初中數(shù)學中考復習 第15講 相似、投影與視圖（解析版）（壓軸題組）-2022年中考數(shù)學大復習（知識點·易錯點·題型訓練·壓軸題組）

第15講相似、投影與視圖（壓軸題組）1．（2021·遼寧甘井子·九年級期中）如圖，△ABC中，點D，E在邊AB上，點F在邊BC上，且AD＝AC，EF＝EC，∠CEF＝∠A，連接DF．（1）在圖1中找出與∠ACE相等的角，并證明；（2）求證：∠BDF＝∠EFC；（3）如圖2，延長FD，CA交于點G，連接EG，若EG＝AG，DE＝kAE，求的值（用含k的代數(shù)式表示）．【答案】（1）∠DEF＝∠ACE，證明見解析；（2）見解析；（3）k【詳解】解：（1）∠DEF＝∠ACE．證明：∵∠DEC是△ACE的外角，∴∠DEC＝∠A+∠ACE，∵∠DEC＝∠DEF+∠CEF，∴∠DEC+∠CEF＝∠A+∠ACE，∵∠CEF＝∠A，∴∠DEF＝∠ACE；（2）證明：連接CD，過點E作AC的平行線與CD交于點M，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∵EM∥AC，∴∠EMD＝∠ACD，∠CEM＝∠ACE，∴∠EDM＝∠EMD，∠DEF＝∠CEM，∴ED＝EM，又∵EF＝EC，∴△DEF≌△MEC（SAS），∴∠EDF＝∠EMC，∵∠BDF+∠EDF＝∠EMD+∠EMC＝180°，∴∠BDF＝∠EMC，∵EM∥AC，∴∠DEM＝∠A，∵∠A＝∠CEF，∴∠DEM＝∠CEF，∵△DEM中，∠EMD＝，△FEC中，∠EFC＝，∴∠EMD＝∠EFC，∴∠BDF＝∠EFC；（3）連接CD，過點E作AC的平行線與CD交于點M，∵EG＝AG，∴∠GAE＝∠GEA，∵∠DAC+∠GAE＝∠GEA+∠GED＝180°，∴∠DAC＝∠GED，∵∠CEF＝∠DAC，∴∠DEG＝∠CEF，∴∠DEG+∠DEF＝∠CEF+∠DEF，即∠GEF＝∠DEC，∵△DEF≌△MEC，∴∠EFG＝∠ECD，DF＝MC，又∵EF＝EC，∴△EFG≌△ECD（ASA），∴GF＝DC，∴DC﹣MC＝GF﹣DF，即GD＝DM，∵EM∥AC，∴，∴．2．（2021·安徽埇橋·九年級期中）如圖1所示，在等邊三角形ABC中，線段AD為其內角平分線，過點D的直線B1C1⊥AC于點C1，交AB的延長線于點B1．（1）請你探究：是否都成立？請說明理由．（2）請你繼續(xù)探究：若△ABC為任意三角形，線段AD為其內角平分線，一定成立嗎？并證明你的判斷．（3）如圖2所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝，E為AB上一點且AE＝5，CE交內角平分線AD于點F，試求的值．【答案】（1）都成立，理由見解析；（2）結論依然成立，理由見解析；（3）【詳解】（1）兩個等式都成立，理由如下：∵△ABC為等邊三角形，為角平分線∴垂直平分，，∴∴∵，∴∴，即又∵∴在Rt△ADC1中，，∴，∴（2）結論依然成立，理由如下：如下圖：過點作交延長線于點∴∴∵∴∴又∵∴（3）如圖，連接∵平分∴為△ABC和△ACE的內角角平分線由（2）的性質可得，，又∵∴∴又∵∴△BDE∽△BCA∴∴∴△AEF∽△ACF∴3．我們定義：三角形中，如果有一個角是另一個角的2倍，那么稱這個三角形是2倍角三角形．（1）定義應用如果一個等腰三角形是2倍角三角形，則其底角的度數(shù)為；（2）性質探索小思同學通過從“特殊到一般”的過程，對2倍角三角形進行研究，得出結論：如圖1，在△ABC中，如果∠A＝2∠B，那么BC2＝AC（AB＋AC）．下面是小思同學對其中一種特殊情形的證明方法．已知：如圖2，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝45°．求證：BC2＝AC（AB＋AC）．證明：如圖2，延長CA到D，使得AD＝AB，連接BD．∴∠D＝∠ABD，AB＋AC＝AD＋AC＝CD∵∠CAB＝∠D＋∠ABD＝2∠D，∠CAB＝90°∴∠D＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠D＝∠ABC，又∠C＝∠C∴△ABC∽△BCD∴∴BC2＝AC?CD∴BC2＝AC（AB＋AC）根據(jù)上述材料提供的信息，請你完成下列情形的證明：已知：如圖1，在△ABC中，∠A＝2∠B．求證：BC2＝AC（AB＋AC）．