第二十三講計(jì)數(shù)原理原卷版

第二十三講：計(jì)數(shù)原理【考點(diǎn)梳理】1.排列與組合的概念名稱(chēng)定義排列從個(gè)不同元素中取出（）個(gè)元素按照一定的順序排成一列組合合成一組排列問(wèn)題的解題策略特殊元素優(yōu)先安排的策略；（2）合理分類(lèi)與準(zhǔn)確分步的策略；正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略；（4）相鄰問(wèn)題捆綁處理的策略；不相鄰問(wèn)題插空處理的策略；（6）定序問(wèn)題除法處理的策略；3.二項(xiàng)式定理．4.二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)：公式特點(diǎn)：①它表示二項(xiàng)展開(kāi)式的第項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是；②字母的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；③與的次數(shù)之和為．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（1）對(duì)稱(chēng)性；（2）增減性與最大值；（3）二項(xiàng)式系數(shù)的和【典型題型講解】考點(diǎn)一：排列、組合【典例例題】例1．（2022·廣東中山·高三期末）男女六位同學(xué)站成一排，則位女生中有且只有兩位女生相鄰的不同排法種數(shù)是（

）A． B． C． D．例2．（2022·廣東·鐵一中學(xué)高三期末）高三一班周一上午有四節(jié)課，分別安排語(yǔ)文?數(shù)學(xué)?英語(yǔ)和體育.其中語(yǔ)文不安排在第一節(jié)，數(shù)學(xué)不安排在第二節(jié)，英語(yǔ)不安排在第三節(jié)，體育不安排在第四節(jié)，則不同的課表安排方法共有______種.【方法技巧與總結(jié)】排列、組合搞清楚區(qū)別【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東清遠(yuǎn)·高三期末）為了做好新冠肺炎疫情常態(tài)化防控工作，推進(jìn)疫苗接種進(jìn)度，降低新冠肺炎感染風(fēng)險(xiǎn)，某醫(yī)院準(zhǔn)備將3名醫(yī)生和6名護(hù)士分配到3所學(xué)校，設(shè)立疫苗接種點(diǎn)，免費(fèi)給學(xué)校老師和學(xué)生接種新冠疫苗，若每所學(xué)校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士，則不同的分配方法共有_______種．2．（2022·廣東惠州·一模）現(xiàn)有名學(xué)生報(bào)名參加校園文化活動(dòng)的個(gè)項(xiàng)目，每人須報(bào)項(xiàng)且只報(bào)項(xiàng)，則恰有名學(xué)生報(bào)同一項(xiàng)目的報(bào)名方法有（

）A．種 B．種 C．種 D．種3．（2022·廣東湛江·一模）為提高新農(nóng)村的教育水平，某地選派4名優(yōu)秀的教師到甲?乙?丙三地進(jìn)行為期一年的支教活動(dòng)，每人只能去一個(gè)地方，每地至少派一人，則不同的選派方案共有（

）A．18種 B．12種 C．72種 D．36種4．（2022·廣東韶關(guān)·一模）在一次學(xué)校組織的研究性學(xué)習(xí)成果報(bào)告會(huì)上，有共6項(xiàng)成果要匯報(bào)，如果B成果不能最先匯報(bào)，而A?C?D按先后順序匯報(bào)（不一定相鄰），那么不同的匯報(bào)安排種數(shù)為（

）A．100 B．120 C．300 D．6005．（2022·廣東茂名·二模）某大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院的丁教授在2021年人工智能方向招收了6名研究生．丁教授擬從人工智能領(lǐng)域的語(yǔ)音識(shí)別、人臉識(shí)別、數(shù)據(jù)分析、機(jī)器學(xué)習(xí)、服務(wù)器開(kāi)發(fā)共5個(gè)方向展開(kāi)研究，每個(gè)方向均有研究生學(xué)習(xí)，每位研究生只參與一個(gè)方向的學(xué)習(xí)．其中小明同學(xué)因錄取分?jǐn)?shù)最高主動(dòng)選擇學(xué)習(xí)人臉識(shí)別，其余5名研究生均表示服從丁教授統(tǒng)一安排．則這6名研究生不同的分配方向共有（

