高等數(shù)學下冊復習

/高等數(shù)學下冊復習

上冊的積分公式，7-12章各章、節(jié)和總復習的填空、選擇都認真看一遍！以例

題和習題為主！以下的復習摘要有的具體有的簡單僅供同學們參考！

第7章微分方程

一、本章提要

1．基本概念

微分方程，常微分方程(未知函數(shù)為一元函數(shù))，偏微分方程（未知函數(shù)為多元函數(shù)），微分方程的階數(shù)（填空題）.

齊次方程：dyydxx()或者()（重點、計算）dxxdyy

一階線性微分方程：yP(x)yQ(x)或者xP(y)xQ(y)

通解公式y(tǒng)Q(x)eP(x)dxdxCeP(x)dx

或者用常數(shù)變異法求解.（重點；計算或者填空）

線性相關，線性無關（選擇）

可降解（不顯含x或y）的（重點；計算）

齊次常系數(shù)線性微分方程：特征根法（重點；填空）

非齊次常系數(shù)線性微分方程：特接用待定系數(shù)法.(計算)

微分方程解的結構定理（重點；選擇或填空）．

換元法也是求解微分方程的重要方法之一.

二、要點解析

例1求微分方程yy0的通解．

x解一因為yy0所對應的特征方程為r10，特征根r1，所以yCe

（C為任意常數(shù)）為所求通解．

解二因為yy0，所以dyydx(y0)，

分離變量dydx，兩邊積分ydyydx，lnyxlnC1，所以

三、例題精解yCex（C為任意常數(shù)）

例3求y4y滿足初始條件yx01,yx02的特解．

解一令yp，則ydpdpdydp．將其代入原方程y4y得pdxdydxdy

pdp4y，dy

分離變量pdp4ydy，

兩邊積分pdp4ydy，

121p4y2C1，22

p24y2C2，

因為yx01,pyx02，所以22412C2，可得C2=0．故p24y2，即p2y．這里y2y應舍去，因為此時y與y異號，不能夠滿足初始條件．將y2y分離變量便得其解y=e2xC3．再由yx01，得C30，于是所求解為ye．

上面解法中，由于及時地利用初始條件確定出了任意常數(shù)C1的值，使得后續(xù)步驟變得簡單，這種技巧經常用到．

解二因為y4y，所以2x

y4y0，

特征方程r40，

特征根r12,r22，

于是其通解為

yC1e2x2C2e2x，

由初始條件可得C1=0，C2=1，所求特解為

ye2x．

例4求方程yysinx的通解．

解一該方程為二階常系數(shù)非齊次線性方程，其對應的齊次方程為

yy0，

特征方程為r10，

特征根r1i,r2=i，齊次方程的通解為

YC1cosxC2sinx，

由于方程yysinxe0sinx，ii(其中0,1)恰是特征單根，故設特解為

yx(acosx

代入原方程，可得a2bsin，x)1,b0所以2

y

于是所求通解為1xcosx，2

1xcosx．2yC1cosxC2sinx

上述解法一般表述為：若二階線性常系數(shù)非齊次微分方程ypyqyf(x)中的非齊次項f(x)e

可設為

ypxekxxPnx()coxsPhx，那么該微分方程的特解()xsinPm(x)cosxQmx()xsi，n

其中Pm(x),Qm(x)均為m次待定多項式mmaxh,n．如果非齊次項中的,使i不是特征方程的根，則設k0；如果i是特征方程的單根，則取k1．例5求解微分方程y2yy4xex。

解：因為1是特征方程2210的重根，所以原方程的一個待定特解為

y*x2(axb)ex，

將此解代入原方程，得

(6ax2b)ex4xex。比較兩端系數(shù)，得a2,b0。于是得到原方程的一個特解3

2y*x3ex。3

又因為相應齊次方程的通解是

y(C1C2x)ex。

x因此原方程的通解為y(C1C2x)e23xxe。3

上述解法一般表述為：若二階線性常系數(shù)非齊次微分方程ypyqyf(x)中的非齊次項f(x)Q，那么該微分方程的特解可設為m(x)e

ypxQm(x)e，

其中Qm(x)為m次待定多項式．如果非齊次項中的不是特征方程的根，則設k0；如果是特征方程的單根，則取k1，如果是特征方程的重根，則取k2.例6．求微分方程yyxcosx的通解。

解：原方程所對應齊次方程的通解為kxx

yC1cosxC2sinx。

設非齊次方程yyx的一個特解為

y1AxB，

代入次方程，得A1,

B0。所以y1x。設非齊次方程yycosx的一個特解為

y2ExcosxDxsinx，

代入方程，得E0,D11。所以y2xsinx。22因為y1y2為原方程的一個特解，所以原方程的通解為

yC1cosxC2sinxx1xsinx。2

上述解法的特點是把f(x)分成f1(x)f2(x)后分別求解再相加.