證明：（3）性質應用已知：如圖3，在△ABC中，∠C＝2∠B，AB＝12，BC＝10，則AC＝；（4）拓展應用已知：如圖4，在△ABC中，∠ABC＝3∠A，AC＝6，BC＝4，求AB的長．【答案】（1）45°或72°（2）證明見解析（3）8（4）【詳解】解：（1）當?shù)妊切蔚膬冉欠謩e為x，x，2x時，4x=180°，解得x=45°，當?shù)妊切蔚膬冉欠謩e為x，2x，2x時，5x=180°，解得x=36°，2x=72°，∴底角的度數(shù)為45°或72°，故答案為45°或72°；（2）如上圖，作角平分線AD，則有∠1=∠2=∠B，由∠1=∠B，得AD=BD，由∠2=∠B，∠C=∠C得△CAD∽△CBA∴∴∴CA2=CB×CD，∴CD=∵∴AD=∴BD=AD=BC-CD，∴BC-=，∴BC2-AC2=AC×AB，∴BC2=AC(AB+BC)（3）由性質探索可知：AB2=AC(BC+AC)，∴AC2+10AC-144=0，解得AC=8或-18(舍棄)，故答案為：8；（4）作∠CBD=∠A，則∠ABD=2∠A，∴△ABD是2倍角三角形∴AD2=BD(BD+AB)，∴∠BDC是△ABD的外角，∴∠BDC=∠A+∠ABD=3∠A，∠C=∠C，∴△CBD∽△CAB，∴，∴CD=，∴AD=AC-CD=，可設BD=2x，則AB=3x∴2x(2x+3x),∴x1=，x2=-（舍棄），∴AB=3x=4．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形OAEB為矩形，對角線AB的直線解析式為y=kx-6k，且S△AOB=18．（1）如圖1，求k的值；（2）如圖2，點P在線段AB上運動，其橫坐標為t，連接OP，過點P作CP⊥OP，交BE于點C，設線段BC的長為d，求d與t之間的函數(shù)關系式；（3）如圖3，在（2）的條件下，延長OP交AE于點D（AD＜DE），過點D作DQ∥x軸，交PC于點Q，若BC+AD=5，求線段DQ的長．【答案】（1）-1；（2）d＝2t﹣6；（3）【詳解】解：（1）∵對角線AB的直線解析式為y=kx-6k，∴當x=0時，y=-6k，當y=0時，x=6，∴OA=6，OB=-6k，∵S△AOB=OA?OB=18，∴×6×（-6k）=18，∴k=-1；（2）如圖，過點P作PN⊥OB于點N，PM⊥BE于點M，則∠PMC=∠PNO=90°，由（1）可得直線AB的解析式為：y=-x+6，∵點P在線段AB上運動，其橫坐標為t，∴P（t，-t+6），B（0，6），∴BM=PN=t，ON=-t+6，PM=BN=6-（-t+6）=t，∴PM=PN，∵PN⊥OB，PM⊥BE，∴∠PMC=∠PNO=90°，∵CP⊥OP，∴∠OPN+∠NPC=∠NPC+∠CPM=90°，∴∠OPN=∠CPM，∴△OPN≌△CPM（ASA），∴CM=ON=-t+6，∵BM=BC+CM，BC=d，∴t=d+（-t+6），∴d=2t-6；（3）延長DA到F，使AF=BC，連接OF、OC、CD，∵OA=OB=6，∠OBC=∠OAF=90°，BC=AF，∴△OBC≌△OAF（SAS），∴∠BOC=∠AOF，OC=OF，由（2）可知，△POC為等腰直角三角形，∴∠POC=45°，∴∠BOC+∠AOD=45°，∴∠AOD+∠AOF=∠DOF=45°，∴∠COD=∠FOD=45°，∵OD=OD，∴△COD≌△FOD（SAS），∴CD=DF=DA+AF=DA+BC=5，設AD=x，則AF=BC=5-x，CE=6-（5-x）=1+x，DE=6-x，在Rt△CDE中，CE2+DE2=CD2，∴（6-x）2+（1+x）2=52，解得：x1=2，x2=3（舍去），∴AD=2，∴AF=BC=5-2=3，∴OD=，OC=，∴OP=，

∴DP=OD-OP=，∵DQ∥x軸，∴∠QDP=∠DOA，∵∠QPD=∠DAO=90°，∴△QPD∽△DAO，∴，∴，∴DQ=．5．（2021·四川·成都教育科學研究院附屬學校九年級期中）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點O在BC上（不與B、C重合），連接AO，F(xiàn)是線段AO上的點（不與A、O重合），∠EAF＝90°，AE＝AF，連接FE，F(xiàn)C，BE，BF．（1）如圖1，若AO⊥BC，求證：BE＝BF；（2）如圖2，若將△AEF繞點A旋轉，使邊AF在∠BAC的內部，延長CF交AB于點G，交BE于點K．