高等數(shù)學同濟課件上第1-1映射與函數(shù)

醫(yī)用高等數(shù)學主講教師：鄧粵?？傉n時：臨床48

檢驗54

教學安排臨床本科課時：48學時，講授40，實驗6，自主：2。檢驗本科課時：54學時，講授44，實驗8，自主：2。學分：2.5/3學分考試：2學時（閉卷考試）考查科：研究生考試不考高等數(shù)學。教學要求學習本課程應注意的問題主動學習課前預習、課中提高效率、課后復習；必須做好筆記。成績評定方法總評成績=平時成績×30%+期末成績×70%作業(yè)要求按質(zhì)按量完成，學習委員負責收、發(fā)。使用教材

《醫(yī)用高等數(shù)學》張選群主編人民衛(wèi)生出版社教學計劃共48/54課時，主要講解前三章內(nèi)容引言恩格斯初等數(shù)學—研究對象為常量，以靜止的觀點研究問題高等數(shù)學—研究對象為變量，運動和辯證法進入了數(shù)學數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點是笛卡爾的變數(shù)。有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學，

有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學，

有了變數(shù)，微分和積分是也就立刻成為必要的了，而它們也就立刻產(chǎn)生

一、主要內(nèi)容1、分析基礎(chǔ)：函數(shù)，極限，連續(xù)。2、微積分學：1）一元微分學；2）一元積分學。3、多元微積分：1）多元函數(shù)微分學；2）二重積分。4、常微分方程。二、如何學好高等數(shù)學1、認識高等數(shù)學的重要性，培養(yǎng)濃厚的學習興趣。一門學科，只有當它成功地運用數(shù)學時，才能達到真正完善的地步。

2、學數(shù)學最好的方式是做數(shù)學。馬克思恩格斯要辯證而又唯物地了解自然，就必須熟悉數(shù)學。

聰明在于學習，天才在于積累。學而優(yōu)則用，學而優(yōu)則創(chuàng)。由薄到厚，由厚到薄。華羅庚笛卡爾（1596-1650）法國哲學家，數(shù)學家，物理學家，他是解析幾何奠基人之一。1637年他發(fā)表的《幾何學》論文分析了幾何學與代數(shù)學的優(yōu)缺點，進而提出了“另外一種包含這兩門學科的優(yōu)點而避免其缺點的方法”。把幾何問題化成代數(shù)問題，給出了幾何問題的統(tǒng)一作圖法，從而提出了解析幾何學的主要思想和方法，恩格斯把它稱為數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點。華羅庚（1910-1985）我國在國際上享有盛譽的數(shù)學家，他在解析數(shù)論，矩陣幾何學，典型群，自守函數(shù)論，多復變函數(shù)論，偏微分方程，高維數(shù)值積分等廣泛的數(shù)學領(lǐng)域中，都作出了卓越的貢獻，發(fā)表專著與學術(shù)論文近300篇。他對青年學生的成長非常關(guān)心，他提出治學之道是“寬，專，漫”，即基礎(chǔ)要寬，專業(yè)要專，要是自己的專業(yè)知識漫到其它領(lǐng)域。1984年在中國礦業(yè)大學視察時給師生題詞“學而優(yōu)則用，學而優(yōu)則創(chuàng)”二、高等數(shù)學的性質(zhì)與作用高等數(shù)學是數(shù)學的一個分支，是數(shù)學的基礎(chǔ)理論課之一，它是理工科大學生必修的數(shù)學基礎(chǔ)理論課程，也是學習后續(xù)數(shù)學的必修課，還是學習其他專業(yè)的必修課。高等數(shù)學的概念、理論和方法對于學生畢業(yè)后從事科學研究、工程技術(shù)與管理工作都是不可缺少的內(nèi)容。同時也是參加具有選拔功能的水平考試的必備基礎(chǔ)。二、高等數(shù)學的性質(zhì)與作用通過本課程的教學，使學生掌握較完整的高等數(shù)學基本知識的同時，注意培養(yǎng)學生的抽象思維能力、邏輯推理與判斷能力、空間想象能力、綜合運用能力和數(shù)學語言及符號的表達能力。結(jié)合習題課、課后作業(yè)、考試等相關(guān)教學環(huán)節(jié)提高學生綜合運用基本概念、基本理論、基本方法分析問題和解決問題的能力，并逐步培養(yǎng)學生科學求實、嚴謹準確的作風。通過本課程的教學，與其它數(shù)學基礎(chǔ)課共同達到全面提高學生數(shù)學素質(zhì)的目的。第一節(jié)函數(shù)第一章學習要求：理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法，會建立應用問題的函數(shù)關(guān)系了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性理解復合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形， 了解初等函數(shù)的概念第一章分析基礎(chǔ)函數(shù)極限連續(xù)—研究對象—研究方法—研究橋梁函數(shù)、極限與連續(xù)

第一章二、映射三、函數(shù)一、集合第一節(jié)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束映射與函數(shù)元素a

屬于集合M,記作元素a

不屬于集合M,記作一、集合1.定義及表示法定義1.

具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合.組成集合的事物稱為元素.不含任何元素的集合稱為空集,記作

.

(或).注:

M

為數(shù)集表示M

中排除0的集;表示M

中排除0與負數(shù)的集.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束表示法：(1)列舉法：按某種方式列出集合中的全體元素.例:有限集合自然數(shù)集(2)描述法：

x

所具有的特征例:

整數(shù)集合或有理數(shù)集

p與q

互質(zhì)實數(shù)集合

x

為有理數(shù)或無理數(shù)開區(qū)間閉區(qū)間機動目錄上頁下頁返回結(jié)束無限區(qū)間點的

鄰域其中,a

稱為鄰域中心,

稱為鄰域半徑.半開區(qū)間去心

鄰域左

鄰域:右

鄰域:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束是B的子集

,或稱B包含A,2.集合之間的關(guān)系及運算定義2

.則稱A若且則稱A

與B

相等,例如,顯然有下列關(guān)系:,,若設(shè)有集合記作記作必有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義3

.

