常用概率分布

常用概率分布第一頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日第一節(jié)事件與概率事件概率小概率事件實際不可能性原理第二頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日一、事件（一）必然現(xiàn)象與隨機現(xiàn)象

在自然界與生產(chǎn)實踐和科學(xué)試驗中，人們會觀察到各種各樣的現(xiàn)象，把它們歸納起來，大體上分為兩大類：第三頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

一類是可預(yù)言其結(jié)果的，即在保持條件不變的情況下，重復(fù)進行觀察，其結(jié)果總是確定的，必然發(fā)生（或必然不發(fā)生）。這類現(xiàn)象稱為必然現(xiàn)象或確定性現(xiàn)象。另一類是事前不可預(yù)言其結(jié)果的，即在保持條件不變的情況下，重復(fù)進行觀察，其結(jié)果未必相同。這種在個別試驗中其結(jié)果呈現(xiàn)偶然性、不確定性現(xiàn)象，稱為隨機現(xiàn)象或不確定性現(xiàn)象。第四頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

隨機現(xiàn)象或不確定性現(xiàn)象，有如下特點：在一定的條件實現(xiàn)時，有多種可能的結(jié)果發(fā)生，事前人們不能預(yù)言將出現(xiàn)哪種結(jié)果；對一次或少數(shù)幾次觀察或試驗而言，其結(jié)果呈現(xiàn)偶然性、不確定性；但在相同條件下進行大量重復(fù)試驗時，其試驗結(jié)果卻呈現(xiàn)出某種固有的特定的規(guī)律性——頻率的穩(wěn)定性，通常稱之為隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。第五頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

（二）隨機試驗與隨機事件

1、隨機試驗通常我們把根據(jù)某一研究目的，在一定條件下對自然現(xiàn)象所進行的觀察或試驗統(tǒng)稱為試驗。一個試驗如果滿足下述三個特性，則稱其為一個隨機試驗，簡稱試驗：第六頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

（1）試驗可以在相同條件下多次重復(fù)進行；（2）每次試驗的可能結(jié)果不止一個，并且事先知道會有哪些可能的結(jié)果；（3）每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果。第七頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

2、隨機事件

隨機試驗的每一種可能結(jié)果，稱為隨機事件，簡稱事件，通常用A、B、C等來表示。隨機事件在一定條件下可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。

第八頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

（1）基本事件

我們把不能再分的事件稱為基本事件。由若干個基本事件組合而成的事件稱為復(fù)合事件。

（2）必然事件

我們把在一定條件下必然會發(fā)生的事件稱為必然事件，用Ω表示。第九頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

（3）不可能事件

我們把在一定條件下不可能發(fā)生的事件稱為不可能事件，用ф表示。必然事件與不可能事件實際上是確定性現(xiàn)象，即它們不是隨機事件，但是為了方便起見，我們把它們看作為兩個特殊的隨機事件。第十頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日二、概率

刻劃事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標(biāo)，稱為概率。事件A的概率記為P（A）。

（一）概率的統(tǒng)計定義第十一頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

在相同條件下進行n次重復(fù)試驗，如果隨機事件A發(fā)生的次數(shù)為m，那么m/n稱為隨機事件A的頻率；當(dāng)試驗重復(fù)數(shù)n逐漸增大時，隨機事件A的頻率越來越穩(wěn)定地接近某一數(shù)值p，那么就把p稱為隨機事件A的概率。這樣定義的概率稱為統(tǒng)計概率。第十二頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

例如，為了確定1粒小麥種子發(fā)芽這個事件的概率，在表3—1中列出了小麥種子發(fā)芽試驗記錄。

第十三頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

表3—1小麥種子發(fā)芽試驗記錄試驗種子粒數(shù)n100200300400500600700發(fā)芽種子粒數(shù)m65155204274349419489頻率m/n

0.6500.6750.6800.6850.6980.69830.6986第十四頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

從表3-1可看出，隨著實驗次數(shù)的增多，1粒小麥種子發(fā)芽這個事件的概率越來越穩(wěn)定地接近0.7，我們就把0.7作為這個事件的概率。在一般情況下，隨機事件的概率p是不可能準(zhǔn)確得到的。通常以試驗次數(shù)n充分大時隨機事件A的頻率作為該隨機事件概率的近似值。即P（A）=p≈m/n

