《等腰三角形》教案 (公開課)2022年

腰角〔〕一、學(xué)知識狀況分在八年級上冊第七章平行線的證?學(xué)生已經(jīng)感受了證明的必要性并通過平行線有關(guān)命題的證明過程習(xí)得了一些根本的證明方法和根本標(biāo)準(zhǔn)積累了一定的證明經(jīng)驗(yàn)在七年級下學(xué)生也已經(jīng)探索得到了有關(guān)三角形全等和等腰三角形的有關(guān)命題，這些都為證明本節(jié)有關(guān)命題做了很好的鋪墊。二、教任務(wù)分析本節(jié)將進(jìn)一步回憶和證明全等三角形的有關(guān)定理，并進(jìn)一步利用這些定理、公理證明等腰三角形的有關(guān)定理，由于具備了上面所說的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知根底，為此，本節(jié)可以讓學(xué)生在回憶的根底上，自主地尋求命題的證明，為此，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：1．知識目：理解作為證明根底的幾條公理的內(nèi)容用這些公理證明等腰三角形的性質(zhì)定理；在證明過程中進(jìn)一步感受證明過程掌握推理證明的根本要求明確條件和結(jié)論夠借助數(shù)學(xué)符號語言利用綜合法證明等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理；熟悉證明的根本步驟和書寫格式。2．能力目：經(jīng)歷－發(fā)現(xiàn)－猜想－證明〞的過程，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)證明是探索活動(dòng)的自然延續(xù)和必要開展，開展學(xué)生的初步的演繹邏輯推理的能力；鼓勵(lì)學(xué)生在交流探索中發(fā)現(xiàn)證明方法的多樣性，提高邏輯思維水平；3．情感與值目標(biāo)啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)探索結(jié)論和證明結(jié)論合情推理與演繹的相互依賴和相互補(bǔ)充的辯證關(guān)系；培養(yǎng)學(xué)生合作交流的能力，以及獨(dú)立思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣.4．教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：探索證明等腰三角形性質(zhì)定理的思路與方法，掌握證明的根本要求和

方法；難點(diǎn)：明確推理證明的根本要求如明確條件和結(jié)論，能否用數(shù)學(xué)語言正確表達(dá)等。三、教過程分析學(xué)生課前準(zhǔn)備：一張等腰三角形紙片〔供上課折疊實(shí)驗(yàn)用教師課前準(zhǔn)備：制作好的幾何畫板課件.本節(jié)課設(shè)計(jì)了六個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：憶舊知

導(dǎo)出公；第二環(huán)節(jié)折紙活探索新知第三環(huán)節(jié)明晰結(jié)論和明過程；第四環(huán)：隨堂練固新知第五環(huán)節(jié)：堂小結(jié)第六環(huán)節(jié)：置作業(yè)

穩(wěn)第一環(huán)：回憶舊知

導(dǎo)出公活動(dòng)內(nèi)：請學(xué)生回憶并整理已經(jīng)學(xué)過的8根本領(lǐng)實(shí)中的5條：1.兩直線被第三條直線所截如果同位角相等那么這兩條直線平行；2.兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等；3.兩邊夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等〔4.兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等〔5.三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等〔SSS在此根底上回憶全等三角形的另一判別條件：1.〔推論〕兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等〔AAS要求學(xué)生利用前面所提到的公理進(jìn)行證明；2.回憶全等三角形的性質(zhì)?；顒?dòng)目：經(jīng)過一個(gè)暑假，學(xué)生難免有所遺忘，因此在第一課時(shí)，回憶有關(guān)內(nèi)容是對前面學(xué)習(xí)內(nèi)容一個(gè)簡單梳理為后續(xù)有關(guān)證明做了知識準(zhǔn)備；證明這個(gè)推論可以讓學(xué)生熟悉證明的根本要求和步驟為后面的其他證明做好準(zhǔn)備?；顒?dòng)效與本卷須知由于有了前面的鋪墊學(xué)生一般都能得到該推論的證明思路，但由于有了一個(gè)暑假的遺忘，可能局部學(xué)生的表述未必嚴(yán)謹(jǐn)、標(biāo)準(zhǔn)，教學(xué)中注意提請學(xué)生分析條件和結(jié)論畫出簡圖寫出和求證并標(biāo)準(zhǔn)地寫出證明

