2022-2023學(xué)年湖北省仙桃市榮懷學(xué)校九年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年湖北省仙桃市榮懷學(xué)校九年級(jí)第一學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題3分，共30分）1．下列方程是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A．a(chǎn)x2+bx+c＝0 B．＝2 C．x2+2x＝x2﹣1 D．3（x+1）2＝2（x+1）2．某經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)，今年一月份工業(yè)產(chǎn)值達(dá)50億元，第一季度總產(chǎn)值為175億元，根據(jù)題意，可列方程為（）A．50（1+x）2＝175 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝175 C．50（1+x）+50（1+x）2＝175 D．50+50（1+x）2＝1753．下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是（）A．y＝3x B．y＝x2+（3﹣x）x C．y＝（x﹣1）2 D．y＝ax2+bx+c4．拋物線y＝﹣2x2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（﹣2，0） B．（0，1） C．（0，﹣1） D．（2，0）5．用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0時(shí)，將它化為（x+a）2＝b的形式，則a+b的值為（）A． B． C．2 D．6．若關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≠0 B．a(chǎn)＞﹣1且a≠0 C．a(chǎn)≥﹣1且a≠0 D．a(chǎn)＞﹣17．拋物線y＝2x2﹣1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，y1），B（1，y2），C（4，y3），則y1，y2，y3大小關(guān)系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y18．直角三角形兩直角邊是方程x2﹣8x+14＝0的兩根，則它的斜邊為（）A．8 B．7 C．6 D．29．二次函數(shù)y＝ax2+b的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝ax+b的圖象可能是（）A． B． C． D．10．對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列說(shuō)法：①若a+b+c＝0，則b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根，則一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，則b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題（每小題3分，共18分）11．要使代數(shù)式3x2﹣6的值等于21，則x的值是．12．若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一個(gè)根，則2a2+4a的值是．13．某種植物的主干長(zhǎng)出若干個(gè)分支，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣個(gè)數(shù)的小分支，主干、支干、小分支的總數(shù)是241．14．已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2+mx﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，x1＝﹣1，則x1x2﹣2m＝．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+3與y軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A與x軸平行的直線交拋物線y＝于點(diǎn)B、C．16．若關(guān)于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）＝0有三個(gè)根，且這三個(gè)根恰好可以作為一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)，則m的取值范圍是．三、解答題17．解方程：（1）x2﹣3x+1＝0．（2）3x（x﹣2）＝2（2﹣x）．（3）x2+4x﹣5＝0．18．二次函數(shù)y＝ax2+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，﹣1），B（2，5），（1）求函數(shù)y＝ax2+c的表達(dá)式．（2）若點(diǎn)C（﹣2，m），D（n，7）也在函數(shù)的圖象上，求點(diǎn)C的坐標(biāo)19．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0．（1）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若方程兩實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，且滿足x1+x2+x1x2＝5，求實(shí)數(shù)m的值．20．如圖，在長(zhǎng)為50m、寬為38m的矩形地面內(nèi)的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪．要使草坪的面積為1260m2，道路的寬應(yīng)為多少？21．小明在解一元二次方程時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一種解法：如：解方程x（x+4）＝6．解：原方程可變形，得：[（x+2）﹣2][（x+2）（x+2）2﹣22＝6，（x+2）2＝6+22，（x+2）2＝10．直接開平方并整理，得．x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．我們稱小明這種解法為“平均數(shù)法”．（1）下面是小明用“平均數(shù)法”解方程（x+3）（x+7）＝5時(shí)寫的解題過(guò)程．解：原方程可變形，得：[（x+a）﹣b][（x+a）（x+a）2﹣b2＝5，（x+a）2＝5+b2．直接開平方并整理，得．x1＝c，x2＝d．上述過(guò)程中的a、b、c、d表示的數(shù)分別為，，，．（2）請(qǐng)用“平均數(shù)法”解方程：（x﹣5）（x+3）＝6．22．2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)于2月4日至2月20日在北京市和河北省張家口市聯(lián)合舉行，冬奧會(huì)吉祥物為“冰墩墩”．