（n充分大）

第十五頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

（二）概率的古典定義有很多隨機試驗具有以下特征：

1、試驗的所有可能結(jié)果只有有限個，即樣本空間中的基本事件只有有限個；

2、各個試驗的可能結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，即所有基本事件的發(fā)生是等可能的；

3、試驗的所有可能結(jié)果兩兩互不相容。第十六頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

具有上述特征的隨機試驗，稱為古典概型。對于古典概型，概率的定義如下：設(shè)樣本空間由n個等可能的基本事件所構(gòu)成，其中事件A包含有m個基本事件，則事件A的概率為m/n，即

P（A）=m/n

這樣定義的概率稱為古典概率。第十七頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

【例3·1】在1、2、3、…、20這20個數(shù)字中隨機抽取1個，求下列隨機事件的概率。（1）A=“抽得1個數(shù)字≤4”；（2）B=“抽得1個數(shù)字是2的倍數(shù)”。第十八頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

因為該試驗樣本空間由20個等可能的基本事件構(gòu)成，即n=20,而事件A所包含的基本事件有4個，既抽得編號為1，2，3，4中的任何1個，事件A便發(fā)生，即mA=4，所以

第十九頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

同理，事件B所包含的基本事件數(shù)mB=10，即抽得數(shù)字為2，4，6，8，10，12，14，16，18，20中的任何1個，事件B便發(fā)生，故第二十頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

（三）概率的性質(zhì)

1、對于任何事件A，有0≤P（A）≤1；

2、必然事件的概率為1，即P（Ω）=1；

3、不可能事件的概率為0，即P（ф）=0。第二十一頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日三、小概率事件實際不可能性原理

隨機事件的概率表示了隨機事件在一次試驗中出現(xiàn)的可能性大小。若隨機事件的概率很小，例如小于0.05、0.01、0.001，稱之為小概率事件。第二十二頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

小概率事件雖然不是不可能事件，但在一次試驗中出現(xiàn)的可能性很小，不出現(xiàn)的可能性很大，以至于實際上可以看成是不可能發(fā)生的。在統(tǒng)計學(xué)上，把小概率事件在一次試驗中看成是實際不可能發(fā)生的事件稱為小概率事件實際不可能性原理，亦稱為小概率原理。小概率事件實際不可能性原理是統(tǒng)計學(xué)上進行假設(shè)檢驗（顯著性檢驗）的基本依據(jù)。第二十三頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日第二節(jié)概率分布

事件的概率表示了一次試驗?zāi)骋粋€結(jié)果發(fā)生的可能性大小。若要全面了解試驗，則必須知道試驗的全部可能結(jié)果及各種可能結(jié)果發(fā)生的概率，即必須知道隨機試驗的概率分布。為了深入研究隨機試驗，我們先引入隨機變量的概念。第二十四頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日一、隨機變量作一次試驗，其結(jié)果有多種可能。每一種可能結(jié)果都可用一個數(shù)來表示，把這些數(shù)作為變量x的取值范圍，則試驗結(jié)果可用變量x來表示。

【例3·2】對100株樹苗進行嫁接，觀察其成活株數(shù)，其可能結(jié)果是“0株成活”，“1株成活”，……

，“100株成活”。用x表示成活株數(shù)，則x的取值為0、1、2、……、100。第二十五頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日【例3·3】拋擲一枚硬幣，其可能結(jié)果是“幣值一面朝上”、“幣值一面朝下”?！皫胖狄幻娉稀庇?表示，“幣值一面朝下”用0表示，用x表示試驗結(jié)果，則x的取值為0、1。第二十六頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

【例3·4】測定某品種小麥產(chǎn)量（㎏/667.7㎡），表示測定結(jié)果的變量x所取的值為一個特定范圍(a,b)，例如200―300（㎏/667.7㎡），x值可以取這個范圍內(nèi)的任何數(shù)值。

