專轉(zhuǎn)本《數(shù)學(xué)》沖刺習(xí)題訓(xùn)練（全冊）

專轉(zhuǎn)本《數(shù)學(xué)》沖刺習(xí)題訓(xùn)練（全冊）

目錄

第一講：函數(shù)與數(shù)列的極限的強化練習(xí)題答案............................2

第二講：函數(shù)的極限與洛必達法則的強化練習(xí)題答案......................9

第三講：函數(shù)的連續(xù)性與導(dǎo)數(shù)、微分的概念的強化練習(xí)題答案............18

第四講：導(dǎo)數(shù)與微分的計算方法的強化練習(xí)題答案.......................28

第五講：微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的強化練習(xí)題答案...................37

第六講：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題的強化練習(xí)題答案.............46

第七講：不定積分的概念與換元積分法的強化練習(xí)題答案.................56

第八講：不定積分的分部積分法等的強化練習(xí)題答案......................65

第九講：定積分的概念與微積分基本定理的強化練習(xí)題答案................74

第十講：定積分的計算方法與廣義積分的強化練習(xí)題答案..................81

第十一講：定積分的應(yīng)用的強化練習(xí)題答案...............................88

第十二講：向量代數(shù)的強化練習(xí)題答案....................................98

第十二講：空間解析幾何的訓(xùn)練題答案...................................106

第十三講：多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分的練習(xí)題答案......................113

第十四講：隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)求法及偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的練習(xí)題答案.................122

第十五講、第十六講：二重積分的概念、計算及其應(yīng)用的練習(xí)題答案......130

第十七講：數(shù)項級數(shù)的斂散性的練習(xí)題答案..............................138

第十八講：賽級數(shù)收斂域把函數(shù)展成零級數(shù)的練習(xí)題參考答案.............144

第十九講:一階微分方程、可降階微分方程的練習(xí)題答案...................151

第二十講:二階線性微分方程的練習(xí)題答案................................160

第一講：函數(shù)與數(shù)列的極限的強化練習(xí)題答案

一、單項選擇題

1.下面函數(shù)與y=x為同一函數(shù)的是()

A.y=(4)~B.y=

C.y=e'nxD.y=Ine*

解：y-\nex=x\ne-x,且定義域(T?,+OO),...選D

2.已知。是/的反函數(shù)，則/(2x)的反函數(shù)是()

B.y=20(x)

c.y=ge(2x)D.y-2(p(2x)

解:令y=/(2x),反解出x：A：=g<p(y),互換x,y位置得反函數(shù)y=；<p(x),選A

3.設(shè)/(x)在(YO,??)有定義，則下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()

Ay=/(x)+/(-%)B.y=x[f(x)-f(-x)]

C.y=x3f(x2)

D.y=f(-x)-f(x)

3

解：y=J/)的定義域(-oo,4<?)且y(-X)=(-%)"，)=_xy12)=_y(x".

選c

4.下列函數(shù)在(-00,物)內(nèi)無界的是()

A“.y----1--Bn.y=arctanx

1+x

C.y=sinx+cosxD.y=xsinx

解：排除法：Axr4yl■=4有界,B|arctanx|〈工有界，CIsinx+cosxl<>/2

1+x22\x\2''211

故選D

5.數(shù)列比｝有界是！吧當存在的()

A必要條件B充分條件

C充分必要條件D無關(guān)條件

解：｛七｝收斂時，數(shù)列互有界(即同WM),反之不成立，(如｛(-1廣｝有界，但不收

斂，

選A

6.當〃f8時，sin?!與^為等價無窮小，則女二()

nn

1

A-B1C2D-2

2

.11

sin2——

解：lim-==k=2選C

Zi->001ZI-KO1

TT

nn

二、填空題(每小題4分，共24分)

7.設(shè)則/[/(X)]的定義域為

解：/T/(%)!=--=――

i+/(x)1+_L

1+X

X#T_1+x

2+x

.../[/(x)]定義域為

y,-2)5—2,-l)5T”)