過程。具體證明如下：：如圖，∠∠D,∠B=∠求證：△ABC△證明：∵∠∠D,∠B=∠〔

DF又∠A+∠B+∠C=180°，∠∠∠〔三角形內(nèi)角和等于∴∠C=180°-(∠A+，∠F=180°-(∠∠E)，∴∠∠F〔等量代換又BC=EF〔∴△ABC≌△DEF〔ASA第二環(huán)：折紙活動(dòng)索新知活動(dòng)內(nèi)：在提問“等腰三角形有哪些性質(zhì)？以前是如何探索這些性質(zhì)的，你能再次通過折紙活動(dòng)驗(yàn)證這些性質(zhì)嗎？并根據(jù)折紙過程，得到這些性質(zhì)的證明嗎？〞的根底上，讓學(xué)生經(jīng)歷這些定理的活動(dòng)驗(yàn)證和證明過程。具體操作中，可以讓學(xué)生先單獨(dú)折紙觀察、探索并寫出等腰三角形的性質(zhì)，然后再以六人為小組進(jìn)行交流，互相彌補(bǔ)缺乏。A

→

→B

C

D活動(dòng)目通過折紙活動(dòng)過程獲得有關(guān)命題的證明思路并通過進(jìn)一步的整理次感受證明是探索的自然延伸和開展悉證明的根本步驟和書寫格式?；顒?dòng)效與本卷須知由于有了教師引導(dǎo)下學(xué)生的活動(dòng)以及具體的折紙操作學(xué)生一般都能得到有關(guān)等腰三角形的性質(zhì)定理當(dāng)然可能局部學(xué)生得到的定理并不全面在學(xué)生小組的交流中通過同伴的互相補(bǔ)充一般都可以得到所有性質(zhì)定理。當(dāng)然，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)注意小組的巡視，提醒學(xué)生思考多種證明思路，思考不同的輔助線之間的關(guān)系從而得到“三線合一〞。

第三環(huán)：明晰結(jié)論證明過活動(dòng)內(nèi)：在學(xué)生小組合作的根底上，教師通過分析、提問，和學(xué)生一起完成以上兩個(gè)個(gè)性質(zhì)定理的證明，注意最好讓兩至三個(gè)學(xué)生板演證明,其余學(xué)生挑選其一證明.其后，教師通過課件匯總各小組的結(jié)果以及具體證明方法，給學(xué)生明晰證明過程?！?〕等腰三角形的兩個(gè)底角相等；〔2〕等腰三角形頂角的平分線、底邊中線、底邊上高三條線重合活動(dòng)目和學(xué)生一起完成性質(zhì)定理的證明可以讓學(xué)生自主經(jīng)歷命題的證明過程；明晰證明過程，意圖給學(xué)生明晰一定的標(biāo)準(zhǔn)，起到一種引領(lǐng)作用；活動(dòng)2，那么是面命題的直接推論，力圖讓學(xué)生形成拓廣命題的意識，同時(shí)也是一個(gè)很好的穩(wěn)固練習(xí)。第四環(huán)：隨堂練習(xí)

