數(shù)列-【考前終極復(fù)習(xí)】高考剖析及2022年高考數(shù)學(xué)備考指南（原卷版）

"數(shù)列”高考剖析及2022年備考指南

目錄

一、考查內(nèi)容分析..............................................................................2

二、命題思路分析..............................................................................3

基本問題1:判定數(shù)列為等差（比）數(shù)列.....................................................3

基本問題2:求解等差（比）數(shù)列...........................................................5

基本問題3：求數(shù)列的通項公式..............................................................8

基本問題4：求數(shù)列的前n項和..............................................................9

基本問題5：數(shù)列與不等式.................................................................12

基本問題6：數(shù)列模型的應(yīng)用...............................................................13

三、復(fù)習(xí)建議.................................................................................15

1.熟悉六個基本問題.....................................................................15

2.掌握兩類基本數(shù)列模型.................................................................15

3.加強用函數(shù)觀點思考數(shù)列問題...........................................................15

"數(shù)列〃高考剖析及2022年備考指南

通過對2021年高考數(shù)學(xué)中的數(shù)列試題進行命題分析，歸納出這類試題的基本問題，總結(jié)這些基本問

題中的思路.在分析試題向基本問題轉(zhuǎn)化的過程中，揭示命題意圖，強調(diào)考查的基本方法與思想，并基于此

給出復(fù)習(xí)建議.

一、考查內(nèi)容分析

2021年高考數(shù)學(xué)全國甲卷、全國乙卷、全國新高考1卷、全國新高考n卷、北京卷、上海卷、天津卷、

浙江卷中的數(shù)列試題的題型、題號、分值與考查內(nèi)容如下表所示.

等比數(shù)列；等比數(shù)列的前〃項和；等比數(shù)列的性

單選題95

文科質(zhì)

解答題1812等差數(shù)列；前〃項和；等差數(shù)列的性質(zhì)

單選題75等比數(shù)列前〃項和；遞增數(shù)列；充要條件

理科

解答題1812等差數(shù)列；等差數(shù)列的前〃項和；命題

文科解答題1912等差數(shù)列；前八項和；證明不等式

理科解答題1912等差數(shù)列；前〃項和；通項公式

等比數(shù)列；錯位

填空題165

相減求和

解答題1710等差數(shù)列；前八項和；通項公式

單選題125等比數(shù)列；前〃項和

解答題1710等差數(shù)列通項公式；前〃項和；解不等式

單選題64等差數(shù)列；等差中項

單選題104遞增數(shù)列；等差數(shù)列；解不等式

解答題2115新定義；集合；數(shù)學(xué)歸納法

解答題1915等差數(shù)列；等比數(shù)列；通項公式；證明不等式

填空題85無窮等比數(shù)列；數(shù)列各項和

填空題125遞推數(shù)列；數(shù)列的和

解答題1914等差數(shù)列、等比數(shù)列模型的應(yīng)用

單選題105遞推數(shù)列；前〃項和；比較大小

解答題2015前〃項和；數(shù)列通項；參數(shù)的變化范圍

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的基本模型，也是高考考查的重要內(nèi)容.從上述表格中我們可以得出2021年高考“數(shù)列”

專題的考查內(nèi)容有以下一些特點.

（1）所有試卷均把數(shù)列作為必考內(nèi)容，分數(shù)在12~23分，施行新高考的試卷比重較大，北京卷在本

專題中的分數(shù)比重最大.

（2）考查題型有單選題、多選題（只在新高考試卷中出現(xiàn)）、填空題與解答題，每份試卷的解答題中

均有數(shù)列試題，全國卷中的數(shù)列試題難度均為中等或偏易，獨立命題試卷中的數(shù)列試題也有出現(xiàn)在壓軸題

的位置的情況.

（（3）考查內(nèi)容有：數(shù)列的通項；數(shù)列的前〃項和，各項和（上海卷）；等差（比）數(shù)列；等差（比）

數(shù)列的性質(zhì)；遞推數(shù)列；數(shù)列通項與前〃項和的關(guān)系；證明與數(shù)列有關(guān)的不等式或求與數(shù)列有關(guān)的不等式

的解；求參數(shù)的變化范圍；數(shù)列模型的應(yīng)用；定義新數(shù)列.

2021年高考數(shù)列試題重點考查的思想方法與關(guān)鍵能力有：函數(shù)與方程思想；分類討論思想；等價轉(zhuǎn)化

思想；元的思想：數(shù)學(xué)運算能力；邏輯推理能力.

