葉變換，該信號(hào)就被變換到頻域上的一個(gè)信號(hào)，即得到了構(gòu)成該輸入信號(hào)的頻譜，頻譜反映了該輸入信號(hào)由哪些頻率構(gòu)成。這是一種分析與處理一維信號(hào)的重要手段。當(dāng)一個(gè)一維信號(hào)f(x)滿足狄里赫萊條件，即f(x)（1）具有有限個(gè)間斷點(diǎn)，（2）具有有限個(gè)極值點(diǎn)；（3）絕對(duì)可積。則其傅立葉變換對(duì)（傅立葉變換和逆變換）一定存在。在實(shí)際應(yīng)用中，這些條件一般總是可以滿足的。一維傅立葉變換對(duì)的定義為式中： ，x稱(chēng)為時(shí)域變量，u稱(chēng)為頻域變量。以上一維傅立葉變換可以很容易地推廣到二維，如果二維函數(shù)f(x,y)滿足狄里赫萊條件，則它的二維傅立葉變換對(duì)為式中：x,y為時(shí)域變量；u,v為頻域變量。4.2.2離散傅立葉變換(DiscreteFourierTransform)要在數(shù)字圖像處理中應(yīng)用傅立葉變換，還需要解決兩個(gè)問(wèn)題：一是在數(shù)學(xué)中進(jìn)行傅立葉變換的f(x)為連續(xù)（模擬）信號(hào)，而計(jì)算機(jī)處理的是數(shù)字信號(hào)（圖像數(shù)據(jù)）；二是數(shù)學(xué)上采用無(wú)窮大概念，而計(jì)算機(jī)只能進(jìn)行有限次計(jì)算。通常，將受這種限制的傅立葉變換稱(chēng)為離散傅立葉變換（DiscreteFourierTransform，DFT)。

式中：x，u=0，1，2，…,N－1。

注：第二式中的系數(shù)1/N也可以放在式第一式中，有時(shí)也可在傅立葉正變換和逆變換前分別乘以 ，這是無(wú)關(guān)緊要的，只要正變換和逆變換前系數(shù)乘積等于1/N即可。

設(shè){f(x)|f(0),f(1),f(2),…,f(N-1)}為一維信號(hào)f(x)的N個(gè)抽樣，其離散傅立葉變換對(duì)為由歐拉公式可知

將上式代入離散傅里葉變換式中，并利用cos(－θ)=cos(θ)，可得

可見(jiàn)，離散序列的傅立葉變換仍是一個(gè)離散的序列，每一個(gè)u對(duì)應(yīng)的傅立葉變換結(jié)果是所有輸入序列f(x)的加權(quán)和（每一個(gè)f(x)都乘以不同頻率的正弦和余弦值），u決定了每個(gè)傅立葉變換結(jié)果的頻率。通常傅立葉變換為復(fù)數(shù)形式，即

式中，R(u)和I(u)分別是F(u)的實(shí)部和虛部。上式也可表示成指數(shù)形式：

F(u)=|F(u)|ejφ(u)其中通常，|F(u)|稱(chēng)為f(x)的頻譜或傅立葉幅度譜，

Ф(u)稱(chēng)為f(x)的相位譜。頻譜的平方稱(chēng)為能量譜或功率譜，它表示為

考慮到兩個(gè)變量，就很容易將一維離散傅立葉變換推廣到二維。二維離散傅立葉變換對(duì)定義為式中：u,x=0,1,2,…,M-1；v,y=0,1,2,…,N-1；

x,y為時(shí)域變量，u,v為頻域變量。像一維離散傅立葉變換一樣，系數(shù)1/MN可以在正變換或逆變換中，也可以在正變換和逆變換前分別乘以系數(shù) ，只要兩式系數(shù)的乘積等于1/MN即可。二維離散函數(shù)的傅立葉頻譜、相位譜和能量譜分別為

式中，R(u,v)和I(u,v)分別是F(u,v)的實(shí)部和虛部。

4.2.3離散傅立葉變換的性質(zhì)

表4-1二維離散傅立葉變換的性質(zhì)

1.可分離性由可分離性可知，一個(gè)二維傅立葉變換可分解為兩步進(jìn)行，其中每一步都是一個(gè)一維傅立葉變換。先對(duì)f(x,y)按行進(jìn)行傅立葉變換得到F(x,v)，再對(duì)F(x,v)按列進(jìn)行傅立葉變換，便可得到f(x,y)的傅立葉變換結(jié)果，如下圖所示。用兩次一維DFT計(jì)算二維DFT