四、練習題

1．判斷正誤

（1）若y1和y2是二階齊次線性方程的解，則C1y1C2y2（C1，C2為任意常數(shù)）是其

通解；（）

解析只有y1和y2是二階齊次線性方程的兩個線性無關的解時，其線性組合

C1y1C2y2才是通解．

（2）yyx0的特征方程為rr10；（）

解析yyx0為三階常系數(shù)非齊次線性微分方程，其對應的齊次線性方程為32

yy0，由于齊次線性微分方程的特征方程是把微分方程中的未知函數(shù)y換成未知元

r，并將未知函數(shù)的導數(shù)的階數(shù)換成未知元r的次數(shù)而得到的代數(shù)方程．因此，

yyx0的特征方程為r3r210．

（3）方程yysinx的特解形式可設為AcosxBsinx（Ａ，Ｂ為待定系數(shù)）；

（√）

解析對應的齊次方程為yy0，特征方程為rr0，特征根為r1=0，r2=1．

又因為0,1,ii不是特征根，于是，非齊次方程的特解應設為2

ypP0(x)cosxQ0(x)sinx=AcosxBsinx．

x（4）yy的通解為yCe（C為任意常數(shù)）．（√）

解析特征方程為r10，特征根為r=1，所以，特征方程的通解為yCe．x

2．選擇題

（1）y2yy(x1)ex的特解形式可設為（A）；

(A)x2(axb)ex；(B)x(axb)ex；

x(C)(axb；(D)(axb)x2．)e

解析特征方程為r2r10，特征根為r1=r2=1．=1是特征方程的特征重根，于是有ypx2(axb)ex．

（2）y2yyexsinx的特解形式可設為（C）；

(A)Aesinx；(B)Axex2x2sinx；

(C)ex(AsinxBcosx)；(D)Ax2(sinxcosx)．

解析特征方程為r2r10，特征根為r1=r2=1．又因為1,1，2

i1i不是特征根，于是，非齊次方程的特解設為ypex(AsinxBcosx)．

（3）y2y2yex；cosx的特解形式可設為（A）

x(A)x(AcosxBsinx)e

x；(B)Axexcosx；x(C)Axesinx；(D)Ax(cosxsinx)e．

2解析特征方程為r2r20，特征根為r1=1i，r2=1i．又因為1，

1，i1i是特征方程的特征單根，于是，非齊次方程的特解設為ypxex(AcosxBsinx)．

（4）下列方程中，通解為yC1exC2xex的微分方程是（A）．

(A)y2yy0；(B)y2yy1；

(C)yy0；(D)yy．

解析由通解y=C1exC2xex=(C1C2x)ex可知，它是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解，方程的特征根為重根r1=r2=1，對應的特征方程為r2r10，其所對應的二階常系數(shù)齊次線性微分方程為y2yy0．

(5)設y1,y2是二階常系數(shù)線性齊次方程ypyqy0的兩個特解，C1,C2是兩個任意常數(shù)，則下列命題中正確的是[]

（A）C1y1C2y2一定是微分方程的通解。

（B）C1y1C2y2不可能是微分方程的通解。

（C）C1y1C2y2是微分方程的解。

（D）C1y1C2y2不是微分方程的解。

答C

注：根據(jù)疊加原理，選項（C）正確，選項（D）錯誤。當y1,y2線性相關時，選項（A）2錯誤,當y1,y2線性無關時，選項（B）錯誤。

３．填空題

（１）方程yy0的通解為C1C2cosxC3sinx；

解特征方程為rr0，特征根為r1=0，r2=i，r3=i，方程的通解為y=C1C2cosxC3sinx．

(2)ypyqy0的特征方程為r2prq0；

解特征方程是把微分方程中的未知函數(shù)y換成未知元r，并將未知函數(shù)的導數(shù)的階數(shù)換成未知元r的次數(shù)而得到的代數(shù)方程．

（3）y2sinx的通解為2sinxC1xC2；

解方程兩邊積分得y=2sinxdx=2cosxC1，

微分方程的通解y(2cosxC1)dx=2sinxC1xC2．3

（４）y5y6y7滿足yx0772x3x和yx01的特解為ee．66

2解對應的齊次方程為y5y6y0，特征方程為r5r60，特征根為

r1=2，r2=3，對應齊次方程的通解為ycC1e2xC2e3x．

由于=0不是特征方程的根，故設ypQ(x)e0xAe0x，

將Q(x)A，Q(x)Q(x)0代入方程，有6A=7，即A=

于是方程的特解為yp7．67，6

2x3x方程的通解為y=C1e+C2e7．6

現(xiàn)在求滿足初始條件的特解．對y求導得y2C1e2x3C2e3x，

77y(0)CC,即C1C20,C11,12將初值代入y與y，有662C13C21,C21,1y(0)2C3C,12

于是，方程滿足初始條件的特解為y=e2x7e3x．6

(5)設y1(x),y2(x),y3(x)是線性微分方程ya(x)yb(x)yf(x)的三個特解，且y2(x)y1(x)C，則該微分方程的通解為y3(x)y1(x)

yC1(y2(x)y1(x))C2((y3(x)y1(x))y1(x)。

(6)函數(shù)yC1cos2xC2sin2x滿足的二階線性常系數(shù)齊次微分方程為y4y0。

(7)若連續(xù)函數(shù)f(x)滿足關系式f(x)

4．解答題

(1)用兩種方法求解yx2y；

解一對應的齊次方程為y2y0，特征方程為r2r0，特征根為r1=0，22x0tf()dtln2，則f(x)e2xln2。2

r2=2，于是對應的齊次方程的通解為yc=C1C2e2x．

由于=0是特征方程的特征單根，于是設yp=Q(x)e0x=x(Ax+B)e，求導得Q(x)2AxB，Q(x)2A，0x

1A,4則有2A2(2AxB)x，1B,4

所以方程的特解為yp=x(x1)，44

所求方程的通解為y=C1C2e2xx2x．+44

解二設yp(x)，則yp(x)，原方程變形為px2p，對應的齊次方程為p2p0，

用分離變量法，得dp2dx，p

兩邊積分，得lnp2xlnc，即pce2x，根據(jù)常數(shù)變易法，設pc(x)e

c(x)e

積分得c(x)2x2x，代入px2p，有2xx，c(x)xe,2xxedx=112x12x12x12x2xxdexeedxxeeC1，==22224

x1C1e2x，24變形后所得一階微分方程的通解為p=

所以，原方程的通解為y=p(x)dx=(x

21C1e2x)dx4

=C1C2e2xx2x．+44

(2)求方程(exyex)dx(exyey)dy0的通解；

xyyx解整理得e(e1)dxe(e1)dy，

eyex

dyxdx，用分離變量法，得ye1e1

兩邊求不定積分，得ln(ey1)ln(ex1)lnC，

于是所求方程的通解為e1

即eyyC，xe1C1．xe1

(3)求(y26x)y2y0的通解；

解分離變量，得dy2y，dx6xy2

dx6xy2x1取倒數(shù)，有3y，是x關于y一階線性微分方程．求此方程的通解．dy2yy2

dxx=3，dyy

dxdy=3，xy對應的齊次方程為用分離變量法，得

3兩邊積分，得lnx3lnylnc，即xcy，

用常數(shù)變易法，設方程的解為x=c(y)y，代入方程，有3

c(y)y311y，即c(y)2，22y

積分，得c(y)=1C，2y

所以，方程的通解為x=12yCy3．2

第八章向量代數(shù)與空間解析幾何

第一節(jié)向量及其線性運算（填空、選擇、判斷）

1、向量的線性運算：向量的加減法,向量與數(shù)的乘法

2、設向量a0,那末向量b平行于a的充分必要條件是:存在唯一的實數(shù),使

ba.

