雙曲線訓練題

雙曲線訓練題一、題點全面練1．(2019·襄陽聯(lián))直線l：4x－5y＝20經(jīng)雙曲線：－＝1(＞，＞的一個焦點和虛軸的一個端點，則雙曲線的心率()A.C.

5354

3B.54D.5解析：選A由意知直線l兩坐標軸分別交于(，，－4)，而＝，c5＝，＝，雙曲線的心率＝＝.a3x2(2019·成都模擬)如圖知曲線：－＝1(＞＞，ab長方形ABCD頂點A，分為雙曲線E的左右焦點，且點，在5雙曲線E上，|AB＝6，||＝，則雙曲線的離心率()2A.2

3B.2C.

52

D.5b5解析：選B因2＝|＝6，所以3.因為＝|＝，以＝b.a2又b所9＝＋3＝，選B.2

5a9c解得a2＝－(去故雙曲線的離心率＝22ax3．(2018·武漢調(diào))已知點P在雙線－＝1(a＞，＞上PF⊥軸其F為a1雙曲線的右焦點，P到雙曲線的兩條漸近線的距離之比為，則該雙曲線的離心率為3()A.

233

B.325C.D.55ab·－·＋·3b－ab·－·＋·3b－b解析：選A由意知c,0)由⊥軸不妨設(shè)點P在一象限，則

，雙＋1曲線的漸近線方程為±＝，由題意，得＝解得＝b又c＝＋3＋b

c223，所以a＝3，所以雙曲線的離心率＝＝＝.a33x4．(2018·全國卷)已知雙曲：－y＝，坐標原點為C的右點，過F3的直線與C兩條漸近線的交點分別為M，若為直角三角形，則MN＝()A.

32

B.3．3．解析：選B由知得雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±

13

x.設(shè)兩條漸近線的夾角為2αtanα＝

13＝α＝30°.3所以∠2α＝60°.又OMN為直角三角形，由于雙曲線具有對稱性，不妨設(shè)⊥ON，如圖所示．在eq\o\ac(△,Rt)ONF，OF＝，|ON|＝3.在eq\o\ac(△,Rt)OMN中，||＝|·tanα＝3·tan60°＝3.選B.5邯鄲考)如圖F是曲線C：－＝1(a＞，bb＞的、右兩個焦點，若直與雙曲線C交P，兩，且四邊形PFQF為形，則雙曲線的離心率()A．2＋6C．2＋2

B.2＋6D.2＋2解析：選D由意可得，矩形的對角線長相等，將直線y＝x代雙曲線C的程，可得x＝±

ab，所以2·

ab－a

＝，所以2b＝b－)即2(e－＝－2e，以e－e＋＝因＞，所以e＝＋2，所以e2＋2，故選D.xy6．(2018·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)合)在平面直角坐標系xOy中已知雙曲線：－aaaaaeq\o\ac(△,S)AOBbaaaaaeq\o\ac(△,S)AOBba＝＞0，＞的離心率為5，雙曲線C的焦點引近線的垂線，垂足為，eq\o\ac(△,若)eq\o\ac(△,)AFO的面積為，則雙曲線C的方程為()xyA.－＝28xyC.－＝416

xB.－＝4D．－＝4解析選D因雙曲線C的焦點F到近線的距||＝||＝a所ab＝，又雙曲線C離心率為5，所以y線C的方為x－＝，選D.4

b1＋＝5，即＝，以＝b＝，所以雙曲a7．點是(0，±2)，且與雙曲__________．

xy－＝1有同的漸近線的雙線的方程是33x2

y解析：由題意可知，雙曲線是焦點在y軸上等軸雙曲線，故所求雙曲線的方程為－2＝y(tǒng)x答案：－＝228．(2018·日照一)已知雙曲－＝a＞，＞的兩條漸近線與拋物線＝xa的準線分別交于兩為標原點＝3則雙曲線的離心率＝________.eq\o\ac(△,S)AOBb解析：由題意，知拋物線的準線方程是x1，雙曲線的漸近線方程是yx當xbb1＝－1時A＝×2×a2ab×1＝23，即＝3，以e＝a

1＋

＝13.答案：13xy9．雙曲線－＝0，b＞的近線為正方形的所在的直線，點abB為該曲線的焦點．若正方形的長為2，則________.解析：不妨令B為曲線的右焦在一象限，則雙曲線如圖所示．∵四邊形為正方形|OA|＝，π∴＝|＝2，∠AOB＝.4b∵直線OA是漸近線，方程為＝x，∴＝∠AOB＝，＝.a又∵a＋＝＝，∴2.答案：x10．已知雙曲線－＝＞0，＞0)的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與ab雙曲線交于，B兩點設(shè)A到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d和d，且＋＝，雙曲線的方程為_________．xb解析：∵雙曲線－＝a＞，＞的離心率為，∴e＝＋＝，∴＝，即aaa＝a，c＝＋＝，由題意可設(shè)A(23)(2，－)b∵＝，漸近線方程為＝±3，a則點A與B到線3y＝0的距離分別為d＝|23＋3|3＋3＝a，又∵＋，22

|23－a23－3＝ad＝22∴

23－323＋ya＋＝，解得＝，∴＝9.∴雙曲的方程為－＝1.2239xy答案：－＝39二、專項培優(yōu)練(一)易錯專練——不丟怨枉分x1．若實數(shù)k滿足0＜，則曲線－＝與曲－＝的)259－k25－k9A．離心率相等C．實半軸長相等

