面積和面積法

初中數(shù)學(xué)里很多問(wèn)題都涉及到平面圖形的面積計(jì)算，所用到的方法繁多，而小學(xué)到底學(xué)了哪些方法呢？這個(gè)恐怕很多初中數(shù)學(xué)教師有所不知。結(jié)果就造成了“小學(xué)和初中都不教，而在初中卻要考”的尷尬局面。所以“面積和面積法”是中小學(xué)數(shù)學(xué)銜接的真空地帶。于是初中數(shù)學(xué)教師一定要在合適的時(shí)候補(bǔ)上這一課，下面是我給學(xué)生補(bǔ)課的教案。如圖，直線(xiàn)a∥b，點(diǎn)A、B在a上，C、D在b上，則△ABC和△ABD的面積相等。即平移時(shí)面積不變。

依據(jù)：同底等高的兩個(gè)三角形面積相等。解：連結(jié)AC、BF，因?yàn)锳C∥BF，所以S△ABC=S△ACF，即S陰影=S扇形BAC=9π.如圖，過(guò)點(diǎn)C、D且垂直于CD的直線(xiàn)上所有格點(diǎn)均符合條件，故符合條件的點(diǎn)共有7個(gè)。例如圖中的黃色部分面積就等于1，不用平移現(xiàn)象是很難想到的。同高兩個(gè)三角形的性質(zhì)：如圖D在△ABC的BC邊上，則S△ABD:S△ADC=BD:DC。解：S△ABC=2×4-1-1.5-2=3.5.解：S△ABC=7×7-2-21-10.5=15.5.有些圖形的面積計(jì)算，要先進(jìn)行分割。解：不難證明這個(gè)六邊形是正六邊形，所以連結(jié)HE、DG、IF交于一點(diǎn)，故正三角形被等分成6個(gè)小正三角形，S六邊形DEFGHI=18÷9×6=12.解：連結(jié)BD，∵∠A=90度，AD=6，AB=8，∴BD=10，∵BC=24，CD=26，∴∠CBD=90度，∴S四邊形ABCD=6×8÷2+24×10÷2=144.解：如圖將每個(gè)圖形分割，則第一個(gè)正方形占總圖形的1/2，第二個(gè)正方形占總圖形的4/9，所以是第一個(gè)正方形面積大。

某些圖形求面積時(shí)，要先補(bǔ)上一塊圖形，再用整體減部分來(lái)計(jì)算。S四邊形ABCD=S△ABE-S△CDE=12×62?12×42=10.解：連AE，則S綠色部分=S扇形-S黃色部分.∵∠EAF=90°-45°=45°，∴S綠色部分=45360π(22√)2?(90360π×22?12×22)=2.這種方法就是先將圖形進(jìn)行分割，再將分割后的圖形補(bǔ)到合適的位置，分為旋轉(zhuǎn)割補(bǔ)、平移割補(bǔ)、反射割補(bǔ)和其它割補(bǔ)四種。四、五、六三種方法統(tǒng)稱(chēng)“割補(bǔ)法”。解：將△ABE繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度至△ADF的位置，由已知可以證明四邊形AECF為正方形，而面積與四邊形ABCD相等，故AE=16??√=4.解：S紫色部分=12×82=32.a2解：S紫色部分=2S正方形ABCD=S正方形EFGH=a2.同一個(gè)圖形（或面積相等的兩個(gè)圖形）減去（或加上）面積相等的圖形（或同一個(gè)圖形）差（或和）相等。簡(jiǎn)單地說(shuō)：

相等的面積加上相等的部分，和相等。相等的面積減去相等的部分，差相等。解：∵S△ABC=S△DB’C+S四邊形ABB’D，S△A’B’C’=S△DB’C+S四邊形A’DCC’∴S四邊形A’DCC’=S四邊形ABB’D=12(5+5?2)×2=7.解:(1)將矩形ABCD內(nèi)的陰影部分平移至矩形BCEF內(nèi)，使G與H重合，那么S扇形CPE=S矩形BCEF，即14×3×12=a，a=34.(2)當(dāng)a=2時(shí)，|陰影部分面積差|=|S扇形CPE-S矩形BCEF|=|14×3×12?2|=54.就是利用重疊原理的一種方法，即兩個(gè)（或多個(gè)）圖形有重疊部分，重疊部分的面積就等于這兩個(gè)（或多個(gè)）圖形的面積和減去整個(gè)圖形的總面積。解：S綠色部分=4S半圓-S正方形=2π×102-202=200π-400≈228.3解：我們?cè)O(shè)想桌面上先放一個(gè)圓形紙片，再放2個(gè)半圓形紙片，再揭掉一個(gè)三角形的紙片，這樣原來(lái)2層紙的區(qū)域就成了一層紙，故S藍(lán)色=S圓+2S半圓-S三角形=32π+22π?12×8×6=13π?24.解：如圖，我們?cè)O(shè)想桌面上先放一個(gè)直角扇形紙片，再放另一個(gè)直角扇形紙片，再揭掉一個(gè)正方形的紙片，這樣原來(lái)2、1、0層紙的區(qū)域就成了1、0、-1層紙，故S黃色部分差=2S直角扇形-S正方形=12×22π?22=2π?4.有些幾何問(wèn)題本身不涉及面積，通過(guò)面積的方法來(lái)解決顯得特別簡(jiǎn)單。利用這種方法求垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度、證明垂線(xiàn)段相等尤為方便。解：連結(jié)AP,AQ則S△APQ=S矩形-S三個(gè)三角形=15-1.5-4-2.5=7,

∴12×AH×PQ=7,PQ=25√,∴AH=755√.解：連結(jié)OA,OB,OC,設(shè)OD=r，

則有S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OAC=12×AB×r+12×BC×r+12×AC×r=r2(AB+BC+AC).即4=r2×12,r=23.已知：△ABC中，D,E分別是AB,AC的中點(diǎn).求證：DE平行BC，DE=12BC.解：連結(jié)BE,CD.由已知得S△BDE=S