題型16 切線及公切線（解析版）

秒殺高考數(shù)學題型之切線及公切線【秒殺題型四】：求切線方程。【題型1】：求函數(shù)在某點處的切線?！好霘⒉呗浴唬呵蟪鰧?shù)，代入這個點的橫坐標得切線斜率，利用點斜式求出切線方程。1.(2009年新課標全國卷)曲線在點處的切線方程為。【解析】：，，切線方程為：。2.(2010年新課標全國卷3)曲線在點處的切線方程為()A.B.C.D.【解析】：，，，切線方程為：，選A。3.(2010年新課標全國卷)曲線在點處的切線方程為()A.B.C.D.【解析】：，，切線方程為：，選A。4.(2014年新課標全國卷=2\*ROMANII8)設(shè)曲線在點處的切線方程為，則()A.0B.1C.2D.3【解析】：，代入得，，選D。5.(2016年新課標全國卷=3\*ROMANIII15)已知為偶函數(shù)，當時，，則曲線在點處的切線方程是?！窘馕觥浚寒敃r，，，切線方程為。6.(2017年新課標全國卷=1\*ROMANI)曲線在點處的切線方程為?！窘馕觥?，，切線方程為：。7.(2018年新課標全國卷=1\*ROMANI5)設(shè)函數(shù)，若為奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為()A.B.C.D.【解析】：由為奇函數(shù)得，，，切線方程為：，選D。8.(2018年新課標全國卷=2\*ROMANII13)曲線在點處的切線方程為。【解析】：，，切線方程為：。9.(2019年新課標全國卷=1\*ROMANI13)曲線在點處的切線方程為?！窘馕觥浚海?，切線方程為。10.(2020年新課標全國卷=1\*ROMANI6)函數(shù)的圖像在點處的切線方程為()A.B.C.D.【解析】：選B。11.(2019年新課標全國卷=3\*ROMANIII6)已知曲線在點處的切線方程為，則()A.B.C.D.【解析】：，，，將代入得，選D。12.(高考題)若曲線在點處的切線經(jīng)過坐標原點，則=。【解析】：，，切線方程為：，代入原點，得。13.(高考題)設(shè)曲線在點處的切線與曲線在點P處的切線垂直，則P的坐標為?！窘馕觥浚簩τ诤瘮?shù)，，，切線方程為：，對于函數(shù)，，因為兩條切線垂直，所以，即，P點坐標為。與數(shù)列綜合：14.(高考題)對正整數(shù)，設(shè)曲線在處的切線與軸交點的縱坐標為，則數(shù)列的前項和的公式是?！窘馕觥?，，切線方程為：，令，得，，由等比數(shù)列求和得。15.(高考題改編)設(shè)曲線在點處的切線與軸的交點的橫坐標為,令,則。【解析】：，，切線方程為：，令，得，，。16.(高考題)函數(shù)的圖象在點處的切線與軸交點的橫坐標為，其中，若則的值是?！窘馕觥浚?，，切線方程為：，令，得，是等比數(shù)列，。【題型2】：求函數(shù)過某點處的切線?！好霘⒉呗浴唬狐c在曲線外，設(shè)曲線上任意一點P，求出在這一點的切線方程，然后利用切線過曲線外一點，求出曲線上對應(yīng)點的坐標，進而求出切線方程。1.(高考題)過原點作曲線的切線，則切點的坐標為，切線的斜率為?！窘馕觥浚涸O(shè)點，，則，切線為:，過原點得，切點為，。2.(2019年新高考江蘇卷)在平面直角坐標系中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點A處的切線經(jīng)過點(e為自然對數(shù)的底數(shù)），則點A的坐標是?！窘馕觥浚涸O(shè)A，，切線方程為：，代入得，A?！绢}型3】：切線與坐標軸或某直線圍成三角形的面積。『秒殺策略』：求出切線方程，與坐標軸或某直線求交點，進而求出面積。1.(2007年新課標全國卷10)曲線在點處的切線與坐標軸所圍成三角形的面積為()A.B.C. D.【解析】：利用直線與坐標軸所圍成三角形面積公式：(為切線在兩坐標軸上的截距)，，，切線方程為：，，選D。2.(高考題)若曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為18，則()A.64B.32C.16D.8【解析】：，，切線方程為，令，得縱截距為，令，得橫截距為，，，選A。3.(高考題)曲線在點處的切線與軸、直線所圍成的三角形的面積為?！窘馕觥浚嚎汕笄芯€方程為，求出與軸、直線的交點，得面積為。4.(2008年新課標全國卷21)設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.（1）求的解析式;（2）證明：函數(shù)的圖象是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心；（3）證明：曲線上任一點的切線與直線和直線所圍三角形的面積為定值，并求出此定值。【解析】:（1），，得或，，，證明：已知函數(shù)，都是奇函數(shù)，所以函數(shù)也是奇函數(shù)，其圖象是以原點為中心的中心對稱圖形。而，可知函數(shù)的圖像向右與向上平移一個單位得到函數(shù)的圖象，故函數(shù)的圖象是以點為中心的中心對稱圖形。（3）證明：在曲線上任取一點，由知過此點的切線方程為，令得，切線與直線的交點為。令得，切線與直線交點為；直線與直線的交點為，，所圍三角形的面積為定值?！绢}型3】：求兩函數(shù)的公切線。=1\*GB3①公切線可求?！好霘⒉呗浴唬和ㄟ^其中一個函數(shù)求出公切線，利用其是另一個函數(shù)的切線，求出所求值。1.(2015年新課標全國卷II)已知曲線在點處的切線與曲線相切，則=?！窘馕觥浚涸邳c處的切線方程為，代入曲線中，由得。秒殺方法：若一直線是一個二次函數(shù)的切線，一般情況利用處理，較導數(shù)簡單。2.（2021年模擬題精選）已知曲線在點處的切線與曲線相切，則()A.1 B.9 C.1或9 D.2【解析】：同上題，選C。=2\*GB3②公切線不可求?！好霘⒉呗浴唬浩渲幸粋€函數(shù)設(shè)出任意點，求出過這個點的切線，利用其是另一個函數(shù)的切線，求出所求值。1.(2016年新課標全國卷=2\*ROMANII16)若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則。【解析】：法一：設(shè)，，切線方程為：，對于函數(shù)，，，切點坐標為，將其代入中，得，。法二：，，代入切線得，將代入，得，同理由得，得，。法三：影子函數(shù)法：如果一個函數(shù)通過平移可得到另一個函數(shù)，那么這兩個函數(shù)叫做互為影子函數(shù)。