顯然對(duì)f(x,y)先按列進(jìn)行離散傅立葉變換，再按行進(jìn)行離散傅立葉變換也是可行的。2.平移性質(zhì)平移性質(zhì)表明，只要將f(x,y)乘以因子(－1)x+y，再進(jìn)行離散傅立葉變換，即可將圖像的頻譜原點(diǎn)（0，0）移動(dòng)到圖像中心（M／2,N／2）處。下圖是簡(jiǎn)單方塊圖像平移的結(jié)果。傅立葉頻譜平移示意圖(a)原圖像；（b）無(wú)平移的傅立葉頻譜；（c）平移后的傅立葉頻譜

(a)(b)(c)

3.旋轉(zhuǎn)不變性由旋轉(zhuǎn)不變性可知，如果時(shí)域中離散函數(shù)旋轉(zhuǎn)θ°角度，則在變換域中該離散傅立葉變換函數(shù)也將旋轉(zhuǎn)同樣的角度。離散傅立葉變換的旋轉(zhuǎn)不變性如下圖所示。

(a)(b)(d)(c)離散傅立葉變換的旋轉(zhuǎn)不變性（a）原始圖像；（b）原始圖像的傅立葉頻譜；（c）旋轉(zhuǎn)45°后的圖像；（d）圖像旋轉(zhuǎn)后的傅立葉頻譜4.2.3可分離變換

二維傅立葉變換可用通用的關(guān)系式來(lái)表示：

式中：x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1；g(x,y,u,v)和h(x,y,u,v)分別稱(chēng)為正向變換核和反向變換核。如果g(x,y,u,v)=g1(x,u)g2(y,v） h(x,y,u,v)=h1(x,u)h2(y,v)

則稱(chēng)正、反變換核是可分離的。進(jìn)一步，如果g1和g2，h1和h2在函數(shù)形式上一樣，則稱(chēng)該變換核是對(duì)稱(chēng)的。此時(shí)是二維傅立葉變換對(duì)是的一個(gè)特殊情況，它們的核為可見(jiàn)，它們都是可分離的和對(duì)稱(chēng)的。如前所述，二維傅立葉變換可以利用變換核的可分離性，用兩次一維變換來(lái)實(shí)現(xiàn)，即可先對(duì)f(x,y)的每一行進(jìn)行一維變換得到F(x,v)，再沿F(x,v)每一列取一維變換得到變換結(jié)果F(u,v)。對(duì)于其他的圖像變換，只要其變換核是可分離的，同樣也可用兩次一維變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。如果先對(duì)f(x,y)的每一列進(jìn)行一維變換得到F(u,y)，再沿F(u,y)每一行取一維變換得到F(u,v)，其最終結(jié)果是一樣的。該結(jié)論對(duì)反變換核也適用。4.2.4圖像變換的矩陣表示數(shù)字圖像都是實(shí)數(shù)矩陣，設(shè)f(x,y)為M×N的圖像灰度矩陣，通常為了分析、推導(dǎo)方便，可將可分離變換寫(xiě)成矩陣的形式：F=AMfANf=F

其中，F(xiàn)、f是二維M×N的矩陣；AM是M×M矩陣；

AN是N×N矩陣。式中，u=0,1,2,…,M－1，v=0,1,2,…,N－1。對(duì)二維離散傅立葉變換，則有

實(shí)踐中，除了DFT變換之外，還采用許多其他的正交變換。例如：離散余弦變換、沃爾什-哈達(dá)瑪變換、K-L變換等。下面將對(duì)常用的變換作一簡(jiǎn)要介紹：

4.3離散余弦變換（DCT）

離散余弦變換（DiscreteCosineTransform，DCT）的變換核為余弦函數(shù)。DCT除了具有一般的正交變換性質(zhì)外，它的變換陣的基向量能很好地描述人類(lèi)語(yǔ)音信號(hào)和圖像信號(hào)的相關(guān)特征。因此，在對(duì)語(yǔ)音信號(hào)、圖像信號(hào)的變換中，DCT變換被認(rèn)為是一種準(zhǔn)最佳變換。近年頒布的一系列視頻壓縮編碼的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)建議中，都把DCT作為其中的一個(gè)基本處理模塊。除此之外，DCT還是一種可分離的變換。

4.3.1一維離散余弦變換

一維DCT的變換核定義為

式中，x,u=0,1,2,…,N－1；一維DCT定義如下：設(shè){f(x)|x=0,1,…,N-1}為離散的信號(hào)列。式中，u,x=0,1,2,…,N－1。將變換式展開(kāi)整理后，可以寫(xiě)成矩陣的形式，即