3、向量的坐標表示及其線性運算（加法、數(shù)乘）

4、向量的模與兩點間距離公式

5、向量的方向角與方向余弦：ncos,cos,cosn，cos2cos2cos21

6、向量在軸上的投影：Prjua|a|cos（為向量a與u軸的夾角）;

第二節(jié)數(shù)量積向量積混合積（填空、選擇、判斷）

一、兩向量的數(shù)量積

aab，定義1設有向量、它們的夾角為，乘積|a||b|cos稱為向量與b的數(shù)量積（或

稱為（1）ab|b|Prjba|a|Prjab;

（2）aa|a|;2

a（3）設、b為兩非零向量，則ab的充分必要條件是ab0.

二、兩向量的向量積

定義2若由向量a與b所確定的一個向量c滿足下列條件：

（1）c的方向既垂直于a又垂直于b,c的指向按右手規(guī)則從a轉向b來確定；

c|c||a||b|sin（2）的模，(其中為a與b的夾角)，

則稱向量c為向量a與b的向量積（或稱外積、叉積），記為

cab.（行列式算法）

根據(jù)向量積的定義，即可推得

（1）aa0；

（2）設a、b為兩非零向量，則a//b的充分必要條件是ab0.

向量積滿足下列運算規(guī)律:

（1）abba;

向量積的幾何意義：ab

三、向量共線與共面表示以a,b為兩邊的平行四邊形的面積.a(a,a,a),b(b,b,b)向量xyzxyz共線等價于aba//b，又等價于對應坐標成比例。向量a(ax,ay,az),b(bx,by,bz),c(cx,cy,cz)共面等價于存在不全為

零的數(shù)1,2,3使得1a2b3c0（即a,b,c線性相關）而這又等價于行列式

ax

bx

cxaybycyazbz0cz

第三節(jié)曲面及其方程

空間曲面研究的兩個基本問題是：

1．已知曲面上的點所滿足的幾何條件，建立曲面的方程;

2．已知曲面方程，研究曲面的幾何形狀.

例1建立球心在點M0(x0,y0,z0)、半徑為R的球面方程.

2222(xx)(yy)(zz)R解000

例2如下形式的三元二次方程(A≠0)

222A(xyz)

表示一個圓、點或圓的虛軌跡.

旋轉曲面（重要）:曲線DxEyFzG0f(y,z)0繞z軸旋轉的旋轉曲面方程為：

f(z)0；

繞y

軸旋轉的旋轉曲面方程為：f(y,0

x2z2

例3將xOz坐標面上的曲線221分別繞x軸和z軸旋轉一周，求所生ac

成的旋轉曲面的方程.

解繞z軸旋轉一周所生成的旋轉曲面方程為

x2y2z2

21,2ac

這個旋轉曲面稱為旋轉單頁雙曲面.繞x軸旋轉一周所生成的旋轉曲面方程為

x2y2z2

1.a2c2

這個旋轉曲面稱為旋轉雙頁雙曲面.

例4直線L繞另一條與L相交的定直線旋轉一周,所得旋轉曲面稱為叫圓錐面.兩直線的交點稱為圓錐面的頂點,兩直線的夾角(02)稱為圓錐面的半頂角.試建立頂點在坐標原點,旋轉軸為z軸,半頂角為的圓錐面方程.

z2a2(x2y2)(acot).

柱面：一般地只含x、y而缺z的方程F(xy)0在空間直角坐標系中表示母線平行于z軸的柱面其準線是xOy面上的曲線CF(xy)0其他類似

常見柱面：圓柱面、橢圓柱面、拋物柱面，雙曲柱面、平面

二次曲面：會根據(jù)方程的特點判斷二次曲面的類型（填空或選擇）

第四節(jié)空間曲線及其方程

一、空間曲線的一般方程F(x,y,z)0G(x,y,z)0

xx(t)yy(t)（一般利用拓撲或圓的參數(shù)方程，把曲線的一二、空間曲線的參數(shù)方程zz(t)

般方程轉化為參數(shù)方程）

三、空間曲線在坐標面上的投影

F(x,y,z)0,H(x,y)0G(x,y,z)0.

例1圓柱螺旋線的參數(shù)方程.H(x,y)0z0

xacostxacos解yasint或者yasin

zvtzb

當vt,b2時h2b,螺距.

x2y2z21例2求曲線在坐標面上的投影方程.z1/2

3,在xOy面上的投影為4

32xy24;

z0

1(2)因為曲線在平面z上，所以在xOz面上的投影為線段2解(1)消去變量z后得xy22

z2,|x|;y02

(3)同理在yOz面上的投影也為線段

z2,|y|;x02

例3設一個立體由上半球面z4x2y2和錐面z3(x2y2)所圍成,求它在xOy面上的投影.

解半球面和錐面的交線為

22z4xyC:,22z3(xy)

x2y21消去z得投影柱面xy1,則交線C在xOy面上的投影為.z022

所求立體在xOy面上的投影為x2y21.

考大題一般集中在下面兩節(jié)：即平面和直線部分。

第五節(jié)平面及其方程

一、平面的點法式方程：

A(xx0)B(yy0)C(zz0)0.