B.虛半軸長相等D．焦距相等解析：選D由0＜＜，易知兩曲線均為雙曲線且焦點都在上，由25＋－＝25－＋，得兩雙曲線的焦距相等．2．(2019·南充模)過雙曲線－＝1(a＞，＞0)左焦點且垂直于x軸直線與雙曲線交于A兩為軸上的一個端點，且ABD為角角形，則此雙曲線離心率aab→，－aaAD，即為0－··baab→，－aaAD，即為0－··bb－＋aaaa的取值范圍()A．(1，2)C．(2，

B.(2，2＋2)D．(1，2)∪(2＋2，∞)xy解析：選D設(shè)曲線－＝＞0，b＞0)的左焦點為F(－c,0)，令x＝－，得by＝±，abb可設(shè)

.又設(shè)(0，)，可得AD＝

，→2AB＝＝，.由△ABD為角角形，可得DAB為角或∠為鈍角．當∠DAB為角時，可得→→2baa

＜，為a＞，即有a＞＝－可得＜a，ce＝＜2.又＞，可得＜e；a→→當∠ADB為鈍角時，可得·DB，即為cc2a＞，e，a

＜，為c4ac＋可得－＋＞又＞，得＞22.綜上可得，離心率的取值范圍(12)(22，＋∞)．3．(2019·石家莊模擬)雙曲線－＝1(a＞，＞0)左、右焦點分別為F，過F作斜角為30°直線y軸和曲線的右支分別交于點點A平線段F，則該雙曲線的離心率()A.3

B.2C．2

D.

33解析：選A由意可知F(－0)，設(shè)A)，因為AFB中點，所以點的b坐標為c，又點B在曲線的右支上，所以B

，因為直線F的斜角為30°所以b－33＝，簡整理得＝，＝－，所以3－－3＝，邊同c－－3ac3→2－csinPFF＝，∴＝，→2－csinPFF＝，∴＝，時除以ae－3－＝，得＝或e＝－

33

(舍去，選A.4．已知圓C(x－＋＝4，定點－，0)，過定點A且和圓外的動圓圓心M的軌方程為__________．解析：設(shè)動圓M的徑為R則||＝＋，MA＝R，∴||||＝由雙曲線的定義知，點軌跡是以，C為點的雙曲線左支，且＝，c＝，b＝8.則動圓圓y心M的軌方程為x－＝x≤－1)．8y答案：－＝1(≤－8(二)交匯專練——融會巧遷移x5[與向量交匯]過雙曲線：－＝a0b＞的焦點作x＋＝切線a→(切點為)，交軸點P，若PM2MF，雙曲線的離心率()A.2

B.

62C.3

D．2解析選由意(0)設(shè)P(0,3)由＝可點M的坐為，

，m32∵∴·＝1∴＝c∴，±9c3

29

由|＋|＝OFOM＝，|＝得a＋

22＋＝，解得a＝c93

c6，∴＝＝，故選B.a26．[與正弦定理交匯已知雙曲線－＝a＞，＞的左、右焦點分別為，，asin∠PF若雙曲線上存在點，使＝(c是曲線的半焦距，該雙曲線的離心率e的取sin∠值范圍為)A．(1,1＋2)C．(1,1＋2]

＋3)D．(1,1＋3]sin∠解析：選A由意，知點P不是曲線的頂點，否則＝無義．在eq\o\ac(△,PF)eq\o\ac(△,)sin∠|||PF|中，由正弦定理得＝，∠sin∠又

sin∠F||sin∠F||abbbc2c2bcabc2acabbbc2c2bcabc2acc即|＝·||.由題意知點P在雙線的右支上||－|PF|＝a，c∴·|－|PF|＝a，即|PF|＝.ac－2由雙曲線的幾何性質(zhì)，||＞－，∴＞c－，c－ac－＜0e－e－c1＜，解得－2＋＜＜2＋1.又＞，∴雙曲線離心率的取值范圍(，2＋1)，故選A.y7．[與圓交]已知F，是雙線－＝1(＞00)的兩個焦點，過其中一個焦b點與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點，若點在線段為直徑的圓內(nèi)，則雙曲線離心率的取值范圍A．(1,2)C．(1，2)

B.(2，∞)D．(2，＋∞)解析：選A如，不妨設(shè)F，，(0，)，則過點與x＋，aa近線y＝x平的直線為＝x＋，立，得ba，

解得，

即，

.因點M在線段F為直的圓＋＝c

＋

c＜，化簡得b＜a，c－＜，得＜，雙曲線的離心率e＝＞，以a雙曲線離心率的取值范圍(．故選A.(三)難點專練——適情自主選8．已知中心在原點的雙曲線的焦點為2,0)實軸長為23.求雙曲線C的方程；若直線ly＝kx＋2與雙曲線的支交于，兩，求k的取值范圍；在2)的條件下，線段AB垂直平分線l軸于(0，)，求的值范圍x解：(1)設(shè)雙曲線C的程為－＝＞，＞．a(chǎn)由已知得a3，＝，再由b＝，得b＝，3B3Bx所以雙曲線C的方為－3

＝1.x(2)設(shè)(，B(xy)將y＝＋代入－＝，(－k)AB

－2kx－＝0.1－3k≠0，－＞，