第二十七頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

如果表示試驗結(jié)果的變量x，其可能取值至多為可列個，且以各種確定的概率取這些不同的值，則稱x為離散型隨機變量；如果表示試驗結(jié)果的變量x，其可能取值為某范圍內(nèi)的任何數(shù)值，且x在其取值范圍內(nèi)的任一區(qū)間中取值時，其概率是確定的，則稱x為連續(xù)型隨機變量。第二十八頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日二、離散型隨機變量的概率分布

要了解離散型隨機變量x的統(tǒng)計規(guī)律，就必須知道它的一切可能值xi及取每種可能值的概率pi。如果我們將離散型隨機變量x的一切可能取值xi

(i=1,2,…)，及其對應(yīng)的概率pi，記作

P(x=xi)=pi

i=1,2,…(3—3)

則稱（3—3）式為離散型隨機變量x的概率分布或分布。第二十九頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

常用列表法表示離散型隨機變量的概率分布：

xx1x2…xn…pp1p2…pn…

顯然離散型隨機變量的概率分布具有pi≥0和Σpi=1這兩個基本性質(zhì)。第三十頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日三、連續(xù)型隨機變量的概率分布

連續(xù)型隨機變量的概率分布不能用分布列來表示，因為其可能取的值是不可數(shù)的。對于連續(xù)型隨機變量x，要了解的是它在某個區(qū)間[a，b）上取值的概率，即（a≤x＜b）＝？下面通過頻率分布密度曲線予以說明。第三十一頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

由表2-6作140行水稻產(chǎn)量資料的頻率分布直方圖，見圖3-1，圖中縱座標(biāo)取頻率與組距的比值。可以設(shè)想，如果樣本取得越來越大(n→+∞)，組分得越來越細(i→0)，某一范圍內(nèi)的頻率將趨近于一個穩(wěn)定值──概率。這時，頻率分布直方圖各個直方上端中點的聯(lián)線──頻率分布折線將逐漸趨向于一條曲線，換句話說，當(dāng)n→+∞、i→0時，頻率分布折線的極限是一條穩(wěn)定的函數(shù)曲線。第三十二頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

對于樣本是取自連續(xù)型隨機變量的情況，這條函數(shù)曲線將是光滑的。這條曲線排除了抽樣和測量的誤差，完全反映了基礎(chǔ)母羊體重的變動規(guī)律。這條曲線叫概率分布密度曲線，相應(yīng)的函數(shù)叫概率分布密度函數(shù)

。第三十三頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

(3—4)式為連續(xù)型隨機變量x在區(qū)間[a,b）上取值概率的表達式。可見，連續(xù)型隨機變量的概率由概率分布密度函數(shù)確定。

若記體重概率分布密度函數(shù)為f(x)，則x取值于區(qū)間[a,b）的概率為圖中陰影部分的面積，即

(3-4)第三十四頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

連續(xù)型隨機變量概率分布的性質(zhì)：1、f(x)≥0；2、(c為任意實數(shù))3、第三十五頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日第三節(jié)二項分布

一、貝努利試驗及其概率公式將某隨機試驗重復(fù)進行n次，若各次試驗結(jié)果互不影響，即每次試驗結(jié)果出現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗的結(jié)果，則稱這n次試驗是獨立的。第三十六頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

對于n次獨立的試驗，如果每次試驗結(jié)果出現(xiàn)且只出現(xiàn)對立事件A與之一，在每次試驗中出現(xiàn)A的概率是常數(shù)p(0<p<1)，因而出現(xiàn)對立事件的概率是1-p=q，則稱這一串重復(fù)的獨立試驗為n重貝努利試驗，簡稱貝努利試驗。

第三十七頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

在n重貝努利試驗中，事件A恰好發(fā)生k(0≤k≤n)次的概率為

k=0,1,2…，n(3-6)第三十八頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

若把(3-6)式與二項展開式相比較就可以發(fā)現(xiàn)，在n重貝努利試驗中，事件A發(fā)生k次的概率恰好等于展開式中的第k+1項，所以也把(3-6)式稱作二項概率公式。第三十九頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日二、二項分布的意義及性質(zhì)

二項分布定義：設(shè)隨機變量x所有可能的取值為零和正整數(shù)：0，1，2，…，n，且有

(k=0，1，2，…，n)

