高等數學期末考試題答案

一、填空題（10220 3xy C

ezxy4（0，0）6．

6xcosx2ex(eD(x,y)|1x2y2AAD5

二、選擇題（5210三、計算題（6530計算不定積分excosxdxexcosexcosxexsinexcosxsinexcosxexsinxexcos2excosxdxexcosxexsinexcosxdx1[ex計算定積分e1lnxdx e1lnxdxe1dxelne 1 e1lnxe1

lnxe1ln2x 11 xyf(xyxy1lnxyfx(xy

fx(xy[x(y1)

x1(y

y x y11xy11(11xy11(y 24zexy的全微分及dzexyydx

exy(ydxxdy) e2(2dx y2yex解：p(x) q(x)yepx)dx[q(x)epx)dxdxc]ye(2)dx[exe(2)dxdxc]ye2x[exe2xdxe2x[exdxe2x[=ce2xzuv而uetvcost求解zuvvzuv du(et)et dv

sin dzzduz u vvetvetu(sinetcostetsin方法二：將uetvcostzuvzuvetdz(etcost)etcostetsintn判別級數nn四、判斷題（15，解：

=

(n1)!nn

n)n=e11n五、計算題（155

yx2，y

x解：兩曲線的交點為（0,0）,（1,1）,于是積分區(qū)間為xxS1 x2x

0 [

x2

x3 3 31六、計算題（166設Dxoy平面上由曲線xy2y2xIyexdxdyDIyexdxdy

所圍成的區(qū)域，試求 2yexy2

2ydyy2 2y[ey2012ey2221[ey2y]21[e42 七．計算題（155 2zf(xyxyf具有二階連續(xù)偏導數。試求xxy 解：zf

yf2z

f

uu+(xy)

1z1

f'

2z

2zfzff

yf2z

+(xy)

八、計算題（16，6

(n1)xnR

11(11x1時級數為(1n發(fā)散

lim(1n)0x

時級數為(1)n(1n發(fā)散

lim(1)n(1n)0

(n1)xn的收斂區(qū)間為（-S(x(nS(x)dx

x(1n)xndxx(1n)xndx x

0

n0

xnx1

x(-S(x)

(1 (n1)xn

(1x)2

x∈（-九、應用題（188某化妝品公司計劃通過報紙 做化妝品的促 .根據統計資料銷售收入R與報紙費用

(百萬元)和電視費

R1514x32y若可供使用 費為150萬元,求相應的最 策解：已知報 費用

果限定廣告支出為150萬元即1.5百萬元，則問題轉化為求函數R(x,y)1513x

在條

xy xy1.5

構造日函F(x,y,)151 8y4x 3

8xx0,y十、證明題（15a

1證明0xf

)dx2

x2t則2xdxdtxdx1dtx2

時t

xata

a

于是左邊0xf

)dx0xf

)xdx2

tf 2即

xf(x)dx=右邊a

10xf

)dx2

(a2007-20082）1.2.3.4.5.6.7. lnx2x0.1x2011

82）(x,y)1x2y2ydx2y1x3計算定積分2xexdx0 解：2xexdx 2x

三、計算題（47280xex0

2ex002e2ex0e21求不定積分(x22xsinx 解：(x22xsinx x1x312xcosxarctanx x ln1計算定積分8033

txt3dx3t2dt28 dx23t 30 01332(t111013[2

102tln|t1|]|23ln0

yx

y2xyy由 y（2，4S 2(2xx20(x21x3) 31四、計算題（2816 2設zexyyx2， 解：

xexy(xy)2yxxyexy2

(yexyyexy(xy)y(1xy)exy

x2y2z2

z

f(x,y可導。求z和z及dz F(xyz)x2y2z22zFx2x，Fy2y，Fz2zzFx

1zdz

1

dx

y1五、計算題（7

dy2xyx

12p(x)2xq(x)xyepx)dx[q(x)epx)dxdxe2xdx[xe2xdxdxex2(xex2dxex2(2

12y(0)1，則c12y12六、計算題（6計算二重積分(2x2ydDx0y0y1xD (2x2y)D

0 (2x1(2xyy2)1x 1(1x203七、應用題（11設生產某種產品的數量Q(xyABxyQ(xy2x08y0

?，F用300 兩種原料，已知A和B兩種原料的 （本題要求 日乘數法求解解：設A原料x單位和B原料y單位，則該種產品的數量Q(xy2x08y02xy令F(xy)2x08y02(xy300F1.6x02y02 x 由F0.4x08y080 Fxy300 根據實際問題可知Q(x,y一定存在最大值，故（240，60）是使Q(x,y答：A原料240單位和B原料60單位，才能使生產該種產品的數8216）cabdcdab216sinx15xln (x,y)x22xy(ydx三二三、計算題（4728求不定積分xlnxx2xxlnxdxlnxd lnx2 1lnx x

1x 1x1 1x解：11

dx

1

dx

1x2arctanx1ln(1x2)2x計算定積分2 xx1x

tx1t2dx2tdt2 dx=12tdtx1x

01=21(11 10=2[tln|t1|]|12(1ln0yx2yx所圍成的平面圖形的面積。yy由 y（1，1S 1(xx201

13(2x3x)6四、計算題（2612 2

zxln(xy)，求x和 解：

ln(xy)x1lnxlny2

(lnxlnyyxy2z2xzzz(x,y

zz F(xyz)xy2z2xzFx1z，Fy2y，Fz2zzFx z

z12z五、計算題（177

dy1y2x

0p(x)1q(x)2xxyepx)dx{q(x)epx)dxdx1e

1x(2dxx(2xy(10，則c2yx(2x六、計算題（155計算二重積分D

Dx0y0y1x D

1xy21x 1(x2x20七、應用題（21102616y單位產品時的總成本是C(xyx23y2xy15xy單位產品，則總成本C(x,y)x23y2xy15xy1000令F(xy)x23y2xy15(xy10002x1由6y1由

x，得yx 根據實際問題可知C(xy一定存在最小值，故（750，250）是使C(xy某商品的需求量QPPln2,已知該商品的最大需求量為（P0Q1000，求該商品的需求量QP

PdQPlnQ1dQQQ11dQ(ln2)dP，即lnQPln2c，從而Qc2P，由初始條件Q(0)1000，則c1000，所求的需求函數為Q10002P。Q1yx22

10220）2x0(1x2).5.15y2Df 8.(2,-2差分V(x22x+1.2.4.5.6.8.9.

10220）三、計算題（3721x求不定積分 x解

t 2tdtt1x2t11x

1 t1

2t

x=2(tln|txx=x

ln

1|)ee

xlne解xln =1lnee 21(x2lnx

ex2dx

1(x2lnx|e

e=

=

=1(e21x2|e =1(e28 zz2z2已知zx

1yexy，，2

y2exy2

x2exy2

四、計算題（2714yx2

y

ì?y=?解 由??

y=得交點(0,0)和(1,S 1(xx20001= 21=

13

3)zz(xy

x2y2z22z確定的隱函數，求z F(xyz

x2

y2

z2

2z

Fy

2

2z-?z=

= ? 1-?z=

2 = ? 1-五、計算題（177D

Dx

,y

0y1x解:積分區(qū)域D={(xy|0

1,

1-D

0dx =011xy2|1x=01=1(x2x2=0 六、計算題（188y'1

y|x

0yep(x)dx(q(x)ep(x)dxdx1=

(

1=x(

1dxC)x=x(

1dxC)x=x(exC)y|x

0,c=y

x(ex+七、應