通信原理-抽樣定理

《通信原理》

抽樣定理周文炯學習目標1.了解模擬信號數(shù)字化傳輸系統(tǒng)的過程2.掌握理想低通抽樣定理

重點：理想低通抽樣定理難點：由抽樣信號恢復(fù)原信號2模擬信號的數(shù)字傳輸數(shù)字通信系統(tǒng)具有許多優(yōu)點而成為當今通信的發(fā)展方向自然界的許多信息經(jīng)各種傳感器感知后都是模擬量，例如電話、電視等通信業(yè)務(wù)，其信源輸出的消息都是模擬信號。若要利用數(shù)字通信系統(tǒng)傳輸模擬信號，一般需要三個步驟：（1）把模擬信號數(shù)字化，即模數(shù)轉(zhuǎn)換（A/D）（2）進行數(shù)字方式傳輸（3）把數(shù)字信號還原為模擬信號，即數(shù)模轉(zhuǎn)換（D/A）3模擬信號的數(shù)字傳輸A/D轉(zhuǎn)換中有三個基本過程：抽樣、量化、編碼。4模擬信號數(shù)字化傳輸?shù)南到y(tǒng)框圖

抽樣、量化、編碼

數(shù)字通信系統(tǒng)

譯碼和低通濾波

模擬信息源模擬隨機信號數(shù)字隨機序列數(shù)字隨機序列模擬隨機信號5抽樣量化編碼量化等級

量化電平二進制編碼實際抽樣值00V00000.01V10.2V00010.21V20.4V00100.42V30.6V00110.59V40.8V01000.80V51.0V01010.99V61.2V01101.18V71.4V011181.6V100091.8V1001A/D轉(zhuǎn)換步驟示意圖抽樣定理抽樣是把時間上連續(xù)的模擬信號變成一系列時間上離散的抽樣值的過程。抽樣定理的大意是，如果對一個頻帶有限的時間連續(xù)的模擬信號進行抽樣，當抽樣速率達到一定數(shù)值時，那么根據(jù)它的抽樣值就能重建原信號。也就是說，若要傳輸模擬信號，不一定要傳輸模擬信號本身，而只需傳輸按抽樣定理得到的抽樣值即可。抽樣定理是模擬信號數(shù)字化的理論依據(jù)。能否由樣值序列重建原信號,是抽樣定理要回答的問題。6抽樣定理舉一個放電影的例子,自然界中連續(xù)運動的物體,經(jīng)過攝像機的拍攝(抽樣)后變?yōu)橐粡垙垺半x散”的膠片在放映時由于人眼的暫留效應(yīng)對光線的變化就有低通特性(人眼對緩慢變化的光線可以察覺到,而對迅速變化的光線則無法察覺)。光線的暫時中斷被人眼自動連接上了。所以在屏幕上看到的畫面就是一個連續(xù)動作的圖像。要使“離散”的圖像被人眼平滑成連續(xù)的圖像,要求攝影機在單位時間內(nèi)能拍攝出足夠多的畫面(即采樣頻率要足夠高)。如果攝像機在單位時間內(nèi)拍攝的畫面數(shù)不夠,在放映時看到的動作就有跳動的感覺,而不是連續(xù)的感覺,這時就產(chǎn)生了畫面的失真。7抽樣定理對模擬信號進行抽樣和拍電影一樣,當抽樣頻率足夠高時,模擬信號迅速變化的部分都采集到了,接收端利用一個低通濾波器進行平化處理,可恢復(fù)出原信號。而抽樣頻率不夠高時,模擬信號迅速變化的部分沒有都采集到,低通濾波器平滑輸出的波形就會產(chǎn)生失真。結(jié)論：抽樣后的樣值序列含有原模擬信號的信息,如果要把樣點恢復(fù)成原模擬信號,在抽樣時一定要滿足一定的條件——抽樣定理。抽樣定理告訴我們,究竟需要多高的采樣頻率,在收端可以用低通濾波器不失真地恢復(fù)出原信號。8抽樣定理9根據(jù)信號m(t)是低通型信號還是帶通型信號,抽樣定理可分為低通型信號抽樣定理和帶通型信號抽樣定理。根據(jù)抽樣脈沖δT(t)是時間上等間隔序列還是非等間隔序列,抽樣定理可分為均勻抽樣定理和非均勻抽樣定理。抽樣器m(t)δT(t)ms(t)抽樣定時脈沖根據(jù)δT(t)是沖激序列還是非沖激序列,抽樣定理可分為理想抽樣定理和非理想抽樣定理。時間上連續(xù)的模擬信號抽樣信號抽樣過程可看成是m(t)與δT(t)相乘：6.1.1低通抽樣定理低通抽樣定理:一個頻帶限制在(0,fH)Hz內(nèi)的時間連續(xù)信號m(t),如果以1/(2fH)秒的間隔對它進行等間隔抽樣,則m(t)將被所得到的抽樣值完全確定。2fH—奈奎斯特速率；1/(2fH)—奈奎斯特間隔。10

