線性二次型最優(yōu)控制器設(shè)計課件

線性二次型最優(yōu)控制器設(shè)計講解人：胡玲笑線性二次型最優(yōu)控制器設(shè)計本節(jié)主要內(nèi)容：線性二次型最優(yōu)控制器概述連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制離散系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制線性二次型Gauss最優(yōu)控制應(yīng)用經(jīng)典控制理論設(shè)計控制系統(tǒng)，能夠解決很多簡單、確定系統(tǒng)的實際設(shè)計問題。但是對于諸多新型而復(fù)雜的控制系統(tǒng)，例如多輸入多輸出系統(tǒng)與階次較高的系統(tǒng)，往往得不到滿意的結(jié)果。這時就需要有在狀態(tài)空間模型下建立的最優(yōu)控制策略。

最優(yōu)控制是現(xiàn)代控制理論的核心。所謂最優(yōu)控制，就是在一定條件下，在完成所要求的控制任務(wù)時，使系統(tǒng)的某種性能指標(biāo)具有最優(yōu)值。根據(jù)系統(tǒng)不同的用途，可提出各種不用的性能指標(biāo)。最優(yōu)控制的設(shè)計，就是選擇最優(yōu)控制，以使某一種性能指標(biāo)為最小。二、連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制1.連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制原理

假設(shè)線性連續(xù)定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：要尋求控制向量使得二次型目標(biāo)函數(shù)為最小。式中，Q為半正定是對稱常數(shù)矩陣，R為正定實對稱常數(shù)矩陣，Q、R分別為X和U的加權(quán)矩陣。

根據(jù)極值原理，我們可以導(dǎo)出最優(yōu)控制律：式中，K為最優(yōu)反饋增益矩陣；P為常值正定矩陣，必須滿足黎卡夫（Riccati）代數(shù)方程

因此，系統(tǒng)設(shè)計歸結(jié)于求解黎卡夫（Riccati）方程的問題，并求出反饋增益矩陣K。

2.連續(xù)系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制的MATLAB函數(shù)在MATLAB工具箱中，提供了求解連續(xù)系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制的函數(shù)：lqr()、lqr2()、lqry()。其調(diào)用格式為：其中，lqry()函數(shù)用于求解二次型狀態(tài)調(diào)節(jié)器的特例，是用輸出反饋代替狀態(tài)反饋，即其性能指標(biāo)為：這種二次型輸出反饋控制叫做次優(yōu)控制。此外，上述問題要有解，必須滿足三個條件：（1）（A，B）是穩(wěn)定的；（2）R＞0且Q-NR-1NT≥0;（3）（Q-NR-1NT，A-BR-1NT）在虛軸上不是非能觀模式。當(dāng)上述條件不滿足時，則二次型最優(yōu)控制無解，函數(shù)會顯示警告信號。3.連續(xù)系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制設(shè)計實例【例8.7】設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：(1)采用輸入反饋，系統(tǒng)的性能指標(biāo)為：

取，R=1(2)采用輸出反饋，系統(tǒng)的性能指標(biāo)為：，取Q=1,R=1試設(shè)計LQ最優(yōu)控制器，計算最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣，并對閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行單位階躍的仿真。【解】（1）我們可以用MATLAB函數(shù)lqr()來求解LQ最優(yōu)控制器，程序清單如下：同時得到閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線，如圖1-1所示。圖1-1閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線由圖1-1可知，閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線略微超調(diào)后立即單調(diào)衰減，仿真曲線是很理想的，反映了最優(yōu)控制的結(jié)果。（2）我們可以用MATLAB函數(shù)lqry()來求解LQ最優(yōu)控制器，給出程序清單如下：A=[0,1,0;0,0,1;-1,-4,-6];B=[0,0,1]';C=[1,0,0];D=0;Q=1;R=1;K=lqry(A,B,C,D,Q,R)k1=K(1);Ac=A-B*K;Bc=B*k1;Cc=C;Dc=D;Step(Ac,Bc,Cc,Dc)程序運行結(jié)果如下：K=0.41420.61040.1009同時得到閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線，如圖1-2所示。圖1-2閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線由圖1-1和圖1-2知，經(jīng)最優(yōu)輸出反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線與經(jīng)最優(yōu)狀態(tài)反饋后的階躍響應(yīng)曲線很接近。式中，Q為半正定實對稱常數(shù)矩陣；R為正定實對稱常數(shù)矩陣；Q、R分別為X和U的加權(quán)矩陣。根據(jù)極值原理，我們可以導(dǎo)出最優(yōu)控制律：