（1）據(jù)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，某工廠今年二月份共生產(chǎn)500個(gè)“冰墩墩”，為增大生產(chǎn)量，則該工廠在四月份能生產(chǎn)多少個(gè)“冰墩墩”？（2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可銷售20個(gè)，每個(gè)盈利40元，在每個(gè)降價(jià)幅度不超過(guò)10元的情況下，則每天可多售10件．如果每天要盈利1440元，則每個(gè)“冰墩墩”應(yīng)降價(jià)多少元？23．已知：如圖，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝7cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．（1）如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，△PBQ的面積等于6cm2？（2）在（1）中，△PQB的面積能否等于8cm2？說(shuō)明理由．24．如圖，四邊形ACDE是證明勾股定理時(shí)用到的一個(gè)圖形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED邊長(zhǎng)c，這時(shí)我們把關(guān)于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．請(qǐng)解決下列問(wèn)題：（1）寫出一個(gè)“勾系一元二次方程”；（2）求證：關(guān)于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有實(shí)數(shù)根；（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一個(gè)根，且四邊形ACDE的周長(zhǎng)是6

參考答案一、選擇題（每小題3分，共30分）1．下列方程是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A．a(chǎn)x2+bx+c＝0 B．＝2 C．x2+2x＝x2﹣1 D．3（x+1）2＝2（x+1）【分析】根據(jù)一元二次方程的定義解答，一元二次方程必須滿足四個(gè)條件：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項(xiàng)系數(shù)不為0；是整式方程；含有一個(gè)未知數(shù)．由這四個(gè)條件對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，滿足這四個(gè)條件者為正確答案．解：A、ax2+bx+c＝0當(dāng)a＝3時(shí)，不是一元二次方程；B、+＝2不是整式方程；C、x2+8x＝x2﹣1是一元一次方程，故C錯(cuò)誤；D、2（x+1）2＝3（x+1）是一元二次方程，故D正確；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡(jiǎn)后是否是只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．2．某經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)，今年一月份工業(yè)產(chǎn)值達(dá)50億元，第一季度總產(chǎn)值為175億元，根據(jù)題意，可列方程為（）A．50（1+x）2＝175 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝175 C．50（1+x）+50（1+x）2＝175 D．50+50（1+x）2＝175【分析】增長(zhǎng)率問(wèn)題，一般用增長(zhǎng)后的量＝增長(zhǎng)前的量×（1+增長(zhǎng)率），本題可先用x表示出二月份的產(chǎn)值，再根據(jù)題意表示出三月份的產(chǎn)值，然后將三個(gè)月的產(chǎn)值相加，即可列出方程．解：二月份的產(chǎn)值為：50（1+x），三月份的產(chǎn)值為：50（1+x）（5+x）＝50（1+x）2，故第一季度總產(chǎn)值為：50+50（8+x）+50（1+x）2＝175．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一元二次方程的運(yùn)用，解此類題目時(shí)常常要按順序列出接下來(lái)幾年的產(chǎn)值，再根據(jù)題意列出方程即可．3．下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是（）A．y＝3x B．y＝x2+（3﹣x）x C．y＝（x﹣1）2 D．y＝ax2+bx+c【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義逐個(gè)判斷即可．解：A．y是x的一次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；B．y＝x2+（3﹣x）x＝x3+3x﹣x2＝7x，y是x的一次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；C．y是x的二次函數(shù)；D．當(dāng)a＝0時(shí)，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的定義，能熟記二次函數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：形如y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫二次函數(shù)．4．拋物線y＝﹣2x2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（﹣2，0） B．（0，1） C．（0，﹣1） D．（2，0）【分析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式即可得出答案．解：∵拋物線y＝﹣2x2+5，∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，明確：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）是解題的關(guān)鍵．5．用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0時(shí)，將它化為（x+a）2＝b的形式，則a+b的值為（）A． B． C．2 D．【分析】將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，繼而得出答案．解：∵3x2+8x﹣1＝0，∴8x2+6x＝8，x2+2x＝，則x2+8x+1＝，即（x+1）3＝，∴a＝2，b＝，∴a+b＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關(guān)鍵．