新高考數(shù)學(xué)小題狂練9含解析

PAGEPAGE17小題狂練（9）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則()A. B. C.或 D.【答案】C【解析】【分析】首先求得集合M，然后進(jìn)行交集運(yùn)算即可.【詳解】求解二次不等式可得，結(jié)合交集的定義可得：或.本題選擇C選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的表示方法，交集的運(yùn)算法則等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.2.已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，然后由虛部定義可求．【詳解】﹣1﹣2i，∴復(fù)數(shù)的虛部是﹣2，故選A．【點(diǎn)睛】該題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的基本概念，屬基礎(chǔ)題．3.設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】分析】試題分析：若，則直線與直線平行，充分性成立；若直線與直線平行，則或，必要性不成立．考點(diǎn)：充分必要性．4.設(shè)向量，滿足，，則()A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意結(jié)合向量的運(yùn)算法則求解其模即可.【詳解】由題意結(jié)合向量的運(yùn)算法則可知：.本題選擇B選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的運(yùn)算法則，向量的模的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.5.在二項(xiàng)展開(kāi)式中，的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】因?yàn)?可得時(shí)，的系數(shù)為，C正確.6.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】判斷出的奇偶性與單調(diào)性，然后將不等式轉(zhuǎn)化為，通過(guò)單調(diào)性變成自變量的比較，從而得到關(guān)于的不等式，求得最終結(jié)果.【詳解】為奇函數(shù)當(dāng)時(shí)，，可知在上單調(diào)遞增在上也單調(diào)遞增，即為上的增函數(shù)，解得：或本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)單調(diào)性與奇偶性求解函數(shù)不等式的問(wèn)題，解題關(guān)鍵在于將不等式轉(zhuǎn)化為符合單調(diào)性定義的形式，利用單調(diào)性轉(zhuǎn)變?yōu)樽宰兞康谋容^.7.如圖，雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作直線與C及其漸近線分別交于Q，P兩點(diǎn)，且Q為的中點(diǎn)．若等腰三角形的底邊的長(zhǎng)等于C的半焦距．則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，再根據(jù)雙曲線定義以及勾股定理列方程，解得離心率.【詳解】連接，由為等腰三角形且Q為的中點(diǎn)，得，由知．由雙曲線的定義知，在中，，（負(fù)值舍去）．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義、雙曲線的離心率，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.8.將函數(shù)的圖象向右平移（）個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且的最大負(fù)零點(diǎn)在區(qū)間上，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，求得的解析式，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍．【詳解】將函數(shù)圖象向右平移（）個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，且，求得①．令，求得，，故函數(shù)的零點(diǎn)為，．∵的最大負(fù)零點(diǎn)在區(qū)間上，∴，∴②．由①②令，可得，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的性質(zhì)綜合應(yīng)用，屬于中檔題．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列命題錯(cuò)誤的是（）．A.， B.，C.， D.，【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，，恒成立，A錯(cuò)誤；由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，，，恒成立，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，由對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，恒成立，D正確．故選：AC．【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題和特稱命題的的真假判斷，掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10.已知偶函數(shù)滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）．A.函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù) B.函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)C.函數(shù)為奇函數(shù) D.函數(shù)為偶函數(shù)【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)，分析得到函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，由此可知選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng),證明函數(shù)為奇函數(shù)，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng),由題意不妨取滿足條件的函數(shù)，則為奇函數(shù)，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤．【詳解】對(duì)于選項(xiàng),∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴．∵，∴，則，即，∴，故函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，由此可知選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng),令，則．