人教版新課標高中數學必修4-全冊教案

高中數學必修4教案

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1.1．1任意角

教學目標

（一）知識與技能目標

理解任意角的概念(包括正角、負角、零角)與區(qū)間角的概念.

（二）過程與能力目標

會建立直角坐標系討論任意角,能判斷象限角,會書寫終邊相同角的集合；掌握區(qū)間角

的集合的書寫．

（三）情感與態(tài)度目標

1．提高學生的推理能力；2．培養(yǎng)學生應用意識．

教學重點

任意角概念的理解；區(qū)間角的集合的書寫．

教學難點

終邊相同角的集合的表示；區(qū)間角的集合的書寫．

教學過程

一、引入：

1．回顧角的定義

①角的第一種定義是有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角.

②角的第二種定義是角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所

形成的圖形．

二、新課：

1．角的有關概念：

①角的定義：

角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形．

②角的名稱：

始邊

B

終邊

③角的分類：

O

A

頂點

正角：按逆時針方向旋轉形成的角

零角：射線沒有任何旋轉形成的角

負角：按順時針方向旋轉形成的角

④注意：

⑴在不引起混淆的情況下，“角α”或“∠α”可以簡化成“α”；

⑵零角的終邊與始邊重合，如果α是零角α=0°；

⑶角的概念經過推廣后，已包括正角、負角和零角．

⑤練習：請說出角α、β、γ各是多少度?

2．象限角的概念：

①定義：若將角頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么角的終邊(端點除

外)在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角．

例1．如圖⑴⑵中的角分別屬于第幾象限角？

y

y

B

1

45°

30°

x

x

o

60

O

O

B

2

B

3

⑵

⑴

例2．在直角坐標系中，作出下列各角，并指出它們是第幾象限的角．

1

高中數學必修4教案

⑴60°；⑵120°；⑶240°；⑷300°；⑸420°；⑹480°；

答：分別為1、2、3、4、1、2象限角．

3．探究：教材P3面

終邊相同的角的表示：

所有與角α終邊相同的角，連同α在內，可構成一個集合S＝{β|β=α+

k·360°，

k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整個周角的和．

注意：

⑴k∈Z

⑵α是任一角；

⑶終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同．終邊相同的角有無限個，它們

相差

360°的整數倍；

⑷角α+k·720°與角α終邊相同，但不能表示與角α終邊相同的所有角．

例3．在0°到360°范圍內，找出與下列各角終邊相等的角，并判斷它們是第幾象限角．

⑴－120°；⑵640°；⑶－950°12＇．

答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角；

例4．寫出終邊在y軸上的角的集合(用0°到360°的角表示)．

解:{α|α=90°+n·180°,n∈Z}．

yx

例5．寫出終邊在上的角的集合S,并把S中適合不等式－360°≤β＜720°的元素β

寫出來．

4．課堂小結

①角的定義；

②角的分類：

正角：按逆時針方向旋轉形成的角

零角：射線沒有任何旋轉形成的角

負角：按順時針方向旋轉形成的角

③象限角；

④終邊相同的角的表示法．

5．課后作業(yè)：

①閱讀教材P-P；②教材P練習第1-5題；③教材P.9習題1.1第1、2、3題

255

思考題：已知α角是第三象限角，則2α，各是第幾象限角？

2

解：角屬于第三象限，

k·360°+180°＜α＜k·360°+270°(k∈Z)

因此，2k·360°+360°＜2α＜2k·360°+540°(k∈Z)

即(2k+1)360°＜2α＜(2k+1)360°+180°(k∈Z)

故2α是第一、二象限或終邊在y軸的非負半軸上的角．

又k·180°+90°＜＜k·180°+135°(k∈Z)．

2

＜n·360°+135°(n∈Z)，當k為偶數時，令k=2n(n∈Z)，則n·360°+90°＜

2

此時，屬于第二象限角

2

當k為奇數時，令k=2n+1(n∈Z)，則n·360°+270°＜＜n·360°+315°(n∈Z)，

2

2

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此時，屬于第四象限角

2

因此屬于第二或第四象限角．

2

1.1.2弧度制（一）

教學目標

（四）知識與技能目標

理解弧度的意義；了解角的集合與實數集R之間的可建立起一一對應的關系；熟記特

殊角的弧度數．

（五）過程與能力目標

能正確地進行弧度與角度之間的換算，能推導弧度制下的弧長公式及扇形的面積公式，

并能運用公式解決一些實際問題

（六）情感與態(tài)度目標

通過新的度量角的單位制(弧度制)的引進，培養(yǎng)學生求異創(chuàng)新的精神；通過對弧度制

與角度制下弧長公式、扇形面積公式的對比，讓學生感受弧長及扇形面積公式在弧度制下

的簡潔美．

教學重點

弧度的概念．弧長公式及扇形的面積公式的推導與證明．

教學難點

“角度制”與“弧度制”的區(qū)別與聯(lián)系．

教學過程

一、復習角度制：

初中所學的角度制是怎樣規(guī)定角的度量的?

1

規(guī)定把周角的作為1度的角,用度做單位來度量角的制度叫做角度制．

360

二、新課：

1．引入：

由角度制的定義我們知道,角度是用來度量角的,角度制的度量是60進制的,運用起來

不太方便.在數學和其他許多科學研究中還要經常用到另一種度量角的制度—弧度制，它是

如何定義呢？

2．定義

我們規(guī)定,長度等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角；用弧度來度量角的單位制

叫做弧度制．在弧度制下,1弧度記做1rad．在實際運算中，常常將rad單位省略．

3．思考：

（1）一定大小的圓心角所對應的弧長與半徑的比值是否是確定的？與圓的半徑大小有關

嗎？

（2）引導學生完成P6的探究并歸納：

弧度制的性質：

2r

r

;2.

①半圓所對的圓心角為②整圓所對的圓心角為

r

r

③正角的弧度數是一個正數．④負角的弧度數是一個負數．

l.