8.設(shè)/(x+2)=/+i,

則/(D=__________

解：(1)令x+2=f,/(。=廣一4/+5

/(x)=x2-4x+5

(2)/(工-1)=(工-1)~-4(x-1)+5-J2—6x+10

9.函數(shù)y=log4?+log42的反函數(shù)是

解：(1)y=log4(26),反解出x：x=42y-]

(2)互換位置，得反函數(shù)y=42'T

10.limVnlVn+l-vn-2)=

〃—>8\/

有理化3&3

解：原式^=^lim

“T8>/〃+1+y/n-22

11.若lim(l+口=e~'°,

n)

貝|J4=_________________

lim—(~^/7)ci.in,

解：左式=e~5k=e-w-故k=2

12.Hm即士si/二

〃T85〃+3n

si??2二原式=lim聆2=1

解：當〃foo時,

nn285〃+3n5

三、計算題（每小題8分，共64分）

.2x-l

arcsm-------

13.求函數(shù)y=——）——？的定義域

7FH

解:-3<x<4

葉1>00x>l啦<-1

，函數(shù)的定義域為[-3,-1）口（1,4]

14.=1+cosX求/（X）

解：/(sin*|=2cos2=2^1-sin2-1

故/(X)=2(T)

15.設(shè)〃x)=lnx,g(x)的反函數(shù)gT(x)=2("+1),求y(g(x))

x—1

解：（1）求g（x）：y—2x+2二.反解出了：xyy=2x+2工=1+2

12

互換蒼y位置得&"）=%+2

x—2

vI9

⑵/[g(x)]=Ing(x)=In『一1

16.判別/(x)=ln(x+Jl+J)的奇偶性。

解法(1)：〃x)的定義域(-oo,T8),關(guān)于原點對稱

f(-x)=In卜x+Vl+x2

=,n.1____

vl+X2+x

=ln(x+Jl+x?)=-ln(x+Jl+N)

=-/(x)

/(x)=InCx+Al+f)為奇函數(shù)

解法(2)：穴)#X-)

=ln(x+y/l+x1)+In卜%+Jl+f)

=ln(x+Jl+f)(ji+x2—x)]=inl=0

=—/(x)故/(x)為奇函數(shù)

17.已知/(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，且〃x)+g(x)=」一，求/(x)及g(x)

解：已知/(x)+g(x)=一、.?)

x—1

/(—x)+g(—x)=-即有

-x-l

/(x)—g(x)=-[...(2)

x+1

.*1)+⑵得2〃x)=.上

X—1A+1

故

JT-1

⑴一⑵得2g(司=9+擊

A-1X+1

Y

故g(x)=?。?/p>

X-1

n

4c、六「(及+2。15。+_

18.設(shè)hm-----=8,求。的值。

n-a)

3

n+2a=lim[l+23

解：lim

“TQOn-a〃一>■8n-a

na

hm------

n—a=8

故。=ln8=31n2、

11

19.求lim-------1---------F…+

z/—>001-22-3

1k+\-k

解:（1）拆項,

k(k+1)(k+l)k

11

k-1,2,...,n

kk+1

111

-------1----------F…+

1-22-3n^n+1)

1-

n+1

..—n

(2)原式=lim.———hm-----

W->OCn+1

20.設(shè)/(%)=〃*(a>0,awl),

求如*In[/⑴?/⑵.../(〃)]

解：原式=lim'71n(ai…

mgn

=lim與[ina+2Ina+.??+〃Ina]

n—XX)"2L」

1+2+...+〃

=\na-lim

n—>oon2

Ina-lim

72->OOn2.2

—lna(a>0,aw1)

四、綜合題（每小題10分，共20分）

Y

2L設(shè)/（力=7=^,求工（》）=

Vl+x'

