高二數(shù)學(xué) 考點20 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入

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高二數(shù)學(xué)

考點

20 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入

一、選擇題

1.（2011·安徽高考理科·Ｔ1）設(shè)

i

是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)

1

ai

2

i

為純虛數(shù)，則實數(shù)

a

為（

）

1 1

（A）2 （B）-2 （C）

（D）

2 2

【思路點撥】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算化簡，再利用純虛數(shù)概念，令實部為

0，求

a.

【精講精析】選

A.

是純虛數(shù)，則

1

ai

(1

ai)(2

i)

2

a

1

2a

1

ai

2

a

1

2a

i

,由

0,

0

，

2

i

(2

i)(2

i)

5

5

2

i

5

5

所以

a=2.

2.（2011·福建卷理科·Ｔ1）i

是虛數(shù)單位，若集合

S=

1,0,1

，則（ ）

(A)

i

S (B)

i

2

S (C)

i3

S (D)

【思路點撥】依據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則對逐個選項進行判斷.

【精講精析】選

B. i

2

1，而集合

S

{1,0,1},

i

2

S.

3.（2011·福建卷文科·Ｔ2）i

是虛數(shù)單位,1+i3等于( )

(A)i (B)-i (C)1+i (D)1-i

【思路點撥】用復(fù)數(shù)的運算法則進行計算.

【精講精析】選

D. i3

i

2

i

i,1

i3

1

i.

4.（2011·新課標(biāo)全國高考文科·Ｔ2）復(fù)數(shù) 5i

( )

1

2i

2

i

S

【精講精析】選

C.解法一：

5i

（A）

2

i （B）1

2i （C）

2

i （D)

1

2i

【思路點撥】可利用復(fù)數(shù)的除法法則直接求解，也可用間接法驗證選項求解.

5i(1

2i) 10

5i

2

i.

1

2i (1

2i)(1+2i) 5

解法二：驗證法

驗證每個選項與

1-2i

的積正好等于

5i

的便是答案.

5.（2011·新課標(biāo)全國高考理科·Ｔ1）復(fù)數(shù)

2

i

1

2i

的共軛復(fù)數(shù)是（

）

第

-

1

-

頁

共

5

頁

-

1

-

3 3

（A）

i （B）

i （C）

i （D)

i

5 5

【思路點撥】用復(fù)數(shù)運算的除法法則，分子分母同乘以1+2i

求得.

【精講精析】選

C.

2+i

(2

i)(1

2i)

2

i

i

.

的共軛復(fù)數(shù)是

i

.

1

2i

（1

2i)(1

2i)

1

2i

6.（2011·遼寧高考文科·Ｔ2）i

為虛數(shù)單位，

1

1

1

1

（

）

i

i

3

i

5

i

7

（A）0 （B）2i （C）-2i （D）4i

【思路點撥】本題考查復(fù)數(shù)的運算．

【精講精析】選

A.

1

i

1

1

1

i

3

i

5

i

7

i

i

i

i

0

.

7.（2011·廣東高考文科·Ｔ1）設(shè)復(fù)數(shù)

z

滿足

iz=1，其中

i

為虛數(shù)單位，則

z=（ ）

（A）-i （B）i （C）-1 （D）1

【思路點撥】由

iz=1

得

z

1

，再由復(fù)數(shù)的除法運算法則可求得

z

.

i

【精講精析】選

A.

由

iz=1

得

z

1

i

故選

A.

i

8.（2011·廣東高考理科·Ｔ1）設(shè)復(fù)數(shù)

z

滿足(1+i)z=2，其中

i

為虛數(shù)單位，則

z=（ ）

（A）1+i （B）1-i （C）2+2i （D)2-2i

【思路點撥】由(1+i)z=2

得

z

2

，再由復(fù)數(shù)的除法運算法則可求得

z

.

1

i

1

【精講精析】選

B.由（

i）z

2

得

z

2

1

i

2(1

i)

1

i.

故選

B.

(1

i)(1

i)

9.（2011·山東高考理科·Ｔ2）復(fù)數(shù)

Z=

2

i

2

i

(

i

為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（

）

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

【思路點撥】先將復(fù)數(shù)

Z

化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再判斷所在象限.

【精講精析】選

D.

Z

2

i

2

i

2

2

i

i

3

4i

3

4

2

2

i

i

5

5

5

i

，所以

Z

在第四象限.

10.（2011·遼寧高考理科·Ｔ１）

a

為正實數(shù)，i

為虛數(shù)單位，

a

i

i

2

，則

a

=（

）

（A）2 （B）

3 (C) 2 (D)1

【思路點撥】先化簡，再利用復(fù)數(shù)的模列式可求解．

【精講精析】選

B．因為

a

i

2

，故可化為

1

ai

2

，所以

1+

a

2=4，又由于

a

為正實數(shù)，得

a

=

3

，

i

第

-

2

-

頁

共

5

頁

-

2

-

故選

B．

11.（2011·北京高考理科·T2）復(fù)數(shù)

i

2

1

2i

=（

）

【精講精析】選

A.

i

2

4 3 4 3

（A）

i （B）

i （C）

i （D）

i

5 5 5 5

【思路點撥】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算.