F=Gf其中

一維DCT的逆變換IDCT定義為

式中，x,u=0,1,2,…,N－1?？梢?jiàn)一維DCT的逆變換核與正變換核是相同的。

4.3.2二維離散余弦變換考慮到兩個(gè)變量，很容易將一維DCT的定義推廣到二維DCT。其正變換核為式中，x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1。C(u)和C(v)的定義與一維相同。

二維DCT定義如下：設(shè)f(x,y)為M×N的數(shù)字圖像矩陣，則

式中，x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1。二維DCT逆變換定義如下：

式中：x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1。

類(lèi)似一維矩陣形式的DCT，可以寫(xiě)出二維DCT的矩陣形式如下：F=GfGT

二維DCT的逆變換核與正變換核相同，且是可分離的，即

式中：x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1。二維DCT的頻譜分布與DFT相差一倍，如下圖所示。DCT中，(0,0)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于頻譜的低頻成分，(N-1,N-1)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于高頻成分，同階的DFT中，(N／2,N／2)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于高頻成分。

DFT和DCT的頻譜分布（a）DFT頻譜分布；（b）DCT頻譜分布

4.4離散沃爾什變換（WalshTransform）4.4.1沃爾什函數(shù)的產(chǎn)生

沃爾什函數(shù)是1923年由美國(guó)數(shù)學(xué)家沃爾什提出的。沃爾什函數(shù)系是一個(gè)完備正交函數(shù)系，其值只能取＋1和－1。從排列次序上可將沃爾什函數(shù)分為三種定義方法：一種是按照沃爾什排列來(lái)定義(按列率排序)；另一種是按照佩利排列來(lái)定義(按自然排序)；第三種是按照哈達(dá)瑪排列來(lái)定義。由于哈達(dá)瑪排序的沃爾什函數(shù)是由2n（n=0，1，2，…）階哈達(dá)瑪矩陣（HadamardMatrix）得到的，而哈達(dá)瑪矩陣的最大優(yōu)點(diǎn)在于它具有簡(jiǎn)單的遞推關(guān)系，即高階矩陣可用兩個(gè)低階矩陣的克羅內(nèi)克積求得?！ち新适侵冈谖譅柺沧儞Q矩陣中，沿某一列符號(hào)改變的次數(shù)。1.Rademacher函數(shù)集是1922年德國(guó)數(shù)學(xué)家拉德梅赫H.Rademacher提出的。當(dāng)把正弦函數(shù)集作無(wú)限放大限幅得到，式中

稱(chēng)為Rademacher函數(shù)。Rademacher函數(shù)集的圖形，如下圖。Rademacher函數(shù)集若n=1,若n=2,拉德梅赫函數(shù)變化規(guī)律：1）Rad(n,t)取值1和–1兩種。2）Rad(n,t)是Rad(n-1,t)的二倍頻。3）如果已知n，則Rad(n,t)有2n-1個(gè)周期，其中。2.Walsh函數(shù)集的產(chǎn)生Walsh函數(shù)集，n為序號(hào)，t是廣義規(guī)格化變量，，若n表示二進(jìn)制數(shù)，即