/｛加〃尤）]｝并討論力（X）的奇偶性與有界性。

解：（1）求力（X）

“X）=~r=?/W=7/（?_=-rJ

Jl+f[1+/2（x）V1+2X2

"心⑺卜演r指

（2）討論力（X）的奇偶性

/(f)—X

Jl+3%2i(x)

/.f3（x）為奇函數(shù)

（3）討論力（x）的有界性

以小懸^島*L界

22.從一塊半徑為R的圓鐵片上挖去一個扇形，把留下的中心角為0的扇形做成一個漏斗

（如圖），試將漏斗的容積V表示成中心角°的函數(shù)。

1

解：（1）列出函數(shù)關(guān)系式，設(shè)漏斗高為/Z,底半徑為人依題意：漏斗容積V二一乃產(chǎn)9〃

3

h=NN-戶,2夕=R①

4R%2

24乃3

（2）函數(shù)的定義域

2222

4/r-（p>0,（p<（2TT）（0<（p<2萬）

故V=￡?奏萬2_(p2(0<(p<2兀)

五、證明題(每小題9分，共18分)

23.設(shè)/(X)為定義在(-oo,4w)的任意函數(shù)，證明/(X)可表示為一個偶函數(shù)與一個奇函

數(shù)之和。

證：⑴+駕例

⑵令g(x)=-''2'——-(-<?<x<+00)

g(-x)=止W=g(x)

二g(x)為偶函數(shù)

⑶令(p(x)=_\/————-(-00<X<+00)

g)=止9=-箱)

「.(p(x)為奇函數(shù)

(4)綜上所述：〃X)=g(x)偶函數(shù)+(p(￡)奇函數(shù)

24設(shè)/(X)滿足函數(shù)方程2人力?

=-,證明〃尤)為奇函數(shù)。

證:⑴2〃力+^W⑴

令g=f,2/(:|+/a)=r函數(shù)與自變量的記號無關(guān)

??.2/&)+/(x)=x……(2)

(2)消去/求出“X)

2,Y2-2?-r2

(2)-2x(1):f(x)-4/(x)=x--：-3/(x)=--=

XXJX

(3)/(x)的定義域(YO,0)U(0,+X))

又/(-x)=^-=-/(x)

-JX

.-./(X)為奇函數(shù)

*選做題

1已知F+22+…+“2=二”！)(物1),求lim]——+——+…+jL.

6817r+1n+2

?4+...+41+2丁-+〃2

fl+1rr+〃n'+1

I2+22+...+/

且lim

8/+及

〃(〃+1)(2幾+1)

hm/;r—

-06(〃+〃)3

「+2~+..-,〃(/1+1)(2〃+1)1

lim-------------=hm--------------=—

“f8+1006(〃+1)3

由夾逼定理知，原式=1

3

2若對于任意的x,y,函數(shù)滿足：/(x+y)=/(x)+/(y)，證明/(y)為奇函數(shù)。

解⑴求/（0）：令

x=0,y=(V(0)=2/(0)f/(0)=0

(2)^x=-y:/(0)=/(-y)+/(y)-?/(-y)=-/(y)

，/（y）為奇函數(shù)

第二講：函數(shù)的極限與洛必達法則的強化練習(xí)題答案

一、單項選擇題（每小題4分，共24分）

1.下列極限正確的()

..sinx?「x-sinXp士*

A.lim------=1B.lim----------不存在

XTOO

xxf°x+sin尤

C.limxsin—=1D.limarctanx=-

XfooxX-XO2

-=t

1xsint

解：limxsin—=------lim------??.選C

XT8X，一>OI

jsinx

件41-sinxADi--丁1-0

汪：Ahm-----=0;Blim-----j=-----=1t

x->8xXT°°[sinxi+o

x

2.下列極限正確的是()

A.limex-0B.limex=0

.r->0-xf()+

C.lim(l+cosx)secx=e

.r->0

\_

D.1im(Fix*》e

X—>oo

-!-1

解：limex=ex=——=0選A

KT>

注：

3.若lim/(x)=8,limg(x)=oo,則下列正確的是)