⑤零角的弧度數是零．⑥角α的弧度數的絕對值|α|=

r

4．角度與弧度之間的轉換：

①將角度化為弧度：

3

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n

10.01745radnrad

3602180

；；；．

180

180

②將弧度化為角度：

180n

180

￠

=盎?

)n=(

1rad()57.305718

2p=360p=180

；

．；；

p

p

5．常規(guī)寫法：

①用弧度數表示角時,常常把弧度數寫成多少π的形式,不必寫成小數．

②弧度與角度不能混用．

6．特殊角的弧度

角030456090120135150180270360

度°°°°°°°°°°°

2353

弧

2

0

度

462

4323

6

7．弧長公式

l

?lraa=

r

弧長等于弧所對應的圓心角(的弧度數)的絕對值與半徑的積．

例1．把67°30＇化成弧度．

3

rad

例2．把化成度．

5

例3．計算：

(1)sin

(2)tan1.5

；．

4

例4．將下列各角化成0到2π的角加上2kπ（k∈Z）的形式：

19

(1)

(2)315

；．

3

例5．將下列各角化成2kπ+α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式,并確定其所在的象限．

31

19

(2)(1)

；．

3

6

l

R

197

2,解:(1)

36

O

719p

\

而是第三象限的角,是第三象限角.

3

6

31p5p31p

=-6p+,\--

(2)是第二象限角.

666

1

例6.利用弧度制證明扇形面積公式SlR,其中l(wèi)是扇形弧長,R是圓的半徑.

2

1

2

2

R

R

,又扇形弧長為l,半徑為證法一:∵圓的面積為,∴圓心角為1rad的扇形面積為

2

R,

ll11

2

SRlR

rad,∴扇形面積．∴扇形的圓心角大小為

RR22

2

nR

S

證法二:設圓心角的度數為n，則在角度制下的扇形面積公式為，又此時弧長

360

4

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nR1nR1

lRlRS

．，∴

18021802

可看出弧度制與角度制下的扇形面積公式可以互化，而弧度制下的扇形面積公式顯然要

簡潔得多．

11

2

扇形面積公式:SlRR

22

7．課堂小結①什么叫1弧度角?②任意角的弧度的定義③“角度制”與“弧度制”的聯(lián)系

與區(qū)別．

8．課后作業(yè)：

①閱讀教材P–P；

68

②教材P練習第1、2、3、6題；

9

③教材P10面7、8題及B2、3題．

4-1.2.1任意角的三角函數（三）

教學目的：

知識目標：1.復習三角函數的定義、定義域與值域、符號、及誘導公式；2.利用三角函數線表示正弦、余弦、正切的三角函數值；

3.利用三角函數線比較兩個同名三角函數值的大小及表示角的范圍。

能力目標：掌握用單位圓中的線段表示三角函數值，從而使學生對三角函數的定義域、

值域有更深的理解。德育目標：學習轉化的思想，培養(yǎng)學生嚴謹治學、一絲不茍的科學精神；

教學重點：正弦、余弦、正切線的概念。

教學難點：正弦、余弦、正切線的利用。

教學過程：

一、復習引入：

1.三角函數的定義

2.誘導公式

sin(2k)sin(kZ)

cos(2k)cos(kZ)

tan(2k)tan(kZ)

的值是

o

tan600____________.

D練習1.

33

A.B.C.3D.3

33

.若sinθcosθ0,則θ在________

B練習2.

第一、二象限第一、三象限

A.B.

第一、四象限第二、四象限

C.D.

若cosθ0，且sin20則θ的終邊在____

練習3.C

A.第一象限B.第三象限C.第四象限D.第二象限

二、講解新課：

22

xy1

P(x,y)

當角的終邊上一點的坐標滿足時，有三角函數正弦、余弦、正切值的

5

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幾何表示——三角函數線。

1．有向線段：

坐標軸是規(guī)定了方向的直線，那么與之平行的線段亦可規(guī)定方向。

規(guī)定：與坐標軸方向一致時為正，與坐標方向相反時為負。

有向線段：帶有方向的線段。

2．三角函數線的定義：

x

O

設任意角的頂點在原點，始邊與軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交與點

P

(x,y)

，

x

PM

A(1,0)

過作軸的垂線，垂足為；過點作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向

y

y

T

延

T

長線交與點.

P

P

A

A

o

x

o

M

x

M

T

yy

（Ⅱ）

（Ⅰ）

T

A

M

o

M

A

x

o

x

PT

P

（Ⅲ）

（Ⅳ）

由四個圖看出：

OMx,MPy

當角的終邊不在坐標軸上時，有向線段，于是有

yyxxyMPAT

sinyMPcosxOMtanAT

，，

r1r1xOMOA

MP,OM,AT

我們就分別稱有向線段為正弦線、余弦線、正切線。

說明：

x

（1）三條有向線段的位置：正弦線為的終邊與單位圓的交點到軸的垂直線段；余弦線

xx

在軸上；正切線在過單位圓與軸正方向的交點的切線上，

三條有向線段中兩條在單位圓內，一條在單位圓外。

（2）三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向的終邊與單位圓的交點；余弦線由原點指

向垂

足；正切線由切點指向與的終邊的交點。

yy

xx

（3）三條有向線段的正負：三條有向線段凡與軸或軸同向的為正值，與軸或軸反

向的

為負值。

（4）三條有向線段的書寫：有向線段的起點字母在前，終點字母在后面。

4．例題分析：

例1．作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線。

5213

（1）；（2）；（3）；（4）．

6

336

6

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解：圖略。

若0，證明sincos1.

例2.

2

例3.比較大?。?/p>

2424

(1)sin與sin(2)cos與cos

3535

24

(3)tan與tan

35

1

例4.在[0，2]上滿足sinx的x的取值范圍是()

2

525

A.0,B.，C.，D.，

666636

例5.利用單位圓寫出符合下列條件的角x的范圍．

11

(1)sinx;(2)cosx.