6．若關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≠0 B．a(chǎn)＞﹣1且a≠0 C．a(chǎn)≥﹣1且a≠0 D．a(chǎn)＞﹣1【分析】根據(jù)根的判別式即可列不等式，計(jì)算即可得答案，注意a≠0．解：由題意可得：，∴a＞﹣2且a≠0，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查根的判別式，解題關(guān)鍵是熟練掌握根的判別式．7．拋物線y＝2x2﹣1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，y1），B（1，y2），C（4，y3），則y1，y2，y3大小關(guān)系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線的對(duì)稱軸為y軸，然后比較三個(gè)點(diǎn)離y軸的遠(yuǎn)近得到y(tǒng)1、y2、y3的大小關(guān)系．解：∵二次函數(shù)的解析式為y＝2x2﹣5，∴拋物線的對(duì)稱軸為y軸，∵A（﹣3，y1），B（3，y2），C（4，y8），∴點(diǎn)C離y軸最遠(yuǎn)，點(diǎn)B離y軸最近，∵拋物線開口向上，∴y2＜y1＜y2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了學(xué)生對(duì)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征的理解和運(yùn)用，主要考查學(xué)生的觀察能力和分析能力，本題比較典型，但是一道比較容易出錯(cuò)的題目．8．直角三角形兩直角邊是方程x2﹣8x+14＝0的兩根，則它的斜邊為（）A．8 B．7 C．6 D．2【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求出兩根之積與兩根之和的值，再根據(jù)勾股定理列出直角三角形三邊之間的關(guān)系式，然后將此式化簡(jiǎn)為兩根之積與兩根之和的形式，最后代入兩根之積與兩根之和的值進(jìn)行計(jì)算．解：設(shè)直角三角形的斜邊為c，兩直角邊分別為a與b．∵直角三角形兩直角邊是方程x2﹣8x+14＝5的兩根，∴a+b＝8，ab＝14．根據(jù)勾股定理可得：c2＝a3+b2＝（a+b）2﹣5ab＝64﹣28＝36，∴c＝6．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及勾股定理的運(yùn)用，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．9．二次函數(shù)y＝ax2+b的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝ax+b的圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】直接利用二次函數(shù)圖象得出a，b的符號(hào)，進(jìn)而利用一次函數(shù)的圖象性質(zhì)得出答案．解：如圖所示：拋物線開口向下，交y軸的正半軸，b＞0，故一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)以及一次函數(shù)的圖象，正確得出a，b的符號(hào)是解題關(guān)鍵．10．對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列說(shuō)法：①若a+b+c＝0，則b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根，則一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，則b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質(zhì)解決此題．解：①當(dāng)x＝1時(shí)，a×14+b×1+c＝a+b+c＝0，那么一元二次方程ax7+bx+c＝0（a≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根或有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)b2﹣4ac≥0成立，那么①一定正確．②方程ax5+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則﹣4ac＞62﹣4ac＞6，故方程ax2+bx+c＝0（a≠5）必有兩個(gè)不相等的實(shí)根，進(jìn)而推斷出②正確．③由c是方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根，得ac8+bc+c＝0．當(dāng)c≠0；當(dāng)c＝3，那么③不一定正確．④，由b2﹣4ac＝，得．由x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，則成立．綜上：正確的有①②④，共3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質(zhì)，熟練掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，共18分）11．要使代數(shù)式3x2﹣6的值等于21，則x的值是3或﹣3．【分析】根據(jù)題意可得：3x2﹣6＝21，然后利用解一元二次方程﹣直接開平方法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：由題意得：3x2﹣7＝21，3x2＝27，x4＝9，x1＝6，x2＝﹣3，∴x的值為5或﹣3，故答案為：3或﹣8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．12．若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一個(gè)根，則2a2+4a的值是6．【分析】將a代入x2+2x﹣3＝0，即可得出a2+2a＝3，再把a(bǔ)2+2a＝3整體代入2a2+4a，即可得出答案．解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一個(gè)根，∴a2+4a﹣3＝0，∴a8+2a＝3，∴2a2+4a＝6（a2+2a）＝7×3＝6，故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的根的定義，整體思想的應(yīng)用是本題的關(guān)鍵．13．某種植物的主干長(zhǎng)出若干個(gè)分支，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣個(gè)數(shù)的小分支，主干、支干、小分支的總數(shù)是24115．【分析】設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出小分支的個(gè)數(shù)是x，根據(jù)主干、支干、小分支的總數(shù)是241，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．