(i

2)(1

2i) i

2

2

4i

i

.

1

2i (1

2i)(1

2i) 5

12.（2011·湖南高考理科·T1）若

a,b

R

,i

為虛數(shù)單位，且(a+i)i=b+i，則（ ）

（A）a=1,b=1 (B)a=-1,b=1 （C）a=-1,b=

-1 （D)a=1,b=-1

【思路點撥】本題考查復(fù)數(shù)的虛數(shù)單位概念、復(fù)數(shù)的乘法運算和復(fù)數(shù)相等.

【精講精析】選

D.

(a+i)i=b+i，

-1+ai=b+i，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得到

a=1,b=-1.

13.（2011·湖南高考文科

T2）若

a、b

R

,i

為虛數(shù)單位，且(a+i)i=b+i，則（ ）

（A）a=1,b=1 （B）a=-1,b=1 （C）a=1,b=-1 （D）a=-1,b=-1

【思路點撥】本題考查復(fù)數(shù)的虛數(shù)單位、復(fù)數(shù)的乘法運算和復(fù)數(shù)相等.

【精講精析】選

C.

(a+i)i=b+i，

-1+ai=b+i，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件得到

a=1,b=-1.

1

2i

14.（2011·江西高考理科·Ｔ1）

若

z

，則復(fù)數(shù)

z

=（ ）

i

（A）

2

i （B）

2

i （C）

2

i （D)

2

i

【思路點撥】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求出

z,再求復(fù)數(shù)

z

.

【精講精析】選

D. z

1

2i

i(1

2i)

2

i,

z

2

i.

i

15.（2011·江西高考文科·Ｔ1）

若(x

i)i

y

2i,

x,

y

R,

則復(fù)數(shù)x

yi

（

）

(A)

2

i (B)2

i (C）１-2i （D）1+2i

【思路點撥】先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義求出

x,y,最后求

x+yi

的值.

【精講精析】選

B.

(x

i)i

y

2i,1

xi

y

2i,

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，得

x

2,

y

1,

x

yi

2

i.

1

16.（2011·陜西高考理科·T7）設(shè)集合

M

{

y

|

y

|

cos

2

x

sin

2

x

|,

x

R}

，

N

{x

||

x

|

2

，i

為

i

虛數(shù)單位，

x

R

}

，則

M

N

為（

）

（A）（0，1） （B）

(0

，1] （C）

[0

，1) （D）

[0

，1]

第

-

3

-

頁

共

5

頁

-

3

-

【思路點撥】確定出集合的元素是關(guān)鍵.本題綜合了三角函數(shù)、復(fù)數(shù)的模、不等式等知識點.

|

【精講精析】選

C.

y

|

cos

2

x

sin

2

x

||

cos

2

x

[0,1]

，所以

M

[0,1]

；

因為

|

x

|

1

i

2

，所以

|

x

i

|

即 (

)|

2

，

|

x

i

2

，又因為

|

x

(i)

|

x

x2

1

，

R，所以

1

x

1

，

即

N

(1,1)，所以

M N

[0,1)

，故選

C.

17.（2011·陜西高考文科·T8）設(shè)集合

M

{

y

|

y

|

cos

2

x

sin

2

x

|,

x

R

}

，

N

{x

||

單位，

x

R

}

，則

M

N

為（ ）

x

i

|

1

，

i

為虛數(shù)

(A)(0,1) (B)(0,1] (C)[0,1) (D)[0,1]

【思路點撥】確定出集合的元素是關(guān)鍵.本題綜合了三角函數(shù)、復(fù)數(shù)的模、不等式等知識點.

|

【精講精析】選

C.

y

|

cos

2

x

sin

2

x

||

cos

2

x

[0,1]

，所以

M

[0,1]

；因為

|

x

i

|

1

，即

|

xi

|

1

，所

以

|

x

|

1

，又因為

x

R，所以

1

x

1

，即

N

(1,1)；所以

M

N

[0,1)

，故選

C.

18.（2011·天津高考理科·T1）

i

是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)

（A）

2

+

i

（B）

2

-

i

（C）

-

1

+

2i

（D)

-

1-

2i

1

-

3i

1-

i

=（

）

【精講精析】選

B.

1-

3i

【思路點撥】分子分母同乘以1+

i

，化簡計算.

(1-

3i)(1+

i) 4

-

2i

= = =2-

i

.

1-

i (1-

i)(1+

i) 2

19.（2011·浙江高考理科·Ｔ2）把復(fù)數(shù)

z

的共軛復(fù)數(shù)記作

z

,i

為虛數(shù)單位.若

z=1+i,則

(1

z

)

z

（ ）

（A）

3

i （B）

3

i （C）1

3i （D)3

【思路點撥】本題考查復(fù)數(shù)的簡單運算，注意

z

z

z

2

.

【精講解析】選

A.

(1

z

)

z

z

z

2

1

i

2

3

i

.

二、填空題

20.（2011·江蘇高考·Ｔ3）設(shè)復(fù)數(shù)

z

滿足

i(

z

1)

3

2i

（i

是虛數(shù)單位），則

z

的實部是_________