其中p＞0，q＞0，p+q=1，則稱隨機變量x服從參數(shù)為n和p的二項分布，記為

x～B(n，p)。第四十頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

二項分布是一種離散型隨機變量的概率分布。容易驗證，二項分布具有概率分布的一切性質(zhì)，即：

1、P(x=k)=Pn(k)(k=0,1,…，n)2、二項分布的概率之和等于1，即第四十一頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日3、

4、

5、

（m1<m2）

第四十二頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

二項分布由n和p兩個參數(shù)決定。參數(shù)n只能取正整數(shù)，參數(shù)p能取0與1之間的任何數(shù)值(q由p確定，故不是另一個獨立參數(shù))。

1、當(dāng)p值較小且n不大時，分布是偏倚的。但隨著n的增大，分布逐漸趨于對稱，如圖3—2所示；

第四十三頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

2、當(dāng)p值趨于0.5時，分布趨于對稱，如圖3—3所示；

3、對于固定的n及p，當(dāng)k增加時，Pn(k)先隨之增加并達到其極大值，以后又下降。

第四十四頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日三、二項分布的概率計算及應(yīng)用條件

【例3·5】有一批玉米種子，出苗率為0.67，現(xiàn)任取6粒種子種1穴中，問這穴至少有1粒種子出苗的概率是多少?

根據(jù)題意，n=6，p=0.67，q=（1-0.67）=0.33。設(shè)6粒種子出苗為x粒，則x為服從二項分布B(6，0.67)的隨機變量。于是6粒種子種1穴中，這穴至少有1粒種子出苗的概率為：第四十五頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

P（“至少1粒種子出苗”）

=P(x=1)+P(x=2)+…+P(x=6)==0.0157＋0.0799＋0.2162

＋0.3292＋0.2672＋0.0905=0.9987第四十六頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

【例3·6】大豆紫花與白花這一相對性狀在F2的分離比例符合一對等位基因的遺傳規(guī)律，即F2的紫花植株與白花植株之比為3：1。求F210株有7株是紫花的概率。根據(jù)題意，n=10，p=3／4=0.75，q=1／4=0.25。設(shè)F210株中紫花植株為x株，則x為服從二項分布B(10，0.75)的隨機變量。于是F210株有7株是紫花的概率為：

第四十七頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

第四十八頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

二項分布的應(yīng)用條件：（1）各觀察單位只具有互相對立的一種結(jié)果，如陽性或陰性，生存或死亡等，屬于二項分類資料；（2）已知發(fā)生某一結(jié)果(如出苗)的概率為p，其對立結(jié)果的概率則為1-p=q，實際中要求p

是從大量觀察中獲得的比較穩(wěn)定的數(shù)值；（3）n個觀察單位的觀察結(jié)果互相獨立，即每個觀察單位的觀察結(jié)果不會影響到其它觀察單位的觀察結(jié)果。第四十九頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日四、二項分布的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差

統(tǒng)計學(xué)證明，服從二項分布B(n,p)的隨機變量之平均數(shù)μ、標(biāo)準(zhǔn)差σ與參數(shù)n、p有如下關(guān)系：當(dāng)試驗結(jié)果以事件A發(fā)生次數(shù)k表示時第五十頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

也稱為總體百分數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤，當(dāng)p未知時，常以樣本百分數(shù)來估計。此時(3-13)式改寫為：

當(dāng)試驗結(jié)果以事件A發(fā)生的頻率k／n表示時

(3-13)

稱為樣本百分數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤。第五十一頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

【例3·7】某樹種幼苗成材率為70%，現(xiàn)種植2000株，問成材幼苗株數(shù)的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差是多少?

根據(jù)題意，n=2000，p=0.70，q=0.30。設(shè)2000株幼苗成材為x株，則x為服從二項分布B(2000，0.70)的隨機變量。第五十二頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日成材幼苗株數(shù)的平均數(shù)

成材幼苗株數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差

＝2000×0.7＝1400（株）第五十三頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日第四節(jié)正態(tài)分布