二、命題思路分析

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，作為特殊的函數(shù)模型，數(shù)列的學(xué)習(xí)可以幫助學(xué)生進一步理解函數(shù)，發(fā)展

學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象等素養(yǎng).在2021年高考數(shù)學(xué)試卷中，對“數(shù)列”專題的考

查符合《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）的要求，對教學(xué)起著指導(dǎo)

和啟發(fā)作用.數(shù)列試題形式多樣，但是加以分析與歸納，不難發(fā)現(xiàn)，以下基本問題在數(shù)列試題中經(jīng)常出現(xiàn).

基本問題1：判定數(shù)列為等差（比）數(shù)列.

等差數(shù)列和等比數(shù)列是最基本的數(shù)列模型，所以基本問題1就成為數(shù)列試題中最基本的問題，每份試

卷均會涉及此基本問題.

一個數(shù)列是否為等差（比）數(shù)列，通常是用定義進行判定，也可以通過數(shù)列的通項公式、遞推公式或

前"項和公式幫助判定

例1（全國甲卷?文18）記5.為數(shù)列｛““｝的前”項和，已知a,>0,々=3q,且數(shù)列｛瘋｝是等差數(shù)列，

證明：｛《,｝是等差數(shù)列.

拓展題1.記S“為數(shù)列｛q｝的前及項和，已知q>0,%=34,且數(shù)列｛后｝是等差數(shù)列.

（1）證明：｛%｝是等差數(shù)列.

n11

（2）若q=I,證明：Z-----<--

*=lakak+l2

拓展題2.已知數(shù)列｛4｝中，4=4,>0,前”項和為S“，且當".2,”eN*時，瑪=6+廊?

（1）證明：數(shù)列｛、離｝為等差數(shù)列；

（2）記1=q+2az+3a3+…+，求'.

例2（全國甲卷?理18）已知數(shù)列短“｝的各項均為正數(shù)，記S”為｛%｝的前〃項和，從下面①②③中選取兩個

作為條件，證明另外一個成立.

①數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列；②數(shù)列｛#：｝是等差數(shù)列；③4=3q.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

拓展題1.已知數(shù)列他“｝的各項均為正數(shù)，記S,,為｛%｝的前〃項和，從下面①②③中選取兩個作為條件,

證明另外一個成立.

①數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列;

②數(shù)歹（US,,+aj是等比數(shù)列；

③%=2a,.

柘展題2.已知數(shù)列｛4｝的前”項和為S“，數(shù)列也,｝的前"項和為7；,從下面①②③中選擇兩個作為條件,

證明另外一個成立.

①%=〃一S,,，②2=4,7,③7>（與_1.

拓展題3.已知等差數(shù)列｛a“｝滿足%=9,a4+On=22.

（1）求｛凡｝的通項公式;

（2）等比數(shù)列｛2｝的前〃項和為S“，且々=q,再從下面①②③中選取兩個作為條件，求滿足S“<2021的

〃的最大值.

①優(yōu)=%+%②S3=7；③2+|>bn.

例3（全國乙卷?理19）記S“為數(shù)列｛4｝的前〃項和，2為數(shù)列｛S,J的前〃項積，已知2+^=2.

S,

（1）證明：數(shù)列也,｝是等差數(shù)列；

（2）求｛q｝的通項公式.

拓展題1.在數(shù)列｛4｝中，。用=駒二1,記b,=Z-,nwN*.

24。"+422an+1

（1）求證：數(shù)列｛〃,｝為等差數(shù)列，并求出數(shù)列｛"｝的通項公式；

（2）試判斷數(shù)列｛《｝的增減性，并說明理由.

基本問題2：求解等差（比）數(shù)列.

我們把對于確定的等差（比）數(shù)列，求其首項、公差（比）、通項公式、前〃項和公式或某些具體的

項，稱為求解等差（比）數(shù)列.求解等差（比）數(shù)列問題也是高考中常見的基本問題.我們把首項與公差（比）

稱為等差（比）數(shù)列的元.等差（比）數(shù)列完全由其首項與公差（比）確定，所以我們把等差（比）數(shù)列稱

為二元數(shù)學(xué)對象，只要給定了兩個獨立條件，通常就可以求解這個等差（比）數(shù)列

例4(全國甲卷?文9)記S“為等比數(shù)列｛4｝的前“項和.若S2=4,$=6,則$6=()

