空氣動力學(xué)基礎(chǔ)-第章 低速平面位流

空氣動力學(xué)基礎(chǔ)沈陽航空航天大學(xué)航空航天工程學(xué)院飛機設(shè)計教研室2014年3月第3章低速平面位流3.1理想不可壓縮流體平面位流的基本方程3.2幾種簡單的二維位流3.2.1直勻流3.2.2點源3.2.3偶極子3.2.4點渦3.3一些簡單的流動迭加舉例3.3.1直勻流加點源3.3.2直勻流加偶極子3.3.3直勻流加偶極子加點渦3.4二維對稱物體繞流的數(shù)值解

本章討論怎樣求解不可壓理想流體無旋運動的規(guī)律。在理想不可壓條件下歐拉方程和連續(xù)方程包括四個方程和四個未知函數(shù)（u,v,w,p），理論上是可解的由于飛行器的外形都比較復(fù)雜，要在滿足如此復(fù)雜的邊界條件下求該偏微分方程組的解析解是非常困難的，原因在于方程包含非線性項，而且方程中速度與壓強相互耦合，需要一并求出人們發(fā)現(xiàn)在無旋條件下問題可以得到大大簡化，尤其是可以將速度和壓強分開求解，這是因為無旋條件可使關(guān)于速度位的方程化為線性方程，從而便于單獨求得速度位即求出速度，而壓強可利用伯努利方程求解本章的思路是，先針對理想不可壓無旋流求得一些典型的速度位基本解，將這些基本解進(jìn)行疊加得到滿足非常簡單邊界條件的流動。對復(fù)雜外形的繞流，介紹用基本解進(jìn)行疊加的數(shù)值解法大意有無旋條件，就有位函數(shù)φ

存在，并且位函數(shù)與速度分量之間滿足：平面流動的連續(xù)方程是：結(jié)合兩式，得平面不可壓位流必須滿足的方程：該方程稱為拉普拉斯方程，是個只與速度有關(guān)的線性方程，給定適當(dāng)邊界條件方程是容易求解的。1.位函數(shù)φ

及流函數(shù)ψ

所滿足的方程對于二維不可壓縮流動，微分形式的質(zhì)量方程可以寫為：

數(shù)學(xué)上這是使成為某個函數(shù)ψ

的全微分的充要條件，即

或：代入無旋條件：也滿足拉普拉斯方程：這也是只與速度有關(guān)的線性方程，給定邊條容易求解。位函數(shù)與流函數(shù)的關(guān)系稱為柯西－黎曼條件：拉普拉斯方程可用算子▽2

表為▽2φ＝0。它是個線性方程，可以用疊加原理求復(fù)合的解。疊加原理:如果有分別滿足拉普拉斯方程，則這些函數(shù)的線性組合也必滿足拉普拉斯方程：由于速度分量與位函數(shù)之間的關(guān)系是線性的因此也滿足疊加原理：壓強與速度間關(guān)系為非線性故不滿足疊加原理2.疊加原理數(shù)學(xué)上滿足拉氏方程的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)。故要找一代表具體的定常不可壓理想位流運動，就是要找一個能符合具體流動邊界條件的調(diào)和函數(shù)，求出位函數(shù)或流函數(shù)之后，即可求出速度分布，然后用伯努利方程求解壓強分布。速度位函數(shù)由無旋條件定義，位函數(shù)值可以差任意常數(shù)而不影響流動。速度位函數(shù)沿著某一方向的偏導(dǎo)數(shù)等于該方向的速度分量，速度位函數(shù)沿著流線方向增加。對于理想不可壓縮無旋流動，速度位函數(shù)滿足拉普拉斯方程，是調(diào)和函數(shù)，滿足解的線性迭加原理。速度位函數(shù)相等的點連成的線稱為等位線，速度方向垂直于等位線。連接任意兩點的速度線積分等于該兩點的速度位函數(shù)之差。速度線積分與路徑無關(guān)，僅決定于兩點的位置。對封閉曲線，速度環(huán)量為零。流函數(shù)由平面不可壓縮連續(xù)條件定義，流函數(shù)值可以差任意常數(shù)而不影響流動。等流函數(shù)線是流線。即等流函數(shù)線的切線方向與速度矢量方向重合。對于理想不可壓縮無旋流動，流函數(shù)滿足拉普拉斯方程，是調(diào)和函數(shù)，解也滿足疊加原理。等流函數(shù)線與等位線正交。平面內(nèi)任兩點流函數(shù)的差等于通過此兩點連線的流量。平面內(nèi)任兩點流函數(shù)的差等于通過此兩點連線的流量等流函數(shù)線與等位線正交。xyABdso