穩(wěn)固新活動(dòng)內(nèi)：生自主完成P4第2題：如圖〔圖略〕,在△ABD中是BD上的一點(diǎn)，且AC⊥，AC=BC=CD，〔1〕求證：△ABD是等腰三角形；〔2〕求∠BAD的度數(shù)?；顒?dòng)目穩(wěn)固全等三角形判定公理的應(yīng)用習(xí)等腰三角形等角〞的用法。第五環(huán)：課堂小結(jié)活動(dòng)內(nèi)：學(xué)生暢談收獲，包括具體結(jié)論以及其中的思想方法等?；顒?dòng)目：成及時(shí)總結(jié)語反思的意識與習(xí)慣，提高學(xué)生能力。活動(dòng)效與本卷須知教師注意對學(xué)生的感想進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)并在學(xué)生交流的根底上，明晰局部收獲供學(xué)生共享，如：1、具體有性質(zhì)定理；2、通過折活動(dòng)對獲得的定理給予了嚴(yán)格的證明，為今后解決有關(guān)等腰三角形的問題提供了豐富的理論依據(jù)．3、體會(huì)了明一個(gè)命題的嚴(yán)格的要求，體會(huì)了證明的必要性．

第六環(huán)：布置作業(yè)P4題1,2.四、教反思本節(jié)關(guān)注學(xué)生已有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的回憶過程，關(guān)注了－發(fā)現(xiàn)－猜想－證明〞的活動(dòng)過程關(guān)注了學(xué)生自主探究過程學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性發(fā)揮較好應(yīng)該說取得了較好的教學(xué)效果當(dāng)然在具體活動(dòng)中如何在學(xué)生活動(dòng)與標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)之間形成一個(gè)恰當(dāng)?shù)钠胶怏w各局部時(shí)間比例的分配可能還需要根據(jù)班級學(xué)生具體狀況進(jìn)行適度的調(diào)整。1.8完平公()●學(xué)目標(biāo)一)教學(xué)知識點(diǎn)1.完全平方公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用.2.完全平方公式的幾何背景二)能力訓(xùn)練要求1.經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，進(jìn)一步開展符號感和推理能力2.重視學(xué)生對算理的理解，有意識地培養(yǎng)他們有條理的思考和表達(dá)能力三)情感與價(jià)值觀要求1.了解數(shù)學(xué)的歷史，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣2.鼓勵(lì)學(xué)生自己探索算法的多樣化，有意識地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力●學(xué)重點(diǎn)1.完全平方公式的推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、語言表述、幾何解釋2.完全平方公式的應(yīng)用●學(xué)難點(diǎn)1.完全平方公式的推導(dǎo)及其幾何解釋.2.完全平方公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及其應(yīng)用.●學(xué)方法自主探索法學(xué)生在教師的引導(dǎo)下自主探索完全平方公式的幾何解釋數(shù)運(yùn)算角度的推

理，揭示其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，然后到達(dá)合理、熟練地應(yīng)用●具準(zhǔn)備投影片四張第一張：試驗(yàn)田的改造，記作(A)第二張：想一想，記作(§1.8.1第三張：例題，記作(§1.8.1C)第四張：補(bǔ)充練習(xí)，記作(§1.8.1●學(xué)過程Ⅰ.設(shè)問題情景，引入新課［師］去年，一位老農(nóng)在一“技下鄉(xiāng)〞活動(dòng)中得到啟示，將一塊邊長為a的正方形農(nóng)田改成試驗(yàn)田上了優(yōu)質(zhì)的雜交水稻一年來收益很大今年，又一次技下鄉(xiāng)〞活動(dòng)，使老農(nóng)鐵了心，要走科技興農(nóng)的路子，于是他想把原來的試驗(yàn)田，邊長增加b米，形成四塊試驗(yàn)田，種植不同的新品種同學(xué)們，誰來幫老農(nóng)實(shí)現(xiàn)這個(gè)愿望呢？同學(xué)們開始動(dòng)手在練習(xí)本上畫圖，尋求解決的途徑［生］我能幫這位爺爺［師］你能把你的結(jié)果展示給大家嗎？［生］可以.圖－所示，這就是我改造后的試驗(yàn)田，可以種植四種不同的新品種.圖1－25［師］你能用不同的方式表示試驗(yàn)田的面積嗎？［生］改造后的試驗(yàn)田變成了邊長為(a+b)大正方形，因此，試驗(yàn)田的總面積應(yīng)為(a+b)［生可以把試驗(yàn)田的總面積看成四局部的面積和即邊長為a的正方形面