解：設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出小分支的個(gè)數(shù)是x，依題意得：1+x+x2＝241，整理得：x7+x﹣240＝0，解得：x1＝15，x5＝﹣16（不符合題意，舍去），∴每個(gè)支干長(zhǎng)出小分支的個(gè)數(shù)是15．故答案為：15．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．14．已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2+mx﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，x1＝﹣1，則x1x2﹣2m＝1．【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之積與兩根之和，進(jìn)而求出m的值，代入原式計(jì)算即可求出值．解：∵x1，x2是關(guān)于x的方程x7+mx﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，x6＝﹣1，∴x1+x4＝﹣m，x1x2＝﹣3，把x1＝﹣1代入得：x3﹣1＝﹣m，﹣x2＝﹣6，解得：m＝﹣2，x2＝4，則原式＝﹣3+4＝7．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+3與y軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A與x軸平行的直線交拋物線y＝于點(diǎn)B、C6．【分析】先由y軸上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0求出A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），再將y＝3代入y＝，求出x的值，得出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出BC的長(zhǎng)度．解：∵拋物線y＝ax2+3與y軸交于點(diǎn)A，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（6，3）．當(dāng)y＝3時(shí)，＝4，解得x＝±3，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，7），3），∴BC＝3﹣（﹣3）＝6．故答案為6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，平行于x軸上的兩點(diǎn)之間的距離，比較簡(jiǎn)單．16．若關(guān)于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）＝0有三個(gè)根，且這三個(gè)根恰好可以作為一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)，則m的取值范圍是3＜m≤4．【分析】根據(jù)原方程可知x﹣2＝0，和x2﹣4x+m＝0，因?yàn)殛P(guān)于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）＝0有三個(gè)根，所以x2﹣4x+m＝0的根的判別式Δ＞0，然后再由三角形的三邊關(guān)系來(lái)確定m的取值范圍．解：∵關(guān)于x的方程（x﹣2）（x2﹣8x+m）＝0有三個(gè)根，∴①x﹣2＝3，解得x1＝2；②x2﹣4x+m＝0，∴Δ＝16﹣4m≥0，即m≤4，∴x6＝2+，x6＝2﹣，又∵這三個(gè)根恰好可以作為一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)，且最長(zhǎng)邊為x8，∴x1+x3＞x3；解得3＜m≤4，∴m的取值范圍是4＜m≤4．故答案為：3＜m≤4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式及三角形的三邊關(guān)系．解答此題時(shí)，需注意，三角形任意兩邊和大于第三邊．三、解答題17．解方程：（1）x2﹣3x+1＝0．（2）3x（x﹣2）＝2（2﹣x）．（3）x2+4x﹣5＝0．【分析】（1）先計(jì)算出根的判別式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解；（2）先移項(xiàng)得到3x（x﹣2）+2（x﹣2）＝0，然后利用因式分解法解方程；（3）利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x+5＝0或x﹣1＝0，然后解兩個(gè)一次方程即可．解：（1）a＝1，b＝﹣3，Δ＝（﹣4）2﹣4×3×1＝5＞8，x＝＝，所以x1＝，x4＝；（2）3x（x﹣2）+8（x﹣2）＝0，（x﹣7）（3x+2）＝7，x﹣2＝0或4x+2＝0，所以x2＝2，x2＝﹣；（3）（x+5）（x﹣2）＝0，x+5＝6或x﹣1＝0，所以x2＝﹣5，x2＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法解一元二次方程．18．二次函數(shù)y＝ax2+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，﹣1），B（2，5），（1）求函數(shù)y＝ax2+c的表達(dá)式．（2）若點(diǎn)C（﹣2，m），D（n，7）也在函數(shù)的圖象上，求點(diǎn)C的坐標(biāo)【分析】（1）將A與B坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求出a與c的值，即可確定出二次函數(shù)解析式；（2）將C與D坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求出m與n的值，確定出C與D坐標(biāo)即可．解：（1）將A（1，﹣1），6）代入y＝ax2+c得：，解得：，則二次函數(shù)解析式為y＝2x2﹣2；（2）將x＝﹣2，y＝m代入二次函數(shù)解析式得：y＝m＝5，﹣2）；將x＝n，y＝7代入二次函數(shù)解析式得：7＝6n2﹣3，即n＝±，7）或（﹣．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．19．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0．（1）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若方程兩實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，且滿足x1+x2+x1x2＝5，求實(shí)數(shù)m的值．