高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教學(xué)案專題06平面向量

2013考綱解讀】理解平面向量的看法與幾何表示、兩個(gè)向量相等的含義;掌握向量加減與數(shù)乘運(yùn)算及其意義;理解兩個(gè)向量共線的含義,認(rèn)識(shí)向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.2．認(rèn)識(shí)平面向量的基本定理及其意義;掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示;會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算;理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.3．理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義;認(rèn)識(shí)平面向量數(shù)量積與向量投影的關(guān)系;掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算;能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.【知識(shí)絡(luò)成立】【重點(diǎn)知識(shí)整合】1．平面向量的基本看法2．共線向量定理向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λ·a.若是向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，則a∥b的充要條件是xy＝xy也許xy－xy＝0，即用坐標(biāo)表112212211221示的兩個(gè)向量平行的充要條件是它們坐標(biāo)的交織之積相等．當(dāng)其中一個(gè)向量的坐標(biāo)都不是零時(shí)，這個(gè)充要條件也可以寫(xiě)為x2y2＝，即對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的比值相等．x1y13．平面向量基本定理關(guān)于任意a，若以不共線的向量e1，e2作為基底，則存在唯一的一組實(shí)數(shù)對(duì)λ，μ，使a＝λe1＋μe2.4．向量的坐標(biāo)運(yùn)算a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa(λx1，λy1)．5．?dāng)?shù)量積(1)已知

a，b

的夾角為〈

a，b〉＝

θ(θ∈[0，π])

，則它們的數(shù)量積為

a·b＝|

a|·|b|cos

θ，其中|

b|cos

θ叫做向量

b在a方向上的投影，向量的數(shù)量積滿足交換律、數(shù)乘結(jié)合律和分配律，但不滿足結(jié)合律，即a·(b·c)≠(a·b)·c；若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2；(3)兩非零向量a，b的夾角公式為cosθ＝a·b＝1212xx＋yy；||||22x22abx1＋y12＋y2(4)|a|2＝a·a.兩個(gè)向量垂直的充要條件就是它們的數(shù)量積等于零．【高頻考點(diǎn)打破】考點(diǎn)一直量的有關(guān)看法和運(yùn)算(1)零向量模的大小為0，方向是任意的，它與任意向量都共線，記為0.a同向的單位向量為a(2)長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫單位向量，與|a|.方向相同或相反的向量叫共線向量(平行向量)．例1、已知關(guān)于x的方程：·x2＋·2x＋＝0(x∈R)，其中點(diǎn)C為直線AB上一點(diǎn)，O是直線AB外一點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是()A．點(diǎn)C在線段AB上B．點(diǎn)C在線段的延長(zhǎng)線上且點(diǎn)B為線段的中點(diǎn)ABACC．點(diǎn)C在線段AB的反向延長(zhǎng)線上且點(diǎn)A為線段BC的中點(diǎn)D．以上情況均有可能【方法技巧】解決向量的有關(guān)看法及運(yùn)算問(wèn)題要注意以下幾點(diǎn)正確理解向量的基本看法；正確理解平面向量的基本運(yùn)算律，a＋b＝b＋a，a·b＝b·a，λa·b＝λ(a·b)與a(b·c)≠(a·b)c；相等向量、相反向量、單位向量、零向量，在看法觀察中必然要重視，如有遺漏，則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.考點(diǎn)二平面向量的數(shù)量積1．兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量，它的值為兩個(gè)向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符號(hào)由夾角的余弦值確定．2．求非零向量a，b的夾角一般利用公式cos〈，〉＝a·b先求出夾角的余弦值，ab|a|·|b|a在向量b方向上的投影為a·b爾后求夾角；向量|b|.【方法技巧】a·b(1)正確利用兩向量的夾角公式cos〈a，b〉＝|a||b|及向量模的公式|a|＝a·a.(2)在涉及數(shù)量積時(shí)，向量運(yùn)算應(yīng)注意：①a·b＝0，未必有a＝0，或b＝0；②|a·b|≤|a||b|；③a(b·c)與(a·b)c不用然相等.考點(diǎn)三平面向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用經(jīng)過(guò)對(duì)向量的運(yùn)算把問(wèn)題轉(zhuǎn)變成求三角函數(shù)的值、最值或研究三角函數(shù)的性質(zhì)等問(wèn)題，是高考中經(jīng)常出現(xiàn)的題型．例3.已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)．求向量b＋c的長(zhǎng)度的最大值；π設(shè)α＝4，且a⊥(b＋c)，求cosβ的值．[解](1)法一：由已知得b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，則|b＋c|2＝(cosβ－1)2＋sin2β＝2(1－cosβ)．∵－1≤cosβ≤1，∴0≤|b＋c|2≤4，即0≤|b＋c|≤2.當(dāng)cosβ＝－1時(shí)，有|b＋c|max＝2，所以向量b＋c的長(zhǎng)度的最大值為2.法二：∵|b|＝1，|c|＝1，|b＋c|≤|b|＋|c|＝2.當(dāng)cosβ＝－1時(shí)，有b＋c＝(－2,0)，即|b＋c|＝2，所以向量b＋c的長(zhǎng)度的最大值為2.【難點(diǎn)研究】難點(diǎn)一平面向量的看法及線性運(yùn)算例1、(1)，是不共線的向量，若→＝1＋，→＝＋2(1，λ2∈R)，則，，abABλabACaλbλABC三點(diǎn)共線的充要條件為()A．λ1＝λ2＝－1B．λ1＝λ2＝1C．λ1·λ2＋1＝0D．λ1λ2－1＝0(2)設(shè)A1，A2，A3，A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不相同的四點(diǎn)，→→→若A1A3＝λA1A2(λ∈R)，A1A4→11＝μA1A2(μ∈R)，且λ＋μ＝2，則稱A3，A4調(diào)停切割A(yù)1，A2，已知點(diǎn)C(c,0)，D(d,0)(c，d∈R)調(diào)停切割點(diǎn)A(0,0)，B(1,0)，則下面說(shuō)法正確的選項(xiàng)是()A．C可能是線段AB的中點(diǎn)B．D可能是線段AB的中點(diǎn)C．C、D可能同時(shí)在線段AB上D．C、D不可以能同時(shí)在線段