A.7B.8C.9D.10

拓展題1.等比數(shù)列｛"“｝的各項都為正數(shù)，記｛4｝的前〃項和為S“，若y=1，S5-S2=4,則q=（）

拓展題2.已知在等比數(shù)列僅“｝中，S.是其前〃項和，且2%+%=4,則也q的值為（）

731

艮C

21一

6-2-4-

32

拓展題3.記5“為等比數(shù)列伍“｝的前”項和，若邑=6，$6=7，則邑=

例5（北京卷.6）《中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色

黨徽圖案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長4,a2,%，4，?5（單位：5?）成等差數(shù)列，

對應(yīng)的寬為乙，b2,4，,b5（單位：cm）,且長與寬之比都相等.已知q=288,a5=96.々=192,

則4=（）

A.64B.96C.128D.160

拓展題1.在等差數(shù)列｛““｝中，q+4+4+/=120，則/+為+。6的值為（）

A.30B.60C.90D.120

拓展題2.一個〃邊形的周長等于158.所有各邊的長成等差數(shù)列，最大邊的長等于44,公差等于3.則〃=（

）

A.4B.5C.6D.7

例6（全國甲卷?理7）等比數(shù)列｛”“｝的公比為夕，前〃項和為S”.設(shè)甲：q>0,乙：區(qū),｝是遞增數(shù)列，則

（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

拓展題1.設(shè)是首項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為g,對于以下兩個命題：（甲）“4>1”是"｛〃,,｝為遞增數(shù)

列”的充分非必要條件；（乙）“4<0”是“對任意的正整數(shù)"，g,i+%,<0”的必要非充分條件，下列判斷

正確的是（）

A.甲和乙均為真命題B.甲和乙均為假命題

C.甲為假命題，乙為真命題D.甲為真命題，乙為假命題

拓展題2.設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,前w項和為?；.（）

A.若4>1,則數(shù)列｛7J單調(diào)遞增B.若數(shù)列",｝單調(diào)遞增，則q>l

C.若方>0,則數(shù)列｛7；｝單調(diào)遞增D.若數(shù)列｛7；｝單調(diào)遞增，則7；>0

拓展題3.下列說法正確的是—

①常數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列

②實數(shù)等差數(shù)列中，若公差”<0,則數(shù)列必是遞減數(shù)列

③實數(shù)等比數(shù)列中，若公比q>l,則數(shù)列必是遞增數(shù)列

④首項為4,公比為q的等比數(shù)列的前n項和為Sn=吁礦）

"q

⑤若數(shù)列a?=〃2+沏（〃6N*）為單調(diào)遞增數(shù)列，則2的取值范圍是A>-3.

拓展題4.設(shè)數(shù)列伍“｝的前”項和為S”（〃eN*）,關(guān)于數(shù)列｛““｝有下列命題：

①若｛4｝既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則S,="4（〃eN*）；

2

②若Sn=an+bn｛a,beR）,則｛?,,）是等差數(shù)列；

③若S'=3"+l,則｛對｝是等比數(shù)列；

④若｛《,｝是等比數(shù)列，則S,“，S2m-Sm,S3,”-&（〃?￡N*）也成等比數(shù)列；

⑤若｛凡｝是公比為4的等比數(shù)列，且S,,,,25,向，3S,“+2（weN*）成等差數(shù)列，則%-1=0.

其中正確的命題是.（填上所有正確命題的序號）

基本問題3：求數(shù)列的通項公式.

數(shù)列作為特殊的函數(shù)，其通項公式確定了項數(shù)與項之間的對應(yīng)關(guān)系，是確定并表示一個數(shù)列的重要方

法，求數(shù)列的通項公式自然就成為了高考命題的重要內(nèi)容.作為數(shù)列的基本模型，等差（比）數(shù)列的通項公

式是高考數(shù)列內(nèi)容的考查重點，而求等差（比）數(shù)列的通項公式，實質(zhì)上就是求首項與公差（比），通常

是將條件轉(zhuǎn)化為首項與公差（比）的方程（組）來求解.

例7（全國新高考H卷?"）記S,,是公差不為0的等差數(shù)列｛〃“｝的前〃項和，若為=$5，a2a,=S4.

（1）求數(shù)列僅“｝的通項公式勺；

（II）求使5?>a?成立的n的最小值.

拓展題1.已知公差不為。的等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,，耳=1且5,,成等比數(shù)歹ij.

（1）求｛4｝的通項公式；

（2）設(shè)"=」—，數(shù)列｛2｝的前〃項和為7；,,求使得7；成立的"的最小值.

a“a“*i8

拓展題2.記S,為公差不為0的等差數(shù)列｛《｝的前”項和,已知邑=-30,且4，%,附成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列他“｝的通項公式；

（2）求S,,,并求S“的最小值.

拓展題3.已知數(shù)列伍“｝是公差不為0的等差數(shù)列，々=3,且%是由，%的等比中項?