p為正整數(shù)，是i

的二進(jìn)制表示式的最高位數(shù)。

沃爾什函數(shù)可簡(jiǎn)寫(xiě)為w(n,t),gi

為格雷碼，i=0,1,2….N=8的Walsh函數(shù)為W(n,t)n為二進(jìn)制n為格雷碼W(n,t)W(0,t)W(000,t)W(000,t)R(3,t)0R(2,t)0R(1,t)0W(1,t)W(001,t)W(001,t)R(3,t)0R(2,t)0R(1,t)1W(2,t)W(010,t)W(011,t)R(3,t)0R(2,t)1R(1,t)1W(3,t)W(011,t)W(010,t)R(3,t)0R(2,t)1R(1,t)0W(4,t)W(100,t)W(110,t)R(3,t)1R(2,t)1R(1,t)0W(5,t)W(101,t)W(111,t)R(3,t)1R(2,t)1R(1,t)1W(6,t)W(110,t)W(101,t)R(3,t)1R(2,t)0R(1,t)1W(7,t)W(111,t)W(100,t)R(3,t)1R(2,t)0R(1,t)0Walsh函數(shù)W(n,t)的波形，如圖右所示。8階沃爾什矩陣：N=8Walsh函數(shù)Walsh函數(shù)W(n,t)的波形有以下幾個(gè)特點(diǎn)：（1）W(n,t)函數(shù)隨n的增加，過(guò)零點(diǎn)是遞增的。這種性質(zhì)類(lèi)似于頻率遞增特性，變化越來(lái)越快，也稱(chēng)按Walsh取序的Walsh函數(shù)，簡(jiǎn)寫(xiě)為W(n,t)。（2）W(n,t)函數(shù)集合是正交的也是完備的。從t=0處兩邊函數(shù)的正負(fù)可知，n為奇數(shù)時(shí)，W(n,t)是奇函數(shù)，n為偶數(shù)時(shí)，W(n,t)是偶函數(shù)。（3）W(n,t)構(gòu)成的核矩陣簡(jiǎn)單。（4）W(n,t)只有+1和-1，因此乘法可用加減法來(lái)執(zhí)行，從而大大加快運(yùn)算速度。3.按佩利(Paley)序排列的Walsh函數(shù)

bi是將函數(shù)序號(hào)寫(xiě)成BCD碼的第i位數(shù)字。其波形不變，只是過(guò)零點(diǎn)順序與Walsh序的按列率排列時(shí)的不一樣，所以實(shí)用圖像分析中仍需整序。4.按哈達(dá)瑪(Hadamard)序排列的Walsh函數(shù)Ii

是二進(jìn)制bi的倒序。其波形與前者相同，只是順序改變。N=8的Paley序的Walsh函數(shù)為三種Walsh序的對(duì)比(a)(b)(c)4.4.2三種序的互相轉(zhuǎn)換從信號(hào)分析角度看，基本圖像概念分析需為Walsh序。用R(n,t)函數(shù)產(chǎn)生的方法，以Paley序最簡(jiǎn)易。用矩陣產(chǎn)生變換核矩陣時(shí)，以Hadamard序最簡(jiǎn)便。WP(n,t)W(n,t)WH(n,t)二進(jìn)制碼寫(xiě)格雷碼讀格雷碼寫(xiě)二進(jìn)制碼讀格雷碼寫(xiě)倒置二進(jìn)制碼讀二進(jìn)制碼寫(xiě)倒置格雷碼讀比特倒序比特倒序三種序轉(zhuǎn)換關(guān)系N=8三種序的相互轉(zhuǎn)換：WH(0,t)=WP(0,t)=W(0,t)=1WH(1,t)=WP(4,t)=W(7,t)=R(3,t)WH(2,t)=WP(2,t)=W(3,t)=R(2,t)WH(3,t)=WP(6,t)=W(4,t)=R(2,t)R(3,t)WH(4,t)=WP(1,t)=W(1,t)=R(1,t)WH(5,t)=WP(5,t)=W(6,t)=R(1,t)R(3,t)WH(6,t)=WP(3,t)=W(2,t)=R(1,t)R(2,t)WH(7,t)=WP(7,t)=W(5,t)=R(1,t)R(2,t)R(3,t)N=8三種序的相互轉(zhuǎn)換：4.4.3Walsh函數(shù)的性質(zhì)1.在區(qū)間[0，1]內(nèi)有2.在區(qū)間[0，1]的第1小段時(shí)間內(nèi)(稱(chēng)為時(shí)隙)，沃爾什函數(shù)總是1。3.乘法定理W(n,t)W(m,t)=W(nm,t)4.對(duì)稱(chēng)關(guān)系W(2in,t)=W(n,2it)表明，當(dāng)序數(shù)n增到2i倍時(shí)，相當(dāng)于序數(shù)保持不變，將時(shí)間變量增到2i倍。5.對(duì)稱(chēng)性W(n,t)=W(t,n)6.倒轉(zhuǎn)關(guān)系(奇偶性)

W(n,t)以t=0為軸，轉(zhuǎn)動(dòng)180o，也即用(-t)代替t，則

W(n,t)=(-1)nW(n,t)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，W(n,-t)=W(n,t)

沃爾什函數(shù)是偶函數(shù)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

W(n,-t)=-W(n,t)

沃爾什函數(shù)是奇函數(shù)7.平移與壓縮

W(n,mt)是將W(n,t)的尺度壓縮到1/m倍。

W(n,t-t0)是將W(n,t)向右平移t0。W(n,t+t0)是將W(n,t)向左平移t0。8.完備正交性(歸一化定理)

