復(fù)變函數(shù)與積分變換-李紅-華中科技

復(fù)積分存在的一個充分條件：復(fù)積分的性質(zhì)：1線性性：

例題1

（2）C：左半平面以原點(diǎn)為中心逆時針方向的單位半圓周。解（1）

（2）參數(shù)方程為可見積分與路徑有關(guān)。例題2

解：

例如例題3

證明：

例如練習(xí)例題4

解：可見，積分與路徑無關(guān)僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)?！?.2柯西積分定理定理1（Cauchy）如果函數(shù)f(z)在單連通域D內(nèi)處處解析,則它在D內(nèi)任何一條封閉曲線C的積分為零:注1：定理中的曲線C可以不是簡單曲線.此定理成立的條件之一是曲線C要屬于區(qū)域D。注2：如果曲線C是D的邊界,函數(shù)f(z)在D內(nèi)與C上解析,即在閉區(qū)域D+C上解析,甚至f(z)在D內(nèi)解析,在閉區(qū)域D+C上連續(xù),則f(z)在邊界上的積分仍然有推論：如果函數(shù)f(z)在單連通域D內(nèi)處處解析,C屬于D，與路徑無關(guān)僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。于是是解析函數(shù)。解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)特別地例如：注：以上討論中D為單連通域。這里D為復(fù)連通域?？蓪⒖挛鞣e分定理推廣到多連通域的情況定理2

假設(shè)C及C1為任意兩條簡單閉曲線,C1在C內(nèi)部,設(shè)函數(shù)f(z)在C及C1所圍的二連域D內(nèi)解析,在邊界上連續(xù)，則證明：取這說明解析函數(shù)沿簡單閉曲線積分不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值。------閉路變形原理推論（復(fù)合閉路定理）：(互不包含且互不相交)，

所圍成的多連通區(qū)域，

例題1C如圖所示：解：存在f(z)的解析單連通域D包含曲線C，故積分與路徑無關(guān)，僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。從而例題2C為包含0與1的任何正向簡單閉曲線。解：

（由閉路變形原理）§3.3柯西積分公式若f(z)在D內(nèi)解析，則分析：.定理(柯西積分公式)如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處解析,C為D內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線,它的內(nèi)部完全含于D,z0為C內(nèi)的任一點(diǎn),則---解析函數(shù)可用復(fù)積分表示。[證]由于f(z)在z0連續(xù),任給e>0,存在d(e)>0,當(dāng)|z-z0|<d

時,|f(z)-f(z0)|<e.設(shè)以z0為中心,R為半徑的圓周K:|z-z0|=R全部在C的內(nèi)部,且R<d.DCKzz0R根據(jù)閉路變形原理,該積分的值與R無關(guān),所以只有在對所有的R積分為值為零才有可能。推論1如果C是圓周z=z0+Reiq,則柯西積分公式成為------一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.推論2設(shè)f(z)在二連域D內(nèi)解析，在邊界上連續(xù)，則例題1

解：

§3.4解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)一個解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù),而且有各高階導(dǎo)數(shù),它的值也可用函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示.這一點(diǎn)和實(shí)變函數(shù)完全不同.一個實(shí)變函數(shù)在某一區(qū)間上可導(dǎo),它的導(dǎo)數(shù)在這區(qū)間上是否連續(xù)也不一定,更不要說它有高階導(dǎo)數(shù)存在了.定理

解析函數(shù)f(z)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù),它的n階導(dǎo)數(shù)為:其中C為在函數(shù)f(z)的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞z0的任何一條正向簡單曲線,而且它的內(nèi)部全含于D.[證]設(shè)z0為D內(nèi)任意一點(diǎn),先證n=1的情形,即因此就是要證按柯西積分公式有因此現(xiàn)要證當(dāng)Dz0時I0,而f(z)在C上連續(xù),則有界,設(shè)界為M,則在C上有|f(z)|M.d為z0到C上各點(diǎn)的最短距離,則取|Dz|適當(dāng)?shù)匦∈蛊錆M足|Dz|<d/2,因此L是C的長度這就證得了當(dāng)Dz0時,I0.Dz0dC這就證得了再利用同樣的方法去求極限:依此類推,用數(shù)學(xué)歸納法可以證明:高階導(dǎo)數(shù)公式的作用,不在于通過積分來求導(dǎo),而在于通過求導(dǎo)來求積分.例1求下列積分的值,其中C為正向圓周:|z|=r>1.[解]1)函數(shù)在C內(nèi)的z=1處不解析,但cospz在C內(nèi)卻是處處解析的.Cauchy不等式：

證明：注1：解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)模的估計與區(qū)域的大小有關(guān)；注2：

Liouville定理：全平面的有界解析函數(shù)必為常數(shù)。證明：對復(fù)平面上任一點(diǎn)z，最大模原理：設(shè)D為有界單連通或復(fù)閉路多連通區(qū)域，證明：