）A．480種 B．360種 C．240種 D．120種6．（2022·廣東·二模）某校安排高一年級(jí)（1）～（5）班共5個(gè)班去A，B，C，D四個(gè)勞動(dòng)教育基地進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每個(gè)班去一個(gè)基地，每個(gè)基地至少安排一個(gè)班，則高一（1）班被安排到A基地的排法總數(shù)為（

）A．24 B．36 C．60 D．2407.有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種8.將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（

）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種9.將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．10.已知有1、2、3、4四個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字，則比2134大的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______考點(diǎn)二：二項(xiàng)式定理【典例例題】例1．（2022·廣東汕尾·高三期末）已知的展開(kāi)式中第2項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．-240 B．240 C．-60 D．60例2．（2022·廣東深圳·高三期末）的各項(xiàng)系數(shù)和為（

）A． B．27 C．16 D．例3．（2022·廣東揭陽(yáng)·高三期末）（多選）已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和為64，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為1B．C．展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第四項(xiàng)D．展開(kāi)式中的指數(shù)均為偶數(shù)【方法技巧與總結(jié)】1.在形如的展開(kāi)式中求的系數(shù)，關(guān)鍵是利用通項(xiàng)求，則．2.三項(xiàng)式的展開(kāi)式：若令，便得到三項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)公式：，其中叫三項(xiàng)式系數(shù)．3.二項(xiàng)展開(kāi)式二項(xiàng)式系數(shù)和：；奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和相等：．系數(shù)和：賦值法，二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)表示式：（是系數(shù)），令得系數(shù)和：．【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東潮州·高三期末）的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是_________．2．（2022·廣東·一模）二項(xiàng)式展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_________.3．（2022·廣東·珠海市第三中學(xué)二模）的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（

）A． B． C． D．4．（2022·廣東汕頭·二模）二項(xiàng)式展開(kāi)式中，有理項(xiàng)共有（

）項(xiàng)．A．3 B．4 C．5 D．75．（2022·廣東汕頭·高三期末）的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_______用數(shù)字填寫(xiě)答案6．（2022·廣東東莞·高三期末）的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)是（

）A．9 B．10 C．11 D．127．（2022·廣東佛山·高三期末）的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（

）A．80 B．40 C． D．8.（2022·廣東惠州·一模）若，則（

） B．0 C．1 D．29．（2022·廣東廣州·一模）的展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A．60 B．24 C． D．10．（2022·廣東深圳·二模）（多選）已知，則（

）A． B．C． D．11．（2022·廣東茂名·二模）已知的展開(kāi)式共有13項(xiàng)，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為 B．所有項(xiàng)的系數(shù)和為C．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)或第7項(xiàng) D．有理項(xiàng)共5項(xiàng)12.（2022·廣東湛江·二模）的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)__________.13.（2022·廣東·普寧市華僑中學(xué)二模）(2+)(2＋x)5的展開(kāi)式中x2的系數(shù)是____．(用數(shù)字作答）14．（2022·廣東潮州·二模）設(shè)，則______．【鞏固練習(xí)】一、單選題1．6名志愿者要到，，三個(gè)社區(qū)進(jìn)行志愿服務(wù)，每個(gè)志愿者只去一個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至少安排1名志愿者，若要2名志愿者去社區(qū)，則不同的安排方法共有（

）A．105種 B．144種 C．150種 D．210種2．2022年3月中旬，新冠肺炎疫情突襲南昌，南昌市統(tǒng)一指揮，多方攜手、眾志成城，構(gòu)筑起抗擊疫情的堅(jiān)固堡壘．某小區(qū)有小王、小張等5位中學(xué)生積極參加社區(qū)志愿者，他們被分派到測(cè)溫和掃碼兩個(gè)小組，若小王和小張不同組，且他們所在的兩個(gè)組都至少需要2名中學(xué)生志愿者，則不同的分配方案種數(shù)有（

