2023年其次十六屆希望杯初二第1試（含參考答案）

本文格式為Word版，下載可任意編輯——2023年其次十六屆希望杯初二第1試（含參考答案）其次十六屆“希望杯〞全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽

初二第1試試題

2023年3月15日上午8:30至10：00一、選擇題（每題4分，共40分）

1.若a+b=10,ab=24,則a2+b2的值是（）

(A)48(B)76(C)58(D)52

2.若一次函數(shù)y=x+5的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(a，b)和Q(c,d),則ad+bc-ac-bd的值是（）(A)9(B)16(C)25(D)-253.已知

為

的平方根，則滿足此關(guān)系的x的值得個(gè)數(shù)是（）

(A)4(B)3(C)2(D)1

4.Supposeaisaninteger,solutionstotheequationax+5=4x+1arepositiveintegers.Thenthenumberofais()

(A)2(B)3(C)4(D)5

5.在菱形ABCD中，若∠DAB=60°，AC=12，則菱形對(duì)角線交點(diǎn)到各邊的距離之和是（）(A)3(B)4(C)

(D)12

6.如圖1所示，點(diǎn)M,N,P,Q分別是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD各邊的中點(diǎn)，則陰影部分的面積是（）(A)(B)(C)(D)

7.如圖2所示，字母A到G分別代表1到7中的一個(gè)自然數(shù)，若A+G+D,B+G+E,C+G+F分別被3除，都余1，則G是（）(A)1或4(B)1或7(C)4或7(D)1或4或78.以下說(shuō)法：

①平行四邊形包含矩形、菱形和正方形②平行四邊形是中心對(duì)稱圖形

③平行四邊形的任一條角平分線可把平行四邊形分成兩個(gè)全等的三角形④平行四邊形兩條對(duì)角線把平行四邊形分成四個(gè)面積相等的三角形其中正確說(shuō)法的序號(hào)是()

(A)①②④(B)①③④(C)①②③(D)①②③④9.有一列數(shù)：10,2,5,2,1,2，x，（x是正整數(shù)），若將這列數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)依照大小次序排列，恰好中間的數(shù)是左、右兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，則x可能取得值得和是（）(A)3(B)9(C)17(D)20

10.對(duì)于自然數(shù)m，假使m能夠整除13232223（m-1），那么稱m為“公除數(shù)〞，則4到20（包括4和20）的自然數(shù)中，“公除數(shù)〞的個(gè)數(shù)是（）

(A)9(B)10(C)11(D)12

二、A組填空題（每題4分，共40分）11.若

,

,則

,則a+b=_____________

1

12.已知a，b都是有理數(shù)，且

13.已知a+b+c=1.

14.已知m，n是實(shí)數(shù)，且當(dāng)x>2023時(shí)，

15.設(shè)a,b,c都是正整數(shù)，且116.若關(guān)于x,y的方程組與方程組的解一致，則a+b=___________

17.AsshownintheFig.3,BandCarepointsonADin△AED.AB=CD,EB=EC=10,BC=12.Theperimeterof△AEDistwicetheperimeterof△EBC.Then

.

(S△AEDrepresentstheareaof△AED,S△EBCrepresentstheareaof△EBC).(英漢小詞典；perimeter周長(zhǎng)，area面積)18.若

19.如圖4所示，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分∠BAD,且AB=21，AD=9，BC=DC=10，則AC=_______20.已知

三、B組填空題（每題8分，共40分）

21.若xy>0,則點(diǎn)(x,y)在直角坐標(biāo)系中位于第_____象限或第_____象限22.已知

,則x+y的值等于______或_________

23.如圖5所示，C在線段AB上，在AB的同側(cè)作等邊△ACM和△BCN,連接AN,BM.若∠MBN=38°，則∠AMB=_____度，∠ANC=_______度24.下面是一個(gè)按某種規(guī)律排列的數(shù)陣：

根據(jù)數(shù)陣排列的規(guī)律，第5行從左向右第5個(gè)數(shù)位________，第n（n≥3,且n是整數(shù)）行從左向右第5個(gè)數(shù)是_____(用含n的代數(shù)式表示)

2

25.長(zhǎng)為

的三條線段可以構(gòu)成三角形，則自然數(shù)n=_____或________.