二、平面的一般方程：

注意有AxByCzD0,A0等條件時，平面的特點.xyz1.abc

(k1,2,3)的平面方程為三、平面的截距式方程：四、平面的三點式方程：過三點Mk(xk,yk,zk)

xx1

x2x1

x3x1yy1y2y1y3y1zz1z2z10z3z1

四、兩平面的夾角：設有兩平面1和2：

1:A1xB1yC1zD10,n1{A1,B1,C1}

則兩平面的夾角cos|A1A2B1B2C1C2|

ABCABC2

12121222222

從兩向量垂直和平行的充要條件，即可推出：

（1）12的充要條件是A1A2B1B2C1C20；

（2）1//2的充要條件是A1B1C1.A2B2C2

A1B1C1D1.A2B2C2D2

.（3）1與2重合的充要條件是五、點到平面的距離：d|Ax0By0Cz0D|

ABC222

第六節(jié)空間直線及其方程

一、空間直線的一般方程：A1xB1yC1zD10,A2xB2yC2zD20.

xx0yy0zz0mnp二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程：

三、兩直線的夾角

設s1{m1,n1,p1}，s2{m2,n2,p2}分別是直線L1，L2的方向向量，則L1與L2的夾角應是(s1,s2)和(s1,s2)(s1,s2)兩者中的銳角.因此cos|cos(s1,s2)|.仿照對于平面夾角的討論可以得到下列結果.

|s1s2||m1m2n1n2p1p2|（1）cos；222222|s1||s2|m1n1p1m2n2p2

（2）L1L2的充要條件是m1m2n1n2p1p20；

（3）L1//L2的充要條件是

四、直線與平面的夾角

（1）設直線的方向向量為s{m,n,p}，平面的法向量n{A,B,C},直線與平面的夾角

為，則sin|cos(s,n)|m1n1p1.m2n2p2|AmBnCp|

ABCmnp222222；

（2）L的充要條件是ABC;mnp

（3）L//的充要條件是AmBnCp0.

五、平面束

通過空間一直線可作無窮多個平面,通過同一直線的所有平面構成一個平面束.設空間直線的一般方程為

A1xB1yC1zD10,AxByCzD0.2222

則方程

(A1xB1yC1zD1)(A2xB2yC2zD2)0,

稱為過直線L的平面束方程,其中為參數(shù).

注:上述平面束包含了除平面

A2xB2yC2zD20

之外的過直線L的所有平面.

xyz10.例1用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線2xy3z40

解在直線上任取一點(x0,y0,z0),例如,

yz020取x010y00,z02,y3z6000

得點坐標(1,0,2),因所求直線與兩平面的法向量都垂直,

ijk可取sn1n2111{4,1,3},

213

對稱式方程x1y0z2,413

x14t.參數(shù)方程yt

z23t

例2求過點(3,2,5)且與兩平面x4z3和2xy5z1的交線平行于的直線方程.

解設所求直線的方向向量為s{m,n,p},根據(jù)題意知sn1,sn2,ijk取sn1n2104{4,3,1},

215

所求直線的方程x3y2z5.431

x1y1z垂直相交的直線方程.321例3求過點M(2,1,3)且與直線

解先作一過點M且與已知直線垂直的平面,

3(x2)2(y1)(z3)0,

再求已知直線與該平面的交點N,x3t1x1y1zt

y2t1.令321zt

代入平面方程得t32133,交點N,,,取所求直線得方向向量為,7777

133126242－2－1，－－3，－,777777

所求直線方程為

平面束

x2yz60例4過直線L:作平面,使它垂直于平面1:x2yz0.x2yz0x－2y1z－3.2－14

解設過直線L的平面束()的方程為(x2yz6)(x2yz)0,

即(1)x2(1)y(1)z60.

現(xiàn)要在上述平面束中找出一個平面圖,使它垂直于題設平面1,因平面垂直于平面1,故

平面的法向量n()垂直于平面1的法向量n1{1,2,1}.于是n()n10,即

1(1)x4(1)(1)0.

解得2,故所求平面方程為:3x2yz60.容易驗證，平面x2yz0不是所求平面.

第九章：多元函數(shù)微分法及其應用

第一節(jié)：多元函數(shù)的基本概念

1、會求多元函數(shù)的定義域、極限（重要）

2、知道證明極限不存在的方法沿不同路徑趨近定點時，極限不相等?。ㄍǔ？紤]三條

路徑：

lim沿平行x軸方向：limf(x,y)；沿平行y軸方向：xxxx0yy00f(x,y)yy0

沿直線yy0k(xx0)方向：

xx0

y0k(xx0)y0

lim

f(x,y)

第二節(jié)：偏導數(shù)

1、會求二階以下的偏導數(shù)；注意在界點處的偏導數(shù)要用定義來求（見P67）;偏導數(shù)與連續(xù)性的關系，混合偏導數(shù)相等的條件。2、討論多元函數(shù)在一點處的極限、連續(xù)、可導性。

3、注意：偏導數(shù)是把其他變量看成常數(shù)來求導數(shù)，所以本質上還是一元函數(shù)的導數(shù)。

第三節(jié)：全微分

全微分公式，可微、可導、連續(xù)之間的關系（小題）

第四節(jié)：多元復合函數(shù)的求導法則‘‘的意義（見P79，例4）重要1、復合函數(shù)求導公式，注意記號f1’,f12

2、全微分公式：dz

fu(u,v)dufv(u,v)dv

第五節(jié)：隱函數(shù)求導公式

1、方程或方程組的隱函數(shù)求導方法：（1

）.公式法；（2）兩邊求導法；附：二元線性代數(shù)方程組

a1xb1yc1

解的公式

a2x

b2yc2

x

1a1b1a2b2

c1c2

b1b2

；y

1a1b1a2b2

a1a2

c1c2

注意函數(shù)F(x,y,z)xyz與方程F(x,y,z)xyz0的偏導數(shù)的區(qū)別。以對求導為例，前者把

x

z看成常數(shù)，后者把z看成函數(shù)zz(x,y)。

第六節(jié)：多元函數(shù)微分學的幾何應用1、向量值函數(shù)的極限、連續(xù)與導數(shù)通過其分量函數(shù)來實現(xiàn)2、向量值函數(shù)的導數(shù)的幾何意義：終端曲線在某點處的切向量3、向量值函數(shù)的物理意義：一階導數(shù)為速度，二階導數(shù)為加速度

