廣東省六校2023屆高三第一次聯(lián)考(理數(shù))

廣東省六校2023屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理科）本試卷共6頁(yè)，23小題，滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。2．作答選擇題時(shí)，選項(xiàng)出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需要改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則? A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為A． B． C． D．3．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則 A． B． C． D．4．在區(qū)間上隨機(jī)取兩個(gè)實(shí)數(shù)，記向量，，則的概率為A． B． C． D．5．已知直線的傾斜角為，直線與雙曲線（）的左、右兩支分別交于、兩點(diǎn)，且、都垂直于軸（其中、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)），則該雙曲線的離心率為A． B． C． D．6．在△中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則 A． B． C． D．7．某幾何體的三視圖如右圖所示，數(shù)量單位為，它的體積是 A． B． C． D．8．已知是函數(shù)的最大值，若存在實(shí)數(shù)使得對(duì)任意實(shí)數(shù)總有成立，則的最小值為A． B． C． D．9．定義在上的函數(shù)滿足及，且在上有，則 A． B． C． D．10．拋物線上有一動(dòng)弦，中點(diǎn)為，且弦的長(zhǎng)度為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值為 A． B． C． D．11．已知三棱錐中，，，，，且二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為 A． B． C． D．12．已知數(shù)列滿足．設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和．若（常數(shù)），，則的最小值是A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若滿足約束條件則的最大值為．14．若，則的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為．15．已知點(diǎn)及圓，一光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)軸上一點(diǎn)反射后與圓相切于點(diǎn)，則的值為．16．已知函數(shù)滿足，則的單調(diào)遞減區(qū)間是．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）在△中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且．（1）求角；（2）若，，求△的面積．18．（12分）如圖甲，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)、分別在、上，且滿足，．如圖乙，將直角梯形沿折到的位置，使得點(diǎn)在平面上的射影恰好在上．（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成二面角的余弦值．19．（12分）某市大力推廣純電動(dòng)汽車(chē)，對(duì)購(gòu)買(mǎi)用戶依照車(chē)輛出廠續(xù)駛里程的行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，予以地方財(cái)政補(bǔ)貼．其補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)如下表：出廠續(xù)駛里程(公里)補(bǔ)貼（萬(wàn)元/輛）344.52023年底隨機(jī)調(diào)査該市1000輛純電動(dòng)汽車(chē)，統(tǒng)計(jì)其出廠續(xù)駛里程，得到頻率分布直方圖如上圖所示．用樣本估計(jì)總體，頻率估計(jì)概率，解決如下問(wèn)題：（1）求該市每輛純電動(dòng)汽車(chē)2023年地方財(cái)政補(bǔ)貼的均值；（2）某企業(yè)統(tǒng)計(jì)2023年其充電站100天中各天充電車(chē)輛數(shù)，得如下的頻數(shù)分布表：輛數(shù)天數(shù)20304010（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）2023年2月，國(guó)家出臺(tái)政策，將純電動(dòng)汽車(chē)財(cái)政補(bǔ)貼逐步轉(zhuǎn)移到充電基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)上來(lái)．該企業(yè)擬將轉(zhuǎn)移補(bǔ)貼資金用于添置新型充電設(shè)備．現(xiàn)有直流、交流兩種充電樁可供購(gòu)置．直流充電樁5萬(wàn)元/臺(tái)，每臺(tái)每天最多可以充電30輛車(chē)，每天維護(hù)費(fèi)用500元/臺(tái)；交流充電樁1萬(wàn)元/臺(tái)，每臺(tái)每天最多可以充電4輛車(chē)，每天維護(hù)費(fèi)用80元/臺(tái)．該企業(yè)現(xiàn)有兩種購(gòu)置方案：方案一：購(gòu)買(mǎi)100臺(tái)直流充電樁和900臺(tái)交流充電樁；方案二：購(gòu)買(mǎi)200臺(tái)直流充電樁和400臺(tái)交流充電樁．假設(shè)車(chē)輛充電時(shí)優(yōu)先使用新設(shè)備，且充電一輛車(chē)產(chǎn)生25元的收入，用2023年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，分別估計(jì)該企業(yè)在兩種方案下新設(shè)備產(chǎn)生的日利潤(rùn).（日利潤(rùn)日收入日維護(hù)費(fèi)用）．20．（12分）已知圓與定點(diǎn)，動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)且與圓相切．（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（2）若過(guò)定點(diǎn)的直線交軌跡于不同的兩點(diǎn)、，求弦長(zhǎng)的最大值．