湖北省武漢市先鋒中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析

湖北省武漢市先鋒中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知拋物線y2=2px（p＞0）與雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）有相同的焦點(diǎn)F，若點(diǎn)A是拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且AF⊥x軸，則雙曲線的離心率為（）A． B．+1 C．+1 D．參考答案：B【考點(diǎn)】K8：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)拋物線和雙曲線有相同的焦點(diǎn)求得p和c的關(guān)系，根據(jù)AF⊥x軸可判斷出|AF|的值和A的坐標(biāo)，代入雙曲線方程與p=2c，b2=c2﹣a2聯(lián)立求得a和c的關(guān)系式，然后求得離心率e．【解答】解：∵拋物線的焦點(diǎn)和雙曲線的焦點(diǎn)相同，∴p=2c∵A是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且AF垂直x軸，設(shè)A點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于0，∴|AF|=p，∴A（，p），∵點(diǎn)A在雙曲線上，∴=1，∵p=2c，b2=c2﹣a2，∴=1，化簡(jiǎn)得：c4﹣6c2a2+a4=0，∴e4﹣6e2+1=0，∵e2＞1，∴e2=3+2∴e=+1，故選：B2.若關(guān)于x的不等式xex﹣2ax+a＜0的非空解集中無整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．[，） B．[，） C．[，e] D．[，e]參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題．【分析】設(shè)g（x）=xex，f（x）=2ax﹣a，求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷直線恒過定點(diǎn)，設(shè)直線與曲線相切于（m，n），求得切線的斜率和切點(diǎn)在直線上和曲線上，解方程可得a，再由題意可得當(dāng)x=﹣1時(shí)，求得a，通過圖象觀察，即可得到a的范圍．【解答】解：設(shè)g（x）=xex，f（x）=2ax﹣a，由題意可得g（x）=xex在直線f（x）=2ax﹣a下方，g′（x）=（x+1）ex，f（x）=2ax﹣a恒過定點(diǎn)（，0），設(shè)直線與曲線相切于（m，n），可得2a=（m+1）em，mem=2am﹣a，消去a，可得2m2﹣m﹣1=0，解得m=1（舍去）或﹣，則切線的斜率為2a=（﹣+1）e，解得a=，又由題設(shè)原不等式無整數(shù)解，由圖象可得當(dāng)x=﹣1時(shí)，g（﹣1）=﹣e﹣1，f（﹣1）=﹣3a，由f（﹣1）=g（﹣1），可得a=，由直線繞著點(diǎn)（，0）旋轉(zhuǎn)，可得≤a＜，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式解法問題，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，以及直線恒過定點(diǎn)，考查運(yùn)算能力和觀察能力，屬于中檔題．3.已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，數(shù)列的前項(xiàng)，前項(xiàng)，前項(xiàng)的和分別為，，，則（

）A．

B． C．

D．參考答案：D4.要得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)的圖象(

)A.向左平移1個(gè)單位

B.向右平移1個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位

D.向右平移個(gè)單位參考答案：C略5.已知，則的最小值為（

）A．8

B．16

C．20

D．25參考答案：6.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則函數(shù)沒有極值點(diǎn)的概率是（）A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8參考答案：C7.設(shè)全集為R，集合，N={0,1,2}，則M∩N=（

）A.{0,1,2} B.(0,2) C.(－2,2) D.{0,1}參考答案：D【分析】可解出M，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【詳解】解：M＝{x|﹣2＜x＜2}，N＝{0，1，2}；∴M∩N＝{0，1}．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查描述法、列舉法的定義，以及交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．8.設(shè)向量，若是實(shí)數(shù)，則的最小值為A. B. C.1 D.參考答案：B略9.若函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A．(－∞,1] B．(－∞,1) C．(－∞,2] D．(－∞,2)參考答案：C；由已知條件知時(shí)，恒成立；設(shè)，則在上恒成立；問題轉(zhuǎn)化為在恒成立，而函數(shù)，故，故選C．10.在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E,F分別為BC和

DC的中點(diǎn)，則（

）

A.