在中，將換為，得，∴，∴，則函數(shù)為奇函數(shù)，所以選項(xiàng)C正確．對(duì)于選項(xiàng),由題意不妨取滿足條件的函數(shù)，則為奇函數(shù)，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：BC.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的周期的判定，考查函數(shù)的奇偶性的判斷，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.11.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：，是的前n項(xiàng)和，則下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.是遞增數(shù)列【答案】D【解析】【分析】由條件逐一分析選項(xiàng)，A,;利用不等式迭代得到選項(xiàng)；B.由條件可知，，……，得到，再證明；C.由條件對(duì)不等式進(jìn)行放縮得到，再求和證明；D.設(shè)數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列，說(shuō)明結(jié)論.【詳解】A.，根據(jù)已知可知，，故A正確；B.，，由A可知，，……,，，故B正確；C.由A可知……,，，由A可知，，，故C成立；D.若數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，并且公比，則，此時(shí)是常數(shù)列，不是遞增數(shù)列，故D不正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列，不等式，證明的綜合問(wèn)題，意在考查推理證明，數(shù)列的綜合應(yīng)用，屬于難題，本題的關(guān)鍵是根據(jù)條件進(jìn)行迭代，從而根據(jù)不等式進(jìn)行證明.12.設(shè)，是拋物線上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．若直線與的斜率之積為，則（）．A. B.以為直徑的圓的面積大于C.直線過(guò)定點(diǎn) D.點(diǎn)到直線的距離不大于2【答案】CD【解析】【分析】通過(guò)軸時(shí)的特殊情況，判斷A、B選項(xiàng)不正確；當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線方程，通過(guò)推理論證，得出直線過(guò)定點(diǎn)，進(jìn)而得出點(diǎn)到直線的距離最大值即為O、Q兩點(diǎn)間的距離，進(jìn)而得出CD正確.【詳解】不妨設(shè)為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，①當(dāng)直線軸時(shí)，，由，得，，所以直線，的方程分別為：和．與拋物線方程聯(lián)立，得，，所以直線的方程為，此時(shí)，以為直徑的圓的面積，故A、B不正確．②當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立消去，得，則．設(shè)，，則．因?yàn)?，所以，則，則，所以，即，所以直線的方程為，即．綜上可知，直線為恒過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線，故C正確；易知當(dāng)時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離最大，最大距離為2，即原點(diǎn)到直線的距離不大于2．故D正確．故選：CD【點(diǎn)睛】本題考查了直線與拋物線的關(guān)系，考查了運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力，分類討論和數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在一次200千米的汽車?yán)愔校?0名參賽選手的成績(jī)?nèi)款l率組距介于13分鐘到18分鐘之間．現(xiàn)將比賽成績(jī)分為五組：第一組，第二組，…，第五組，其頻率分布直方圖如圖所示，若成績(jī)?cè)谥g的選手可獲獎(jiǎng)，則這50名參賽選手中獲獎(jiǎng)的人數(shù)為_(kāi)_______．【答案】11【解析】【分析】由頻率分布直方圖的性質(zhì)，求得成績(jī)?cè)谥g的頻率，進(jìn)而求得這50名參賽選手中獲獎(jiǎng)的人數(shù)，得到答案.【詳解】由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得成績(jī)?cè)谥g的頻率為，所以這50名參賽選手中獲獎(jiǎng)的人數(shù)為．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)及其應(yīng)用，其中解答中根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)求得相應(yīng)的概率是解答的關(guān)鍵，著重考查運(yùn)算與求解能力.14.在中，，，，為邊上的高．若，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖象，根據(jù)條件求出，從而可得出，根據(jù)向量加法的幾何意義并進(jìn)行向量的數(shù)乘運(yùn)算得出，從而根據(jù)平面向量基本定理求出，的值，即可求得答案．【詳解】根據(jù)題意畫出圖象，如圖為邊上的高，，，則，，．又，，，故．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是掌握向量的線性表示，根據(jù)系數(shù)相等求參數(shù)的方法，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15.在實(shí)數(shù)集中定義一種運(yùn)算“*”，具有性質(zhì)：（1）對(duì)任意，，；（2）對(duì)任意，；（3）對(duì)任意，，.則函數(shù)的最小值為_(kāi)______.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)題中給出的對(duì)應(yīng)法則,可得,利用基本不等式求最值可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,由此可得函數(shù)的最小值為.【詳解】解:對(duì)任意,,,令.代入得,由可得,由可得,所以,因?yàn)?由均值不等式可得（當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立）.所以（）的最小值為3.故答案為:3【點(diǎn)睛】本題給出新定義,求函數(shù)的最小值.著重考查了利用基本不等式求最值、函數(shù)的解析式求法和簡(jiǎn)單的合情推理等知識(shí)屬于中檔題.16.在三棱錐中，平面，，，，是上的一動(dòng)點(diǎn)，且直線與平面所成角的最大值為，則________，三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_______．【答案】(1).6(2).【解析】【分析】（1）設(shè)直線與平面所成的角為，先求出的最小值為，的最小值是，即點(diǎn)到的距離為，再利用余弦定理求出的值；（2）取的外接圓的圓心為，則圓的半徑，連接，作于點(diǎn)，即