AB的延長(zhǎng)線上【議論】向量的共線定理和平面向量基本定理是平面向量中的兩個(gè)帶有根本意義的定理．

平面向量基本定理是平面內(nèi)任意一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量唯一線性表示，

這個(gè)定理的一個(gè)極為重要的導(dǎo)出結(jié)果是，

若是a，b不共線，那么

λ1a＋λ2b＝μ1a＋μ2b的充要條件是λ1＝μ1且λ2＝μ2.共線向量定理有一個(gè)直接的導(dǎo)出結(jié)論，即若是→→→OA＝xOB＋yOC，則A，，C三點(diǎn)共線的充要條件是x＋＝1.By【變式研究】(1)以下列圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不相同的兩點(diǎn)→→→→14)M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN(m，n>0)，則＋的最小值為(mnA．2B．4D．9(2)設(shè)向量a，b滿足|a|＝25，b＝(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標(biāo)為_(kāi)_______．【答案】(1)C(2)(－4，－2)→→→→→11→1→【剖析】(1)AB＋AC1→MO＝AO－AM＝－AB＝－mAB＋AC，2m22→11→1→11→1→11→1→同理NO＝－nAC＋AB，M，O，N三點(diǎn)共線，故－mAB＋AC＝λ2－nAC＋AB，22222即11λ→＋1λ＋λ→＝0.2－－2－2nmAB2AC難點(diǎn)二平面向量的數(shù)量積例2以下列圖，P為△AOB所在平面內(nèi)一點(diǎn)，向量→→OA＝a，OB＝b，且P在線段AB的垂直均分線上，向量→＝.若||＝3，|b|＝2，則c·(－)的值為()OPcaabA．5B．3【答案】C【剖析】設(shè)中點(diǎn)為，＝→＝→＋→，所以·(－)＝(→＋→)·→＝→·→＋ABDcOPODDPcabODDPBAODBA→·→＝→1＋)·(－1|2－|5·→＝()＝(|ab|2)＝.DPBAODBA2abab22【議論】平面向量問(wèn)題的難點(diǎn)就是把平面向量的幾何運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算的結(jié)合，這里要充分利用平面向量的幾何運(yùn)算法規(guī)、平面向量的共線向量定理、兩向量垂直的條件以及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法規(guī)，研究解題的思想．【變式研究】(1)已知a與b均為單位向量，其夾角為θ，有以下四個(gè)命題：1θ∈0，2π；p：|a＋b|＞1?32a＋b|＞1?θ∈2π，π；p：|33：|－|＞1?∈0，πθpab3πp4：|a－b|＞1?θ∈3，π.其中的真命題是()A．p1，p4B．p1，p3C．p2，p3D．p2，p4→→(2)在△OAB中，設(shè)OA＝a，OB＝b，則OA邊上的高等于________．難點(diǎn)三平面向量的共線與垂直的綜合運(yùn)用x2y2例