22

711

2kx2k,kZ2kx2k,kZ

答案：（1）；（2）；

6666

三、鞏固與練習：P17面練習

四、小結：本節(jié)課學習了以下內容：

1．三角函數線的定義；

2．會畫任意角的三角函數線；

3．利用單位圓比較三角函數值的大小，求角的范圍。

五、課后作業(yè)：作業(yè)4

參考資料

例1.利用三角函數線比較下列各組數的大?。?/p>

2424

sinsintantan

1與2與

3535解：如圖可知：

2424

sinsin

tantan

3535

例2．利用單位圓尋找適合下列條件的0到360的角

1

3

1sin≥2tan

2

3

y

y解：12

30

T

PP

21

ox

ox

A

7

210

高中數學必修4教案

30≤≤150

3090或210270

cos64,cos285

補充：1．利用余弦線比較的大小；

sincostan

2．若，則比較、、的大??；

42

3．分別根據下列條件，寫出角的取值范圍：

33

cossin

tan1（1）；（2）；（3）．

22

4-1.2.1任意角的三角函數（1）

教學目的：

知識目標：1.掌握任意角的三角函數的定義；

2.已知角α終邊上一點，會求角α的各三角函數值；

3.記住三角函數的定義域、值域，誘導公式（一）。

能力目標：（1）理解并掌握任意角的三角函數的定義；

（2）樹立映射觀點，正確理解三角函數是以實數為自變量的函數；

（3）通過對定義域，三角函數值的符號，誘導公式一的推導，提高學生分

析、探究、解決問題的能力。德育目標：（1）使學生認識到事物之間是有聯(lián)系的，三角函數就是角度（自變量）與

比值（函數值）的一種聯(lián)系方式；

（2）學習轉化的思想，培養(yǎng)學生嚴謹治學、一絲不茍的科學精神；

教學重點：任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數的定義域和函數值在各

象限的符號），以及這三種函數的第一組誘導公式。公式一是本小節(jié)的另一個重

點。

教學難點：利用與單位圓有關的有向線段，將任意角α的正弦、余弦、正切函數值分別用他

們的集合形式表示出來.

教學過程：

一、復習引入：初中銳角的三角函數是如何定義的？

在Rt△ABC中，設A對邊為a，B對邊為b，C對邊為c，銳角A的正弦、余弦、正切依

aba

sinA,cosA,tanA

次為．

ccb

角推廣后，這樣的三角函數的定義不再適用，我們必須對三角函數重新定義。

二、講解新課：

1．三角函數定義

P

(x,y)

在直角坐標系中，設α是一個任意角，α終邊上任意一點（除了原點）的坐標為，

2222

r(r|x||y|xy0)

它與原點的距離為，那么

8

高中數學必修4教案

yy

sin

sin

叫做α的正弦，記作，即；（1）比值

rr

xx

coscos

（2）比值叫做α的余弦，記作，即；

r

r

yy

tan

tan

（3）比值叫做α的正切，記作，即；

xx

xx

cot

cot

（4）比值叫做α的余切，記作，即；

yy

x

說明：①α的始邊與軸的非負半軸重合，α的終邊沒有表明α一定是正角或負角，以及α

的大小，只表明與α的終邊相同的角所在的位置；

P(x,y)

②根據相似三角形的知識，對于確定的角α，四個比值不以點在α的終邊上

的位置的改變而改變大??；

x

k(kZ)

y

③當時，α的終邊在軸上，終邊上任意一點的橫坐標都等

2

0

于，

y

x

tan

cot

k(kZ)

無意義；同理當時，無意義；所以

x

y

yxy

x

④除以上兩種情況外，對于確定的值α，比值、、、分別是一個確定的實

r

xr

y

數，

正弦、余弦、正切、余切是以角為自變量，比值為函數值的函數，以上四種函數統(tǒng)稱為

三角函數。

2．三角函數的定義域、值

函數定義域值域

域

ysin[1,1]

R

ycos

[1,1]

R

ytan

{|k,kZ}

R

2

注意：

(1)在平面直角坐標系內研究角的問題，其頂點都在原點，始邊都與x軸的非負半軸重合

(2)α是任意角，射線OP是角α的終邊，α的各三角函數值（或是否有意義）與ox轉了

幾圈，按什么方向旋轉到OP的位置無關.

(3)sin是個整體符號，不能認為是“sin”與“α”的積.其余五個符號也是這樣.

(4)任意角的三角函數的定義與銳角三角函數的定義的聯(lián)系與區(qū)別:

銳角三角函數是任意角三角函數的一種特例，它們的基礎共建立于相似（直角）三角形

的性質，“r”同為正值.所不同的是，銳角三角函數是以邊的比來定義的，任意角的三角

函數是以坐標與距離、坐標與坐標、距離與坐標的比來定義的,它也適合銳角三角函數的定

義.實質上，由銳角三角函數的定義到任意角的三角函數的定義是由特殊到一般的認識和研

究過程.

(5)為了便于記憶，我們可以利用兩種三角函數定義的一致性，將直角三角形置于平面直角

坐標系的第一象限，使一銳角頂點與原點重合，一直角邊與x軸的非負半軸重合，利用我們

熟悉的銳角三角函數類比記憶.

