2023高考沖刺數(shù)學(xué)精彩十五天（第10天）第六章 不等式

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2023屆高三沖刺數(shù)學(xué)：精彩十五天

回想2023年各地高考數(shù)學(xué)試題，無不表達(dá)“在考察基礎(chǔ)知識的同時，重視對數(shù)學(xué)思想方法的考察，重視對數(shù)學(xué)能力的考察〞的命題指導(dǎo)思想。試題涉及知識點的覆蓋面廣、起點低、坡度緩，充分重視到難度適中，區(qū)分出不同考生對基本概念把握的層次或效果不同，加強應(yīng)用意識，倡導(dǎo)理性思維，表達(dá)創(chuàng)新意識的考察。幾乎所有的試卷，都強調(diào)對基礎(chǔ)知識的把握、突出運用所學(xué)知識解決實際問題的能力。遵照高考考試大綱和考試大綱說明的要求，從題型設(shè)置、考察知識的范圍和運算量,書寫量等方面保持相對穩(wěn)定，表達(dá)了考察基礎(chǔ)知識、基本運算方法和基本數(shù)學(xué)思想方法的特點.同時,也重視了知識之間內(nèi)在的聯(lián)系與綜合，在知識的交匯點設(shè)計試題的原則。

從大綱課標(biāo)、考綱回歸到課本，這是考前每一位高三學(xué)生的必經(jīng)之路。為此，我們重點關(guān)注考試內(nèi)容、考試要求、知識結(jié)構(gòu)和知識要點與主要思想方法四大內(nèi)容，在高考前15天，引領(lǐng)高三學(xué)子，每天溫習(xí)一個章節(jié)的雙基知識，期待在相應(yīng)的思想方法上有更多的歷練和提升。

2023屆高三沖刺數(shù)學(xué)：精彩十五天第10天——5月27日

第六章不等式

一、考試內(nèi)容：

不等式．不等式的基本性質(zhì)．不等式的證明．不等式的解法．含絕對值的不等式．二、考試要求：

1．理解不等式的性質(zhì)及其證明．

2．把握兩個（不擴(kuò)展到三個）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會簡單的應(yīng)用．

3．把握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式．4．把握簡單不等式的解法．

5．理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│四、知識要點及重要思想方法：1．不等式的基本概念

（1）不等（等）號的定義：a?b?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b.（2）不等式的分類：絕對不等式；條件不等式；矛盾不等式.（3）同向不等式與異向不等式.

（4）同解不等式與不等式的同解變形.

2．不等式的基本性質(zhì)

（1）a?b?b?a（對稱性）

（2）a?b,b?c?a?c（傳遞性）（3）a?b?a?c?b?c（加法單調(diào)性）

（4）a?b,c?d?a?c?b?d（同向不等式相加）（5）a?b,c?d?a?c?b?d（異向不等式相減）（6）a.?b,c?0?ac?bc

（7）a?b,c?0?ac?bc（乘法單調(diào)性）

（8）a?b?0,c?d?0?ac?bd（同向不等式相乘）

(9)a?b?0,0?c?d?ab（異向不等式相除）?cd高考資源網(wǎng)版權(quán)所有侵權(quán)必究

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(10)a?b,ab?0?11（倒數(shù)關(guān)系）?ab（11）a?b?0?an?bn(n?Z,且n?1)（平方法則）

（12）a?b?0?na?nb(n?Z,且n?1)（開方法則）3．幾個重要不等式

（1）若a?R,則|a|?0,a2?0

（2）若a、b?R?,則a2?b2?2ab(或a2?b2?2|ab|?2ab)（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）（3）假使a,b都是正數(shù)，那么

ab?a?b（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）

.2極值定理：若x,y?R?,x?y?S,xy?P,則：

1假使P是定值,那么當(dāng)x=y時，S的值最?。弧?/p>

2假使S是定值,那么當(dāng)x=y時，P的值最大.○

利用極值定理求最值的必要條件：一正、二定、三相等.

(4)若a、b、c?R?,則a?b?c3?abc（當(dāng)僅當(dāng)a=b=c時取等號）3ba(5)若ab?0,則??2（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）

ab(6)a?0時，|x|?a?x2?a2?x??a或x?a;|x|?a?x2?a2??a?x?a

（7）若a、b?R,則||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|4．幾個著名不等式（1）平均不等式：

a?b假使a,b都是正數(shù)，那么?ab??112?ab2a2?b2.（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）即：2平方平均≥算術(shù)平均≥幾何平均≥調(diào)和平均（a、b為正數(shù)）：特別地，ab?(a?b2a2?b2a?b2a2?b2（當(dāng)a=b時，)?()??ab）

22222a2?b2?c2?a??b?c????(a,b,c?R,a?b?c時取等)33??22?...?an??冪平均不等式：a12?a222221(a1?a2?...?an)2n2注：例如：(ac?bd)?(a?b)(c?d).

111常用不等式的放縮法：①??nn?1n(n?1)②n?1?n?（2）柯西不等式：

1n2111??(n?2)

n(n?1)n?1n1n?n?112n1n?n?1?n?n?1(n?1)

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若a1,a2,a3,?,an?R,b1,b2,b3?,bn?R;則2222222（a1b1?a2b2?a3b3???anbn)2?(a1?a2?a3???an)(b12?b2?b3??bn)aaaa當(dāng)且僅當(dāng)1?2?3???n時取等號b1b2b3bn（3）琴生不等式（特例）與凸函數(shù)、凹函數(shù)

若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),對于定義域中任意兩點x1,x2(x1?x2),有

f(x1?x2f(x1)?f(x2))?或22f(x1?x2f(x1)?f(x2)

)?.22則稱f(x)為凸（或凹）函數(shù).

5．不等式證明的幾種常用方法

比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法.6．不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根軸法）.

步驟：正化，求根，標(biāo)軸，穿線（偶重根打結(jié)），定解.特例①一元一次不等式ax>b解的探討；

②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)解的探討.

（2）分式不等式的解法：先移項通分標(biāo)準(zhǔn)化，則

f(x)?0?f(x)g(x)?0;g(x)?f(x)g(x)?0f(x)?0??g(x)?g(x)?0

（3）無理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解○1

?f(x)?0????定義域

f(x)?g(x)??g(x)?0??f(x)?g(x)?2○

?f(x)?0?f(x)?0f(x)?g(x)??g(x)?0或??g(x)?02???f(x)?[g(x)]

3○

?f(x)?0?f(x)?g(x)??g(x)?0

2??f(x)?[g(x)]af(x)?ag(x)(0?a?1)?f(x)?g(x)（4）指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

af(x)?ag(x)(a?1)?f(x)?g(x);af(x)?b(a?0,b?0)?f(x)?lga?lgb

（5）對數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

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?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)(a?1)??g(x)?0;?f(x)?g(x)??f(x)?0?logaf(x)?logag(x)(0?a?1)??g(x)?0?f(x)?g(x)?（6）含絕對值不等式

1應(yīng)用分類探討思想去絕對值；○2應(yīng)用數(shù)形思想；○

3應(yīng)用化歸思想等價轉(zhuǎn)化○

g(x)?0|f(x)|?g(x)????g(x)?f(x)?g(x)?g(x)?0?|f(x)|?g(x)?g(x)?0(f(x),g(x)不同時為0)或??f(x)??g(x)或f(x)?g(x)注：常用不等式的解法舉例（x為正數(shù)）：①x(1?x)2?1124?2x(1?x)(1?x)?()3?2232722x2(1?x2)(1?x2)123423②y?x