三角形有限元程序51彈塑性數(shù)值方法

巖土材料的彈屈服條件，確定材料是否屈流動(dòng)法則，確定塑性應(yīng)變的變2初始屈服條 FF,, FI1,I2,I3

I1ii,

1ijij,2

13

3FJ2,J3 米賽斯(V.Mises)屈服準(zhǔn)F0

F01s s0

s0是材料的初始屈服應(yīng)力

是應(yīng)力偏量；

1ii34 F0122 s0

圖 主應(yīng)力空間的Mises和Tresca屈服5屈斯加(Tresca)屈服準(zhǔn)

max /2

該準(zhǔn)則又稱最大剪應(yīng)力準(zhǔn)則，即當(dāng)最大剪應(yīng)力達(dá)到極限值k時(shí)，材料開始屈服。延伸的正六邊形柱面(1)。6摩爾－庫(kù)侖(Mohr－Coulomb)屈服準(zhǔn) ，它的表達(dá)式如 cntan F0msin

J2cos

1sinsinccos

其中

1313

33J3J3J2 7圖 圖 8德魯克 格(Drucker－Prager)屈服準(zhǔn) F0IJ2k

,k6ccos 33sin 33sin

,k6ccos 33sin 33sin

其對(duì)應(yīng)的屈服面分別為摩爾－庫(kù)侖屈服面的外角點(diǎn)外接圓錐面和內(nèi)角9圖 硬化法硬化法則規(guī)定材料進(jìn)入塑性變形后的后繼屈服函數(shù)(又稱加載函數(shù)或

各向同性硬化材料在進(jìn)入塑性變形后，加載曲面在各方向均勻地向外擴(kuò)張，而其形心、中心及其各向同性硬化準(zhǔn)則主要適用于單調(diào)加載的情況。如果用于卸載情況，它只適合反向屈服應(yīng)力等于應(yīng)力反轉(zhuǎn)點(diǎn)的材料，而通常材料大都不具有這種性質(zhì)，因此在塑性運(yùn)動(dòng)硬化法此法則規(guī)定材料在進(jìn)入塑性以后，加載曲 F, 其中ij是加載曲面的中心在應(yīng)力空間中的移混合硬化法 混合硬化法則加卸載準(zhǔn)dFF

若F0dF0；若F0，dF0流動(dòng)法dpdQ

dpdF 巖土材料一般并不遵從關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，但目前難以確定其，且由非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則得到的彈塑性矩陣是非對(duì)稱的，使計(jì)算工作量彈塑性應(yīng)力應(yīng)增量dε分為彈性應(yīng)變?cè)隽縟εe和塑性應(yīng)變?cè)隽縟εp，即edεdεedεpD1dσde

FFij,F FdFσ dσ d

令流動(dòng)矢量 F，A1Fd，則上式可改寫

ddaTdσd

將式(1.17)兩端各左乘以向量aTD，并注意到式

d

Aa

aTD

dεD1

aaTd d

AaTDdσDep

DaaT

DepDeDp

AaT

D

e

彈塑性矩陣的流動(dòng)矢量a

F 故流動(dòng)矢量ad

F,

F

FI1

J21/2

Fad

I1

2 2

令CF

tan3F,C

J1/

J1/2

2cos3J3/2 aI1

2

1/2

xy

J

J

J

Ja3 3[Sya

yz

2 Sx

zx

2 SxSyxy 2 σ

3

3 3 2 S2 S2

zx yz 則流動(dòng)矢量ad FCaC C

得到C1C2C3值(1)。表 C03sin/J2cos30301sin3sintan3tan 3sincos2J2cos033 cossinsin23J cossinsin23J J2cos應(yīng)力0y有效應(yīng)力kkI1cI1sin3JJA的計(jì)AFσTF 特別地，對(duì)于米賽斯屈服準(zhǔn)則、關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，AdσHpH'

d dde d/dσde/ 1ET/等效塑性應(yīng)變?cè)隽康? 如用正交條件來表示dεpdσT σT daT 用等效塑性應(yīng)力和等效塑性應(yīng)變p

dp

daT

prp

rp

d

z

T T

對(duì)于平面應(yīng)力z 0平面應(yīng)變z 0軸對(duì)稱問題的分量要稍作變化。 F F F

z

a1

S2 22

1/2

z

T S

J2

S

J2

2S

S

J2

3 3

z 3

J1S S

J3SzSzJ2性矩陣練習(xí)題:請(qǐng)寫出平面應(yīng)變,采用Mises屈服準(zhǔn)則性矩陣積分點(diǎn)的應(yīng)力在施加每一級(jí)增量載荷時(shí)，體會(huì)超過屈服應(yīng)力，同時(shí)還產(chǎn)生塑和應(yīng)變，必須予以調(diào)整使之滿足

r

e( eCd

reBe

reRdeedeAr1次迭代后積分點(diǎn)的應(yīng)力向量為σr1r次迭代后單元結(jié)點(diǎn)位移增量為dar則應(yīng)3由單元結(jié)點(diǎn)位移增量計(jì)算 Bd

0H'rr y pr

Dee由應(yīng)變?cè)隽坑?jì)算彈性ee

應(yīng)力增量dσr

d

(

eRde疊加各積分點(diǎn)的應(yīng)力 r

σ

dr 2效應(yīng)力σr

r

d0H

edeAD對(duì)已經(jīng)屈服的積分y3先計(jì)算出到達(dá)第r1y3

r( pee

)的 qσq

d 校核r1r1 是(積分點(diǎn)前已屈服否(積分點(diǎn)前未屈服校核 r r1e校核rr1？ 否是否是rr1應(yīng)該調(diào)整，R1.05a rr1子R rre5bddσDepdεDedεe e2r

dσrdσrDeeed

DddDddDDpdεrr y pr3eee( e

eRde2 r

d

BedeA0H

Drr y pr3e過程是：在加荷中應(yīng)力點(diǎn)由C移動(dòng)到屈服面上的B點(diǎn)，并繼續(xù)按彈性移e能沿屈服面由B點(diǎn)移動(dòng)到Dr σrσrdσrσr 注意式(2.1)中的Dep需用B

5中的D點(diǎn)表示σr的應(yīng)力狀態(tài)。當(dāng)dσr取有限值時(shí)，D點(diǎn)可能偏離σr σr1H'k σ σ的方法命σrkσr，便可以使D

se Rdσse

1

AaTD

aTσ

令 aTD，則第

s

eσrσrdσrσr Rdεre

d

σr

非線性方程組的解或ψaPafKaaf

fQ；參數(shù)aK依賴于未知量a直接迭代對(duì)于(3.1)Kaaf0，假設(shè)有某個(gè)初始解aa0a1K1a0fK01

anKn11

ana

如果(3.1)nan已經(jīng)求得，一般情況下(3.1)式的ψan0。為了得到進(jìn)一步的近似解an1，可將

ψaPafKaafda da

an1a

a

adψ

f

Talyor展開式(3.5)式僅取線性項(xiàng)，所以an1仍是近似 n nψn nT從(3.8)N-R方法的每次迭代均需要形成和求T KnK 因此(3.8)TT

f

T比較經(jīng)濟(jì)的。