（1）求數(shù)列｛“,｝的通項公式；

（2）設(shè)S“為數(shù)列｛〃“｝的前”項和，求使凡<S“成立的所有〃的值.

例8(全國乙卷?文19)設(shè)｛a,,｝是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列｛4｝滿足勿="魚，已知q,34，94成等差

數(shù)列.

(I)求｛4｝和｛4｝的通項公式;

⑵記5“和(分別為｛%｝和電｝的前及項和.證明：T“*.

拓展題1.數(shù)列｛““｝的前”項和為4=/+加，數(shù)列｛"｝是等比數(shù)列，公比q>0,且滿足q=4=2,b2,

生，4成等差數(shù)列；

(1)求數(shù)列｛“"｝和｛"｝的通項公式；

(2)若數(shù)列｛QJ滿足Q,="+」-,求。的前〃項和.

拓展題2.數(shù)列｛4｝中，滿足%=4,%=6,其前"項和S“滿足S”=加+加(a,6eR).

(1)求實數(shù)a,匕的值，并求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)若數(shù)列｛,+〃,｝是首項為a,公比為2。的等比數(shù)列，求數(shù)列｛%｝的前八項和7；.

S”

基本問題4:求數(shù)列的前“項和.

數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容，也是數(shù)列區(qū)別于一般函數(shù)的重要特征.常用的數(shù)列求和方法有：直接(或

轉(zhuǎn)化為)求等差(比)數(shù)列的和：錯位相減求和法；裂項相消求和法；轉(zhuǎn)化為可求和的數(shù)列.

例9(浙江卷?20)已知數(shù)列｛《,｝的前〃項和為5,,q=-2,且4se=3S“-9(〃eN*).

(1)求數(shù)列伍,,｝的通項公式；

(II)設(shè)數(shù)列｛〃“｝滿足30+(〃-4)a“=0(〃eN*),記依｝的前"項和為心，若"，也對任意weN*恒成

立，

求實數(shù)2的取值范圍.

拓展題L設(shè)數(shù)列｛可｝的前〃項和為，滿足%+5〃=A/+3〃+l(AwO).

(1)若%=|,求證：數(shù)列｛4-〃｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛q｝的通項公式;

(2)已知數(shù)列｛a,,｝是等差數(shù)列，求二二1的值.

A

拓展題2.已知數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和為S“，2S〃=(2〃+1)4-N”)，數(shù)列｛〃“｝滿足々=4,nb^]=anbn.

(I)求數(shù)列｛為｝和｛"｝的通項公式；

(H)設(shè)數(shù)列｛c,J滿足q=4,“…若不等式2+"2./(〃€“)恒成立，求實數(shù)2的

b.2

取值范圍.

拓展題3.設(shè)正項等比數(shù)列的前八項和為S“，且滿足S3=34+24,a4=8.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列d=k)g24,數(shù)列｛加｝的前〃項和為T“，求使得7；取最大值的正整數(shù)〃的值.

拓展題1.已知｛a,,｝為等比數(shù)列，4=1,a4=-,那么｛4｝的公比為—，數(shù)歹U｛上｝的前5項和為.

拓展題2.已知數(shù)列｛4｝滿足q=々=］，a,”2=4,+2x3"(”eN*),且。=q+°7(〃€N*).則數(shù)列｛2｝

的通項公式為.若b“c“=3；”：；)(〃6N*),則數(shù)列｛qj的前"項和為.

拓展題3.設(shè)各項均為正數(shù)的無窮等比數(shù)列｛氏｝滿足：q=l,%+24=1，則數(shù)列｛%“｝的各項的和為.

a+1,”為奇數(shù),

例11(全國新高考I卷-17)已知數(shù)列滿足％=1,?,n

1+14+2,”為偶數(shù).

(1)記。=%,,寫出*b2,并求數(shù)列的通項公式;

(2)求｛6,｝的前20項和.

拓展題1.已知數(shù)列0｝滿足q=4,%=5""+"'〃為奇數(shù)，nwN*.

a“-2n,n為偶數(shù)

(1)記2=,“-2,證明：數(shù)列｛"｝為等比數(shù)列，并求｛2｝的通項公式;

(2)求數(shù)列｛”“｝的前2〃項和S2n.

拓展題2.已知數(shù)列｛”"｝的前”項和為5"，4=3,S,1+1-2=4an.設(shè)=〃，田-2a“.

(1)證明：數(shù)列｛2｝為等比數(shù)列，并寫出｛2｝的通項公式；

2"L〃為奇數(shù)

(2)若數(shù)列｛立｝滿足。=<T為數(shù)列｛Q,｝的前n項和，求Q.

