小波變換2課件

第4章圖像變換4.4小波變換

2023/4/22023/4/2變換什么意思呢？是一種映射。在線(xiàn)性代數(shù)里，基（basis）是指空間里一系列線(xiàn)性獨(dú)立的向量，而這個(gè)空間里的任何其他向量，都可以由這些向量的線(xiàn)性組合來(lái)表示。basis在變換里面啥用呢？舉例：傅立葉展開(kāi)的本質(zhì)，就是把一個(gè)信號(hào)用三角波的線(xiàn)性組合表示出來(lái)。

小波變換與傅里葉變換的不同之處在于基函數(shù)的不一樣。什么是變換？2023/4/2為什么要變換為了滿(mǎn)足不同的應(yīng)用目的。如：要分析信號(hào)的頻譜圖——傅里葉變換。要對(duì)信號(hào)進(jìn)行壓縮——希望這個(gè)基函數(shù)能用最少的向量來(lái)最大程度地表示信號(hào)。小波變換的本質(zhì)精心挑選的basis來(lái)表示信號(hào)方程。每個(gè)小波變換都會(huì)有一個(gè)motherwavelet，我們稱(chēng)之為母小波，同時(shí)還有一個(gè)scalingfunction，中文是尺度函數(shù)，也被成為父小波。任何小波變換的basis函數(shù)，其實(shí)就是對(duì)這個(gè)母小波和父小波縮放和平移后的集合。某種小波的示意圖：從這里看出，這里的縮放倍數(shù)都是2的級(jí)數(shù)，平移的大小和當(dāng)前其縮放的程度有關(guān)。這樣的好處是，小波的basis函數(shù)既有高頻又有低頻，同時(shí)還覆蓋了時(shí)域。

小波變換與傅里葉變換區(qū)別舉例所有的傅立葉級(jí)數(shù)都為非0了！因?yàn)楦盗⑷~必須用三角波來(lái)展開(kāi)信號(hào)，對(duì)于這種變換突然而劇烈的信號(hào)來(lái)講，即使只有一小段變換，傅立葉也不得不用大量的三角波去擬合。用傅里葉變換表示較簡(jiǎn)單只需一個(gè)系數(shù)a0用小波擬合只要小波basis不和這個(gè)信號(hào)變化重疊，它所對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)系數(shù)都為0！也就是說(shuō)，假如我們就用這個(gè)三級(jí)小波對(duì)此信號(hào)展開(kāi)，那么只有3個(gè)級(jí)數(shù)系數(shù)不為0。

任何小波和常量函數(shù)的內(nèi)積都趨近于0。

小波變換的定義其中是母小波，是父小波（為多分辨率分析）。需要提醒一點(diǎn)的是，這個(gè)正交純粹是為了小波分析的方便而引入的特性，并不是說(shuō)小波變換的基就一定必須是正交的。母小波舉例假設(shè)我們有這樣一個(gè)信號(hào)：該信號(hào)長(zhǎng)度為8，是離散的一維信號(hào)。我們要考慮的，就是如何用小波將其展開(kāi)。為了方便講解，我們考慮最簡(jiǎn)單的一種小波，哈爾小波。下面是它的一種母小波：但這樣的話(huà)，它與自己的內(nèi)積就不是1了，不符合小波基orthonormal的要求，所以我們要在前面加一個(gè)系數(shù)根號(hào)二，這樣我們就得到了另一個(gè)哈爾小波的basisfunction：同理，我們可以一直這樣推廣下去做scale，得到4n，8n，…….下的basisfunction。當(dāng)然在這個(gè)例子里，我們信號(hào)長(zhǎng)度就是8，所以做到4n就夠了。但推廣來(lái)說(shuō)，就是這種scaling對(duì)母小波的作用為這是歸一化后的表示形式。平移母小波得到的小波基這樣，我們就有了針對(duì)此信號(hào)空間的哈爾小波basis組合：可以看出，我們用到了三層頻率尺度的小波函數(shù)，每往下一層，小波的數(shù)量都是上面一層的兩倍。在圖中，每一個(gè)小波基函數(shù)的表達(dá)形式都寫(xiě)在了波形的下面。尺度函數(shù)（scalingfunction）父函數(shù)用表示Lebesgue空間在數(shù)學(xué)定義中，有一種空間叫Lebesgue空間，對(duì)于信號(hào)處理非常重要，可以用L^p(R)表示，指的是由p次可積函數(shù)所組成的函數(shù)空間。我們?cè)谛〔ㄗ儞Q中要研究的信號(hào)都是屬于L^2(R)空間的，這個(gè)空間是R上的所有處處平方可積的可測(cè)函數(shù)的集合，這樣就等于對(duì)信號(hào)提出了一個(gè)限制，就是信號(hào)能量必須是有限的，否則它就不可積了。

第二點(diǎn)注意：是所有的子集相交為空集。

假如有一個(gè)函數(shù)f(t)他屬于一個(gè)某空間，那你將其在時(shí)域上平移，它還是屬于這個(gè)空間。但如果你對(duì)它頻域的放大或縮小，它就會(huì)相應(yīng)移到下一個(gè)或者上一個(gè)空間了。通過(guò)剛才的講解，V0屬于V1，那scalingfunction是在V0中的，自然也在V1中了。我們把他寫(xiě)成V1的基的線(xiàn)性組合，那就是

其中的h(n)是scalingfunction的系數(shù)，也叫做scalingfilter或者scalingvector，可以是實(shí)數(shù)，也可以是虛數(shù)。根號(hào)2是為了維持歸一化。同理，我們可以循環(huán)如此，把屬于V0的在V2,V3,…,Vn中表示出來(lái)。這些方程就是MRAequation，也叫refinementequation，它是scalingfunction理論的基礎(chǔ)，也是小波分析的基礎(chǔ)之一。什么是多分辨率分析方程上圖就是四個(gè)子空間的basis集合的展覽。通過(guò)前面的討論，我們還知道，一開(kāi)始的scalingfunction可以通過(guò)更精細(xì)的子空間的scalingfunction（它們都是對(duì)應(yīng)子空間的basis）來(lái)構(gòu)建。比如更加精細(xì)的scale：子空間V1的basis集合是：多看幾次這三個(gè)圖，你會(huì)驚訝地發(fā)現(xiàn)，在V0中的scalingfunction和waveletfunction的組合，其實(shí)就是V1中的basis！然后V1中對(duì)應(yīng)的waveletfunction是結(jié)論：在scalej的waveletfunction，可以被用來(lái)將Vj的basis擴(kuò)展到V(j+1)中去！這是一個(gè)非常非常關(guān)鍵的性質(zhì)，因?yàn)檫@代表著，對(duì)任何一個(gè)子空間Vj，我們現(xiàn)在有兩種方法去得到它的orthonormalbasis：1.一種就是它本來(lái)的basis，對(duì)任意k。2.第二種就是它上一個(gè)子空間的基，對(duì)任意k，以及上一級(jí)子空間的waveletfunction，對(duì)任意k。第二種選擇能給我們帶來(lái)額外的好處，那就是我們可以循環(huán)不斷地用上一級(jí)子空間的scalingfunction以及waveletfunction的組合來(lái)作為當(dāng)前子空間的基。換句話(huà)說(shuō)，如果針對(duì)V3這個(gè)子空間，它實(shí)際上就有四種不同的，但是等價(jià)的orthonormalbasis：1.本級(jí)(V3)的scalingfunctionbasisset2.上一級(jí)(V2)的scalingfunction+waveletfunction;3.上上一級(jí)(V1)的scalingfunction+上上一級(jí)(V1)的waveletfunction+上一級(jí)(V2)的w