B．

C．

D．參考答案：C試題分析：將所求利用正方形的邊對(duì)應(yīng)的向量表示，然后利用正方形的性質(zhì)解答．邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC和DC的中點(diǎn)，所以故選：C考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積運(yùn)算二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù))；以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線的極坐標(biāo)方程為 .參考答案：,或12.___________.參考答案：2略13.已知三棱錐O﹣ABC中，A，B，C三點(diǎn)均在球心O的球面上，且AB=BC=1，∠ABC=120°，若球O的體積為，則三棱錐O﹣ABC的體積是．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；球內(nèi)接多面體．【分析】由已知條件可求出AC，求出△ABC的面積，設(shè)球半徑為R，由球的體積可解得R，再設(shè)△ABC的外接圓的圓心為G，進(jìn)一步求出OG，則三棱錐O﹣ABC的體積可求．【解答】解：三棱錐O﹣ABC中，A，B，C三點(diǎn)均在球心O的球面上，且AB=BC=1，∠ABC=120°，則AC=，∴，設(shè)球半徑為R，由球的體積，解得R=4．設(shè)△ABC的外接圓的圓心為G，∴外接圓的半徑為GA=，∴OG=．∴三棱錐O﹣ABC的體積是=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的有關(guān)計(jì)算問題，考查棱錐的體積，考查學(xué)生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．14.某商人將彩電先按原價(jià)提高40%，然后“八折優(yōu)惠”，結(jié)果是每臺(tái)彩電比原價(jià)多賺144元，那么每臺(tái)彩電原價(jià)是元．參考答案：1200【考點(diǎn)】一次函數(shù)的性質(zhì)與圖象．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】設(shè)每臺(tái)彩電原價(jià)是x元，由題意可得（1+40%）x?0.8﹣x=144，解方程求得x的值，即為所求．【解答】解：設(shè)每臺(tái)彩電原價(jià)是x元，由題意可得（1+40%）x?0.8﹣x=144，解得x=1200，故答案為1200．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15.已知變量x，y滿足，則的取值范圍是．參考答案：[，]【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】作出可行域，變形目標(biāo)函數(shù)可得=1+表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與A（﹣2，﹣1）連線的斜率與1的和，數(shù)形結(jié)合可得．【解答】解：作出所對(duì)應(yīng)的區(qū)域（如圖陰影），變形目標(biāo)函數(shù)可得==1+，表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與A（﹣2，﹣1）連線的斜率與1的和，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B（2，0）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取最小值1+=；當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)C（0，2）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取最大值1+=；故答案為：[，]【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃，涉及直線的斜率公式，準(zhǔn)確作圖是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．16.已知實(shí)數(shù)滿足：，，則的最大值是___________

參考答案：略17.定義在上的函數(shù)滿足.若當(dāng)時(shí).,則當(dāng)時(shí),=

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.央視傳媒為了解央視舉辦的“朗讀者”節(jié)目的收視時(shí)間情況，隨機(jī)抽取了某市名30觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中有12名男觀眾和18名女觀眾，將這30名觀眾收視時(shí)間編成如圖所示的莖葉圖（單位：分鐘），收視時(shí)間在35分鐘以上（包括35分鐘）的稱為“朗讀愛好者”，收視時(shí)間在35分鐘以下（不包括35分鐘）的稱為“非朗讀愛好者”.規(guī)定只有女“朗讀愛好者”可以參加央視競(jìng)選.（1）若采用分層抽樣的方法從“朗讀愛好者”和“非朗讀愛好者”中隨機(jī)抽取5名，再?gòu)倪@5名觀眾中任選2名，求至少選到1名“朗讀愛好者”的概率；（2）若從所有的“朗讀愛好者”中隨機(jī)抽取3名，求抽到的3名觀眾中能參加央視競(jìng)選的人數(shù)的分布列及其數(shù)學(xué)希望.參考答案：（1）根據(jù)莖葉圖，有“朗讀愛好者”12人，“非朗讀愛好者”18人，用分層抽樣的方法，每個(gè)人被抽到的概率是.選中的“朗讀愛好者”有人，“非朗讀愛好者”有人.記：至少有一名“朗讀愛好者”被選中.：沒有一名“朗讀愛好者”被選中.則.（2）依題意，的取值為：0,1,2,3,的分布列是：19.[選做題:極坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，斜率為1的直線l過定點(diǎn)（﹣2，﹣4）．以O(shè)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ﹣4cosθ=0．（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程以及直線l的參數(shù)方程；（2）兩曲線相交于M，N兩點(diǎn)，若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．參考答案：【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（1）由斜率為1的直線l過定點(diǎn)（﹣2，﹣4），可得參數(shù)方程為：，（t為參數(shù)）．由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ﹣4cosθ=0，即ρ2sin2θ﹣4ρcosθ=0，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．（2）把直線l的方程代入拋物線方程可得：t2﹣12t+48=0．利用根與系數(shù)的關(guān)系及其|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|即可得出．【解答】解：（1）由斜率為1的直線l過定點(diǎn)（﹣2，﹣4），可得參數(shù)方程為：，（t為參數(shù)）．由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ﹣4cosθ=0，即ρ2sin2θ﹣4ρcosθ=0，可得直角坐標(biāo)方程：C：y2=4x．（2）把直線l的方程代入拋物線方程可得：t2﹣12t+48=0．∴t1+t2=12，t1t2=48．∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=12．20.已知函數(shù)，（1）若是奇函數(shù)，求的值；（2）證明函數(shù)在R上是增函數(shù)。參考答案：

略21.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)，且.

⑴若曲線在點(diǎn)處的切線垂直于軸，求實(shí)數(shù)的值；

⑵當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；

⑶在⑴的條件下，若與的圖像存在三個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.參考答案：解：由題意得：；

(2分)(1)由曲線在點(diǎn)處的切線垂直于軸，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，即，解得；

(4分)(2)設(shè)，則只需求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值.令，解得或，而，即.

從而函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)，；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)的極小值即為其在區(qū)間上的最小值，.綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為.

(8分)(3)令，顯然，則.構(gòu)造函數(shù)，.令得，，，可知：在上單調(diào)遞減，且，當(dāng)無限減小時(shí)，保持恒負(fù)并無限接近于0，其圖像在下方無限靠近軸負(fù)半軸；在上單調(diào)遞增，當(dāng)無限接近于0時(shí)，無限增大，其圖像在左側(cè)向上無限接近軸正半軸，由于極小值，所以在內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