給定兩個集合A,B,并集交集且差集且定義下列運算:余集直積特例:記為平面上的全體點集機動目錄上頁下頁返回結(jié)束或二、映射1.映射的概念

某校學生的集合學號的集合按一定規(guī)則查號某班學生的集合某教室座位的集合按一定規(guī)則入座機動目錄上頁下頁返回結(jié)束引例1.引例2.引例3.(點集)(點集)向y

軸投影機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義4.設(shè)X,Y

是兩個非空集合,若存在一個對應規(guī)則f,使得有唯一確定的與之對應,則稱f

為從X

到Y(jié)

的映射,記作元素

y

稱為元素x

在映射

f下的像

,記作元素

x稱為元素y

在映射

f

下的原像

.集合X

稱為映射f

的定義域;Y

的子集稱為f

的值域

.注意:1)映射的三要素—定義域,對應規(guī)則,值域.2)元素x

的像y

是唯一的,但y

的原像不一定唯一.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束對映射若,則稱f

為滿射;若有則稱f

為單射;若f既是滿射又是單射,則稱f

為雙射或一一映射.引例2,3機動目錄上頁下頁返回結(jié)束引例2引例2例1.海倫公式例2.如圖所示,對應陰影部分的面積則在數(shù)集自身之間定義了一種映射(滿射)例3.如圖所示,則有(滿射)

(滿射)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束X(數(shù)集或點集

)說明:在不同數(shù)學分支中有不同的慣用X(≠

)Y(數(shù)集)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束f稱為X

上的泛函X(≠

)Xf稱為X

上的變換

Rf稱為定義在X

上的為函數(shù)映射又稱為算子.名稱.例如,2.逆映射與復合映射(1)逆映射的定義定義:若映射為單射,則存在一新映射使習慣上,的逆映射記成例如,映射其逆映射為其中稱此映射為f

的逆映射.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)復合映射機動目錄上頁下頁返回結(jié)束手電筒D引例.復合映射定義.則當由上述映射鏈可定義由D

到Y(jié)

的復設(shè)有映射鏈記作合映射

,時,或機動目錄上頁下頁返回結(jié)束注意:

構(gòu)成復合映射的條件不可少.以上定義也可推廣到多個映射的情形.定義域三、函數(shù)1.函數(shù)的概念定義4.設(shè)數(shù)集則稱映射為定義在D

上的函數(shù),記為f(D)稱為值域函數(shù)圖形:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束自變量因變量定義域三、函數(shù)1.函數(shù)的概念

D

上的函數(shù),記為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束自變量因變量(對應規(guī)則)(值域)(定義域)例如,反正弦主值

定義域

對應規(guī)律的表示方法:解析法、圖象法、列表法使表達式及實際問題都有意義的自變量集合.定義域值域又如,絕對值函數(shù)定義域值域機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.

已知函數(shù)求及解:函數(shù)無定義并寫出定義域及值域.定義域值域機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.函數(shù)的幾種特性設(shè)函數(shù)且有區(qū)間(1)有界性使稱使稱說明:

還可定義有上界、有下界、無界(見上冊P11)(2)單調(diào)性為有界函數(shù).在I

上有界.使若對任意正數(shù)M,均存在則稱f(x)

無界.稱為有上界稱為有下界當時,稱為I

上的稱為I

上的單調(diào)增函數(shù);單調(diào)減函數(shù).機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(3)奇偶性且有若則稱

f(x)為偶函數(shù);若則稱f(x)為奇函數(shù).

說明:若在x=0有定義,為奇函數(shù)時,則當必有例如,

偶函數(shù)雙曲余弦記機動目錄上頁下頁返回結(jié)束又如,奇函數(shù)雙曲正弦記再如,奇函數(shù)雙曲正切記機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(4)周期性且則稱為周期函數(shù)

,若稱

l

為周期(一般指最小正周期

).周期為周期為注:

周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如,常量函數(shù)狄里克雷函數(shù)x

為有理數(shù)x為無理數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.反函數(shù)與復合函數(shù)(1)反函數(shù)的概念及性質(zhì)若函數(shù)為單射,則存在逆映射習慣上,的反函數(shù)記成稱此映射為f

的反函數(shù).機動目錄上頁下頁返回結(jié)束其反函數(shù)(減)(減).1)y＝f(x)單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增性質(zhì):2)函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對稱.例如,對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線對稱.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束指數(shù)函數(shù)(2)復合函數(shù)則設(shè)有函數(shù)鏈稱為由①,②確定的復合函數(shù)

,①機動目錄上頁下頁返回結(jié)束—復合映射的特例②u

稱為中間變量.注意:

構(gòu)成復合函數(shù)的條件不可少.例如,

函數(shù)鏈:函數(shù)但函數(shù)鏈不能構(gòu)成復合函數(shù).可定義復合機動目錄上頁下頁返回結(jié)束兩個以上函數(shù)也可構(gòu)成復合函數(shù).例如,可定義復合函數(shù):4.初等函數(shù)(1)基本初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)(2)初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱為非初等函數(shù)

.例如,并可用一個式子表示的函數(shù),經(jīng)過有限次四則運算和復合步驟所構(gòu)成,稱為初等函數(shù).可表為故為初等函數(shù).又如,

雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù).(自學