江蘇省無錫市宜興丁蜀高級中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

江蘇省無錫市宜興丁蜀高級中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.圓弧長度等于圓內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角弧度數(shù)為（）A． B． C． D．2參考答案：C【分析】等邊三角形ABC是半徑為r的圓O的內(nèi)接三角形，則線AB所對的圓心角∠AOB=，求出AB的長度（用r表示），就是弧長，再由弧長公式求圓心角弧度數(shù)．【解答】解：如圖，等邊三角形ABC是半徑為r的圓O的內(nèi)接三角形，則線AB所對的圓心角∠AOB=，作OM⊥AB，垂足為M，在rt△AOM中，AO=r，∠AOM=，∴AM=r，AB=r，∴l(xiāng)=r，由弧長公式l=|α|r，得，α===．故選C．【點(diǎn)評】本題考查圓心角的弧度數(shù)的意義，以及弧長公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．2.設(shè)有一個回歸方程為y=2-2.5x,則變量x增加一個單位時（

）A.y平均增加2.5個單位

B.y平均增加2個單位C.y平均減少2.5個單位

D.y平均減少2個單位參考答案：C3.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．參考答案：A【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】充分利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和與某些特殊項(xiàng)之間的關(guān)系解題．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，∴====1，故選A．4.已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集為{x|﹣3＜x＜2}，則不等式bx2﹣5x+a＞0的解集為（） A．{x|﹣＜x＜} B．{x|x＜﹣或x＞} C．{x|﹣3＜x＜2} D．{x|x＜﹣3或x＞2}參考答案：B【考點(diǎn)】一元二次不等式的解法． 【專題】計算題． 【分析】由不等式ax2﹣5x+b＞0的解集為{x|﹣3＜x＜2}得到a、b的值，代入到不等式中確定出不等式，求出解集即可． 【解答】解：因?yàn)閍x2﹣5x+b＞0的解集為{x|﹣3＜x＜2} 根據(jù)一元二次不等式求解集的方法可得ax2﹣5x+b=a（x+3）（x﹣2）且a＜0 解得a=﹣5，b=30． 則不等式bx2﹣5x+a＞0變?yōu)?0x2﹣5x﹣5＞0解得x＜﹣或x 故選B 【點(diǎn)評】考查學(xué)生理解一元二次不等式解集求法的能力，會解一元二次不等式的能力，5.橢圓上一動點(diǎn)P，圓E：（x﹣1）2+y2=1，過圓心E任意作一條直線與圓E交于A，B兩點(diǎn)，圓F：（x+1）2+y2=1，過圓心F任意作一條直線與圓F交于C，D兩點(diǎn)，則最小值(

)A．4 B．6 C．8 D．9參考答案：B考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)．專題：數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：如圖所示，由于=，=，=，代入可得=﹣1，同理可得：=﹣1．由于=4，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．解答：解：如圖所示，∵=，=，=，∴=（）?（）=++=﹣1，同理可得：=﹣1．∵=4，∴+=﹣1+﹣1=+﹣2≥﹣2=6．當(dāng)且僅當(dāng)==2時取等號．∴+最小值是6．故選：B．點(diǎn)評：本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、向量的三角形法則、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題6.在A．

B．

C．

D．參考答案：A，且,故.7.正三角形ABC的邊長為2，將它沿高AD翻折，使點(diǎn)B與點(diǎn)C間的距離為，此時四面體ABCD外接球表面積為（

）（A）

（B）

（C）5π

（D）7π參考答案：C8.設(shè)f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，則x0=（）A．e2 B．e C． D．ln2參考答案：B【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則．【分析】利用乘積的運(yùn)算法則求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出f'（x0）=2解方程即可．【解答】解：∵f（x）=xlnx∴∵f′（x0）=2∴l(xiāng)nx0+1=2∴x0=e，故選B．【點(diǎn)評】本題考查兩個函數(shù)積的導(dǎo)數(shù)及簡單應(yīng)用．導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用是高考中的常考內(nèi)容，要認(rèn)真掌握，并確保得分．9.化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略10.二次不等式ax2+bx+1＞0的解集為{x|﹣1＜x＜}，則ab的值為（）A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6參考答案：D【考點(diǎn)】一元二次不等式的解法；基本不等式．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】先對原不等式進(jìn)行等價變形，進(jìn)而利用韋達(dá)定理求得和的值，進(jìn)而求得a和b，則ab的值可求得．【解答】解：∵不等式ax2+bx+1＞0的解集為{x|﹣1＜x＜}，∴a＜0，∴原不等式等價于﹣ax2﹣bx﹣1＜0，由韋達(dá)定理知﹣1+=﹣，﹣1×3=，∴a=﹣3，b=﹣2，∴ab=6．故選D【點(diǎn)評】本題主要考查了一元二次不等式的解法．注意和一元二次方程的相關(guān)問題解決．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在五個數(shù)字1，2，3，4，5中，若隨機(jī)取出三個數(shù)字，則剩下兩個數(shù)字至少有一個是偶數(shù)的概率為．（結(jié)果用數(shù)值表示）參考答案：0.7【考點(diǎn)】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】基本事件總數(shù)為n==10，剩下兩個數(shù)字至少有一個是偶數(shù)的對立事件是剩下兩個數(shù)字都是奇數(shù)，由此利用對立事件概率計算公式能求出剩下兩個數(shù)字至少有一個是偶數(shù)的概率．【解答】解：在五個數(shù)字1，2，3，4，5中，隨機(jī)取出三個數(shù)字，基本事件總數(shù)為n==10，剩下兩個數(shù)字至少有一個是偶數(shù)的對立事件是剩下兩個數(shù)字都是奇數(shù)，∴剩下兩個數(shù)字至少有一個是偶數(shù)的概率為：p=1﹣=0.7．故答案為：0.7．12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)△ABC的頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)是線段OA上一點(diǎn)（異于端點(diǎn)），均為非零實(shí)數(shù)．直線BP、CP分別交AC、AB于點(diǎn)E，F(xiàn)．一同學(xué)已正確地求出直線的方程為，請你完成直線的方程：

