正余弦定理習(xí)題課

(2)a=2RsinA,b=2RsinB,

;(3)sinA=sinB=,sinC=等形式,以解決不同的三角形問(wèn)題.返回目錄

1.正弦定理:其中R是三角形外接圓的半徑.由正弦定理可以變形為:a:b:c=sinA:sinB:sinC;(1)

2R

c=2RsinC

第1頁(yè)/共38頁(yè)第一頁(yè)，共39頁(yè)。返回目錄

2.余弦定理:a2=

,b2=

,c2=

.余弦定理可以變形為:cosA=

,cosB=

,cosC=

.

3.S△ABC=absinC=

=acsinB==(a+b+c)·r（r是三角形內(nèi)切圓的半徑），并可由此計(jì)算R,r.b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosCbcsinA

第2頁(yè)/共38頁(yè)第二頁(yè)，共39頁(yè)。A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a=bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個(gè)數(shù)一解兩角一解一解返回目錄

解三角形的類型△ABC中,已知a,b和A時(shí),解的情況如下:第3頁(yè)/共38頁(yè)第三頁(yè)，共39頁(yè)。返回目錄

7.實(shí)際問(wèn)題中的常用角

(1)仰角和俯角與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線

叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線

叫俯角（如圖3-7-1中①).

6.用正弦定理和余弦定理解三角形的常見(jiàn)題型測(cè)量距離問(wèn)題、測(cè)量高度問(wèn)題、測(cè)量角度問(wèn)題、計(jì)算面積問(wèn)題、航海問(wèn)題、物理問(wèn)題等.上方下方

第4頁(yè)/共38頁(yè)第四頁(yè)，共39頁(yè)。(2)方位角指從

方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α（如圖3-7-1②).(3)坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù).返回目錄

正北

第5頁(yè)/共38頁(yè)第五頁(yè)，共39頁(yè)。返回目錄

(1)在△ABC中,a=,b=,B=45°.求角A,C和邊c;(2)在△ABC中,a=8,B=60°,C=75°,求邊b和c.【分析】已知兩邊及一邊對(duì)角或已知兩角及一邊,可利用正弦定理解這個(gè)三角形,但要注意解的判斷.考點(diǎn)一正弦定理的應(yīng)用

第6頁(yè)/共38頁(yè)第六頁(yè)，共39頁(yè)。返回目錄

【解析】(1)由正弦定理得sinA=.∵a>b,∴A=60°或A=120°.①當(dāng)A=60°時(shí),C=180°-45°-60°=75°,∴c=.②∵當(dāng)A=120°時(shí),C=180°-45°-120°=15°,∴c=.由①②知,A=60°,C=75°,c=或A=120°,C=15°,c=.

第7頁(yè)/共38頁(yè)第七頁(yè)，共39頁(yè)。(2)∵B=60°,C=75°,∴A=45°.由正弦定理,得b=·a=4,c=·a=4+4.返回目錄

第8頁(yè)/共38頁(yè)第八頁(yè)，共39頁(yè)。在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,且.(1)求B的大小;(2)若b=,a+c=4,求△ABC的面積.【分析】由,利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系求解.考點(diǎn)二余弦定理的應(yīng)用返回目錄

第9頁(yè)/共38頁(yè)第九頁(yè)，共39頁(yè)。返回目錄

【解析】(1)由余弦定理知,cosB=,cosC=.

將上式代入得整理得a2+c2-b2=-ac,∴cosB=∵B為三角形的內(nèi)角，∴B=π.

第10頁(yè)/共38頁(yè)第十頁(yè)，共39頁(yè)。(2)將b=,a+c=4,B=代入b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosB，∴b2=16-2ac(1-),∴ac=3.∴S△ABC=acsinB=.返回目錄

第11頁(yè)/共38頁(yè)第十一頁(yè)，共39頁(yè)。＊對(duì)應(yīng)演練＊在△ABC中,a,b,c為A,B,C的對(duì)邊,B=,b=,a+c=4,求a.由余弦定理b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2accos=a2+c2+ac=(a+c)2-ac,∵a+c=4,b=,∴ac=3,a+c=4ac=3,返回目錄

聯(lián)立解得a=1或a=3.