X—>AQX—>AQ

A.Hn[/(x)+g(x)]=oo

B..變[/(可—(力]=8

..1

C.11m——----—■=

ff(M+g(x)

D.lim4f(x)=8(AwO)

/\z\%H0

解:lim4f(x)=%lim/(x)=^-oo-=-----oo.,.選D

X-MQX—

4.若lim/(2嘰2,

iox

Y

則()

1。/(3x)

I1

A.3B.-C.2D.-

32

2

Y3x=2t3'

解：lim—^―hm—7~-

，"(3x)

Am，二

3，f。/（2r）323

???選B

—sinx(x<0)

x

0(x=0)/、

5.設(shè)/（X）=,1且存在，貝?。輆=()

xsin—+a(x>0)

x

A.-1B.0C.1D.2

..\(.1A-

hmxsin—+a-o+a

x)_

?=1選c

6.當X-0+時，/(x)=Jl+x"-1是比X高階無窮小,則()

A.a>\B.。>0

C.。為任意實數(shù)D.a<\

I-----

解：lim--=lim--==0:.a>\

.v->0+XXT。'X

故選A

二、填空題(每小題4分，共24分)

7.limf—=

r(1A

解：原式=lim1------

x+1J

r(12)

8.hm-------z——=_

1x-1x2-1J

00

fl.x+1-2

解：原式lim7------77------r

I(X-1)(X+1)

lim—!—=-

XT1x+12

(2X-1)3(3X+2)97

9.lim

XT8(3x+l)10°

0

3

2x-P3x+2?

解：原式工^lim?lim

X->003x+l)XT83x+l/

28

3；27

x2+or+6

10.已知hm---------------存在,

3\-x

則。=

解:lim(l—x)=0

lim(x2+ox+6)=0

1+。+6=0,-7

.、

(11arcsinx

limexsin—+

x->0~x%

.1--1arcsinxX

解:sin—<1,limex=0limexsin—=0Xlimlim—=1故原式=1

l

xXT(T.ioxxX

x2ln(l+x2

12.若lim—--------0

x->osin”x

sin"x

且lim=0,則正整數(shù)〃=______________

A->°1-cosx

x2In(1+x2)r2.r2

解：lim——-------L=lim

n

iosin"xAT。x

n<4^,.xnn>2仁

=0,lim=0:.n>2,n<4,故〃=3

1。x2

2

三、計算題（每小題8分，共64分）

sin3x+2x

13.求lim

*T8sin2x-3x

sin3x+2

解：原式=limT——

XTOOsin2x

---3

x

sin3x=01|sin3JC|<1,lim—=0

lim-----

18X

「sin2x

hm----=-0|Isin2x|<l,lim—=0

I11XT8*

0+22

原式=

0^33

V1+tanx-VI+sinx

14.求hm------7--------；-----

i。x(l-cosX)

有理化

解:

tanx-sinx

lim

x(l-cosx)(>/l+tanJT+Jl+sinx)

「tanx(l-cosx)1

=lim-----------------

x(l-cosx)2

「tanx1x1

=lim----------lim—=—

x22x2

15.求lim[sin2+cos，

XT8XX

解：令一二當X—>00時，Z—>0

X

原式=lim(cosr4-sin2tJ

1

lim[l+cos1-1+sin2力

cos/-l+sin2/

『）lim------------------

=^e'e2

lncos2x

16.求lim

ioIncos3x

解：原式磐麗***]

xf。ln[l+cos3x-l]

Xf°cos3x-l

4

5T3x『9

-j.V00/-2sin2xcos3x

注:原式=hm-------x--------

*focos2x-3sin3x

_4

一....-9

e“—2x

17.求lim

XT0x-sinx

0

xx

解：原式與0lime~+e-~―-2-

101_COSX

00

0ex+e~x0ex+e~x.