3

已知橢圓

a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為

F1、F2，左極點(diǎn)為

A，若|

F1F2|＝2，1橢圓的離心率為e＝2.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若是橢圓上的任意一點(diǎn)，求→·→的取值范圍；PPF1(3)已知直線l：y＝kx＋m與橢圓訂交于不相同的兩點(diǎn)M，N(均不是長(zhǎng)軸的端點(diǎn))，AH⊥MN，→2→→l恒過(guò)定點(diǎn)．垂足為H且AH＝MH·HN，求證：直線由已知得c＝1，a＝2，b＝x2y2【解答】(1)3，∴所求橢圓方程為4＋3＝1.(2)設(shè)P(x，y)，又A(－2,0)，F(xiàn)(－1,0)，001→→212＋3x＋5.010000由于(0，y0)在橢圓上，∴－2≤x0≤2，可知f(x12x0＋5在區(qū)間[－2,2]上單0)＝0＋3Px4x調(diào)遞加，∴當(dāng)x0＝－2時(shí)，f(x0)取最小值為0；當(dāng)x0＝2時(shí)，f→→(x0)取最大值為12，∴PF1·PA的取值范圍是[0,12]．y＝kx＋，m(3)由x2y222＋8kmx＋2得(3＋4k)x4m－12＝0，4＋3＝12由>0得4k＋3>m.【議論】此題是以觀察剖析幾何基本問(wèn)題為主的試題，但平面向量在其中起著重點(diǎn)作用．本題的難點(diǎn)是第三問(wèn)，即把已知的垂直關(guān)系和向量等式轉(zhuǎn)變成→→AM·AN＝0，從而達(dá)到使用韋達(dá)定理成立直線中參數(shù)k，的方程，確定k，的關(guān)系，把雙參數(shù)直線系方程化為單參數(shù)直線mm系方程，實(shí)現(xiàn)了證明直線系過(guò)定點(diǎn)的目的．4【變式研究】已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，一條漸近線方程為y＝3x，右焦點(diǎn)F(5,0)，雙曲線的實(shí)軸為A1A2，P為雙曲線上一點(diǎn)(不相同于A1，A2)，直線A1P、A2P分9別與直線l：x＝5交于M、N兩點(diǎn)．求雙曲線的方程；→求證：FM·FN為定值．x2y2【解答】(1)依題意可設(shè)雙曲線方程為a2－b2＝1，則4＝，a3＝3，22xyac＝5，?b＝4，∴所求雙曲線方程為9－16＝1.c2＝a2＋b2(2)A(－3,0)、A(3,0)、F(5,0)，12設(shè)(，y)，9，y0，→1＝(x＋3，)，→1＝24，y0，PxM5APyAM524∵A1、P、M三點(diǎn)共線，∴(x＋3)y0－5y＝0，∴y0＝524y924y96yx＋3，即M5，5x＋3.同理得N5，－5x－3.→1624y→166y，∴FM＝－，x＋3，F(xiàn)N＝－，－x－35555→→256144y2x2y2y216∴FM·FN＝25－25·x2－9.∵9－16＝1，∴x2－9＝9，∴→·→256·→＝0為定值．＝·＝－＝0，即259252525【歷屆高考真題】【2012年高考試題】1.【2012高考真題重慶理6】設(shè)x,yR，向量a(x,1),b(1,y),c(2,4)且ac,b//c，則ab（A）5（B）10（C）25（D）10【2012高考真題浙江理5】設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量。A.若|a+b|=|a|-|b|，則a⊥bB.若a⊥b，則|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，則存在實(shí)數(shù)λ，使得b=λaD.若存在實(shí)數(shù)λ，使得b=λa，則|a+b|=|a|-|b|rrrr3.【2012高考真題四川理ab7】設(shè)a、b都是非零向量，以下四個(gè)條件中，使rr成立|a||b|的充分條件是（）rA、ab