正態(tài)分布是一種很重要的連續(xù)型隨機變量的概率分布。生物現(xiàn)象中有許多變量是服從或近似服從正態(tài)分布的。許多統(tǒng)計分析方法都是以正態(tài)分布為基礎(chǔ)的。此外，還有不少隨機變量的概率分布在一定條件下以正態(tài)分布為其極限分布。因此在統(tǒng)計學(xué)中，正態(tài)分布無論在理論研究上還是實際應(yīng)用中，均占有重要的地位。第五十四頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日一、正態(tài)分布的定義及其特征

（一）正態(tài)分布的定義若連續(xù)型隨機變量x的概率分布密度函數(shù)為

其中μ為平均數(shù)，σ2為方差，則稱隨機變量x服從正態(tài)分布，記為x～N(μ,σ2)。第五十五頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日相應(yīng)的概率分布函數(shù)為分布密度曲線如圖3—4所示。第五十六頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

2、f(x)在x=μ處達到極大，極大值；(二)正態(tài)分布的特征

3、f(x)是非負函數(shù)，以x軸為漸近線，分布從-∞至+∞；

1、正態(tài)分布密度曲線是單峰、對稱的“懸鐘”形曲線，對稱軸為x=μ；第五十七頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

4、曲線在x=μ±σ處各有一個拐點，即曲線在(-∞,μ-σ)和(μ+σ,+∞)區(qū)間上是下凸的，在[μ-σ,μ+σ]區(qū)間內(nèi)是上凸的；

5、正態(tài)分布有兩個參數(shù)，即平均數(shù)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ。第五十八頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

μ是位置參數(shù)，如圖3—5所示。當(dāng)σ恒定時，μ愈大，則曲線沿x軸愈向右移動；反之，μ愈小，曲線沿x軸愈向左移動。

σ是變異度參數(shù)，如圖3—6所示。當(dāng)μ恒定時，σ愈大，表示x的取值愈分散，曲線愈“胖”；σ愈小，x的取值愈集中在μ附近，曲線愈“瘦”。第五十九頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日6、分布密度曲線與橫軸所夾的面積為1，即：

第六十頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

μ=0,σ2=1的正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)分別記作ψ(u)和Φ(u)，由(3-15)及(3-16)式得：第六十一頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

隨機變量u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作u～N(0，1)，分布密度曲線如圖3—7所示。第六十二頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

對于任何一個服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機變量x，都可以通過標(biāo)準(zhǔn)化變換：

將其變換為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機變量u。

u稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量或標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差。第六十三頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日三、正態(tài)分布的概率計算

（一）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計算

設(shè)u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則u在[u1，u2

）內(nèi)取值的概率為：第六十四頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

由(3-20)式及正態(tài)分布的對稱性可推出下列關(guān)系式：

P(0≤u＜u1)＝Φ(u1)-0.5

P(u≥u1)=Φ(-u1)

P(｜u｜≥u1)=2Φ(-u1)

P(｜u｜＜u1＝＝1-2Φ(-u1)

P(u1≤u＜u2)＝Φ(u2)-Φ(u1)第六十五頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

例如，u=1.75Φ(1.75)=0.95994

有時會遇到給定Φ(u)值，例如Φ(u)=0.284，反過來查u值。這只要在附表1中找到與0.284最接近的值0.2843，對應(yīng)行的第一列數(shù)-0.5，對應(yīng)列的第一行數(shù)值0.07，即相應(yīng)的u值為u=-0.57，即

Φ(-0.57)=0.284

如果要求更精確的u值，可用線性插值法計算。第六十六頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日【例3·8】

已知u～N（0，1），試求（1）P

（u≤-1.64)；（2）P（u≥2.58)；（3）P

（∣u∣≥2.56)；（4）P

（0.34≤u≤1.53)。第六十七頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

利用（3-21）式，查附表1得：（1）P

（

u＜-1.64)＝Φ（-1.64）＝0.0505（2）P

（u≥2.58)＝Φ（-2.58）＝0.02494（3）P

（∣u∣≥2.56)＝2Φ（-2.56）＝2×0.005234＝0.010468（4）P

（0.34≤u＜1.53)

＝Φ（1.53）－Φ（0.34）＝0.93669－0.6331＝0.30389第六十八頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，以下幾種概率應(yīng)當(dāng)熟記：