①求證：△AGC∽△KGB；②當△BEF為等腰直角三角形時，請你直接寫出AB：BF的值．【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②或【詳解】解：（1）∵，∴∴∴在△EAB和△FAB中∴∴（2）①∵，∴∴在△EAB和中∴∴又∵∴②∵∴∴當時，由題意可得：，∴設，則，即，由勾股定理得：當時，由題意可得：，∴設，則，6．（2021·重慶一中九年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點、，與軸交于點．是拋物線對稱軸上一點，縱坐標為，是線段上方拋物線上的一個動點，連接、．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）當?shù)拿娣e取得最大值時，求點的坐標和面積的最大值；（3）將拋物線沿著射線平移，使得新拋物線經(jīng)過點．新拋物線與軸交于、兩點（點在點左側），與軸交于點，是新拋物線上一動點，是坐標平面上一點，當以點、、、為頂點的四邊形是矩形時，請直接寫出所有滿足條件的點的橫坐標．【答案】（1）y=-x2+4x+5；（2），；（3）-4，5，，．【詳解】解：（1）把A（-1，0）、B（5，0）代入y=ax2+bx+5，

，

解得，

∴y=-x2+4x+5；（2）∵對稱軸為直線x=2，∴D(2，-5)，∵B(5，0)，代入y=kx+b得，解得，∴直線BD：，過點P作PQ⊥x軸交直線BD于點Q，則，設，則，∵P在上方∴PQ=，∵，∴=，∴當時，；（3）原來拋物線為，沿著射線平移，經(jīng)過點，∴B點移動后與D點重合，即拋物線向左平移3個單位，下移5個單位，∴平移后拋物線為，∴，EG為邊時，∵OE=OG=3，∴∠EGO=∠GEO=45°，作MG⊥EG交拋物線于M，設，則MK=KG，∴-m=-m2-2m，解得：(舍去)，∴，則，作EM⊥EG交拋物線于點M，作MK⊥x軸于點K，則KE=MK，∴m+3=m2+2m-3，解得：(舍)，∴M(2,-5)，∴；EG為對角線時，設，則MK=-m，HM=m+3，KG=-m2-2m，HE=-m2-2m+3，由△MKG∽△EHM得：，∴，∴，∴，∵m<0，∴，∴，∵，∴；當M在第一象限時，設，∴MH=-m2-2m+3，MK=m2+2m，GK=m，EH=m+3，由△MGK∽△EMH得：，∴，即，∴(m+2)(m-1)=-1，解得：，∵m>0，∴，∴，∵E(-3,0)，G(0,3)，∴；綜上N點的橫坐標為：-4，5，，．7．如圖1，拋物線y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B，在x軸上有一動點E（m，0）（0＜m＜4），過點E作x軸的垂線交直線AB于點N，交拋物線于點P，過點P作PM⊥AB于點M．（1）求a的值和直線AB的函數(shù)表達式；（2）設△PMN的周長為C1，△AEN的周長為C2，若，求m的值；（3）如圖2，在（2）條件下，將線段OE繞點O逆時針旋轉得到OE′，旋轉角為α（0°＜α＜90°），連接E′A、E′B，求E′A＋E′B的最小值．【答案】（1）a＝﹣；y＝﹣x+3；（2）2；（3）【詳解】解：（1）將點代入拋物線，得，解得，此時拋物線解析式為∴∵A（4，0），B（0，3），設直線AB解析式為y＝kx+b，則，解得，∴直線AB解析式為．（2）由題意可得：，，則，如圖1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴，∵NE∥OB，∴∴，∴，∵拋物線解析式為，∴，∴，解得．（3）如圖2中，在y軸上取一點M′使得OM′＝，連接AM′，在AM′上取一點E′使得OE′＝OE．∵OE′＝2，，∴，∴，∵，∴△M＇OE＇∽△E＇OB，∴，∴，∴，當A、M′、E′共線時，最小，為，由勾股定理可得即最小值為8．