此定理告訴我們：若m(t)的頻譜在某一頻率fH以上為零，則m(t)中的全部信息完全包含在其間隔不大于1/(2fH)秒的均勻抽樣序列里。換句話說，在信號最高頻率分量的每一個周期內(nèi)起碼應(yīng)抽樣兩次。或者說，抽樣速率fs（每秒內(nèi)的抽樣點數(shù)）應(yīng)不小于2fH

，若抽樣速率fs＜2fH

，則會產(chǎn)生失真，這種失真叫混疊失真。抽樣定理的數(shù)學表達式

下面我們從頻域角度來證明這個定理m(t)為低通信號,頻譜在0~fH范圍抽樣函數(shù)為周期性沖激函數(shù)：11抽樣后輸出信號為ms(t)抽樣信號的頻譜抽樣信號的頻譜12所以，理想抽樣后信號的頻譜Ms(w)由無限多個間隔為ws的M(ω)相疊加而成，這意味著抽樣后的信號ms(t)包含了信號m(t)的全部信息。n=0時就是本身，所以通過一個低通濾波器就可以恢復(fù)信號m(t)。低通抽樣定理13tms(t)-2Ts-Ts0Ts2Ts低通信號沖激抽樣過程的時間函數(shù)及對應(yīng)頻譜-2ws-ws0

ws2ws……m(t)t0…δT(t)t-2Ts-Ts0Ts2Ts……

-wH

0wHM(w)wδT(w)w……-2ws-ws-wH0wH

ws2wsMs(w)w低通抽樣定理14抽樣頻率fs對頻譜M(f)的影響

-wH

0wHM'(w)wMs(w)-2ws-ws0ws2ws……w

-wH

0wHM(w)w-2ws-ws-wH0wH

ws2wsM(w)……w

-wH

0wHM(w)w-2ws-ws

-wH0wH

ws2wsM(w)…w低通信號的抽樣定理：

一個頻帶限制在0~fH內(nèi)的低通信號m(t)，如果抽樣頻率fs≥2fH，則可以由抽樣序列無失真地重建恢復(fù)原始信號m(t)。s≥2Hs-ms+ms<2Hs-Hs+Hs=2H頻譜重疊信號恢復(fù)15低通濾波器ms(t)如何由樣值序列恢復(fù)原始基帶信號？由抽樣頻譜圖可知,樣值序列通過一適當?shù)牡屯V波器即可恢復(fù)原始信號。

根據(jù)時域卷積定理，得到：信號恢復(fù)16

該式是重建信號的時域表達式，稱為內(nèi)插公式。它說明以奈奎斯特速率抽樣的帶限信號m(t)可以由其樣值利用內(nèi)插公式重建。這等效為將抽樣后信號通過一個沖激響應(yīng)為的理想低通濾波器來重建m(t)。由圖可見，以每個樣值為峰值畫一個Sa函數(shù)的波形，則合成的波形就是m(t)。由于Sa函數(shù)和抽樣后信號的恢復(fù)有密切的聯(lián)系，所以Sa函數(shù)又稱為抽樣函數(shù)。低通抽樣定理在實際中,邊界陡峭的理想濾波器無法制作,當fs=2fH時,雖然M(f)的頻譜不會出現(xiàn)重疊現(xiàn)象,但通過非理想濾波器得到的頻譜仍然有失真。所以實際應(yīng)用中