P（-1≤u＜1）=0.6826P（-2≤u＜2）=0.9545

P（-3≤u＜3）=0.9973P（-1.96≤u＜1.96）=0.95P(-2.58≤u＜2.58)=0.99圖3—8標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的三個常用概率。第六十九頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日隨機變量u在上述區(qū)間以外取值的概率分別為：

P(｜u｜≥1)=2Φ(-1)=1-P(-1≤u＜1)=1-0.6826=0.3174P(｜u｜≥2)=2Φ(-2)=1-P（-2≤u＜2）

=1-0.9545=0.0455P(｜u｜≥3)=1-0.9973=0.0027P(｜u｜≥1.96)=1-0.95=0.05P(｜u｜≥2.58)=1-0.99=0.01第七十頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日（二）一般正態(tài)分布的概率計算

若隨機變量x服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則x的取值落在任意區(qū)間[x1,x2）的概率，記作P(x1≤x＜x2)，等于圖3—9中陰影部分曲邊梯形面積。即：第七十一頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日作變換u=(x-μ)／σ，得dx=σdu，故有其中，第七十二頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

表明服從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機變量x在[x1

，x2

）內(nèi)取值的概率，等于服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機變量u在[(x1-μ)/σ,(x2-μ)/σ）內(nèi)取值的概率。因此，計算一般正態(tài)分布的概率時，只要將區(qū)間的上下限作適當(dāng)變換(標(biāo)準(zhǔn)化)，就可用查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率表的方法求得概率。第七十三頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

【例3·9】設(shè)x服從μ=30.26,σ2=5.102的正態(tài)分布，試求P(21.64≤x＜32.98)。

，則u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），=P(-1.69≤u＜0.53)=Φ(0.53)-Φ(-1.69)=0.7019-0.04551=0.6564故第七十四頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日關(guān)于一般正態(tài)分布

P(μ-σ≤x＜μ+σ)=0.6826P(μ-2σ≤x＜μ+2σ)=0.9545P(μ-3σ≤x＜μ+3σ)=0.9973P(μ-1.96σ≤x＜μ+1.96σ)=0.95P(μ-2.58σ≤x＜μ+2.58σ)=0.99第七十五頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

生物統(tǒng)計中，不僅注意隨機變量x落在平均數(shù)加減不同倍數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差區(qū)間(μ-kσ,μ+kσ)之內(nèi)的概率而且也很關(guān)心x落在此區(qū)間之外的概率。我們把隨機變量x落在平均數(shù)μ加減不同倍數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差σ區(qū)間之外的概率稱為兩尾概率記作α。第七十六頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

用兩尾概率可以求得隨機變量x小于μ-kσ或大于μ+kσ的概率，稱為一尾概率,記作α／2。

x落在(μ-1.96σ,μ+1.96σ)之外的兩尾概率為0.05，而一尾概率為0.025。即

P(x＜μ-1.96σ)=P(x＞μ+1.96σ)=0.025x落在(μ-2.58σ,μ+2.58σ)之外的兩尾概率為0.01，而一尾概率為0.005。即

P(x＜μ-2.58σ)=P(x＞μ+2.58σ)=0.005第七十七頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

兩尾概率如圖3—10所示，一尾概率如圖3—11所示。第七十八頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日【例3·10】已知

x～N（30.26，5.12），求

（1）P(x＜15)；

（2）P(x≥40)；

（3）P(∣

x－30.26∣＜5.1)；

（4）P(20.06≤x＜40.46)。第七十九頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日，則u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），故

（1）P（x＜15）

=P(＜)

=P(u＜-2.9922)

=Φ(-2.9922)=0.001395第八十頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日（2）P(x≥40)=P(≥)=P(u≥1.9098)=Φ(-1.9098)＝0.0281

第八十一頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日第八十二頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日第八十三頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

附表2給出了滿足P(｜u｜＞)=α的雙側(cè)分位的數(shù)值。因此，只要已知雙側(cè)概率α的值，由附表2就可直接查出對應(yīng)的雙側(cè)分位數(shù)，查法與附表1相同。第八十四頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日例如，已知u～N(0,1)試求：(1)的(2)的第八十五頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日因為附表2中的α值是：第八十六頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日查附表2查附表2第八十七頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