3．例題分析

例1．求下列各角的四個三角函數值：（通過本例總結特殊角的三角函數值）

9

高中數學必修4教案

3

0

（1）；（2）；（3）．

2

xr

y0

0

解：（1）因為當時，，，所以

sin00cos01tan00

cot0

，，，不存在。

xr

y0

（2）因為當時，，，所以

sin0cos1tan0

cot

，，，不存在，

3

x0

yr

（3）因為當時，，，所以

2

3333

sin1cos0tan0cot

，，，不存在，

2

222

P(2,3)

例2．已知角α的終邊經過點，求α的四個函數值。

22

r2(3)13

x2,y3

解：因為，所以，于是

y3313x2213

cossin

；；

r13r13

1313

x2

y3

tan

cot

；．

x2

y3

(a,2a)(a0)

例3．已知角α的終邊過點，求α的四個三角函數值。

(a,2a)(a0)xa,y2a

r5|a|

解：因為過點，所以，

y2a2a25

xa5a

cos

a0時，sin

當；

r5

r5

5a

5|a|5a

15

；

tan2;cot;sec5;csc

22

y2a2a25

a0時，sin

當；

r5

5|a|5a

xa5a

15

cos

tan2;cot;sec5;csc

；．

r5

22

5a

4．三角函數的符號

由三角函數的定義，以及各象限內點的坐標的符號，我們可以得知：

y

y0,r0y0,r0

對于第一、二象限為正（），對于第三、四象限為負（）；①正弦值

r

x

x0,r0x0,r0

②余弦值對于第一、四象限為正（），對于第二、三象限為負（）；

r

y

x,yx,y

③正切值對于第一、三象限為正（同號），對于第二、四象限為負（異號）．

x

說明：若終邊落在軸線上，則可用定義求出三角函數值。

練習：確定下列三角函數值的符號：

11

sin()tan

cos250

tan(672)

（1）；（2）；（3）；（4）．

43

sin0tan0

例4．求證：若且，則角是第三象限角，反之也成立。

5．誘導公式

由三角函數的定義，就可知道：終邊相同的角三角函數值相同。即有：

sin(2k)sin

，

kZ

cos(2k)cos

，其中．

10

高中數學必修4教案

tan(2k)tan

，

這組公式的作用是可把任意角的三角函數值問題轉化為0～2π間角的三角函數值問題．

911

cos)tan(

例5．求下列三角函數的值：（1），，（2）

4

6

cosx

tanx

y

例6．求函數的值域

cosxtanx

解：定義域：cosx0∴x的終邊不在x軸上又∵tanx0∴x的終邊不在y軸上

x0,y0

∴當x是第Ⅰ象限角時，cosx=|cosx|tanx=|tanx|∴y=2

x0,y0????Ⅱ????,|cosx|=cosx|tanx|=tanx∴y=2

x0,y0

????ⅢⅣ???,|cosx|=cosx|tanx|=tanx∴y=0

x0,y0

四、小結：本節(jié)課學習了以下內容：

1．任意角的三角函數的定義；2．三角函數的定義域、值域；3．三角函數的符號及誘

導公式。

五、鞏固與練習

1、教材P15面練習；

2、作業(yè)P20面習題1．２A組第1、2、3（1）（2）（3）題及P21面第9題的（1）、（3）

題。

4-1.2.2同角三角函數的基本關系

教學目的：

知識目標：1.能根據三角函數的定義導出同角三角函數的基本關系式及它們之間的聯(lián)

系；2.熟練掌握已知一個角的三角函數值求其它三角函數值的方法。

能力目標：牢固掌握同角三角函數的兩個關系式，并能靈活運用于解題，提高學生分

析、解決三角的思維能力；

教學重點：同角三角函數的基本關系式

教學難點：三角函數值的符號的確定，同角三角函數的基本關系式的變式應用

教學過程：

一、復習引入：

1．任意角的三角函數定義：

P(x,y)

設角是一個任意角，終邊上任意一點，它與原點的距離為

yxy

2222

r(r|x||y|xy0)

sincostan

，那么：，，，

rrx

2．當角α分別在不同的象限時，sinα、cosα、tgα的符號分別是怎樣的？

3

sinA

3．背景：如果，A為第一象限的角，如何求角A的其它三角函數值；

5

4．問題：由于α的三角函數都是由x、y、r表示的，則角α的三個三角函數之間有什么關

系？

二、講解新課：

（一）同角三角函數的基本關系式：

11

高中數學必修4教案

（板書課題：同角的三角函數的基本關系）

1.由三角函數的定義，我們可以得到以下關系：

sin

22

tan

sincon1

（1）商數關系：（2）平方關系：

con

說明：

22

sin4cos41

①注意“同角”，至于角的形式無關重要，如等；

②注意這些關系式都是對于使它們有意義的角而言的，如

k

tancot1(,kZ)

；

2

③對這些關系式不僅要牢固掌握，還要能靈活運用（正用、反用、變形用），如：

sin

2

22

cos

cos1sin

sin1cos

等。，，

tan

2．例題分析：

一、求值問題

12

sin

cos,tan,cot

例1．（1）已知，并且是第二象限角，求．

13

4

cos

sin,tan

（2）已知，求．

5

125

22

sincos1

2222

cos1sin1()()

解：（1）∵，∴

1313

5

cos

cos0

又∵是第二象限角，∴，即有，從而

13

sin1215

tancot

cos5tan12

，

43

2222

22

sin1cos1()()

sincos1

（2）∵，∴，

55

4

0cos

，∴在第二或三象限角。又∵

5

3sin3

sin0

sintan

；當在第二象限時，即有，從而，

5cos4

3sin3

sintan

sin0

．當在第四象限時，即有，從而，

5cos4

總結：

1.已知一個角的某一個三角函數值，便可運用基本關系式求出其它三角函數值。在求值

中，確定角的終邊位置是關鍵和必要的。有時，由于角的終邊位置的不確定，因此解

的情況不止一種。

2.解題時產生遺漏的主要原因是：①沒有確定好或不去確定角的終邊位置；②利用平方

關系開平方時，漏掉了負的平方根。

tantan

sin,cos

例2．已知為非零實數，用表示．

sin

22

tan

sincos1

解：∵，，

cos

1

2

2222

cos

(costan)coscos(1tan)1

，∴，即有

2

1tan

tan

又∵為非零實數，∴為象限角。

12

高中數學必修4教案

2

11tan

cos0

cos

當在第一、四象限時，即有，從而，

22

1tan1tan

2

tan1tan

sintancos；

2

1tan

2

11tan

cos0

cos

當在第二、三象限時，即有，從而，

22

1tan1tan

2

tan1tan

sintancos．

2

1tan

sin4cos

sin2cos

例3、已知，求

22

⑵

2sin2sincoscos．

5sin2cos

sin2costan2

解：

sin4costan421

5sin2cos5tan2126強調（指出）技巧：1分子、分母是正余弦的一次（或二次）齊次式

cos

注意所求值式的分子、分母均為一次齊次式，把分子、分母同除以,將分子、

tan

分母轉化為的代數式；

2“化1法”