位函數(shù)Φ

和流函數(shù)Ψ

之間滿足柯西-黎曼條件：

速度分量與位函數(shù)和流函數(shù)之間的關(guān)系是：§3.2幾種簡單的二維位流

§3.2.1直勻流直勻流是一種速度不變的最簡單的平行流動。其流速為流動是無旋的，由速度位全微分積分可得位函數(shù)：又可求出流函數(shù)：

流線與等位線是正交的如圖

常用的是這樣的直勻流，它與x軸平行，從左面遠(yuǎn)方流來，流速為此時§3.2.2點源點源是從流場上某一點有一定的流量向四面八方流開去的一種流動。源可以有正負(fù)。負(fù)源（又名匯）是一種與正源流向相反的向心流動。如果把源放在坐標(biāo)原點上，那末這流動便只有Vr，而沒有Vθ

。設(shè)半徑為r

處的流速是Vr

，那末這個源的總流量是流量是常數(shù)，故流速Vr

與半徑成反比

x、y向的速度可分別寫為代入速度與位函數(shù)關(guān)系可積分求位函數(shù)。比較簡便的是利用極座標(biāo)下位函數(shù)與速度的關(guān)系：由

位函數(shù)由上式積分得：（注：等位線Φ＝C是一系列同心圓）流函數(shù)由積分得：（注：流線ψ＝c1即θ＝c2

是一系列射線）此外注意上式中θ的值域為[-2π,2π],但反正切函數(shù)的值域為[-π/2,π/2]，故兩種表達(dá)有一定區(qū)別。xy如果源的位置不在坐標(biāo)原點，而在A（ξ,η）處，則相應(yīng)的速度分量為：除奇點處速度無定義之外，流場其他區(qū)域都是無旋的。.

p§3.2.3偶極子

等強度的一個源和一個匯，放在x軸線上，源放在（-h，0）處，匯放在（0，0）處。從源出來的流量都進(jìn)入?yún)R，流動情況如圖:

其中θ1,θ2

分別是點P與源和匯的連線與正x的夾角

應(yīng)用疊加原理，位函數(shù)和流函數(shù)如下現(xiàn)在我們考慮一種極限情況，當(dāng)h→0但同時Q 增大，使保持不變的極限情況。這時位函數(shù)變成顯然等位線Φ=C是一系列圓心在x軸上的圓，且都過原點。除奇點處速度無定義之外，流場其他區(qū)域都是是無旋的。求流函數(shù)：上述位函數(shù)可寫為:利用極座標(biāo)下流函數(shù)與位函數(shù)的關(guān)系：對Ψ積分得：即：顯然流線ψ=C是一些圓心在y軸上的圓，且均過原點。兩個分速的表達(dá)式是合速要注意偶極子有軸線方向，上述布于x軸上的正負(fù)源形成的偶極子其軸線在－x方向，對于指向正x方向的偶極子，上述位函數(shù)、流函數(shù)和速度分布都要改變符號。如果偶極子軸線和x軸成θ角，正向指向第三象限如圖所示，在x’y’

坐標(biāo)系中的位函數(shù)及流函數(shù)可寫為：y’x’xy根據(jù)二坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換關(guān)系：代入上述位函數(shù)和流函數(shù)表達(dá)，并注意到坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)時向徑不變：x’2+y’2=x2+y2

，得到在(x,y)坐標(biāo)系中的偶極子：如果偶極子位于（ξ，η），軸線和x軸成θ角，正向指向第三象限，則

y’x’xyξηθ§3.2.4點渦點渦：渦所在一點外，整個平面流場是無旋的，流體被點渦誘導(dǎo)繞點渦作圓周運動，流線是一些同心圓，流速只有周向速度，而沒有徑向速度。繞點渦的環(huán)量Γ是個確定的常數(shù)，例如繞半徑為r的圓環(huán)作環(huán)量計算，有：