第12頁(yè)/共38頁(yè)第十二頁(yè)，共39頁(yè)。返回目錄

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c,且b2+c2-a2+bc=0.(1)求角A的大小;(2)若a=,求bc的最大值;(3)求的值.考點(diǎn)三正、余弦定理的綜合應(yīng)用

第13頁(yè)/共38頁(yè)第十三頁(yè)，共39頁(yè)。返回目錄

【解析】(1)∵cosA=又∵A∈(0,180°),∴A=120°.(2)由a=,得b2+c2=3-bc,

又∵b2+c2≥2bc（當(dāng)且僅當(dāng)c=b時(shí)取等號(hào)），∴3-bc≥2bc(當(dāng)且僅當(dāng)c=b時(shí)取等號(hào)）.

即當(dāng)且僅當(dāng)c=b=1時(shí),bc取得最大值為1.

第14頁(yè)/共38頁(yè)第十四頁(yè)，共39頁(yè)。(3)由正弦定理得∴返回目錄

第15頁(yè)/共38頁(yè)第十五頁(yè)，共39頁(yè)。返回目錄

＊對(duì)應(yīng)演練＊已知△ABC是半徑為R的圓內(nèi)接三角形,且2R(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB.(1)求角C;(2)試求△ABC面積S的最大值(1)由2R(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB,兩邊同乘以2R,得(2RsinA)2-(2RsinC)2=(a-b)2RsinB,根據(jù)正弦定理,得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,∴a2-c2=(a-b)b,即a2+b2-c2=ab.

第16頁(yè)/共38頁(yè)第十六頁(yè)，共39頁(yè)。再由余弦定理,得cosC=,又0<C<π,∴C=.(2)∵C=,∴A+B=.S=absinC=(2RsinA)(2RsinB)=R2sinAsinB=-R2［cos(A+B)-cos(A-B)］=R2〔+cos(A-B)〕.∵0<A<π,0<B<π,∴-π<A-B<π,當(dāng)且僅當(dāng)A-B=0,即A=B=時(shí),sin(A-B)=1,S取到最大值R2.返回目錄

第17頁(yè)/共38頁(yè)第十七頁(yè)，共39頁(yè)。返回目錄

已知方程x2-(bcosA)x+acosB=0的兩根之積等于兩根之和，且a,b為△ABC的兩邊，A,B為兩內(nèi)角，試判定這個(gè)三角形的形狀.考點(diǎn)四判斷三角形的形狀【分析】先由已知條件得出三角形的邊角關(guān)系.要判定三角形的形狀，只需將邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊之間或角之間的關(guān)系即可判定.

第18頁(yè)/共38頁(yè)第十八頁(yè)，共39頁(yè)。返回目錄

【解析】方法一:設(shè)方程的兩根為x1,x2，由韋達(dá)定理知x1+x2=bcosA,x1x2=acosB.由題意有bcosA=acosB,根據(jù)余弦定理得b·=a·,∴b2+c2-a2=a2+c2-b2,化簡(jiǎn)得a=b,∴△ABC為等腰三角形.

第19頁(yè)/共38頁(yè)第十九頁(yè)，共39頁(yè)。方法二:同方法一得bcosA=acosB,由正弦定理得2RsinBcosA=2RsinAcosB,∴sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0.∵0＜A＜π,0＜B＜π，∴-π＜A-B＜π.∴A-B=0，即A=B.故△ABC為等腰三角形.返回目錄

第20頁(yè)/共38頁(yè)第二十頁(yè)，共39頁(yè)。＊對(duì)應(yīng)演練＊在△ABC中，sinA=，試判斷△ABC的形狀.返回目錄

第21頁(yè)/共38頁(yè)第二十一頁(yè)，共39頁(yè)。解法一：由條件,得∵≠0(否則A=π),∴2sin2=1,即cosA=0.又∵0＜A＜π,∴A=,即△ABC為直角三角形.返回目錄

第22頁(yè)/共38頁(yè)第二十二頁(yè)，共39頁(yè)。解法二:用正、余弦定理得a()=a+b.化簡(jiǎn)，得a2=b2+c2,故△ABC為直角三角形.返回目錄

第23頁(yè)/共38頁(yè)第二十三頁(yè)，共39頁(yè)?？键c(diǎn)七解三角形在△ABC中，BC=a，AC=b，a,b是方程x2-2x+2=0的兩個(gè)根，且2cos(A+B)=1.求：（1）角C的度數(shù)；（2）AB的長(zhǎng)；（3）△ABC的面積.