=hm-------=hm-------=2

x->°sinxx->ocosx

e*+〃,1>0

18.設(shè)/(x)=,且lim/(x)存在,求a的值。

x/l-cosx八

-------,x<0

x

r_i、

解：limex+a=e~^+a=0-^-a=a

x->0”

\7

XT。-XXT。-XXT。-X2

[

19.呵(sin3x)l+3lnx

解：原式

..3cosx

lim.一

*wsin3x/

（0°）換底法ln(sin3x)/2

黑+l+3lnx

——e./X

..3xx

hm—；—hm-

Ci)+3sinx_?1)+3刀=/

、

20.求limx-x2InfId■一

XT8X)

1

1ln(l+r)

解：原式x邑=lim

/->0,2

駕所上土

r->0

01+r

3。2t

l+r-l

=lim/、=lim----=

/->o2《+1)f->0/+12

四、證明題（共18分）

21.當Xf8時且

limw(x)=O,limv(x)=ooz

X-KC'Jx—>8',

證明lim[l+w(x)]'(A)limZ/(A)V(A)

證：lim［l+w（x）］，（A）

吧［1+〃（切右如出

e-limw(x)v{x}

證畢

22.當X70時，證明以下四個差函數(shù)的等價無窮小。

，一尤3

（1）12111一5抽1等價于萬（1—>0）

r3

(2)tan九一x等價于1(％—>0)

(3)x-sinx等價于工(xf

6I

(4)arcsin九一工等價于一(x^O)

、丁/八tanx-smx

證：⑴lim---------------

\7ox

T

tanx(l-cosx)

^=lim-------------------

?3。X

X2

X----

=lim——=1

x->0￡

萬

X'

當x—>0時，tanx—sinx—

2

tanx-Xsec~x

lim1-=Inn

23

XTOXxfOx2

3

tan2fcx..廠7i

：

lim———=lim—2,=1

XT。JCA—>0JQ

當x—0時,tanx-x—

3

1-COSX

⑶lim-----------

v->012

—x

2

=lim^——=1

x->012

—X

2

1.

當x-0時，x-sinx—x3

6

/八arcsinx-x

(4)hm---------

'7A->013

一X

6

=nm-7=-----=i

1012.

—x1

2

當x-0時，arcsinx-x等價于

6

五、綜合題(每小題10分，共20分)

23.求lim°x-的f-12x+l)

鈕面』有理化「9X2-(9X2+2X+1)

角翠：原式“l(fā)im--------/

…3x+，9d+2x+l

[.—2x—1

=lim------,

…3x+，9/+2X+1

]_

3

x2-mx+8

已知

24.lim—2,、求常數(shù)m,“的值。

12x一（2+小+2〃5

解：（1）???原極限存在且

lim[%2—(2+〃卜+2〃]=0

A->2

lim^x2-znx+8^=0,4-2m+8=0

2m=12,m=6

i.x2—6x+8

(2)lim-....----------------

?s2x--(2+力)x+2〃

3,.2x-64-6

^=lim----；-----=----；-----

.，T22X-(2+〃)4-(2+n)

-21

-2-n~5

...—10=2—〃n-\2答〃?=6,〃=12

選做題

求］.(1+X戶'

lim------

x->oe

解：原式與』1+3:下

X—>01々

(\+x］X

/vx—ln(l+x)

令y=(l+x)—ex

----x-ln(l+x)

=(l+x),

y'-2

X

xx-(l+x)ln(l+x)

(1+尤)

x2(1+x)

lim坐幽生

1

原式二不/(山)=e'62x+3F

..—X1

hm------------

—C，TO2X+3廣=?2

第三講：函數(shù)的連續(xù)性與導(dǎo)數(shù)、微分的概念的強化練習(xí)題答

案

一、單項選擇題（每小題4分，共24分）

1.若/（X）為是連續(xù)函數(shù)，

且/(0)=1,〃1)=0,

則lim/(xsin，］=()

Z8IX)

A.-1B.0

C.1D.不存在

解：原式

.1

/連續(xù)sin—

flimxsin—lim-/(l)=0,選B

18xXf81

X

2.要使〃x）=ln（l+fcc產(chǎn)在點x=0處連續(xù)，應(yīng)給/（0）補充定義的數(shù)值是（）

A.kmB.