Brrrr、a//bC、a2b

rrrrD、a//b且|a||b|【答案】Cabrr【剖析】A.可以推得為既不充分也不用要條件；ab|a||b|B.可以推得rr|a||b|或ab為必要不充分條件；C．為充分不用要條件；D同B.|a||b|4.【2012高考真題遼寧理3】已知兩個(gè)非零向量a，b滿足|a+b|=|ab|，則下面結(jié)論正確的選項(xiàng)是(A)a∥b(B)a⊥b(C){0,1,3}(D)a+b=ab5.【2012高考真題江西理7】在直角三角形ABC中，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段22PAPBCD的中點(diǎn)，則2=PCA．2B．4C．5D．10【答案】D【剖析】將直角三角形放入直角坐標(biāo)系中，如圖，設(shè)A(a,0),B(0,b),a,b0，則D(a,b)，P(a,b),所以PC(a)2(b)2a2b2，22244441616PB(a)2(bb)2a29b2，PA(aa)2(b)29a2b2，所以22441616441616222222PA2PB2222a9b9ab10(ab)10PC10，選PAPB,所以PC2161616161616D.uuuruuur6.【2012高考真題湖南理7】在△ABC中，AB=2，AC=3，ABgBC=1則BC___.A.3B.7C.22D.23uuuruuuruuur【2012高考真題廣東理3】若向量BA=（2,3），CA=（4,7），則BC=A．（-2,-4）B．(3,4)C．(6,10)D．(-6,-10)【答案】A【剖析】BCBACA(2,3)(4,7)(2,4)．應(yīng)選A．8.【2012高考真題廣東理8】對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量α和β，定義?≥|b|＞0，a與b的夾角(0,)，且ab和ba．若平面向量a，b滿足|a|?4都在會(huì)集{n|nZ}中，則ab=A．1235B.1C.D.222【答案】C【解析】因?yàn)閍ba?b|a|coscos2，b?b|b|2bab?a|b|coscos1，a?a|a|且ab和ba都在會(huì)集{n|nZ}中，所以ba|b|cos1，|b|1，2|a|2|a|2cos所以ab|a|cos22，由于(0,)，所以1ab2，故有a3．故|b|2cosb42選C．9.【2012高考真題安徽理8】在平面直角坐標(biāo)系中，O(0,0),P(6,8)uuur，將向量OP按逆uuur時(shí)針旋轉(zhuǎn)3后，得向量OQ，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（）4(A)(72,2)(B)(72,2)(C)(46,2)(D)(46,2)10.【2012高考真題天津理7】已知為等邊三角形，AB=2，設(shè)點(diǎn)P，Q滿足，，，若BQ?CP3，2則=（A）（B）（C）（D）【答案】A11.【2012高考真題新課標(biāo)理rrrrr13】已知向量a,b夾角為45，且a1,2ab10；則rb_____12.【2012高考真題浙江理uuuruuur15】在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM=3，BC=10，則ABAC=________.【答案】-16【剖析】法一此題最適合的方法是特例法．假設(shè)ABC是以AB＝AC的等腰三角形，如圖，AM＝3，BC＝10，AB＝AC＝34．cos∠＝34341008．uuuruuur＝uuuruuur16BAC23417ABACABACcosBAC法二：AB?AC(1BCAM)?(1BCAM)1BC2211023216.AM224413.【2012高考真題上海理12】在平行四邊形ABCD中，A3，邊AB、AD的長(zhǎng)分別為2、1，若M、N分別是邊BC、上的點(diǎn)，且滿足|BM||CN|，則AMAN|BC||CD|的取值范圍是。14.【2012高考真題山東理16】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始地址在(0,1)，此時(shí)圓上一點(diǎn)P的地址在(0,0)，圓在x軸上沿正向轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)圓轉(zhuǎn)動(dòng)到圓心uuur位于(2,1)時(shí)，OP的坐標(biāo)為_(kāi)_____________.【答案】(2sin2,1cos2)【剖析】由于圓心搬動(dòng)的距離為2，所以劣弧PA2，即圓心角PCA2,,則PCA2,所以PBsin(2)cos2，22CBcos(2)sin2，所以xp2CB2sin2，yp1PB1cos2，所以2OP(2sin2,1cos2)?！?012高考真題北京理13】已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則DECB的值為_(kāi)_______，DEDC的最大值為_(kāi)_____。rrrrrr16.【2012高考真題安徽理14】若平面向量a,b滿足：2ab3，則agb的最小值是_____?！敬鸢浮?8rrr2r2rr2ab34ab94agb【剖析】r2r2rrrrrrrrrr94ab4ab4agb94agb4agbagb817.【2012高考江蘇9】（5分）如圖，在矩形ABCD中，AB2，BC2，點(diǎn)E為BCuuuruuuruuuruuur的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若ABgAF2，則AEgBF的值是▲．【答案】2?！?011年高考試題】(2011年高考四川卷理科4)如圖，正六邊形ABCDEF中，=()(A)0(B)(C)(D)答案：