式中的是個常數(shù)稱為點渦的強度，逆時針方向為正。從而周向速度與離開中心點的距離r成反比：rVθ這與無限長渦線產(chǎn)生的誘導(dǎo)速度一致。由幾何條件可立刻寫出u

、v

分量：xyuvVθθ位函數(shù)可由上式代入等后積分求出，但方便的還是利用極座標(biāo)關(guān)系：積分后得：顯然等位線Φ=C是一系列射線求流函數(shù)可由極座標(biāo)下流函數(shù)與位函數(shù)的柯西－黎曼關(guān)系：積分得：顯然流線ψ

=C是一系列同心圓，可見點渦與點源的位函數(shù)與流函數(shù)只是對調(diào)了一下（上述負(fù)號只是代表渦轉(zhuǎn)向）。如果點渦的位置不在原點，而在（ξ，η），則點渦的位函數(shù)和流函數(shù)的式子分別是：

事實上沿任意形狀的圍線計算環(huán)量，值都是，只要這個圍線把點渦包圍在內(nèi)。但不包含點渦在內(nèi)的圍線，其環(huán)量卻是等于零的。點渦是實際旋渦的一種數(shù)學(xué)近似。點渦的速度在半徑r→0時將使Vθ→∞勢必使壓強p→－∞，這是不現(xiàn)實的，這時粘性必然要起作用，因此實際的旋渦存在一個渦核，核內(nèi)流體Vθ與半徑成正比為有旋流，核外為無旋流。實際渦核尺寸與粘性和渦強弱有關(guān)，一般不大，故數(shù)學(xué)上抽象為一個點，形成點渦模型。直勻流：xy基本解位函數(shù)、流函數(shù)小結(jié)：ab

（1）直勻流+點源（2）直勻流+偶極子（3）直勻流+偶極子+點渦在一個平行于x軸由左向右流去的直勻流里，加一個強度為Q的源會產(chǎn)生如圖的流動把坐標(biāo)原點放在源所在的地方，迭加得到的位函數(shù)是：§3.3.1直勻流加點源在x軸上有一個合速度為零的點稱為駐點A，令即得駐點xA坐標(biāo)為：兩個分速是此處速度為零是因為點源速度恰好與直勻流速度相互抵消。該速度分布的特點之一是x~±∞時，u~V∞，v~0。我們可以把外部流動看作是在直勻流中放了一個BAB′那樣形狀的物體所造成的流動，反過來也可認(rèn)為繞該物體的流動可以用直勻流加點源來構(gòu)造。該半無限體在+x無限遠(yuǎn)處，其寬度（y向尺寸）趨向一個漸近值D。過駐點A的流線BAB′是一條特殊的流線，把流場劃分成為兩部分。外面的是直勻流繞此圍墻的流動，里面的是源流在此圍墻限制之內(nèi)的流動。流線BAB′的形狀可以根據(jù)流函數(shù)ψ=c

畫出來，也可以從流量關(guān)系推算出來。由流函數(shù)表達(dá)：

由駐點坐標(biāo)（y=0,θ=π)定常數(shù)c，得c＝Q/2，從而得流線BAB′的方程為：用直角坐標(biāo)表達(dá)，注意到反正切的值域為[-π/2,π/2]：

該流線與y軸交于處，當(dāng)即流線在無窮遠(yuǎn)處趨于寬度為的直線。

從物理上這個結(jié)果很好理解，從源流出的流量只能限制在圍線中，由速度分布知：而源的流量為Q，以速度V∞

流過時將占據(jù)寬度D=Q/V∞

另一方面，流線BAB′的方程：可寫為：左邊是直勻流V∞

流過高y=rsinθ的寬度的流量，右邊則是從中心角為（π－θ）中流出的流量，二者相抵消，從而得流線方程的極座標(biāo)表達(dá)為：通常將壓強表為無量綱的壓強系數(shù)，其定義是當(dāng)?shù)仂o壓減去來流靜壓再除以來流的動壓頭（這樣得到的結(jié)果與來流參數(shù)具體值p∞