沃爾什函數(shù)系在0<t<1之內(nèi)，是一個(gè)完備正交函數(shù)集。4.4.4離散沃爾什變換一維離散沃爾什變換定義為

一維離散沃爾什逆變換定義為

式中，W(u,x)為沃爾什函數(shù)。若將W(u,x)用哈達(dá)瑪矩陣表示，并將變換表達(dá)式寫(xiě)成矩陣形式，則上二式分別為4.4.5二維離散沃爾什變換很容易將一維WT的定義推廣到二維WT。二維WT的正變換核和逆變換核分別為式中：x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1。寫(xiě)成矩陣形式：4.4.6快速沃爾什變換（FWT）

類(lèi)似于FFT，WT也有快速算法FWT，也可將輸入序列f(x)按奇偶進(jìn)行分組，分別進(jìn)行WT。FWT的基本關(guān)系為

WT的變換核是可分離和對(duì)稱(chēng)的，因此二維WT也可分為兩個(gè)一維的WT分別用FWT進(jìn)行變換而得到最終結(jié)果，由此便可實(shí)現(xiàn)二維的FWT。

綜上所述，WT是將一個(gè)函數(shù)變換成取值為＋1或－1的基本函數(shù)構(gòu)成的級(jí)數(shù)，用它來(lái)逼近數(shù)字脈沖信號(hào)時(shí)要比FFT有利。同時(shí)，WT只需要進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算，存儲(chǔ)量比FFT要少得多，運(yùn)算速度也快得多。因此，WT在圖像傳輸、通信技術(shù)和數(shù)據(jù)壓縮中被廣泛使用。4.5哈達(dá)瑪變換(HadamardTransform,HT)是按Hadamard取序的Walsh變換，其變換核為WH(n,t)。1.H變換核矩陣的產(chǎn)生：N=2n(n=0,1,2,…)階哈達(dá)瑪矩陣的每一行對(duì)應(yīng)于一個(gè)離散沃爾什函數(shù)，哈達(dá)瑪矩陣與沃爾什函數(shù)系不同之處僅僅是行的次序不同。2n階哈達(dá)瑪矩陣有如下形式：

哈達(dá)瑪矩陣的階數(shù)是按N＝2n(n＝0,1,2,…)規(guī)律排列的，階數(shù)較高的哈達(dá)瑪矩陣，可以利用矩陣的克羅內(nèi)克積運(yùn)算，由低階哈達(dá)瑪矩陣遞推得到，即矩陣的克羅內(nèi)克積(KroneckerProduct)運(yùn)算用符號(hào)記作，其運(yùn)算規(guī)律如下：設(shè)則

和

式中，［HN］為N階哈達(dá)瑪矩陣，是HT變換核矩陣。

2.一維HT變換對(duì)：F=Hff=HF3.二維HT變換形成哈達(dá)瑪變換對(duì)，記作

f(x)F(u)也可用矩陣表示：F=HfH

f=HFH正變換和逆變換矩陣是一樣的。由哈達(dá)瑪矩陣的特點(diǎn)可知，沃爾什-哈達(dá)瑪變換的本質(zhì)上是將離散序列f(x)的各項(xiàng)值的符號(hào)按一定規(guī)律改變后，進(jìn)行加減運(yùn)算，因此，它比采用復(fù)數(shù)運(yùn)算的DFT和采用余弦運(yùn)算的DCT要簡(jiǎn)單得多。例:二維離散沃爾什變換的矩陣形式表達(dá)式為

和求這兩個(gè)信號(hào)的二維WHT。

根據(jù)題意，其中的M=N=4，其二維WHT變換核為

所以

下圖是一幅數(shù)字圖像及對(duì)其進(jìn)行二維WHT變換的結(jié)果。二維WHT結(jié)果（a）原圖像；（b）WHT結(jié)果注：圖中的結(jié)果是按哈達(dá)瑪變換后再用沃爾什排序的結(jié)果。從以上例子可看出，二維WT具有能量集中的特性，而且原始數(shù)據(jù)中數(shù)字越是均勻分布，經(jīng)變換后的數(shù)據(jù)越集中于矩陣的邊角上。因此，二維WT可用于壓縮圖像信息。

4.6其它變換4.6.1哈爾(Haar)變換1.Haar函數(shù)Haar函數(shù)是1910年匈牙利數(shù)學(xué)家A.Haar提出，它的矩陣只有+1、-1和另一個(gè)以為基礎(chǔ)的系數(shù)，計(jì)算十分簡(jiǎn)單，它是正交的稀疏矩陣，故可加快運(yùn)算速度。Haar函數(shù)的基向量是按順序取序的，主要用在圖像信息壓縮和特征提取中。Haar函數(shù)用har(n,t)表示，是正交完備和周期性的，n為函數(shù)的序號(hào)。