）A．8 B．10 C．12 D．143．甲乙丙丁四個(gè)同學(xué)星期天選擇到東湖公園，西湖茶經(jīng)樓，歷史博物館和北湖公園其中一處去參觀游玩，其中茶經(jīng)樓必有人去，則不同的參觀方式共有（

）種.A．24 B．96 C．174 D．1754．若分配甲、乙、丙、丁四個(gè)人到三個(gè)不同的社區(qū)做志愿者，每個(gè)社區(qū)至少分配一人，每人只能去一個(gè)社區(qū)．若甲分配的社區(qū)已經(jīng)確定，則乙與甲分配到不同社區(qū)的概率是（

）A． B． C． D．5．近日，各地有序開(kāi)展新冠疫苗加強(qiáng)針接種工作，某社區(qū)疫苗接種點(diǎn)為了更好的服務(wù)市民，決定增派5名醫(yī)務(wù)工作者參加登記?接種?留觀3項(xiàng)工作，每人參加1項(xiàng)，接種工作至少需要2人參加，登記?留觀至少1人參加，則不同的安排方式有（

）A．50 B．80 C．140 D．1806．甲?乙?丙等七人相約到電影院看電影《長(zhǎng)津湖》，恰好買(mǎi)到了七張連號(hào)的電影票，若甲?乙兩人必須相鄰，且丙坐在七人的正中間，則不同的坐法的種數(shù)為（

）A．240 B．192 C．96 D．487．某校有5名大學(xué)生打算前往觀看冰球，速滑，花滑三場(chǎng)比賽，每場(chǎng)比賽至少有1名學(xué)生且至多2名學(xué)生前往，則甲同學(xué)不去觀看冰球比賽的方案種數(shù)有（

）A．48 B．54 C．60 D．728．的展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．9．在的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．-120 B．-40 C．-30 D．20010．的展開(kāi)式中，的系數(shù)等于（

）A． B． C．10 D．4511．若，，則的值為（

）A． B． C． D．12．已知的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為，則該展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A．0 B． C．120 D．二、多選題13．已知，則（

）A．B．C．D．14．在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，正確的說(shuō)法是（

）A．常數(shù)項(xiàng)是第3項(xiàng) B．各項(xiàng)的系數(shù)和是1C．偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為32 D．第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大15．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A．B．C．D．被8整除余數(shù)為716．已知，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．當(dāng)時(shí)，設(shè)，則C．當(dāng)時(shí)，中最大的是D．當(dāng)時(shí)，17．已知的展開(kāi)式中含的系數(shù)為60，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1 B．的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為C．的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 D．的展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式的系數(shù)和為32三、填空題18．甲、乙、丙三名志愿者需要完成A，B，C，D，E五項(xiàng)不同的工作，每項(xiàng)工作由一人完成，每人至少完成一項(xiàng)，且E工作只有乙能完成，則不同的安排方式有______種．19．志愿團(tuán)安排去甲?乙?丙?丁四個(gè)精準(zhǔn)扶貧點(diǎn)慰問(wèn)的先后順序，一位志愿者說(shuō)：不能先去甲，甲的困難戶最多；另一位志愿者說(shuō)：不能最后去丁，丁離得最遠(yuǎn)．他們共有多少種不同的安排方法____20．將中國(guó)古代四大名著——《紅樓夢(mèng)》《西游記》《水滸傳》《三國(guó)演義》，以及《詩(shī)經(jīng)》等12本書(shū)按照如圖所示的方式擺放，其中四大名著要求放在一起，且必須豎放，《詩(shī)經(jīng)》《楚辭》《呂氏春秋》要求橫放，若這12本書(shū)中7本豎放5本橫放，則不同的擺放方法共有_________