對于x～N(μ,σ2)，只要將其轉(zhuǎn)換為u～N(0,1)，即可求得相應(yīng)的雙側(cè)分位數(shù)。

第八十八頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

【例3.11】已知x服從正態(tài)分布N(12.86，1.332)，若P(x＜l1)=0.03,P(x≥l2)=0.03,求l1,l2。第八十九頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日由題意可知，α／2=0.03,α=0.06又因為故第九十頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

由附表2查得所以第九十一頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日第五節(jié)樣本平均數(shù)的抽樣分布

研究總體與從中抽取的樣本之間的關(guān)系是統(tǒng)計學(xué)的中心內(nèi)容。對這種關(guān)系的研究可從兩方面著手，一是從總體到樣本，這就是研究抽樣分布的問題；二是從樣本到總體，這就是統(tǒng)計推斷問題。第九十二頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

由總體中隨機地抽取若干個體組成樣本，即使每次抽取的樣本含量相等，其統(tǒng)計量(如，S)也將隨樣本的不同而有所不同，因而樣本統(tǒng)計量也是隨機變量，也有其概率分布。我們把統(tǒng)計量的概率分布稱為抽樣分布。第九十三頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日一、樣本平均數(shù)抽樣分布

由總體隨機抽樣的方法可分為有返置抽樣和不返置抽樣兩種。前者指每次抽出一個個體后，這個個體應(yīng)返置回原總體；后者指每次抽出的個體不返置回原總體。對于無限總體，返置與否都可保證各個體被抽到的機會相等。對于有限總體，就應(yīng)該采取返置抽樣，否則各個體被抽到的機會就不相等。第九十四頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

設(shè)有一個總體，總體平均數(shù)為μ，方差為σ2，總體中各變數(shù)為x，將此總體稱為原總體?，F(xiàn)從這個總體中隨機抽取含量為n的樣本，樣本平均數(shù)記為?？梢栽O(shè)想，從原總體中可抽出很多甚至無窮多個含量為n的樣本。由這些樣本算得的平均數(shù)有大有小，不盡相同，與原總體平均數(shù)μ相比往往表現(xiàn)出不同程度的差異。這種差異是由隨機抽樣造成的，稱為抽樣誤差。第九十五頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

顯然，樣本平均數(shù)也是一個隨機變量，其概率分布叫做樣本平均數(shù)的抽樣分布。由樣本平均數(shù)構(gòu)成的總體稱為樣本平均數(shù)的抽樣總體。其平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別記為和。第九十六頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

是樣本平均數(shù)抽樣總體的標(biāo)準(zhǔn)差，簡稱標(biāo)準(zhǔn)誤，它表示平均數(shù)抽樣誤差的大小。統(tǒng)計學(xué)上已證明總體的兩個參數(shù)與x

總體的兩個參數(shù)有如下關(guān)系：第九十七頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

設(shè)有一個包含4個個體的有限總體(N=4)

，變數(shù)為2、3、3、4。根據(jù)μ=Σx／N和σ2=Σ(x-μ)2／N求得該總體的μ、σ2、σ為：

μ=3,σ2=1／2,σ==0.707第九十八頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

從有限總體作返置隨機抽樣，所有可能的樣本數(shù)為Nn，其中n為樣本含量。

以上述總體而論，如果從中抽取n=2的樣本，共可得42=16個樣本；如果樣本含量n為4，則一共可抽得44=256個樣本。

分別求這些樣本的平均數(shù)，其次數(shù)分布如表3－2

所示。

在n=2的試驗中，樣本平均數(shù)抽樣總體的平均數(shù)、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為：第九十九頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

=4/16=1/4=(1/2)/2=第一百頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日表3—2N=4,n=2和n=4時的次數(shù)分布第一百零一頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

n=4時：這就驗證了=μ，的正確性。

若將表3—2中兩個樣本平均數(shù)的抽樣總體作次數(shù)分布圖，則如圖3-12所示。第一百零二頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