式中，K為最優(yōu)反饋增益矩陣；P為常值正定矩陣，必須滿足黎卡夫（Riccati）代數(shù)方程因此，系統(tǒng)設(shè)計歸結(jié)于求解黎卡夫（Riccati）方程的問題，并求出反饋增益矩陣K。2.離散系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制的MATLAB函數(shù)

在MATLAB工具箱中，提供了求解離散系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制的函數(shù)dlqr()與dlqry()。其調(diào)用格式為：其中，A為系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣；B為系統(tǒng)的輸出矩陣；Q為給定的半正定實對稱常數(shù)矩陣；R為給定的正定實對稱常數(shù)矩陣；N代表更一般化性能指標(biāo)中交叉乘積項的加權(quán)矩陣；K為最優(yōu)反饋增益矩陣；S為對應(yīng)Riccati方程的唯一正定解P（若矩陣A-BK是穩(wěn)定矩陣，則總有正定解P存在）；E為矩陣A-BK的特征值。其中，dlqr()函數(shù)用于求解二次型狀態(tài)調(diào)節(jié)器的特例，是用輸出反饋代替狀態(tài)反饋，即，則其性能指標(biāo)為：

3.離散系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制設(shè)計實例

【例2】設(shè)離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程

試計算穩(wěn)態(tài)最優(yōu)反饋增益矩陣，并給出閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。

程序運行后得到系統(tǒng)最優(yōu)狀態(tài)反饋增益矩陣KX為：Kx=1.9981-0.0310以及閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線，如圖1-3所示。圖1-3閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線四、線性二次型Gauss最優(yōu)控制

考慮系統(tǒng)隨機(jī)輸入噪聲與隨機(jī)量測噪聲的線性二次型的最優(yōu)控制叫做線性二次Gauss(LQG)最優(yōu)控制。這是一種輸出反饋控制，對解決線性二次型最優(yōu)控制問題更具有實用性。

1.LQG最優(yōu)控制原理

假設(shè)對象模型的狀態(tài)方程表示為：式中，ω(t)和ν(t)為白噪聲信號，ω(t)為系統(tǒng)干擾噪聲，ν(t)為傳感器帶來的量測噪聲。假設(shè)這些信號為零均值的Gauss過程，它們的協(xié)方差矩陣為：式中，E〔x〕為向量x的均值。E〔xxT〕為零均值的Gauss信號x的協(xié)方差。進(jìn)一步假設(shè)ω(t)和ν(t)為相互獨立的隨機(jī)變量，使得E〔ω(t)νT(t)〕=0。定義最優(yōu)控制的目標(biāo)函數(shù)為：式中，Q為給定的半正定實對稱常數(shù)矩陣，R為給定的正定實對稱常數(shù)矩陣。根據(jù)LQG問題的分離原理，典型的線性二次型Gauss最優(yōu)控制的解可以分解為下面兩個問題：LQ最優(yōu)狀態(tài)反饋控制問題；帶有擾動的狀態(tài)估計問題。設(shè)計LQG控制器的一般步驟如下。（1）根據(jù)二次型的性能指標(biāo)J，尋求最優(yōu)狀態(tài)反饋增益矩陣K。（2）設(shè)計一個卡爾曼濾波器來估計系統(tǒng)狀態(tài)。（3）構(gòu)建LQG控制器。下面介紹Kalman濾波器和LQG控制器設(shè)計的MATLAB實現(xiàn)。2.Kalman濾波器在實際應(yīng)用中，若系統(tǒng)存在隨機(jī)擾動，通常系統(tǒng)的狀態(tài)需要由狀態(tài)方程Kalman濾波器的形式給出。Kalman濾波器就是最優(yōu)觀測器，能夠抑制或濾掉噪聲對系統(tǒng)的干擾和影響。利用Kalman濾波器對系統(tǒng)進(jìn)行最優(yōu)控制是非常有效的。%Kalman濾波器A=[-1,0,1;1,0,0;-4,9,-2];B=[6,1,1]';C=[0,0,1];D=0;S=ss(A,B,C,D);Q=0.001;R=0.1;[kest,L,P]=kalman(S,Q,R);L,P運行程序，得到系統(tǒng)Kalman濾波器的增益矩陣L與估計誤差的協(xié)方差P為：L=1.06411.15662.0393P=0.06780.06640.10640.06640.06950.11570.10640.11570.20393.LQG最優(yōu)控制器的MATLAB實現(xiàn)

我們已經(jīng)知道，LQG最優(yōu)控制器是由系統(tǒng)的最優(yōu)反饋增益K和Kalman濾波器構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)如圖1-4所示。圖1-4LQG最優(yōu)控制器框圖被控對象Kalman濾波-KWVYxu++LQG控制器