4、空間曲線（參數(shù)形式、y(x)以及一般形式）的切向量z(x)T記切線和法平面方程。一

般形式時有兩種方法，公式法和兩邊求導法

5、空間曲面（隱式和顯式）的法向量、及切平面與法線的方程。

第七節(jié)：方向導數(shù)與梯度

方向導數(shù)與梯度公式；二者之間的關系（梯度的模為方向導數(shù)的最大值，梯度方向為函數(shù)變化最快的方向）；梯度的幾何意義為為等值線（面）上某點的法線方向（參見例6）。

第八節(jié)：多元函數(shù)的極值及其求法

1、求極值的一般步驟：一、求駐點；二、判別

2、條件極值的求法：（1）轉化為無條件極值；（2）的拉格朗日乘數(shù)法。

第十章重積分

【本章重要知識點】

1.理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質，知道二重積分中值定理。

2.熟練掌握二重積分在直角坐標系下的計算方法。

3.掌握二重積分在極坐標系下的計算方法，掌握三重積分在直角坐標系、柱坐標系、球坐標系下的計算方法。

4.會用重積分來表達一些幾何量（如平面圖形的面積、體積、曲面面積）和物理量（如質量、質心坐標、轉動慣量、引力等）。

第一、二節(jié)二重積分

一、主要內容

1．二重積分的幾何與物理意義：

2．二重積分的性質：

性質1、

性質2、Dkf(x,y)dkf(x,y)d，k為非零常數(shù)；DD{f(x,y)g(x,y)}df(x,y)dg(x,y)d；DD

性質3、若DD1D2，且D1D2（除邊沿部分外），則

Df(x,y)df(x,y)dD1D2f(x,y)d

f(x,y)dg(x,y)d；D性質4、若f(x,y)g(x,y)，(x,y)D，則：

特例：⑴若f(x,y)0，(x,y)D，則

⑵|DDf(x,y)d0；Df(x,y)d||f(x,y)|dD

性質5、（估值定理）若mf(x,y)M，(x,y)D，則

m

D

f(x,y)dM（是D的面積）

性質6、（中值定理）若f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則存在(,)D，使得：

D

f(x,y)df(,)（是D的面積）

3.直角坐標下二重積分的計算：①對于一般的二重積分

D

f(x,y)d，若其積分區(qū)域D為X型區(qū)域，即D：

b2(x)axb

，則也有：f(x,y)d[f(x,y)dy]dx；Da(x)1

1(x)y2(x)

②同理，若積分區(qū)域D為Y型區(qū)域，即D：

cyd

d

1(y)x2(x)

c

，則有：

D

f(x,y)d[

c

d

2(y)

1(y)

f(x,y)dx]dydy

2(y)

1(y)

f(x,y)dx

③如果積分區(qū)域不是簡單區(qū)域，則應當適當劃分為簡單區(qū)域再逐個積分。5.極坐標下二重積分的計算:⑴D：

()

，則

1()r2()

2()

1()

r)

D

f(rcos,rsin)rdrdd

O

f(rcos,rsin)rdr

)

⑵D：，則

0r()

D

f(rcos,rsin)rdrdd

()

f(rcos,rsin)rdr

02

⑶D：，則

0r()

D

f(rcos,rsin)rdrd

20

d

()

f(rcos,r

sin)二、典型例題例1改變積分解：原式

1

dx

01y0

1

11x

f(x,y)dy的次序.

dy

01

f(x,y)dx.

2xx2

例2改變積分解：原式

dx

f(x,y)dy1dx0

22x

f(x,y)dy的次序.

dy

2y

11yf(x,y)dx.

例3計算2D,其中是由拋物線yx及直線yx2所圍成的區(qū)域。xydD

解：(法一)D1:0x1,xyx,D2:1x4,x2yx

xydxydxyd

DD1D2

dx01xxxyddx14xx245xyd8

(法二)D:1y2,y2xy2,xyddy2xydx

D1y2y2458

例4求2yxedxdy，其中D是以(0,0),(1,1),(0,1)為頂點的三角形.

D2

解:ey2dy無法用初等函數(shù)表示，積分時必須考慮次序。

22yxedxdy0dy0xe

D1y2y2dx0e1y2y33

0e1y2y2212(1).66e

注：在化二重積分為二次積分時，為了計算簡便，需要選擇恰當?shù)亩畏e分的次序。這時，即要考慮積分區(qū)域D的形狀，又要考慮被積函數(shù)fx,y的特性。

例5計算e

Dx2y2dxdy，其中D是由中心在原點，半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域.

解：在級坐標系下，D:0a,02

xeD2y2dxdyeddded

222a21eaD00

注：使用極坐標變換計算二重積分的原則：

(1)、積分區(qū)域的邊界曲線易于用極坐標方程表示(含圓弧,直線段)；

22(2)、被積函數(shù)表示式用極坐標變量表示較簡單(含(xy),為實數(shù))。

例6計算I=Dyx2dxdy,其中D是由直線x1,x1,y2和x軸圍成的平面區(qū)域。

解：與一元函數(shù)情形類似，帶有絕對值的函數(shù)進行微分或積分運算時，需先脫去絕對值，區(qū)域D被曲線yx2分為上下兩個部分，每一部分上被積函數(shù)的絕對值

yx2yx2不變號，且DD1D2.于是

Iyx2dxdyx2ydxdy

D1D2

dx2yxdydx1x11221x20x2ydy

3322x21212222(yx)2dx(xy)dx3131x0

414152(2x2)dxx3dx303023

例7設D是xOy平面上（1，1），（-1，1）和（-1，-1）為頂點的三角形區(qū)域，D1是D在第一象限的部分，則

（A）2（提示利用對稱性）(xycosxsiny)dxdy等于（）D3cosxsinydxdy（B）2xydxdy

D1D1

（C）4(xycosxsiny)dxdy（D）0D1

解：引輔助線OA，把D分成四部分，即D=D1D2D3D4,區(qū)域D2D3關于x軸對稱，函數(shù)f(x,y)xycosxsiny關于y是奇函數(shù)；xy在D1D4上關于x奇且D1D4上關于x奇且D1D4關于y軸對稱，故