由以上模擬抽樣試驗可以看出，雖然原總體并非正態(tài)分布，但從中隨機抽取樣本，即使樣本含量很小(n=2,n=4)，樣本平均數(shù)的分布卻趨向于正態(tài)分布形式。隨著樣本含量n的增大，樣本平均數(shù)的分布愈來愈從不連續(xù)趨向于連續(xù)的正態(tài)分布。比較圖3—12兩個分布，在n由2增到4時，這種趨勢表現(xiàn)得相當(dāng)明顯。當(dāng)n＞30時，的分布就近似正態(tài)分布了。

x變量與變量概率分布間的關(guān)系可由下列兩個定理說明：

第一百零三頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

2、若隨機變量x服從平均數(shù)是μ，方差是σ2的分布(不是正態(tài)分布)；則統(tǒng)計量的概率分布，當(dāng)n相當(dāng)大時逼近正態(tài)分布N(μ,σ2／n)。這就是中心極限定理。1、若，則第一百零四頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

中心極限定理告訴我們：不論x變量是連續(xù)型還是離散型，也無論x服從何種分布，一般只要n＞30，就可認為的分布是正態(tài)的。若x的分布不很偏倚，在n＞20時，的分布就近似于正態(tài)分布了。第一百零五頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

的大小與原總體的標(biāo)準(zhǔn)差σ成正比，與樣本含量n的平方根成反比。從某特定總體抽樣，因為σ是一常數(shù)，所以只有增大樣本含量才能降低樣本平均數(shù)的抽樣誤差。二、標(biāo)準(zhǔn)誤標(biāo)準(zhǔn)誤(平均數(shù)抽樣總體的標(biāo)準(zhǔn)差)的大小反映樣本平均數(shù)的抽樣誤差的大小，即精確性的高低。第一百零六頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

在實際工作中，總體標(biāo)準(zhǔn)差σ往往是未知的，因而無法求得。此時，可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S估計σ。于是，以估計。記為，稱作樣本標(biāo)準(zhǔn)誤或均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤。樣本標(biāo)準(zhǔn)誤是平均數(shù)抽樣誤差的估計值。若樣本中各觀測值為，，…，，則第一百零七頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

樣本標(biāo)準(zhǔn)誤是樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，它是抽樣誤差的估計值，其大小說明了樣本間變異程度的大小及精確性的高低。

樣本標(biāo)準(zhǔn)差S是反映樣本中各觀測值，，…，變異程度大小的一個指標(biāo)，它的大小說明了對該樣本代表性的強弱。

注意，樣本標(biāo)準(zhǔn)差與樣本標(biāo)準(zhǔn)誤是既有聯(lián)系又有區(qū)別的兩個統(tǒng)計量，(3—24)式已表明了二者的聯(lián)系。二者的區(qū)別在于：第一百零八頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

對于小樣本資料，常將樣本標(biāo)準(zhǔn)誤與樣本平均數(shù)配合使用，記為±，用以表示所考察性狀或指標(biāo)的優(yōu)良性與抽樣誤差的大小。

對于大樣本資料，常將樣本標(biāo)準(zhǔn)差S與樣本平均數(shù)配合使用，記為±S，用以說明所考察性狀或指標(biāo)的優(yōu)良性與穩(wěn)定性。第一百零九頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日第六節(jié)

t分布、分布與F分布第一百一十頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差σ未知時，以樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替σ所得到的統(tǒng)計量記為t。即一、

t

分布

若x～N(μ,σ2)，則。將隨機變量標(biāo)準(zhǔn)化：，則u～N(0,1)。第一百一十一頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

在計算時，由于采用S來代替σ，使得t

變量不再服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而是服從自由度df=n-1

的t分布。t的取值范圍是（-∞，+∞）；t分布密度曲線如圖3-13所示。第一百一十二頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日t分布的特點1、t分布受自由度的制約，每一個自由度都有一條t分布密度曲線。

2、t分布密度曲線以縱軸為對稱軸，左右對稱，且在t＝0時，分布密度函數(shù)取得最大值。第一百一十三頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

3、與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線相比，t分布曲線頂部略低，兩尾部稍高而平。df越小這種趨勢越明顯。df越大，t分布越趨近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。當(dāng)n>30時，t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的區(qū)別很??；n>100時，t分布基本與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相同；n→∞時，t

分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布完全一致。第一百一十四頁，共一百二十六頁，2022年，8月28日

用表示t分布的概率密度函數(shù)，則

t分布的概率分布函數(shù)為：