Haar函數(shù)定義在連續(xù)閉區(qū)間[0，1]，其中k=0,1,2,…,N-1N=2n，用har(k,p,q)或har(p,q)表示?？捎檬轿ㄒ坏卮_定整數(shù)p、q。對(duì)N=2n的情況，0pn-1，如果p=0，則q=0,1；如果p0，則1q2p。har(k,t)=har(p,q,t)表示為

當(dāng)N=4=22，n=2時(shí)有4個(gè)函數(shù)，構(gòu)成的哈爾矩陣為當(dāng)N=8=23，n=3時(shí)有8個(gè)函數(shù)。哈爾矩陣是正交矩陣。Haar函數(shù)集合

從矩陣中可看出，N＝8時(shí)的第一行反映整體的變換。第二行反映兩個(gè)半幅的變換，下兩行是N/4之間的變換，最后就是相鄰兩像元之間的變換。因此Haar陣既反映整體又反映局部。8個(gè)Haar函數(shù)形成的矩陣：2.Haar變換設(shè)NNHaar陣用Hh表示，則Haar變換表示為Haar變換為實(shí)正交變換，即當(dāng)n增大時(shí)，矩陣為零的元素迅速增多，從而計(jì)算速度可加快。Haar變換可用矩陣表示二維Haar變換4.6.2斜變換（SlantTransform,ST)

是由伊諾莫托(Enomoto)和夏伊巴塔(Shibata)于1971年提出來(lái)的。已被證明，適于電視類(lèi)型信號(hào)（其灰度有漸變性質(zhì)）的有效變換。它是實(shí)數(shù)的正交變換。斜變換矩陣為S(n)或用Sn表示。設(shè)N為2的整數(shù)次冪時(shí)，一個(gè)NN階的斜矩陣由下列迭代關(guān)系定義其中IM為M階單位矩陣，系數(shù)aN和

bN分別為(N>1)：例：N＝4時(shí)的Slant矩陣為斜變換的性質(zhì)：斜變換為實(shí)的、正交變換，即S＝S*

，S－1＝ST斜變換是一種很快的變換，適用于電視類(lèi)型的灰度緩變圖像。對(duì)圖像有很好的能量集中特性。4.6.3離散K-L變換(霍特林變換)

把連續(xù)信號(hào)用一組不相關(guān)的系數(shù)表示，即作級(jí)數(shù)展開(kāi)，是由Karhunen和Loeve兩人提出的。霍特林(Hotelling)則提出離散信號(hào)的不相關(guān)系數(shù)表示法。它是K-L級(jí)數(shù)展開(kāi)的離散等效方法，也常稱(chēng)之為特征值變換、主分量變換或離散K-L變換。K-L變換隨圖像統(tǒng)計(jì)特性的不同而有不同的變換核矩陣，是最優(yōu)變換，計(jì)算復(fù)雜，圖像處理時(shí)不常用，但常用來(lái)與其它變換進(jìn)行對(duì)比。在數(shù)據(jù)壓縮、圖像旋轉(zhuǎn)、遙感多光譜圖像的特征選擇和統(tǒng)計(jì)識(shí)別等方面很有用。

若M行N列圖像f

(x,y)，在信道中傳送了L次，就收到了L幀圖像組成的集合f(x,y)={f1(x,y),f2(x,y),…,fL(x,y)}用向量形式表示圖像，則其中元素式中,為圖像樣本集合第i個(gè)樣本，為第i幀第j行元素形成的列向量。

向量的協(xié)方差矩陣定義為在L幀圖像樣本組成的集合中，可用近似算法MN維的均值向量MNMN維的矩陣令ei和(i=1,2,…,MN)是的特征向量和對(duì)應(yīng)的特征值，設(shè)特征值已按降序排列，即相應(yīng)特征向量為e1,e2,…eMN有i=1,2,…,MN非零ei可從下式求得而且構(gòu)成本征矢量矩陣為A＝[e1,e2,…,eMN]T

則可改寫(xiě)為式中K-L變換寫(xiě)成矩陣形式eij

是第i個(gè)特征向量第j個(gè)分量。K-L變換的性質(zhì)：1）F的均值為零2）F的協(xié)方差3）F的協(xié)方差為對(duì)角矩陣，4）各個(gè)元