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11.雙曲線中的仿射變換利用仿射變換再解T8聯(lián)考16題一．基本原理1.壓縮變換：平面上的所有點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，即，平面上的雙曲線變?yōu)槠矫嫔系牡容S雙曲線.結(jié)論1.在壓縮變換下，平面對(duì)應(yīng)封閉圖形面積是原來(lái)平面上封閉圖形面積的倍，即．2.旋轉(zhuǎn)變化將等軸雙曲線旋轉(zhuǎn)即可得到反比例函數(shù)，即變成了初中的反比例函數(shù)，兩條漸近線分別是坐標(biāo)軸，下面通過(guò)一個(gè)例子予以說(shuō)明.在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線，將其繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，求所得到的的曲線的方程.3.反比例函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)若直線與反比例函數(shù)相切，同時(shí)交坐標(biāo)軸分別與，則.證明：設(shè)切點(diǎn)因?yàn)?，所以斜率為，所以，直線的方程為：，令，得，令，得，所以，.二．典例分析例1（T8聯(lián)考16題）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為和，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)作漸近線的垂線，垂足為，若，則雙曲線的離心率為________；又過(guò)點(diǎn)作雙曲線的切線交另一條漸近線于點(diǎn)，且的面積，則該雙曲線的方程為_________.解析：第一個(gè)空較簡(jiǎn)單，.第二個(gè)空：將雙曲線壓縮再旋轉(zhuǎn)后得到反比例函數(shù)，于是，由于且，可解得：雙曲線方程為：.例2.（2014年福建）已知雙曲線的兩條漸近線分別為，．（1）求雙曲線的離心率；（2）如圖，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線分別交直線，于，兩點(diǎn)，分別在第一、第四象限），且的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線？若存在，求出雙曲線的方程，若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）因?yàn)殡p曲線的漸近線分別為，，所以．所以．故，從而雙曲線的離心率．由（1）知，雙曲線的方程為．作，再將雙曲線沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得：；，

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