、V∞

無關(guān)，具有通用性）：

流場上的壓強可以用伯努利公式表達(dá)出來：

得到表面壓強系數(shù)的表達(dá)為：將速度分布和表面流線幾何關(guān)系代入上式得到表面壓強系數(shù)的結(jié)果為：Cp

沿x軸分布的曲線特點如圖：§3.3.2直勻流加偶極子——封閉的物形設(shè)直勻流平行于x軸，由左向右流。再把一個軸線指向負(fù)x的偶極子放在坐標(biāo)原點處。這時，將產(chǎn)生如圖繞圓的流動：

流函數(shù)是：

流動的位函數(shù)是：圓的半徑可從駐點A的坐標(biāo)定出，令：解得：從而位函數(shù)和流函數(shù)分別寫為：

Ψ=0是一條特殊的流線，這時sinθ=0

，即或，這就是x軸線，還有圓表面：r=a。兩個分速的式子是：用在的圓上時，有：將上述速度分布代入壓強系數(shù)可得：該壓強系數(shù)的分布特點如圖：繞圓流動在表面上只有周向速度，沒有徑向速度：可見在θ＝π/2處速度達(dá)到最大為2V∞。xy§3.3.3直勻流加偶極子加點渦在直勻流加偶極子的流動之上再在圓心處加一個強度為（–）的點渦（順時針轉(zhuǎn)為負(fù)），將形成如下圖的流動

這時位函數(shù)和流函數(shù)分別是：在極坐標(biāo)下，兩個分速是：

仍是一條流線。在這個圓上：

可見由于引入環(huán)量－Г，在θ＝π/2

處的最大速度將大于2V∞

?；?qū)懗鲴v點的直角坐標(biāo)表達(dá)：∵

駐點的位置現(xiàn)在不在θ=π和θ=0處了，其位置可從定出來：∴xy

θs在第三和第四象限內(nèi)，前后駐點對y軸是對稱的。這個角度離開π和0的多少決定于環(huán)量Γ

對4πaV∞之比值；Γ越大，駐點越往下移。

當(dāng)點渦強度變大到Γ=4πaV∞

時，θs

=－π/2，二個駐點在－π/2處重合。

當(dāng)點渦強度進(jìn)一步增大使Γ﹥4πaV∞

時，駐點將離開圓柱表面，且位于圓柱之下。xy下圖給出幾種不同點渦強度下駐點位置圖畫：顯然，有環(huán)量的繞圓流動其左右仍是對稱的，但上下已不對稱了，因此在垂直于來流的y方向合力就不會為零。垂直于來流方向的空氣動力分力稱為升力，可以通過沿圓柱表面壓強積分（利用伯努利方程將壓強表為速度分布后積分求得），或者利用動量方程求出合力。§3.3.4庫塔-儒可夫斯基定理注意這兩條割線上的壓力和動量進(jìn)出都對消了。S1上的壓力積分是物體所受的合力。受力情況左右對稱，不會有X

方向合力。僅計算Y

方向合力L即可。設(shè)徹體力略去不計、流動定常，根據(jù)動量方程圓柱所受到的升力L可表為：下面從動量定理出發(fā)計算繞圓柱的有環(huán)量流動的升力。以原點為中心，畫一個半徑為r1很大的控制面S，整個控制面還包括圓的表面S1以及連接S和S1的兩條割線。第一個積分中的p按伯努利公式用速度來表達(dá)，結(jié)果得：

在r1

大圓上，，∴第二個積分得：結(jié)果與r1大小無關(guān)，總之合力L

等于來流的密度ρ乘速度V∞

再乘以環(huán)量Γ。方向等于把直勻流的指向逆著環(huán)流轉(zhuǎn)π/2，稱為升力，該結(jié)果稱為庫塔-儒可夫斯基升力定理。所以:

考慮到速度、環(huán)量和升力之間的向量關(guān)系，升力定理可寫為：

只要是封閉物體，代表其作用的正負(fù)源強度總和必須等于零，在遠(yuǎn)離物體的地方其作用和一個偶極子沒有什么區(qū)別,說明物形對升力沒有直接的關(guān)系，關(guān)鍵在于必須有繞物體的環(huán)量存在。有了環(huán)量又有一個直勻流，便有了升力。