（2021·福建·泉州五中九年級期中）已知拋物線經(jīng)過A(?3,0)，B(1,0)，C(2,52)三點，其對稱軸交x軸于點H，一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象經(jīng)過點C，與拋物線交于另一點D（點D在點C（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線上是否存在點F，使得點A、B、E、F構成的四邊形是平行四邊形，如果存在，求出點F的坐標，若不存在請說明理由（3）設∠CEH=α，∠EAH=β，當α>β時，直接寫出k的取值范圍【答案】（1）y＝12x2＋x?32；（2）（3，6）或（-5，6）或（?1，-2）；（3）?12＜k＜56且k≠0或5【詳解】解：（1）設拋物線的解析式為y＝ax2＋bx＋c，∵拋物線經(jīng)過A（?3，0），B（1，0），C（2，52∴9a?3b+c=0a+b+c=0∴a＝1∴拋物線的解析式為y＝12x2＋x?3（2）如圖1所示，將C點坐標代入直線CD，得2k＋b＝52當x＝?1時，y＝?k＋b，即E（?1，?k＋b）．①若AB為平行四邊形的邊時，則F（-1+4，?k＋b）或F（-1-4，?k＋b），即：F（3，?k＋b）或F（-5，?k＋b），把F（3，?k＋b）代入y＝12x2＋x?32，得?k＋把F（-5，?k＋b），代入y＝12x2＋x?32，得?k＋又∵2k＋b＝52∴k=?76，b=∴F（3，6）或（-5，6）；②若AB為平行四邊形的對角線時，則F和E關于x軸對稱，∴F（?1，k-b），∴k-b=-2，又∵2k＋b＝52∴k=16，b=13∴F（?1，-2），綜上所述：F的坐標為（3，6）或（-5，6）或（?1，-2）；（3）如圖2所示，①當E點在x軸上方時，如圖2所示，當α＝β時，∵∠EHA＝90°，∴∠AEC＝90°，∴∠AEH=∠EGH，∵∠AHF=∠FHG=90°，∴△AHF∽△FHG，∴AEEG∵A（?3，0），E（?1，?k＋b），G（?b∴22∴k2?bk?2＝0，聯(lián)立方程k2?bk?2=02k+b=52，解得k＝?1隨著E點向下移動，∠CEH的度數(shù)越來越大，∠EAH的度數(shù)越來越小，當E點和H點重合時（如圖3所示），α和β均等于0，此時聯(lián)立方程2k+b＝52?k+b＝0因此當?12＜k＜56且k≠0時，α＞②E點在x軸下方時，如圖4所示，當α＝β時，∵∠EHA＝90°，∴∠AEC＝90°，根據(jù)①可得此時k＝43（k＝?1隨著E點向下移動，∠CEH的度數(shù)越來越小，∠EAH的度數(shù)越來越大，因此當56＜k＜43時，α＞綜上所述可得，當α＞β時，k取值范圍為?12＜k＜56且k≠0或56＜k9．（2021·四川·成都嘉祥外國語學校九年級期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，對角線AC，BD相交于點O，點P為邊AD上一動點．（1）如圖1，當PC⊥BD時，求tan∠POD；（2）如圖2，連接CP交對角線BD于點E，作線段CP的中垂線MN分別交線段DC，DB，CP，AB于點N，G，F(xiàn)，M，當DP＝DE時，求EFPE（3）如圖2，連接OP，以OP為折痕，將△AOP折疊，點A的對應點為點E，線段PE與OD相交于點F，若△PDF為直角三角形，求DP的長．【答案】(1)tan∠POD=2714；（2）EF【詳解】（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠ACB=∠ADC=90°，AD//BCAB=CD=6,AD=BC=8,OD=OB=1由勾股定理得，BD=B∴OB=1∵PC⊥BD∴12∴CE=BC?CD在Rt△CDE中，DE=C∴OE=OD?DE=5?18∴BE=BO+OE=5+7∵AD//BC∴ΔPDE～ΔCBE∴PEEC=DE∴PE=27∴tan∠POD=（2）∵DP=DE∴∠DPE=∠DEP∵AD//BC∴∠DPC=∠BCP又∠BEC=∠DEP∴∠BEC=∠DPE=∠BCE∴BE=BC=8∴DP=DE=BD?BE=10?8=2在Rt△CDP中，CP∴CP=∵PD//BC∴ΔPDE～ΔCBE∴PDBC=PE∴PE=1∵MN垂直平分CP∴PF=1∴EF=PF?PE=2∴EFPE（3）如圖1，當∠DPF=90°時，過點O作OH⊥AD于∵四邊形ABCD是矩形∴BO=OD，∠BAD=∠OHD，AD=BC=8∴OH//AB∴OH∴OH=∵以OP為折痕，將△AOP折疊，點A的對應點為點E，線段PE與OD相交于點F，∴∠APO=∠EPO=又OH⊥AD∴∠OPH=∠HOP=∴OH=HP=3∴PD=HD?HP=1當∠PFD=90∵AB=6,BC=8∴BD=∵四邊形ABCD是矩形∴OA=OB=OC=OD=5∴∠DAO=∠ODA∵將ΔAOP折疊，點A的對應點為點F，線段PE與OD相交于點F∴AO=EO=5，∠PEO=∠