22

sincos1

可利用平方關系，將分子、分母都變?yōu)槎锡R次式，再利用商數關

tan

系化歸為的分式求值；

小結：化簡三角函數式，化簡的一般要求是：

（1）盡量使函數種類最少，項數最少，次數最低；

（2）盡量使分母不含三角函數式；

（3）根式內的三角函數式盡量開出來；

（4）能求得數值的應計算出來，其次要注意在三角函數式變形時，常將式子中的“1”作巧

妙的變形，

二、化簡

2

1sin440

練習1．化簡．

22

1sin(36080)1sin80

2

cos80cos80

．解：原式

1cos1cos3

化簡()

練習2．

1cos1cos2

三、證明恒等式

cosx1sinx

．例4．求證：

1sinxcosx

cosx0

1sinx0,1sinx0

證法一：由題義知，所以．

1sinx

cosx(1sinx)cosx(1sinx)

右邊．∴左邊=

2

cosx

(1sinx)(1sinx)cosx

∴原式成立．

cosx0

1sinx0,1sinx0

證法二：由題義知，所以．

22

(1sinx)(1sinx)1sinxcosxcosxcosx

又∵，

13

高中數學必修4教案

cosx1sinx

．∴

1sinxcosx

cosx0

1sinx0,1sinx0

證法三：由題義知，所以．

22

cosx1sinx

cosx1sinx

cosxcosx(1sinx)(1sinx)

0

，

1sinxcosx

(1sinx)cosx

(1sinx)cosx

cosx1sinx

∴．

1sinxcosx

總結：證明恒等式的過程就是分析、轉化、消去等式兩邊差異來促成統(tǒng)一的過程，證明時常

用的方法有：（1）從一邊開始，證明它等于另一邊；

（2）證明左右兩邊同等于同一個式子；

（3）證明與原式等價的另一個式子成立，從而推出原式成立。

四、小結：本節(jié)課學習了以下內容：

1．同角三角函數基本關系式及成立的條件；

2．根據一個角的某一個三角函數值求其它三角函數值；

五、課后作業(yè)：《習案》作業(yè)第五課時

參考資料

12sin40cos40

化簡．

22

sin40cos402sin40cos40

解：原式

2

(sin40cos40)|cos40sin40|cos40sin40．

1

33

(0)sincos

tan及sincos的值。

，求思考1．已知

5

12

,0,得：cos0(,)sincos解：1由

252

497

2

,得：sincos(sincos)由聯(lián)立：

255

14

sincossin

4

55

tan

73

3

sincoscos

55

4391

3333

sincos()()2

55125

42mm3

,cos,是第四象限角，sin

tan的值。求2、已知

m5m5

42mm3

22

)()1(

22解：∵sin+cos=1∴

m5m5

m(m8)0m0,m8

化簡，整理得：

12

43

sin,cos，(與是第四象限角不合）

當m=0時，

55

12512

sin,cos，tan

當m=8時，

13135

14

高中數學必修4教案

1．3誘導公式（一）

教學目標

（一）知識與技能目標

⑴理解正弦、余弦的誘導公式．

⑵培養(yǎng)學生化歸、轉化的能力．

（二）過程與能力目標

（1）能運用公式一、二、三的推導公式四、五．

（2）掌握誘導公式并運用之進行三角函數式的求值、化簡以及簡單三角恒等式的證明．

（三）情感與態(tài)度目標

通過公式四、五的探究，培養(yǎng)學生思維的嚴密性與科學性等思維品質以及孜孜以求的

探索精神等良好的個性品質．

教學重點

掌握誘導公式四、五的推導，能觀察分析公式的特點，明確公式用途，熟練駕馭公式．

教學難點

運用誘導公式對三角函數式的求值、化簡以及簡單三角恒等式的證明．

教學過程

一、復習：

誘導公式（一）

sin(360k)sincos(360k)costan(360k)tan

誘導公式（二）

sin(180)sincos(180)costan(180)tan

誘導公式（三）

sin()sincos()costan()tan

誘導公式（四）

tan(180)tansin(180)sincos(180)cos

對于五組誘導公式的理解：

公式中的可以是任意角；

①

②這四組誘導公式可以概括為：

,,的三角函數值，等于它的同名2k(kZ),,

三角函數值，前面加上一個把看成銳角時原函數值的符號。

總結為一句話：函數名不變，符號看象限

練習1：P27面作業(yè)1、2、3、4。

2：P25面的例2：化簡

二、新課講授：

sin()coscos()sin

1、誘導公式（五）

22

sin()coscos()sin

2、誘導公式（六）

22

總結為一句話：函數正變余，符號看象限

例1．將下列三角函數轉化為銳角三角函數：

33117

(1)tan,(2)sin,(3)cos519,(4)sin().

5363

練習3：求下列函數值：

15

高中數學必修4教案

6531

,(2)sin(),(3)sin670,(4)tan580).(1)cos

64

3

)cossin(例2．證明：（1）

2

3

)sincos(（2）

2

11

sin(2)cos()cos()cos()

22

.

例3．化簡：

9

cos()sin(3)sin()sin()

2

例4.已知tan()3,

2cos()3sin()

求：的值。

4cos()sin(2)

)3,tan3.tan(解：

2cos3sin23tan233

原式

7.

4cossin4tan43

小結：

①三角函數的簡化過程圖：

0000

任意負角的任意正角的0~360間角0~90間角

查表

公式一或三

公式一或二或四

三角函數的三角函數三角函數的三角函數

求值

②三角函數的簡化過程口訣：

負化正，正化小，化到銳角就行了.