環(huán)量之所以能產(chǎn)生一個Y向的合力，也可以從圓柱體上的壓力分布直接看到。其中有環(huán)量和無環(huán)量繞流情況作了對比。無環(huán)量時，上半圓（θ由π至0）上的壓力分布和下半圓（θ由π至2π）上的壓力分布對稱，結(jié)果是合力為零。有環(huán)量時，上半圓上的負(fù)壓遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過下半圓上的負(fù)壓，所以有一個向上的合力，即升力。這個力的來源主要靠上半圓上的吸力。機翼的特殊形狀使它不用旋轉(zhuǎn)就能產(chǎn)生環(huán)量，上部流速加快形成吸力，下部流速減慢形成壓力。足球中的弧線球現(xiàn)象就是環(huán)量產(chǎn)生升力的例子之一§3.4二維對稱物體繞流的數(shù)值解下面用解二維對稱物體繞流的例子來說明奇點疊加數(shù)值解法的應(yīng)用。無迎角的對稱物體沒有升力，根據(jù)上述分析和演示，提示我們把直勻流和分布的偶極子（或總強度為零的分布的點源和點匯，無環(huán)量）疊加起來，得到組合流動——對稱封閉物體繞流。

設(shè)直勻流速度為V∞，在x軸上(a,b)范圍內(nèi)，連續(xù)分布單位長度內(nèi)強度設(shè)為m（x）的偶極子。稱為偶極子密度。該組合流動對任一空間點p(x,y)

處的流函數(shù)為：對這種無升力物體的外形可以用零流線來表示，改變不同的偶極子密度分布，可以獲得不同形狀的封閉物體。由流函數(shù)與速度的關(guān)系確定速度分布，由速度與壓強的關(guān)系即伯努利方程確定壓強分布。對于實際問題，往往是給定物體的外形來確定其流動的特性。待求方程是一個積分方程，求它的解是比較困難的，但是隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，可以用數(shù)值方法比較迅速地獲得這種方程的有一定準(zhǔn)確度的數(shù)值解。首先，我們把偶極子分布區(qū)域分成等寬度的n段，設(shè)每段的寬度為△ξ，段數(shù)n可根據(jù)計算機容量及結(jié)果的準(zhǔn)確度要求而確定。某一定點P(x,y)處流函數(shù)為：

式中為第j段的中點離原點的距離；為第j段內(nèi)偶極子密度的平均值；表示第j段內(nèi)偶極子的強度。二維對稱物體繞流數(shù)值解法步驟用物面邊界條件來確定待求的偶極子密度（現(xiàn)在即物面為零流線，滿足Ψ＝0），對于給定物體外形上的n

個已知點（xi，yi），就可以得到一個對未知函數(shù)的n

元一次聯(lián)立代數(shù)方程組： 其中Cij

為影響系數(shù)，表示處的單位偶極子密度對物體表面某點Pi(xi，yi)

處的流函數(shù)的貢獻(xiàn)。展開上式，即

利用解一次方程組的各種計算方法，求解上面方程組，確定偶極子密度mj。

一旦解得所給定物體外形的偶極子密度分布，則可確定流場內(nèi)任意點處的流函數(shù)，此后可由流函數(shù)與速度的關(guān)系及伯努利方程，確定流場內(nèi)各點處的速度及壓強值。在上述過程中，我們實際上是把第j段中分布的偶極子用集中在該段中點處的等強度的偶極子來代替了。顯然，如果分段數(shù)量較多，這種近似表示才有一定的準(zhǔn)確性。理論上，當(dāng)段數(shù)n趨于無限大時，偶極子密度分布的數(shù)值結(jié)果趨近于精確解。在實際應(yīng)用時，由于計算機容量和計算機機時的限制，以及多元一次聯(lián)立方程組的解的不穩(wěn)定性。分段的數(shù)目不宜太多。位函數(shù)數(shù)值求解也可以由位函數(shù)出發(fā)，用位函數(shù)對應(yīng)的物面條件來解決實際流動問題。這兩種方法