C.\nkmD.

m

解:理〃x)=lnlim(l+Ax)x

XTO

hmkx一,

=Ine'T>"=Inem-km

/(0)=km選A

3.若吧|/（到=同,則下列正確的是()

A.lim/(x)=A

B.

C.lim/(x)=-A

D.lim|/(x)|=A

4連續(xù)

解:Ji回選B

f(x\

4.設(shè)產(chǎn)(%)=?X

/(O),x=O

且/(x)在x=0處可導(dǎo)，/'(O)HO,

/（0）=0,則尤=0是尸（切的（）

A.可去間斷點B.跳躍間斷點

C.無窮間斷點D.連續(xù)點

limF（x）=lim"x）―/（O）=.⑼

解:

D—ioX_Q』\/

,f(o)/(O)F(o)=/(o)limF(o),故x=O是尸(x)的第一類可去間斷點。選A

.1

“、xsin—八一八，，

5./(%)=<X,XHO在x=0處()

0,x=0

A.極限不存在B.極限存在但不連續(xù)

C.連續(xù)但不可導(dǎo)D.可導(dǎo)但不連續(xù)

解：lim/(x)=limx-sin—=0,且/(0)=0

.?./(X)在x=0連續(xù)，又/'(0)

,1C

xsm——0

=lim----—=不存在，，/(6在》=0不可導(dǎo)選C

…X-Q''

X?J-1r<1

6.設(shè)/(%)=:'—在X=1可導(dǎo)，則出。為()

[ax-^-b,x>1

A.a=-2,b=2B.a=0,b=2

C.a=2,b=0D.a=l,h=l

解：(1)在x=l連續(xù)，

/.lim(x2+l)=2,lim(or+/?)=a+b

故Q+Z?=2...(1)

2_i

(2)r(l)=Hm——-=2,^(1)

zlX-I

..ax-^-b-2(0

=hm--------=lim-.....=a

“TVX-iXTr%—1

：.a=2,代入(1)得人=0,選C

二、填空題(每小題4分，共24分)

7.設(shè)/(x)為連續(xù)奇函數(shù)，則/(0)=_

解：(1)/(X)為奇函數(shù)，.■J(T)=-〃X)

⑵理/(T)=P磯-/(切

又/(x)在x=0連續(xù)

.-./(0)=-/(0)故〃0)=0

8.若/(X)為可導(dǎo)的偶函數(shù)，則r(0)=一

解：⑴“X)為偶函數(shù)，x)=/(x)

⑵/(6可導(dǎo)，.?.一/'(—x)=ra)故—r(o)=r(o)

2r(o)=o即r(o)=o

9.設(shè)>=6x+Z是曲線y=3/-6x+13的

一條切線，則左=

解：(1)y'-6,y'-6x-6,.'.6x-6-6,x-2

(2)6x2+k=3x4-6x2+13,.,.12+^=12-12+13，故％=1

10.若y=/(x)滿足：.f(x)=/(0)+x

+a(x),且lim=0

\/x->0x

則r（o）=

〃x)7(0)

解：/'⑼=lim

x—0

x-a(x]

lim-----=1+0=1

…x

11.設(shè)/(x)在X=2連續(xù)，且/(2)=4,

則呵—

T(X—2x-4)

x+2-4

解：原式=/(2)lim,

2

"2X-4

=41im—=4-=1

7%+24

12./(x)=sin："一”的間斷點個數(shù)為

X-X

解：令犬5—尤=0,九(工一1)(1+1)(冗2+1)=0

x=O,x=-l,x=l為間斷點,

故/(X)有三個間斷點

三、計算題(每小題8分，共64分)

sin2x+e2ax-I

-------------Y

13.已知/(%)=，X

6Z,X=0

在(-O0,-K)0)上連續(xù)，求。的值

解：“X)在x=0連續(xù)