積，邊長為b的正方形的面和兩塊長和寬分別為和的面積的和所以試驗(yàn)田的總面積也可表示為a+2ab+b2［師］很好！同學(xué)們用不同的形式表示了這塊試驗(yàn)田的總面積，進(jìn)行比較，你發(fā)現(xiàn)了什么？［生可以發(fā)現(xiàn)它們雖形式不同但都表示同一塊試驗(yàn)田的面積因此它們應(yīng)該相等.(a+b)22+2ab+b［師］我們這節(jié)課就來研究上面這個(gè)公式—完全平方公式.Ⅱ.授新課1.推導(dǎo)完全平方公式［師］我們通過比照試驗(yàn)田的總面積得出了完全平方公(a+b)

2

2

.其實(shí)，據(jù)有關(guān)資料說明，古埃及、古巴比倫、古印度和古代中國人也是通過類似的圖形認(rèn)識了這個(gè)公我們姑且把這種方法看作對完全平方公式的一個(gè)幾何解釋.不能從代表運(yùn)算的角度也能推導(dǎo)出這樣的公式呢？出示投影片§A)想一想：等于什么？你能用多項(xiàng)式乘法法那么說明理由嗎？－

2

等于什么？你是怎樣想的.(學(xué)們可先在自己的練習(xí)本上推導(dǎo)，教師巡視推導(dǎo)的情況，對較困難的學(xué)生以啟示)［生］用多項(xiàng)式乘法法那么可得(a+b)

22

+ab+ab+b2所以(=a22

(1)［師］上面的幾何解釋和代數(shù)推導(dǎo)各有什么利弊？［生］幾何解釋完全平方公式給我們以非常直觀的認(rèn)識，但幾何解釋2

=a

2

,到了條件限制:且b>0;代數(shù)推導(dǎo)完全平方公式雖然不直觀，但在推導(dǎo)的過程中，可以是正數(shù)，可以是負(fù)數(shù)，零，也可以是單項(xiàng)式,多項(xiàng)式

［師］同學(xué)們分析得很有道理接下來，我們來完成第(2)問.［生］也可利用多項(xiàng)式乘法法那么，那么ba+b2－.

(a2=(ab)=a2ab－［生我是這樣想的因(

=a

2

2

中的可以是任意數(shù)或單項(xiàng)式、多項(xiàng).我們“〞代替公式中的b利用上面的公式就可以得到－2［a+(b)］.

［師］這位同學(xué)的想法很.因?yàn)樗芰粜奈覀儽硎龅拿恳痪湓挼暮x，你能繼續(xù)沿著這個(gè)思路做下去嗎？我們一塊試一下［師生共析］(ab)

=a+(－］2

=a

2

+2·a·(－b)+(－b)↓↓↓↓↓↓

=a

2

·b+b

22

－

.于是，我們得到又一個(gè)公式：(ab)－2ab+b2

(2)［師］你能用語言描述上述公式(1)、(2)嗎？［生］公(1)用語言描述為：兩個(gè)數(shù)的和的平方等于這兩個(gè)數(shù)的平方和與它們積的2倍的和；公式(2)用語言描述為：兩個(gè)數(shù)的差的平等于這兩個(gè)數(shù)的平方和與它們積的2倍的差這兩個(gè)公式為完全平方公式.它們和平方差公式一樣可以使整式的運(yùn)算簡便.2.應(yīng)用、升華出示投影片(B)［例1］利用完全平方公式計(jì)算：－3);(2)(4x+5y)2;(3)(mna).分析：利用完全平方公式計(jì)算，第一步先選擇公式；第二步，準(zhǔn)確代入公式；第三步化.解：方法一：

［例2］利用完全平方公式計(jì)算－

－－

;－z)

2

;(4)(x+y)2

－(x－y)2

;－2(2x+3y).分析：此題需靈活運(yùn)用完全平方公式，題可轉(zhuǎn)化為(－x)或(x－,再運(yùn)用平方差公式(2)題需轉(zhuǎn)化x+y)