(xycosxsiny)dxdyDD2D3D1D4D1D4(xycosxsiny)dxdy2cosxsinydxdy

D1

故答案選（A）

例8．設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，并設

求0f(x)dxA，101dxf(x)f(y)dy。x1

解法1：化為二重積分，然后利用二重積分的性質。

如圖，D：0x10y1，D1：。

xy1yx1

∵011x與y對換f(y)f(x)dxdy，dxf(x)f(y)dyf(x)f(y)dxdyxDD1

∴11(f(x)f(y)dxdyf(x)f(y)dxdy)dxf(x)f(y)dy0x21

DD1

1

2DD1f(x)f(y)dxdy

y11112f(x)dxf(y)dyA。0022解法2：更換二次積分順序∵

∴011dxf(x)f(y)dyx11換序00dyf(x)f(y)dx1x對換dxf(x)f(y)dyf(x)dxf(y)dyA2。0200202

解法3：利用定積分換元法。

01dxf(x)f(y)dy[f(y)dy]f(x)dx[f(y)dy]d[f(y)dy]x0x0x111111x

[

[

解法3：利用分部積分

01121xxf(y)dy]d[f(y)dy]1x1f(y)dy]2110[0211f(y)dy]2A2。211x01dxf(x)f(y)dy[f(y)dy]f(x)dx[f(y)dy]d[f(y)dy]x0x0x1111

xx1x1xx[f(y)dy]d[f(y)dy](f(y)dyf(y)dy)1[f(y)dy]f(x)dx01111001

[10f(y)dy]2dxf(x)f(y)dyA2dxf(x)f(y)dy，0x0x

112dxf(x)f(y)dyA。0x211111得所求二重積分的方程，解之得

第三節(jié)三重積分

一、主要內容

1、三重積分的物理意義

如果fx,y,z表示某物體在x,y,z處的質量密度,是該物體所占有的空間區(qū)域,且fx,y,z在上連續(xù),則和式f

i1ni,i,ivi就是物體質量M的近似值,該和式

當0時的極限值就是該物體的質量M，故Mfx,y,zdv。特別地,當

fx,y,z1時,dv的體積。

2、利用直角坐標計算三重積分

設x,y,zz1x,yzz2x,y,x,yDxy，且

x,yy1xyy2x,axb，則三重積分可化為如下三次積分：Dxy

fx,y,zdvdxaby2xy1xdyz2x,y

z1x,yfx,y,zdz

3、利用柱面坐標計算三重積分

三重積分由直角坐標變量變換成柱面坐標變量的計算公式為

fx,y,zdxdydzfcos,sin,zdddz。至于變量變換為柱面坐標后的

三重積分的計算，則可化為三次積分來進行，其積分限要由,,z在中的變化范圍來確定。具體說來，用柱面坐標,,z表示積分區(qū)域的方法如下：

(1)、找出在xoy面上的投影區(qū)域Dxy,并用極坐標變量,表示之；

(2)、在Dxy內任取一點,,過此點作平行于z軸的直線穿過區(qū)域,此直線與邊界曲面的兩交點之豎坐標(將此豎坐標表示成,的函數(shù))即為z的變化范圍。

二、典型例題

例1計算三重積分

域.

解（一）zdxdydz，其中為三個坐標面及平面xyz1所圍成的閉區(qū)1zdxdydzzdzdxdy,D

0Dzz{(x,y)|xy1z}

11112z(1z)dz原式.dxdy(1z)(1z)02242Dz

解（二）zdxdydzzdz011z0dy1yz0dx

11z112z(1z)dz。zdz(1yz)dy0200241例2利用柱坐標計算三重積分

閉區(qū)域。

解::2z4,022,其中是由曲面與平面所圍成的zxyzdxdydz2,02，

4zdxdydz20dd022zdz643

例3．求由曲面z8x2y2，zx2y2所圍立體的體積。

z8x2y2x2y24解法1：兩曲面的交線。22zxyz4

故所求立體在xoy面上的投影區(qū)域為D{(x,y)x2y24}。V

(8x2y2)d(x2y2)dDD

D(8x2y2x2y2)d[82(x2y2)]dD2

021d(822)d2(42

4)022

016解法2：VdV0

22dd0282dz2122(822)d2[424]016。02

解法3：V8dVdz

0

4D1(z)dxdydz48D2(z)dxdyzdz(8z)dz16。044例4．設If(x,y,z)dV，其中是由x2y2z24和x2y23z圍成的區(qū)域，試

在直角坐標系、柱面坐標系和球面坐標系下分別將I化為三次積分。解：（1）在直角坐標系下，

x2y2z24x2y23兩曲面的交線為2，2xy3zz1

在xoy面上的投影區(qū)域為Dxy{(x,y)x2y23}。I

（2）在柱面坐標系下，33dx3x24x2y2dy223x2xyf(x,y,z)dz。

22{(,,z)02,03,z4}，dVdddz，3

Id020d42

2

3f(cos,sin,z)dz。

第四節(jié)重積分的應用

一、主要內容

1、曲面的面積（重點）

設曲面S由方程zf(x,y)給出,Dxy為曲面S在xoy面上的投影區(qū)域,函數(shù)f(x,y)在Dxy上具有連續(xù)偏導數(shù)fx(x,y)和fy(x,y),則曲面的面積為：

Afx2(x,y)fy2(x,y)d

Dxy

若曲面的方程為xg(y,z)或yh(z,x),可分別將曲面投影到y(tǒng)oz面或zox面,設所得到的投影區(qū)域分別為Dyz或Dzx,類似地有

2

ADyzx1yxdydzzA或Dzxyz2ydzdxx2

2、質心、轉動慣量、引力（了解）

第十一章：曲線積分與曲面積分

1.

2.