．

參考答案：（1/c-1/b）13.若直線經(jīng)過點(diǎn),方向向量為，則直線的點(diǎn)方向式方程是_.參考答案：14.已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），則向量與的夾角等于．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個向量的夾角．【專題】計算題．【分析】利用兩個向量數(shù)量積公式求出=3，再由兩個向量的數(shù)量積的定義求出=6cosθ，故有3=6cosθ，解出cosθ的值，再由0≤θ≤π，可得θ的值．【解答】解：=（2，﹣2，4）﹣（2，﹣5，1）=（0，3，3），=（1，﹣4，1）﹣（2，﹣5，1）=（﹣1，1，0），∴=（0，3，3）?（﹣1，1，0）=0+3+0=3．再由||=3，||=，設(shè)向量與的夾角θ，則有=||?||cosθ=3?cosθ=6cosθ．故有3=6cosθ，∴cosθ=．再由0≤θ≤π，可得θ=．故答案為．【點(diǎn)評】本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，兩個向量數(shù)量積公式的應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于基礎(chǔ)題．15.已知向量，若，則的最小值為

.參考答案：8略16.有下列四個命題： ①、命題“若，則，互為倒數(shù)”的逆命題； ②、命題“面積相等的三角形全等”的否命題； ③、命題“若，則有實(shí)根”的逆否命題； ④、命題“若，則”的逆否命題

其中是真命題的是

（填上你認(rèn)為正確的命題的序號）參考答案：①，②，③17.在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為________．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（10分）已知圓M過點(diǎn)A（0，），B（1，0），C（﹣3，0）．（Ⅰ）求圓M的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)（0，2）的直線l與圓M相交于D、E兩點(diǎn)，且|DE|=2，求直線l的方程．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）利用待定系數(shù)法，求圓M的方程；（Ⅱ）分類討論，利用|DE|=2，求直線l的方程．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)圓M：x2+y2+Dx+Ey+F=0，則，∴D=2，E=0，F(xiàn)=﹣3…故圓M：x2+y2+2x﹣3=0，即（x+1）2+y2=4…（Ⅱ）由（Ⅰ）得，M（﹣1，0）．設(shè)N為DE中點(diǎn)，則MN⊥l，|DN|=|EN|=…此時|MN|==1．…（6分）當(dāng)l的斜率不存在時，c=0，此時|MN|=1，符合題意

…（7分）當(dāng)l的斜率存在時，設(shè)l：y=kx+2，由題意=1，…（8分）解得：k=，…（9分）故直線l的方程為3x﹣4y+8=0…（10分）綜上直線l的方程為x=0或3x﹣4y+8=0【點(diǎn)評】本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．19.（1）求證：；（2）設(shè)a，b均為正實(shí)數(shù)，求證：.參考答案：(1)詳見解析；(2)詳見解析【分析】(1)本題可通過對不等式兩邊同時平方并化簡即可得出結(jié)果；(2)本題首先可通過基本不等式得出(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)以及(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)，然后兩者聯(lián)立，即可證得不等式成立?！驹斀狻?1)，即，，，因?yàn)槌闪?，所以成立?2)根據(jù)基本不等式，首先有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，再有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，綜上所述，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故不等式成立?！军c(diǎn)睛】本題考查不等式的相關(guān)性質(zhì)，主要考查基本不等式的應(yīng)用，如果一個不等式的證明涉及到多處基本不等式的運(yùn)用，那么每一處基本不等式的運(yùn)用中取等號成立的條件一定要相同，考查推理能力，是中檔題。20.設(shè)函數(shù)f（x）=x3﹣x2+bx+c（a＞0），曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=1（1）求b，c的值；（2）若函數(shù)f（x）有且只有兩個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值．參考答案：【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）先求f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x），再求f（0），由題意知f（0）=1，f'（0）=0，從而求出b，c的值；（2）求導(dǎo)數(shù)，利用f（a）=0，即可求出實(shí)數(shù)a的值．【解答】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x3﹣x2+bx+c，所以導(dǎo)數(shù)f'（x）=x2﹣ax+b，又因?yàn)榍€y=f（x）在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線方程為y=1，所以f（0）=1，f'（0）=0，即b=0，c=1．（2）由（1），得f'（x）=x2﹣ax=x（x﹣a）（a＞0）由f'（x）=0得x=0或x=a，∵函數(shù)f（x）有且只有兩個不同的零點(diǎn)，所以f（0）=0或f（a）=0，∵f（0）=1，∴f（a）=a3﹣+1=0，∴a=．21.某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y（萬元）與年產(chǎn)量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y=﹣48x+8000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸．（1）求年產(chǎn)量為多少噸時，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求最低成本；（2）若每噸產(chǎn)品平均出廠價為40萬元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．【分析】（1）利用總成本除以年產(chǎn)量表示出平均成本；利用基本不等式求出平均成本的最小值．（2）利用收入減去總成本表