練習4：教材P28頁7．

三．課堂小結

①熟記誘導公式五、六；

②公式一至四記憶口訣：函數名不變，正負看象限；

③運用誘導公式可以將任意角三角函數轉化為銳角三角函數．

四．課后作業(yè)：

①閱讀教材；

②《習案》作業(yè)七．

1．3誘導公式（二）

教學目標

（一）知識與技能目標

⑴理解正弦、余弦的誘導公式．

⑵培養(yǎng)學生化歸、轉化的能力．

（二）過程與能力目標

（1）能運用公式一、二、三的推導公式四、五．

（2）掌握誘導公式并運用之進行三角函數式的求值、化簡以及簡單三角恒等式的證明．

（三）情感與態(tài)度目標

通過公式四、五的探究，培養(yǎng)學生思維的嚴密性與科學性等思維品質以及孜孜以求的

探索精神等良好的個性品質．

教學重點

16

高中數學必修4教案

掌握誘導公式四、五的推導，能觀察分析公式的特點，明確公式用途，熟練駕馭公式．

教學難點

運用誘導公式對三角函數式的求值、化簡以及簡單三角恒等式的證明．

教學過程

一、復習：

誘導公式（一）

sin(360k)sincos(360k)costan(360k)tan

誘導公式（二）

sin(180)sincos(180)costan(180)tan

誘導公式（三）

sin()sincos()costan()tan

誘導公式（四）

sin(－)=sincos(－)=－costan(－)=－tan

誘導公式(五)

sin()coscos()sin

22

誘導公式（六）

sin()coscos()sin

22

二、新課講授：

練習1．將下列三角函數轉化為銳角三角函數：

33117

(1)tan,(2)sin,(3)cos519,(4)sin().

5363

練習2：求下列函數值：

6531

,(2)sin(),(3)sin670,(4)tan580).(1)cos

64

3

)cossin(例1．證明：（1）

2

3

)sincos(（2）

2

11

sin(2)cos()cos()cos()

22

.

例2．化簡：

9

cos()sin(3)sin()sin()

2

2cos()3sin()

例3.已知tan()3,求：的值。

4cos()sin(2)

)3,tan3.tan(解：

2cos3sin23tan233

原式

7.

4cossin4tan43

42sin()3tan(3)

已知sin(),且sincos0,求的值.

例4.

54cos(3)

小結：

①三角函數的簡化過程圖：

0000

任意負角的任意正角的0~360間角0~90間角

查表

公式一或三

公式一或二或四

三角函數三角函數的三角函數的三角函數

求值

17

高中數學必修4教案

②三角函數的簡化過程口訣：

負化正，正化小，化到銳角就行了.

練習3：教材P28頁7．

化簡:

cos

2

(1)sin(2)cos(2);

5

sin

2

o

tan(360)

2

(2)cos().

sin()

17

2

已知sin,cos是關于x的方程xax0的兩根，且3.

例5.

22

tan(6)sin(2)cos(6)

求的值.

cos(180)sin(900)

三．課堂小結

①熟記誘導公式五、六；

②公式一至四記憶口訣：函數名不變，正負看象限；

③運用誘導公式可以將任意角三角函數轉化為銳角三角函數．

四．課后作業(yè)：

①閱讀教材；

②《學案》P.16-P.17的雙基訓練.

1.4.1正弦、余弦函數的圖象

教學目的：

ysinx,xR

知識目標：（1）利用單位圓中的三角函數線作出的圖象，明確圖象的

形狀；

cosxsin(x)

ycosx,xR

（2）根據關系，作出的圖象；

2

（3）用“五點法”作出正弦函數、余弦函數的簡圖，并利用圖象解決一些

有關問題；

能力目標：（1）理解并掌握用單位圓作正弦函數、余弦函數的圖象的方法；

（2）理解并掌握用“五點法”作正弦函數、余弦函數的圖象的方法；

德育目標：通過作正弦函數和余弦函數圖象，培養(yǎng)學生認真負責，一絲不茍的學習和工

作精神；

教學重點：用單位圓中的正弦線作正弦函數的圖象；

教學難點：作余弦函數的圖象。

教學過程：

一、復習引入：

1．弧度定義：長度等于半徑長的弧所對的圓心角稱為1弧度的角。

18

高中數學必修4教案

2.正、余弦函數定義：設是一個任意角，在的終邊上任?。ó愑谠c的）一點P

（x,y）

22

22

rxyxy0

P與原點的距離r()

P

y)

(x,

y

y

r

sin

則比值叫做的正弦記作：

rr

x

x

cos比值叫做的余弦記作：

r

r

3.正弦線、余弦線：設任意角α的終邊與單位圓相交于點P(x，y)，過P作x軸的垂

線，垂足為M，則有

yx

sinMPcosOM

，

rr

向線段MP叫做角α的正弦線，有向線段OM叫做角α的余弦線．

二、講解新課：

1、用單位圓中的正弦線、余弦線作正弦函數、余弦函數的圖象（幾何法）：

為了作三角函數的圖象，三角函數的自變量要用弧度制來度量，使自變量與函數值都為實

數．在一般情況下，兩個坐標軸上所取的單位長度應該相同，否則所作曲線的形狀各不相同，

從而影響初學者對曲線形狀的正確認識．

（1）函數y=sinx的圖象

OO

第一步：在直角坐標系的x軸上任取一點，以為圓心作單位圓，從這個圓與x軸

11

的交點A起把圓分成n(這里n=12)等份.把x軸上從0到2π這一段分成n(這里n=12)等份.

（預備：取自變量x值—弧度制下角與實數的對應）.

0,

第二步：在單位圓中畫出對應于角，，,?，2π的正弦線正弦線（等價于“列

632

表”）.把角x的正弦線向右平行移動，使得正弦線的起點與x軸上相應的點x重合，則正

弦線的終點就是正弦函數圖象上的點（等價于“描點”）.

第三步：連線.用光滑曲線把這些正弦線的終點連結起來，就得到正弦函數y=sinx，x

∈[0，2π]的圖象．

根據終邊相同的同名三角函數值相等，把上述圖象沿著x軸向右和向左連續(xù)地平行移

動，每次移動的距離為2π，就得到y(tǒng)=sinx，x∈R的圖象.