【分析】（1）當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，Δ＞0，列式計(jì)算出m的值；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根的和與兩根的積，代入x1+x2+x1x2＝5中得：m1＝4，m2＝﹣2，再根據(jù)△的取值確定其m的值．解：（1）Δ＝[2（m+1）]8﹣4×1×（m7﹣1）＞0，3（m+1）2﹣2m2+4＞7，8m＞﹣8，m＞﹣7，則當(dāng)m＞﹣1時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）x1+x7＝﹣2（m+1）＝﹣7m﹣2，x1x8＝m2﹣1，x4+x2+x1x4＝5，﹣2m﹣2+m2﹣1＝4，m2﹣2m﹣7＝0，（m﹣4）（m+2）＝0，m1＝2，m2＝﹣2，∵方程兩實(shí)數(shù)根分別為x6，x2，∴△≥0，∴m≥﹣3，∴m＝4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，①x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣，x1x2＝，②一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．上面的結(jié)論反過(guò)來(lái)也成立．要注意第（2）中根據(jù)已知式子得出m的值后，利用根的判別式進(jìn)行取舍．20．如圖，在長(zhǎng)為50m、寬為38m的矩形地面內(nèi)的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪．要使草坪的面積為1260m2，道路的寬應(yīng)為多少？【分析】要求路寬，就要設(shè)路寬應(yīng)為x米，根據(jù)題意可知：矩形地面﹣所修路面積＝草坪面積，利用平移更簡(jiǎn)單，依此列出等量關(guān)系解方程即可．解：設(shè)路寬應(yīng)為x米根據(jù)等量關(guān)系列方程得：（50﹣2x）（38﹣2x）＝1260，解得：x＝4或40，40不合題意，舍去，所以x＝4，答：道路的寬應(yīng)為4米．【點(diǎn)評(píng)】解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．21．小明在解一元二次方程時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一種解法：如：解方程x（x+4）＝6．解：原方程可變形，得：[（x+2）﹣2][（x+2）（x+2）2﹣22＝6，（x+2）2＝6+22，（x+2）2＝10．直接開平方并整理，得．x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．我們稱小明這種解法為“平均數(shù)法”．（1）下面是小明用“平均數(shù)法”解方程（x+3）（x+7）＝5時(shí)寫的解題過(guò)程．解：原方程可變形，得：[（x+a）﹣b][（x+a）（x+a）2﹣b2＝5，（x+a）2＝5+b2．直接開平方并整理，得．x1＝c，x2＝d．上述過(guò)程中的a、b、c、d表示的數(shù)分別為5，±2，﹣2，﹣8．（2）請(qǐng)用“平均數(shù)法”解方程：（x﹣5）（x+3）＝6．【分析】（1）根據(jù)閱讀材料中的信息確定出上述過(guò)程中的a、b、c、d表示的數(shù)即可；（2）利用“平均數(shù)法”解方程即可．解：（1）原方程可變形，得：[（x+5）﹣2][（x+2）+2]＝5．（x+4）2﹣23＝5，（x+5）8＝5+28．直接開平方并整理，得．x1＝﹣2，x4＝﹣8．上述過(guò)程中的a、b、c、d表示的數(shù)分別為5、﹣5，故答案為：5、±2、﹣7；（2）原方程可變形，得：[（x﹣1）﹣4][（x﹣6）+4]＝6．（x﹣2）2﹣44＝6，（x﹣1）4＝6+42．x﹣1＝±，∴x＝1±，直接開平方并整理，得．x2＝1+，x2＝3﹣．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．22．2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)于2月4日至2月20日在北京市和河北省張家口市聯(lián)合舉行，冬奧會(huì)吉祥物為“冰墩墩”．（1）據(jù)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，某工廠今年二月份共生產(chǎn)500個(gè)“冰墩墩”，為增大生產(chǎn)量，則該工廠在四月份能生產(chǎn)多少個(gè)“冰墩墩”？（2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可銷售20個(gè)，每個(gè)盈利40元，在每個(gè)降價(jià)幅度不超過(guò)10元的情況下，則每天可多售10件．如果每天要盈利1440元，則每個(gè)“冰墩墩”應(yīng)降價(jià)多少元？【分析】（1）利用該工廠在四月份生產(chǎn)“冰墩墩”的數(shù)量＝該工廠在二月份生產(chǎn)“冰墩墩”的數(shù)量×（1+20%）2，即可求出結(jié)論；（2）設(shè)每個(gè)“冰墩墩”降價(jià)x元，則每個(gè)盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+5x）個(gè)，利用該商店每天銷售“冰墩墩”獲得的利潤(rùn)＝每個(gè)的銷售利潤(rùn)×平均每天的銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．解：（1）500×（1+20%）2＝500×5.44＝720（個(gè)）．答：該工廠在四月份能生產(chǎn)720個(gè)“冰墩墩”．（2）設(shè)每個(gè)“冰墩墩”降價(jià)x元，則每個(gè)盈利（40﹣x）元×10＝（20+5x）個(gè)，依題意得：（40﹣x）（20+3x）＝1440，整理得：x2﹣36x+128＝0，解得：x4＝4，x2＝32（不符合題意，舍去）答：每個(gè)“冰墩墩”應(yīng)降價(jià)4元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．23．已知：如圖，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝7cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．（1）如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，△PBQ的面積等于6cm2？（2）在（1）中，△PQB的面積能否等于8cm2？說(shuō)明理由．【分析】（1）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒鐘，△PBQ的面積等于6cm2，根據(jù)點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，表示出BP和BQ的長(zhǎng)可列方程求解．（2）通過(guò)判定得到的方程的根的判別式即可判定能否達(dá)到8cm2．解：（1）設(shè)&n