「sin2x+e2（vc-1sin2xe2ax-1

???典仆)=hm-------------hm-----+lim-=--2-+--2。

“T°Xz°X3x

且/（。）=々,「.2+2。=。

故a=—2

ex,x<0

14.討論f（x）=-0,0<x<l在x=O,x=l連續(xù)性

解：（1）在x=0處，limex=0,lim0=0

XT（TXTO+

且〃。）=0

.,"(%)在工=0處連續(xù)

（2）在x=l處，lim0=0,

x->r

lim皿43=lim皿"=1

XT1+X-110，t

/(X)在X=1不連續(xù)

/（、）+4sinx

15.設(shè)/(x)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，且"0)=0,1(())=方若F(x)=.x'在x=0連續(xù),

A,x=0

求常數(shù)A。

/\/(x)-/(O)+asinx

解：limEx=lim八'八'---

XT。'/x->0x

../(x)—/(0)..asinx..

=hm—----^+hm-----=f(O)+a

.'-?ox—OxfOXv'

且，a+b=A答4=。+匕

e'-l.

----xv0

16.設(shè)/(尤)=，x'在x=0可導(dǎo)，求攵力的值。

kx+b,x>0

解：(1)f(x)在x=0連續(xù)，lim----=1

lim(kx+b)=b故有。=1

X10+

(2)/(x)在x=0可導(dǎo)

――1

斤(°)=曾七

(0)

lim^4^Z-11

=lim

xf(Trio2x2

￡(O)=lim竺匕

zOx

:.k=—,答k=—力=1

22

31+依）0

17.設(shè)/(?=<x'在x=0可導(dǎo)，求。與尸（0）

—l,x=O

解：（1）/（X）在x=0連續(xù),

lim/(x)=+=lim—=a

IT0XTOxx->0x

且/(O)=_l,故有Q=—l

(2)/(%)在X=0可導(dǎo)

ln(l-x)?]

/'(O)=lim—--------

'"1。x

+1

..ln(l一x)+x[o]x_1

=lim--——4----=lim—~~-——

XTOXXT。2x

「1+x—11

=lim——；------=——

1。2工(九一1)2

答：。=—"(O)=—g

18.討論/(%)=卜一4中(%)在尤=Q是否可導(dǎo)，其中中(尤)在x=Q連續(xù)。

解：⑴￡(a)=lim(t-(x)—°

1ax—a

=lim{—a)*)-img)耍，⑷

nx-aXT4一

⑵￡(a)=lim(i)*(")一°

x"x-a

(x-ci\(p(x\/、夕連續(xù)/、/、/、

=lim---------------=研a)答:當夕(a)=0時，f(x)在x=a連續(xù),

當(p@W0時,f(x)在％=a不連續(xù)

19.求/(X)=」r的間斷點，并指出間斷點類型

1明

解：(1)間斷點：x=O,x=-l,x=l

(2)在x=0處：lim^—7=0

I。1中|

??.x=0是/(x)的第一類間斷點。

(3)在尢=±1處：lim1?==

XT±I1小|

:.x=+l為/(%)的第二類無窮間斷點。

20.設(shè)/(x)=(e'T，x>°指出/(x)的間斷點，并判斷間斷點的類型。

ln(l+x),-l<x<0

解：(1)x=l為間斷點，％=0可能是間斷點。

(2)在X=1處：

11

limex~]=1=0,limex~]=oo

???X=1是/(x)的第二類無窮間斷點

(3)在x=0處：

I

limex~'=e-1,limln(l+x)=0

-

x->0+A->0''

.?.x=0是/(x)的第一類跳躍間斷點

四、綜合題(每小題10分，共20分)