21．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在上的值域；（2）若，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22．[選修4―4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，將曲線向左平移2個(gè)單位，再將得到的曲線上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，得到曲線，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的參數(shù)方程；（2）已知點(diǎn)在第一象限，四邊形是曲線的內(nèi)接矩形，求內(nèi)接矩形周長(zhǎng)的最大值，并求周長(zhǎng)最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．23．[選修4―5：不等式選講]（10分）已知，．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若，且當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．?dāng)?shù)學(xué)（理科）參考答案一、選擇題1．A2．C3．D4．B5．D 6．A7．C8．B9．D10．A11．D 12．C二、填空題13．14．15． 16．（注意：寫(xiě)閉區(qū)間也給分）三、解答題17．解析：（1）因?yàn)?，由余弦定理，得，所以…………………?分，由正弦定理，得，……………4分又，，所以，，……………………5分所以．……………………6分（2）由，，得，，……7分所以，………8分由正弦定理，得，……………10分所以△的面積為．……………12分18．解析：（1）在圖甲中，易知，從而在圖乙中有，平面，平面，平面．……………………4分（2）法一：（傳統(tǒng)幾何法）略解如下：過(guò)點(diǎn)作于，連接，易證（略），即為所求二面角的平面角，易求得：，，，在中，．……………………12分法二：（向量法）如圖，在圖乙中作,垂足為,連接,由于平面，則,平面,則，圖甲中有，又，則、、三點(diǎn)共線．設(shè)的中點(diǎn)為,則,可證，，則，又由，得，，于是,，在中,，………………8分作交于點(diǎn)，則．以點(diǎn)為原點(diǎn),分別以、、所在直線為、、軸,建立如圖丙所示的空間直角坐標(biāo)系，則,,,，則,,是平面的一個(gè)法向量，易求得平面的一個(gè)法向量,…………10分設(shè)平面與平面所成二面角為，可以看出，為銳角，，所以，平面與平面所成二面角的余弦值為．………………12分19．解析：（1）依題意可得純電動(dòng)汽車(chē)地方財(cái)政補(bǔ)貼的分布列為：補(bǔ)貼（萬(wàn)元/輛）344.5概率0.20.50.3……………………3分純電動(dòng)汽車(chē)2023年地方財(cái)政補(bǔ)貼的平均數(shù)為(萬(wàn)元)．……………………4分（2）由充電車(chē)輛天數(shù)的頻數(shù)分布表得每天需要充電車(chē)輛數(shù)的分布列：輛數(shù)6000700080009000概率0.20.30.40.1若采用方案一，100臺(tái)直流充電樁和900臺(tái)交流充電樁每天可充電車(chē)輛數(shù)為(輛）；……………………6分可得實(shí)際充電車(chē)輛數(shù)的分布列如下表：實(shí)際充電輛數(shù)60006600概率0.20.8于是方案一下新設(shè)備產(chǎn)生的日利潤(rùn)均值為(元）；……………8分若采用方案二，200臺(tái)直流充電樁和400臺(tái)交流充電樁每天可充電車(chē)輛數(shù)為(輛）；……………………10分可得實(shí)際充電車(chē)輛數(shù)的分布列如下表：實(shí)際充電輛數(shù)600070007600概率0.20.30.5于是方案二下新設(shè)備產(chǎn)生的日利潤(rùn)均值為(元)．………………12分20．解析：（1）設(shè)圓的半徑為，題意可知，點(diǎn)滿足：，，所以，，……………………3分由橢圓定義知點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，且進(jìn)而，故軌跡方程為：．……………5分（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，或，，此時(shí)弦長(zhǎng)．……………6分當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為：，由消去得：，由△得，設(shè)、，可得：，，……………………7分，………9分令，則，，，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，．…………11分綜上，弦長(zhǎng)的最大值為．……………………12分21．解析：（1）易知，…………1分在上單調(diào)遞減，，…………3分時(shí)，，…………4分在上的值域?yàn)椋?分（2）令，則，……6分=1\*GB3①若，則由（1）可知，，在上單調(diào)遞增，，與題設(shè)矛盾，不符合要求；………………7分=2\*GB3②若，則由（1）可知，，在上單調(diào)遞減，，符合要求；…………………8分=3\*GB3③若，則，使得，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，…………9分，．由題：，即，，即．…………10分且由（1）可知在上單調(diào)遞減，．…………11分綜上，．…………12分22．解析：（1）的普通方程為，…………………2分經(jīng)過(guò)變換后的方程為，此即為曲線的普通方程，……………4分曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).…………5分（2）設(shè)四邊形的周長(zhǎng)為，設(shè)點(diǎn)，，………6分且，，…………………7分，．…………9分且當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)，所以，，，此時(shí).……………10分23．解析：（1）當(dāng)時(shí)，不等式即為，……………1分=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得；……………2分=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得；…………3分