,利和的完全平方公式(3)題利用加法結(jié)合律變形為［－］2

(［x+(y－z)］

(x－］2

用完全平方公式計(jì)算；(4)題利用完全平方公式，再合并同類項(xiàng)，也可逆用平方差公式進(jìn)行計(jì)算.(5)題可先逆用冪的運(yùn)算性質(zhì)變形，再用平方差公式和完全平方公式.解：方法一：(－x+2y)=(2yx)=4y2

－4xy+x

2

；方法二：－x+2y)

=－］2

=(x－2y)2

=x

2

－4xy+4y

.－x－y)2［－(x+y)2=(x+y)=x+2xy+y.－z)=［(x+y)－2=(x+y)22(x+y)·z+z2=x

2

+z

2

+2xy－2zx－方法一：

－(xy)=(x

2

+2xy+y

－(x

2

－2xy+y2

)方法二：(x+y)－(x－y)

1111x)=(2xy)x+(x)yxy+1111x)=(2xy)x+(x)yxy+=(x+y)+(x－y)－y)］－2(2x+3y)=(2x］2=4x

2

－2

］2

4

－2

y2

4

.Ⅲ.堂練習(xí)課本1.計(jì)算：

12

x－2y)

;(2)(2xy+

x)

;(3)(n+1)2

－n

2

.解：x－2=(x)－2·x·2y+(2y)=x2－2xy+4y22(2)(2xy+

12415525

x

2方法一：(n+1)

2

－n

2

=n2

+2n+1n

2

=2n+1.方法二：(n+1)

－n

2

=［(n+1)+n(n+1)－n］Ⅳ.后作業(yè)1.課本習(xí)題1.13的第、、題2.閱讀〞，并答復(fù)文章中提出的問題.Ⅴ.動(dòng)與探究甲、乙兩人合養(yǎng)了頭牛，而每頭牛的賣價(jià)恰為n元.部賣完后兩人分錢方法如下先由甲拿元再乙拿10如此流拿到最后剩下缺乏十元，輪到乙拿去，為了平均分配，甲應(yīng)該補(bǔ)給乙多少元錢？［過程］因牛n頭，每頭賣n，故共賣得

2

元.令a表示n的十位以前的數(shù)字，b表示的個(gè)位數(shù)于是n2+.因甲先取10元，而乙最后一次取錢時(shí)缺乏10元，所以

2

中含有奇數(shù)個(gè)元，以及最后剩下缺乏元但10×2a(5a+b)中含有偶數(shù)個(gè)元此2中必含有奇數(shù)個(gè)元b<10，所以只可能是、4、9、16、、、、、，而這九個(gè)數(shù)中，只有16

和36含有奇數(shù)個(gè)10，因此

2

只可能是16或，但這兩個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)都是，這就是說，乙最后所拿的是6元(即剩下缺乏元)［結(jié)果］甲比乙多拿了4元，為了平均分配甲必須補(bǔ)給乙元●書設(shè)計(jì)1.8.完全平方公式(一)一、幾何背景試驗(yàn)田的總面積有兩種表示形式：①

②(a+b)比照得：(a+b)

=a

2

2二、代數(shù)推導(dǎo)(a+b)

2

(ab)

=a+(－］22三、例題講例例1.利用完全平方公式計(jì)算：－3)(3)(mna)四、隨堂練習(xí)(略)●課資料一、楊輝楊輝中國南宋時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家在世紀(jì)中葉活動(dòng)于蘇杭一帶，其著作甚多.

a=(11a=(11他著名的數(shù)學(xué)書共五種二十一卷著有詳解九章算法十二卷(年)、日用算法二卷(1262年除通變本末?三卷1274)畝比類乘除算法?二卷(1275)、續(xù)古摘奇算法?卷(1275年)楊輝的數(shù)學(xué)研究與教育工作的重點(diǎn)是在