D剖析：

uuurBA

uuurCD

uuurEF

uuurDE

uuurCD

uuurEF

uuurCD

uuurDE

uuurEF

uuurCF

.2.(201112)rrrrrrr1年高考全國(guó)卷理科設(shè)向量a、b、c滿足|a|=|b|=1,ab=,，rrrrr2=600ac,bc，則c的最大值等于(A)2(B)3(c)2(D)1【答案】Auuurruuurruuurr【剖析】如圖，構(gòu)造ABa,ADb,ACc,BAD120o,BCD60o，所以A,B,C,D四點(diǎn)共圓，r可知當(dāng)線段AC為直徑時(shí)，c最大，最大值為2.二、填空題:1.(2011年高考浙江卷理科14)若平面向量ururur1，ur1，且以向量ur，滿足，ururur為鄰邊的平行四邊形的面積為1，則與的夾角的取值范圍是。,52【答案】[]661urur1urur121,sin【解析】2sin2,又Q1,，又,52Q[0,],[]66r2.(2011年高考安徽卷理科13)已知向量a，b滿足（a+2b）·（a-b）=－6，且a，rb2，則a與b的夾角為.uruur60ouruur3.(2011年高考重慶卷理科12)已知單位向量ci,cj的夾角為，則2cicj解析：3。uruururuur2ur2uur2uruurcos60o2cicj2cicj4cicj4cigcj41434.(2011年高考安徽卷江蘇10)已知e1,e2是夾角為2的兩個(gè)單位向量，3ae12e2,bke1e2,若ab0，則k的值為.【答案】54【解析】2uruur22ab(e12e2)(ke1e2)ke1k(12k)cos(12k)e1e22e220,解得3k5.4【2010年高考試題】（2010全國(guó)卷2理數(shù)）（8）中，點(diǎn)在上，平方．若，，，，則（A）（B）（C）（D）6.（2010遼寧理數(shù)）(8)平面上O,A,B三點(diǎn)不共線，設(shè)OA=a,OBb，則△OAB的面積等于(A)|a|2|b|2(agb)2(B)|a|2|b|2(agb)2(C)1|a|2|b|2(agb)2(D)1|a|2|b|2(agb)222【答案】C【剖析】三角形的面積S=1|a||b|sin<a,b>，而121|a|2|b|2(ab)2|a|2|b|2(ab)2cos2a,b221|a||b|1cos2a,b1|a||b|sina,b227.（2010重慶理數(shù)）(2)已知向量a，b滿足a?b0,a1,b2,，則2abA.0B.22C.4D.8剖析：2ab(2b)24242822aaabb（2010四川理數(shù)）（5）設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，uuur2uuuruuuruuuruuuruuuurBC16,ABACABAC則AM（A）8（B）4（C）2（D）1rrr