3.理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質及兩類曲線積分的關系。掌握計算兩類曲線積分的方法。熟練掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑無關的條件，會求全微分的原

函數(shù)。

4.

5.了解兩類曲面積分的概念、性質及兩類曲面積分的關系，掌握計算兩類曲面積分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，會用高斯公式計算曲面積分。知道散度與旋度的概念，并會計算。

6．會用曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量。

第一節(jié)：對弧長的曲線積分

各種形式的曲線積分的算法，注意積分下限小于積分上限。

1、平面曲線：

(1)若L的參數(shù)方程為x(t)y(t)(t)則

L

L

Lf(x,y)dsf[(t),(t2(t)2(t)dt(<)b(2)若曲線L的方程為y(x)(axb)則f(x,y)dsf[x,(x2(x)dxad(3)若曲線L的方程為x(y)(cyd)則f(x,y)dsf[(y),y2(y)1dyc

2、空間曲線：若曲的方程為x(t)y(t)z(t)(t)則

f(x,y,z)ds

f[(t),(t),(t2(t)2(t)2(t)dt

第二節(jié)：對坐標的曲線積分（有方向）

各種形式的曲線積分的算法，注意積分下限對應于始點，上限對應于終點。

注意積分變量的選取！兩類曲線積分的了解！

1、平面曲線：設P(xy)、Q(xy)是定義在光滑有向曲線Lx(t)y(t)上的連續(xù)函數(shù)則

LLP(x,y)dxP[(t),(t)](t)dtQ(x,y)dyQ[(t),(t)](t)dt

當曲線L的方程為y(x)(axb)x(y)(cyd)時，分別選取x和y作為參數(shù)。

2、空間曲線：若空間曲線由參數(shù)方程xt)y=(t)z(t)給出那么曲線積分P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz

{P[(t),(t),(t)](t)Q[(t),(t),(t)](t)R[(t),(t),(t)](t)}dt

PdxQdyRdz(PcosQcosRcos)ds其中對應于的起點對應于的終點3、兩類曲線積分之間的了解：

上式是合寫形式，意味著兩兩相等.

4、對坐標的曲線積分是定積分的推廣，而對弧長的曲線積分不是定積分的推廣。

第三節(jié)：格林公式及其應用

注意格林公式成立的條件即曲線L是閉合的且有方向

熟練掌握例4

利用積分與路徑無關求解微分方程的積分！

1、格林公式：設閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成函數(shù)P(xy)及Q(xy)在D上具有一階連續(xù)偏導數(shù)則有

(

DQPdxdyPdxQdyLxy

其中L是D的取正向的邊界曲線

應注意的問題

對復連通區(qū)域D格林公式右端應包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分且邊界的方向對區(qū)域D來說都是正向此外，有時候所給曲線不閉合，這時候可以不上一段曲線使之閉合然后再用格林公式（例4一定要會）。

2、區(qū)域面積公式：設區(qū)域D的邊界曲線為L取PyQx則由格林公式得

21xdyydxdxdyxdyydx或AdxdyLL2DD

3、積分LPdxQdy在Dyy0xxP(x,y0)dxQ(x,y)dy

0yQ(x0,y)dyxP(x,y)dx0y

注意定點(x0,y0)的選取本著計算簡單的原則，計算時要保證所選路徑在區(qū)域f(x,y,z)dSf[x,y,z(x,yzx2(x,y)z2

Dxy

（2）如果積分曲面的方程為yy(zx)Dzx為在zOx面上的投影區(qū)域則函數(shù)f(xyz)在上對面積的曲面積分為

f(x,y,z)dSf[x,y(z,x),zDzx22yz(z,x)yx(z,x)dzdx

（3）如果積分曲面的方程為xx(yz)Dyz為在yOz面上的投影區(qū)域則函數(shù)f(xyz)在上對面積的曲面積分為

22f(x,y,z)dSf[x(y,z),y,z]x(y,z)x(y,z)dydzyzDyz

2、dSA其中A為曲面的面積

3、對面積的曲面積分是二重積分的推廣

第五節(jié)：對坐標的曲面積分

1、將曲面積分化為二重積分

（1）若由方程zz(xy)給出的在xOy面上的投影區(qū)域為Dxy函數(shù)zz(xy)在Dxy上具有一階連續(xù)偏導數(shù)被積函數(shù)R(xyz)在上連續(xù)則有

R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdy（上正下負）

Dxy

（2）如果由xx(yz)給出則有

P(x,y,z)dydzP[x(y,z),y,z]dydz（前正后負）

Dyz

（3）如果由yy(zx)給出則有

Q(x,y,z)dzdxQ[x,y(z,x),z]dzdx（右正左負）

Dzx

2、若由方程zz(xy)給出，若選取上冊，則n(zx,zy,1)；若選下側，則n(zx,zy,1)。

3、兩類曲面積分之間的了解：R(x,y,z)cosdSR[x,y,z(x,y)]dxdy

Dxy

P(x,y,z)dydzP(x,y,z)cosdSQ(x,y,z)dzdxP(x,y,z)cosdS

綜合起來有

PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dS

4、利用兩類曲面積分之間的了解對yz和zx的積分轉化為對xy，其他類似：

PdydzPcosdSP

coscoscosdSPdxdycoscos

coscoscosdSQdxdycoscos

第六節(jié)：高斯公式QdzdxQcosdSQ

1、設空間閉區(qū)域是由分片光滑的閉曲面所圍成函數(shù)P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在上具有一階連續(xù)偏導數(shù)則有

(

PQR)dvPdydzQdzdxRdxdyxyz

Q

yR

z)dv或(

Px(PcosQcosRcos)dS

2、利用高斯公式計算曲面積分時，若曲面不封閉需要補上一段曲面。計算時注意曲面?zhèn)鹊倪x取原則：應為封閉曲面的外側。

3、高斯公式意味著上述三重積分和曲面積分兩兩相等。

第十二章無窮級數(shù)