21.求/(?=.工]-升；的間斷點,并判別間斷點的類型。

x-1X

解：(1)間斷點：x=0,x=-l,x=1

(2)在x=0處：

八)x(x+l)1x+\

lim/(x)=lim——-=-1

x->0\7Xf0X+]

??.x=0是/(x)的第一類可去間斷點

(3)在x=l處：lim/(x)=lim^--=0

???x=1是/(X)的第一類可去間斷點

x—1

(4)在1=-1處：lim-----=oo

itx+1

—1是/(X)的第二類無窮間斷點

x2+x,x<0

22.己知/(x)=,av'+hV+cx+dOvxvi,在(yj,+QO)可導(dǎo)，求之值

x2-x,x>l

解：⑴/(X)在x=0連續(xù),

/.lim(czx3+Z>x2+cx+J)=J

lim(x2+x)=0,/(0)=0

.v->0-

故。=0…⑴

(2)/(%)在x=0可導(dǎo)

2

￡（o）=片=】，

ax3+bx2+ex

r(0)=Um

XTOX

故有c=l…（2）

(3)/(x)在x=l連續(xù),

lim(ax,+/?x2+x)=/(l)

即Q+/?+l=/(l)=O

.二Q+/?+1=0…(3)

（4）在X=0可導(dǎo):

2

V'xMx-l

(o)、

=limf[3ax2+2bx+1)

=3a+2/7+1

故有紜+2。=03（4）

由(3)(4)解得。=2/=—3

五、證明題（每小題9分，共18分）

23.證明d—2x—4=0在區(qū)間(一2,2)內(nèi)至少有兩個實根。

證：(1)/(x)在［—2,0］連續(xù)，

且/(0)=-4<0,/(-2)=16>0

由零點定理知，

/(%)=0在(一2,0)上至少有一個實根。

(2)f(x)在［0,2］連續(xù)，且

/(0)=-4<0,/(2)=16-4=8>0

由零點定理知，

/(x)=0在(0,2)上至少有一個實根

(3)綜上所述，/(幻=0在(一2,2)上至少有兩個實根

sin1xH0

24.設(shè)/(x)={'/，證明(1)當〃>0時f(x)在x=0連續(xù)，當”>1時，f(x)

0,x=0

在x=0可導(dǎo)

解：⑴limx,si/">。時0

a。x

r.1/1〃w>0

sin—<r0

\A7

.??當〃>0時，/(x)在x=0連續(xù)

w.1

xsm-in_L

(2)lim--------=sin---0

“T°X~\I。X

(.1/［［.

sin—<l,hmx-----0

X-V—>0

、八7

當〃>1時，/(%)在x=0可導(dǎo)

總之，當〃>0時，在x=0連續(xù)

當時，/(x)在x=0可導(dǎo)

選做題

設(shè)對于任意的X,函數(shù)滿足/(l+x)=

qf(x)且/'(O)=b,證明/'(I)=a2

證：⑴令x=0,/(l+O)=4(。)，即/⑴=4(。)

(2)八1)=鏟:2

=麗也止也2L礦⑼“小

證畢

第四講：導(dǎo)數(shù)與微分的計算方法的強化練習(xí)題答案

一、單項選擇題(每小題4分，共24分)

1.設(shè)/，)=/+》2+],則/,⑴=()

A.1B.3C.-1D.-3

解：⑴/(x2)=(x2)2+X2+\

：./(x)=X2+x+1

⑵ra)=2x+i,r(-1)=-2+i=-1

選c

2.設(shè)/(6=%卜2_12)(*2—22)

…什—叫，則八0)=()

A.(〃!)2B.(-1)"(n!)2

C.n\D.(-1)”〃！

解：令g(x)=(f-「)[2一22)...任一"2)

/(x)=x-g(x)

r(x)=g(6+xg'(x)

r(O)=g(O)+O=(-1)2(-2)2

……(-〃)2