(xR)把角x的正弦線平行移動，使得正弦線的起點與x軸上相應的點x重合，則正

弦線的終點的軌跡就是正弦函數y=sinx的圖象.

19

高中數學必修4教案

（2）余弦函數y=cosx的圖象探究1：你能根據誘導公式，以正弦函數圖象為基礎，通過適當的圖形變換得到余弦函

數的圖象？

cosxsin(x)

根據誘導公式,可以把正弦函數y=sinx的圖象向左平移單位即得

22

余弦函數y=cosx的圖象.（課件第三頁“平移曲線”）

y

y=sinx

1

o

-4

3

-6-3-

45

-2

-52

6

x

-1

y

y=cosx

1

-

-5-33

45

-42

-6x

-2

6

-1

正弦函數y=sinx的圖象和余弦函數y=cosx的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線．

思考：在作正弦函數的圖象時，應抓住哪些關鍵點？

2．用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖（描點法）：

3

正弦函數y=sinx，x∈[0，2π]的圖象中，五個關鍵點是：(0,0)(,1)(,0)(,-1)

22

(2,0)

3

余弦函數y=cosxx[0,2]的五個點關鍵是哪幾個？(0,1)(,0)(,-1)(,0)

22

(2,1)

只要這五個點描出后，圖象的形狀就基本確定了．因此在精確度不太高時，常采用五點

法作正弦函數和余弦函數的簡圖，要求熟練掌握．

優(yōu)點是方便，缺點是精確度不高，熟練后尚可以

3、講解范例：

例1作下列函數的簡圖

(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]，（2）y=-COSx

●探究2．如何利用y=sinx，ｘ∈〔0，２π〕的圖象，通過圖形變換（平移、翻轉等）來

得到

（1）y＝1＋sinx,ｘ∈〔0，２π〕的圖象；

（2）y=sin(x-π/3)的圖象？

小結：函數值加減，圖像上下移動；自變量加減，圖像左右移動。

●探究３．

如何利用y=cosx，ｘ∈〔0，２π〕的圖象，通過圖形變換（平移、翻轉等）來得到y(tǒng)

＝-cosx，

ｘ∈〔0，２π〕的圖象？

小結：這兩個圖像關于X軸對稱。

●探究４．

如何利用y=cosx，ｘ∈〔0，２π〕的圖象，通過圖形變換（平移、翻轉等）來得到y(tǒng)＝2-cosx，

ｘ∈〔0，２π〕的圖象？

小結：先作y=cosx圖象關于x軸對稱的圖形，得到y(tǒng)＝-cosx的圖象，

再將y＝-cosx的圖象向上平移2個單位，得到y(tǒng)＝2-cosx的圖象。

20

高中數學必修4教案

●探究５．

不用作圖，你能判斷函數y=sin(x-3π/2)和y=cosx的圖象有何關系嗎？請在同一坐標

系中畫出它們的簡圖，以驗證你的猜想。

小結：sin(x-3π/2)=sin[(x-3π/2)+2π]=sin(x+π/2)=cosx

這兩個函數相等，圖象重合。

例2分別利用函數的圖象和三角函數線兩種方法，求滿足下列條件的x的集合：

1

15

(1)sinx;

(2)cosx,(0x).

2

22

三、鞏固與練習

四、小結：本節(jié)課學習了以下內容：

1．正弦、余弦曲線幾何畫法和五點法

2．注意與誘導公式，三角函數線的知識的聯(lián)系

五、課后作業(yè)：《習案》作業(yè)：八

1.4.2正弦、余弦函數的性質(一)

教學目的：

知識目標：要求學生能理解周期函數，周期函數的周期和最小正周期的定義；

能力目標：掌握正、余弦函數的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函數的最小正周

期。

德育目標：讓學生自己根據函數圖像而導出周期性，領會從特殊推廣到一般的數學思想，

體會三角函數圖像所蘊涵的和諧美，激發(fā)學生學數學的興趣。

教學重點：正、余弦函數的周期性

教學難點：正、余弦函數周期性的理解與應用

教學過程：

一、復習引入：

1．問題：（1）今天是星期一，則過了七天是星期幾？過了十四天呢？??

（2）物理中的單擺振動、圓周運動，質點運動的規(guī)律如何呢？

2．觀察正（余）弦函數的圖象總結規(guī)律：

33

自變量

202

x

22

22

函數值

00000

11

11

sinx

y

–

1

x

5

2

52

O

2

2

1

–

f(x)sinx正弦函數性質如下：

（觀察圖象）1正弦函數的圖象是有規(guī)律不斷重復出現的；

2規(guī)律是：每隔2重復出現一次（或者說每隔2k,kZ重復出現）

21

高中數學必修4教案

3這個規(guī)律由誘導公式sin(2k+x)=sinx可以說明

結論：象這樣一種函數叫做周期函數。

文字語言：正弦函數值按照一定的規(guī)律不斷重復地取得；

x

2kkZ

f(x2k)sin(x2k)sinxf(x)

符號語言：當增加（）時，總有．

x

2k

也即：（1）當自變量增加時，正弦函數的值又重復出現；

x

sin(x2k)sinx（2）對于定義域內的任意，恒成立。

余弦函數也具有同樣的性質，這種性質我們就稱之為周期性。

二、講解新課：

1．周期函數定義：對于函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的每一

個值時，都有：f(x+T)=f(x)那么函數f(x)就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函

數的周期。

22

)sinsin(

xR

ysinx

，能否說是它的周期？問題：（1）對于函數，有

3

636

xRkZ2k

ysinx

是不是周期函數，（2）正弦函數，如果是，周期是多少？（，

k0

且）

*

kZ

T

f(x)f(x)

kT

（3）若函數的周期為，則，也是的周期嗎？為什么？

f(x)f(xT)f(x2T)f(xkT)