目的：

1．理解常數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質及收斂的必要條件。

2．掌握幾何級數(shù)與P級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。

3．掌握正項級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法。

4．掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法。

5．了解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，以及絕對收斂與條件收斂的關系。

6．了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。

7．理解冪級數(shù)收斂半徑的概念，并掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。

8．了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內的一些基本性質（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項微分和逐項積分），會求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內的和函數(shù)，并會由此求出某些常數(shù)項級數(shù)的和。

9．了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。

10．掌握e,sinx,cosx，ln(1x)和(1a)的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。

11.了解傅里葉級數(shù)的概念和函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)的狄利克雷定理，會將定義在[-l，l]上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，會將定義在[0，l]上的函數(shù)展開為正弦級數(shù)與余弦級數(shù)，會寫出傅里葉級數(shù)的和的表達式。

重點：

1、級數(shù)的基本性質及收斂的必要條件。

2、正項級數(shù)收斂性的比較判別法、比值判別法和根值判別；

3、交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法；x

4、冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域；

5、ex,sinx,cosx，ln(1x)和

6、傅里葉級數(shù)。

難點：

1、比較判別法的極限形式；

2、萊布尼茨判別法；

3、任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂；

4、函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)；

5、泰勒級數(shù)；

6、傅里葉級數(shù)的狄利克雷定理。

§121常數(shù)項級數(shù)的概念和性質

例1等比級數(shù)(幾何級數(shù))

1的麥克勞林展開式；(1x)

n0aqnaaqaq2aqn

n收斂a其和為當|q|1時則級數(shù)aqn發(fā)散。1qn0當|q|1時級數(shù)aqn0

例2證明調和級數(shù)

n1n123n是發(fā)散的1111

例3判別無窮級數(shù)

解由于

un

因此

sn1111的收斂性（拆項法求和）122334n(n1)111n(n1)nn11111122334n(n1)

(1)()

從而limsnlim(1n

121123n1111nn1n111所以這級數(shù)收斂它的和是1n1

例4判斷級數(shù)2n1的斂散性,若收斂求其和（倍數(shù)求和）n2n1

解Sn1352n1232222n

152n11352n113SnSn23n234n1222222222

2n1111n1n1222

12n1所以Sn3n2，故limSn3。n22n

性質1兩個收斂級數(shù)的和差仍然收斂；收斂級數(shù)與發(fā)散級數(shù)的和差仍然發(fā)散；發(fā)散級數(shù)的和差不一定發(fā)散（例un(1)2n,un(1)2n1）

性質2改變有限項不改變級數(shù)的斂散性！

性質3原級數(shù)收斂，則加括號后仍收斂；若機括號后級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)發(fā)散；去括號沒有相應結論

性質4如果un收斂則它的一般項un趨于零即limun0

n1n0

（性質4的等價命題：若limun0，則級數(shù)un發(fā)散）n0n1

§122常數(shù)項級數(shù)的審斂法

一、正項級數(shù)及其審斂法

1、比較審斂法：設un和vn都是正項級數(shù)且unvn(n12)若級數(shù)vn收斂則

n1n1n1

級數(shù)un收斂反之若級數(shù)un發(fā)散則級數(shù)vn發(fā)散

n1n1n1

推論：設un和vn都是正項級數(shù)如果級數(shù)vn收斂且存在自然數(shù)N使當nN時有

n1n1n1

unkvn(k0)成立則級數(shù)un收斂如果級數(shù)vn發(fā)散且當nN時有unkvn(k0)成立

n1n1

則級數(shù)un發(fā)散

n1

2(比較審斂法的極限形式)設un和vn都是正項級數(shù)

n1n1

ul(0l)且級數(shù)vn收斂則級數(shù)un收斂(1)如果limvnnn1n1

ununl0或lim且級數(shù)vn發(fā)散則級數(shù)un發(fā)散(2)如果limnvnnvnn1n1

一般的，我們選取p級數(shù)

例1p級數(shù)

1作為比較級數(shù)。n1n

n1111111np2p3p4pnp

當p1時收斂當p1時發(fā)散

3(比值審斂法根植審斂法)設un為正項級數(shù)如果

n1

u或者limnnunnlim

則當1時級數(shù)收斂當1(或)時級數(shù)發(fā)散當1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散

2(1)n例2判定級數(shù)的收斂性n2n1

解因為limnlimn1(1)n1

（注1）2n2

所以根據(jù)根值審斂法知所給級數(shù)收斂

二、交錯級數(shù)及其審斂法

定理6（萊布尼茨定理）如果交錯級數(shù)(1)n1un滿足條件

n1

(1)unun1(n123)(2)limun0n

則級數(shù)收斂且其和su1其余項rn的絕對值|rn|un1

三、絕對收斂與條件收斂若級數(shù)|un|收斂則稱級數(shù)un絕對收斂若級數(shù)un

n1

n1n1

收斂而級數(shù)|un|發(fā)散則稱級un條件收斂（絕對收斂收斂，反之不對）

n1n1

例3級數(shù)(1)

n1n11是絕對收斂的而級數(shù)(1)n11是條件收斂的nn2n1

值得注意的問題如果級數(shù)|un|發(fā)散我們不能斷定級數(shù)un也發(fā)散但是如

n1n1

果我們用比值法或根值法判定級數(shù)|un|發(fā)散即lim

n1

nun1

1或者1nun

則我們可以斷定級數(shù)un必定發(fā)散這是因為此時|un|不趨向于零從而un也不趨向于零

n1

因此級數(shù)un也是發(fā)散的

n1

例4判別級數(shù)(1)n

n11(11n2的收斂性n2n

解由|un|1(11)n2有l(wèi)imu|1lim(11n1e1nn2nn2n2n

可知limun0因此級數(shù)(1)n

nn11(11)n2發(fā)散n2n

2

n例5正項級數(shù)un收斂，則級數(shù)

n1un1也收斂！反之不對2un112limun0由比較判斂法可知un也收斂！反過來，考察和2。因為limnnun1n1nn1nn

判別正項級數(shù)斂散性的方法與步驟

發(fā)散

比較審斂法部分和極限

收斂發(fā)散

§123冪級數(shù)

定理1(阿貝爾定理