【分析】解三角形時(shí)要注意利用隱含條件A+B+C=π,然后再利用正、余弦定理求之.返回目錄

第24頁(yè)/共38頁(yè)第二十四頁(yè)，共39頁(yè)。

【解析】

(1)由題意知cosC=cos［π-(A+B)］

=-cos(A+B)=-,∴C=120°.(2)∵a,b是方程x2-2x+2=0的兩個(gè)根,a+b=2a·b=2.∴AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC=b2+a2-2abcos120°=b2+a2+ab=(a+b)2-ab=(2)2-2=10.∴AB=.∴返回目錄

第25頁(yè)/共38頁(yè)第二十五頁(yè)，共39頁(yè)。(3)S△ABC=·a·b·sinC=·a·b·sin120°=×2×=.

【評(píng)析】在△ABC中已知兩邊a,b的關(guān)系，需再知一個(gè)條件，才能確定第三邊.這樣，需充分利用2cos(A+B)=1，并注意利用韋達(dá)定理、余弦定理及面積公式.返回目錄

第26頁(yè)/共38頁(yè)第二十六頁(yè)，共39頁(yè)。再見(jiàn)第27頁(yè)/共38頁(yè)第二十七頁(yè)，共39頁(yè)。返回目錄

某觀測(cè)站在城A的南偏西20°的方向,由城A出發(fā)的一條公路,走向是南偏東40°,在C處測(cè)得公路上B處有一人,距C為31千米,正沿公路向A城走去,走了20千米后到達(dá)D處,此時(shí)CD間的距離為21千米,問(wèn):這人還要走多少千米才能到達(dá)A城?【分析】正確畫(huà)出圖形,綜合運(yùn)用正弦定理與余弦定理解題.考點(diǎn)五測(cè)量問(wèn)題

第28頁(yè)/共38頁(yè)第二十八頁(yè)，共39頁(yè)。返回目錄

【解析】本題為解斜三角形的應(yīng)用問(wèn)題,要求這人走多少路可到達(dá)A城,也就是要求AD的長(zhǎng).在△ACD中,已知CD=21千米,∠CAD=60°,只需再求出一個(gè)量即可.

如圖,令∠ACD=α,∠CDB=β,在△CBD中,由余弦定理得

第29頁(yè)/共38頁(yè)第二十九頁(yè)，共39頁(yè)?！鄐inβ=.而sinα=sin(β-60°)=sinβcos60°-sin60°cosβ=在△ACD中,,∴AD==15(千米).∴這個(gè)人再走15千米就可到達(dá)A城.返回目錄

第30頁(yè)/共38頁(yè)第三十頁(yè)，共39頁(yè)。返回目錄

如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D.現(xiàn)測(cè)得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為θ，求塔高AB.＊對(duì)應(yīng)演練＊

第31頁(yè)/共38頁(yè)第三十一頁(yè)，共39頁(yè)。在△BCD中，∠CBD=π-α-β.由正弦定理，得.所以在Rt△ABC中，AB=BCtan∠ACB=返回目錄

第32頁(yè)/共38頁(yè)第三十二頁(yè)，共39頁(yè)。返回目錄

沿一條小路前進(jìn)，從A到B，方位角（從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到AB方向所成的角）是50°,距離是3km,從B到C,方位角是110°,距離是3km,從C到D,方位角是140°,距離是(9+3)km.試畫(huà)出示意圖,并計(jì)算出從A到D的方位角和距離(結(jié)果保留根號(hào)).【分析】畫(huà)出示意圖,要求A到D的方位角,需要構(gòu)造三角形,連接AC,在△ABC中,可知∠BAC=30°,用余弦定理求出AC,再在△