/og也，〃為偶數(shù)n

基本問題5：數(shù)列與不等式.

數(shù)列與不等式聯(lián)系緊密，所以這也是高考數(shù)列試題的基本問題，前面例8與例9也印證了這一點

例12（浙江卷.10）已知數(shù)列滿足4=1,a?+l=一±（〃eN*）.記數(shù)列｛”"｝的前〃項和為S,,,則（）

1+也

3八99一

A.—2<S1['Mlm<38.3VS1o5n1v44<Se1UiUv-2D?—2VSim<5

拓展題1.己知數(shù)列｛4｝滿足q=l,且而=當=(〃”).

1+也

(I)求｛〃“｝的通項公式；

(II)設(shè)=Jl+3a“-a”,數(shù)列出｝的前"項和為S“，求證：0?S?-n<^.

拓展題2.已知數(shù)列｛”"｝滿足4=1,且a,”]=—^—(〃=1,2,3,)

1+%

(I)求g,生，%的值，并猜想出這個數(shù)列的通項公式；

a

(II)求S=01a2+〃2a3+3a4+…+的值.

拓展題3.已知數(shù)列｛/｝滿足：a=4=1,且?！?]=a〃(b“+]—1),%=,+-5￡N*).

1+4

(1)求證數(shù)列]，[是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛七｝,｛2｝的通項公式；

(II)設(shè)％=以±4.匚,求數(shù)列匕,｝的前n項和T?.

例13(天津卷?19)已知數(shù)列｛為｝是公差為2的等差數(shù)列，其前8項的和為64.數(shù)列｛2｝是公比大于0的

等比數(shù)列，4=4,by—h2=48.

(1)求數(shù)列｛“"｝和｛"｝的通項公式；

(2)記%=%,+-!-,neN*.

",

⑴證明：｛c；-C2,J是等比數(shù)列；

(，)證明：Y<2夜(〃eN*).

k=1V-C2k

拓展題1.已知數(shù)列｛4｝為公比不為1的等比數(shù)列，且4=1,%，2a3,34成等差數(shù)列.

(I)求數(shù)列僅“｝的通項公式和前“項和S“；

(II)設(shè)數(shù)列依｝滿足々=4,對任意的”wN*,端也=5.

%a?

(i)求數(shù)列｛"｝的最大項；

(ii)是否存在等差數(shù)列｛c,｝,使得對任意“wN*,都有2s,領(lǐng)匕5-2？若存在，求出所有符合題意的等

差數(shù)列匕,｝；若不存在，請說明理由.

基本問題6：數(shù)列模型的應(yīng)用

例14(全國新高考I卷46)某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙

對折.規(guī)格為20曲7X12曲7的長方形紙，對折1次共可以得到1(以w*12"2,20而x&/w兩種規(guī)格的圖形,

它們的面積之和￡=240曲?2,對折2次共可以得到5出7x12血?，10"〃?x6dw,20M〃x3如J三種規(guī)格的圖

形，它們的面積之和$=180而2,以此類推.則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為5:如果

對折”次，那么fs*=____dm2.

k=l

拓展題1.某校在研究民間剪紙藝術(shù)時，經(jīng)常會沿著紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為12/加x20曲］的長

方形紙，對折一次可以得到和6d〃?x2（W?7兩種規(guī)格的圖形，它們的周長之和為G=96力〃，對

折二次可以得到5加xl2加，6dmx10dm,3而zx20加三種規(guī)格的圖形，它們的周長之和為C?=112＜加?，

以此類推，則折疊5次后能得到的所有不同圖形的周長和G為_126力〃_,如果對折〃次后，能得到的所

有圖形的周長和記為a，G=—.

拓展題2.我國民間剪紙藝術(shù)在剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.現(xiàn)有一張半徑為R的圓形紙，

對折1次可以得到兩個規(guī)格相同的圖形，將其中之一進行第2次對折后，就會得到三個圖形，其中有兩個

規(guī)格相同，取規(guī)格相同的兩個之一進行第3次對折后，就會得到四個圖形，其中依然有兩個規(guī)格相同，以

此類推，每次對折后都會有兩個圖形規(guī)格相同.如果把我次對折后得到的不同規(guī)格的圖形面積和用S*表示,

由題意知5=芷，,則邑=—；如果對折”次，則￡&=—,

24〃=1

例15（北京卷?10）已知｛4｝是各項為整數(shù)的遞增數(shù)列，且%.3,若％+4+%+…+則〃的最

大值為（）

A?9