（是，其原因為：）

2、說明：1周期函數x定義域M，則必有x+TM,且若T>0則定義域無上界；T<0則定義

域無下界；

2“每一個值”只要有一個反例，則f(x)就不為周期函數（如f(x+t)f(x)）

00

3T往往是多值的（如y=sinx2,4,?,-2,-4,?都是周期）周期T中最小

的正數叫做f(x)的最小正周期（有些周期函數沒有最小正周期）

y=sinx,y=cosx的最小正周期為2（一般稱為周期）

xRxR2

ysinx

ycosx

從圖象上可以看出，；，的最小正周期為；

f(x)c

判斷：是不是所有的周期函數都有最小正周期？（沒有最小正周期）

3、例題講解

1

y2sin(x)

y3cosxysin2x例1求下列三角函數的周期：①②（3），

26

xR

．

3cos(x2)3cosx

解：（1）∵，

x

x2

xR

y3cosx

的值才能重復出現，∴自變量只要并且至少要增加到，函數，

xR2

y3cosx所以，函數，的周期是．

sin(2x2)sin2(x)sin2x

（2）∵，

x

x

xR

ysin2x

∴自變量只要并且至少要增加到，函數，的值才能重復出現，

xR

ysin2x

所以，函數，的周期是．

111

2sin(x2)2sin[(x)]2sin(x)

（3）∵，

626262

x

x

xR

ysin2x

∴自變量只要并且至少要增加到，函數，的值才能重復出現，

xR

ysin2x

所以，函數，的周期是．

練習1。求下列三角函數的周期：

x

)2y=cos2x3y=3sin(+)1y=sin(x+

2

53

22

高中數學必修4教案

解：1令z=x+而sin(2+z)=sinz即：f(2+z)=f(z)

3

]=f(x+)∴周期T=2f[(x+2)+

33

2令z=2x∴f(x)=cos2x=cosz=cos(z+2)=cos(2x+2)=cos[2(x+)]

即：f(x+)=f(x)∴T=

xx

3令z=+則：f(x)=3sinz=3sin(z+2)=3sin(++2)

22

55

x4

)=f(x+4)∴T=4=3sin(

25

思考：從上例的解答過程中歸納一下這些函數的周期與解析式中的哪些量有關？

yAsin(x)yAcos(x)A,,

xR

說明：（1）一般結論：函數及函數，（其中

2

T

A00

為常數，且，）的周期；

1

y2sin(x)

0xR

y3cos(x)ysin(2x)

（2）若，如：①；②；③，．

26

則這三個函數的周期又是什么？

2

T

xR

yAsin(x)yAcos(x)

一般結論：函數及函數，的周期

||

思考：求下列函數的周期：1y=sin(2x+)+2cos(3x-)2y=|sinx|

4

6

2

解：1y=sin(2x+)最小正周期T=y=2cos(3x-)最小正周期T=

1122

4

6

3

∴T為T,T的最小公倍數2∴T=2

12

2T=作圖

三、鞏固與練習P36面

2

-3

四、小結：本節(jié)課學習了以下內容：

周期函數的定義，周期，最小正周期

五、課后作業(yè)：《習案》作業(yè)九

1.4.2(2)正弦、余弦函數的性質(二)

教學目的：

知識目標：要求學生能理解三角函數的奇、偶性和單調性；

能力目標：掌握正、余弦函數的奇、偶性的判斷，并能求出正、余弦函數的單調區(qū)間。

德育目標：激發(fā)學生學習數學的興趣和積極性，陶冶學生的情操，培養(yǎng)學生堅忍不拔的

意志，實事求是的科學學習態(tài)度和勇于創(chuàng)新的精神。

教學重點：正、余弦函數的奇、偶性和單調性；

教學難點：正、余弦函數奇、偶性和單調性的理解與應用

教學過程：

一、復習引入：偶函數、奇函數的定義，反映在圖象上，說明函數的圖象有怎樣的對稱性呢？

23

高中數學必修4教案

二、講解新課：

1.奇偶性

請同學們觀察正、余弦函數的圖形，說出函數圖象有怎樣的對稱性？其特點是什么？

(1)余弦函數的圖形

當自變量取一對相反數時，函數y取同一值。

11

例如：f(-)=,f()=,即f(-)=f()；??由于cos(－x)=cosx∴

22

3333

f(-x)=f(x).

以上情況反映在圖象上就是：如果點（x,y）是函數y=cosx的圖象上的任一點,那么,

與它關于y軸的對稱點(-x,y)也在函數y=cosx的圖象上，這時，我們說函數y=cosx是偶函

數。(2)正弦函數的圖形

觀察函數y=sinx的圖象，當自變量取一對相反數時，它們對應的函數值有什么關系？

這個事實反映在圖象上，說明函數的圖象有怎樣的對稱性呢？函數的圖象關于原點對

稱。

也就是說，如果點（x,y）是函數y=sinx的圖象上任一點，那么與它關于原點對稱的點

（-x,-y）也在函數y=sinx的圖象上，這時，我們說函數y=sinx是奇函數。

2.單調性

3

,

從y＝sinx，x∈［－］的圖象上可看出：

22

當x∈［－，］時，曲線逐漸上升，sinx的值由－1增大到1.

22

3

當x∈［，］時，曲線逐漸下降，sinx的值由1減小到－1.

2

2

結合上述周期性可知：

正弦函數在每一個閉區(qū)間［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函數，其值從－1

22

3

增大到1；在每一個閉區(qū)間［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是減函數，

2

2

其值從1減小到－1.

余弦函數在每一個閉區(qū)間［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函數，其值從－1增加到

1；

在每一個閉區(qū)間［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是減函數，其值從1減小到－

1.

3.有關對稱軸

觀察正、余弦函數的圖形，可知

k

k

y=sinx的對稱軸為x=k∈Zy=cosx的對稱軸為x=k∈Z

2

y3sin2x

練習1。（1）寫出函數的對稱軸；

24

高中數學必修4教案

ysin(x)（2）的一條對稱軸是（