答案詳細(xì)解析

2023年3月15日上午8:30至10：00三、選擇題（每題4分，共40分）

1.若a+b=10,ab=24,則a2+b2的值是（）

(A)48(B)76(C)58(D)52

3

解析：由于（a+b）2=a2+b2+2ab，代入得102=a2+b2+48，a2+b2=100-48=52

這是完全平方公式（a+b）2=a2+b2+2ab公式得變式應(yīng)用，把a(bǔ)+b,a2+b2,ab看做一個(gè)整體，知道其中2個(gè)求第三個(gè)式子都可以，只要把其中2個(gè)值代入即可求得，這是數(shù)學(xué)的整體思想。

a2+b2=a2+b2+2ab-2ab=（a+b）2-2ab這一個(gè)過(guò)程將a2+b2不上一個(gè)中間項(xiàng)配湊成一個(gè)完全平方公式，這個(gè)過(guò)程叫做配方，配方在以后的求二次方程，二次函數(shù)的應(yīng)用比較多。

還有一種方法：韋達(dá)定理a+b=10,ab=24，以a，b為解的方程是x2-（a+b）x+ab=0即x2-10x+24=0的解。解得a=4，b=6或者a=6，b=4

純粹用方程的方法也可以，以a，b為未知數(shù)解這個(gè)方程組，求a，b。

最簡(jiǎn)單的方法是第一種整體思想，這個(gè)可以推廣到另一個(gè)（a-b）2=a2+b2-2ab也同樣可以。例如已知a2+b2=10，a-b=-4,求ab

2.若一次函數(shù)y=x+5的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(a，b)和Q(c,d),則ad+bc-ac-bd的值是（）(A)9(B)16(C)25(D)-25

解析:通法:把P,Q坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式可得a+5=b,c+5=d,則ad+bc-ac-bd

=a(c+5)+(a+5)c-ac-(a+5)(c+5)=ac+5a+ac+5c-ac-ac-5(a+c)-25=-25

特別值法：由于a，b，c，d的值是不確定的，但只要滿足表達(dá)式有y=x+5就可以，所以取2組特別值。例

取a=0,b=5，取c=1，d=6代入。由于這是選擇題，無(wú)論a，b，c，d的值是多少，最終結(jié)果是一個(gè)定值，只要取值滿足y=x+5就可以了。3.已知

為

的平方根，則滿足此關(guān)系的x的值得個(gè)數(shù)是（）

(A)4(B)3(C)2(D)1解析:所以

-本身就是一個(gè)完全平方式子，可化簡(jiǎn)得平方根為±

，對(duì)于方程

，所以

±

,注意一個(gè)正數(shù)的平方根有2個(gè)，

，展開(kāi)得2個(gè)方程

或

5x2-4x=0，得x=0或4/5

對(duì)于方程-，3x2-4x+2=0用求根公式應(yīng)有2個(gè)解=為什么答案是2個(gè)，求解答？？我

個(gè)人認(rèn)為有四個(gè)值。

4.Supposeaisaninteger,solutionstotheequationax+5=4x+1arepositiveintegers.Thenthenumberofais()

(A)2(B)3(C)4(D)5

解析：翻譯結(jié)果為“若a是整數(shù)，方程ax+5=4x+1的解是正整數(shù)，則a的值有幾個(gè)______(integer整數(shù)，positiveintegers正整數(shù))

4

這個(gè)方程化簡(jiǎn)為(a-4)x=-4,

,若，則a-4=-1或-2或-4，所以有3個(gè)。

5.在菱形ABCD中，若∠DAB=60°，AC=12，則菱形對(duì)角線交點(diǎn)到各邊的距離之和是（）

D(A)3(B)4(C)(D)12

O6AC解析:如右圖，所求為OP的4倍，在Rt△OPC中，∠OCP=30°，所以由30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

PB直角邊OP是斜邊OC的一半，OP=3,所求12.

6.如圖1所示，點(diǎn)M,N,P,Q分別是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD各邊的中點(diǎn)，則陰影部分的面積是（）

(A)(B)(C)(D)

解析：圖中所有的直角三角形為相像三角形?？勺C中間陰影部分圖形為一個(gè)正方形。（證明略）只要求出其邊長(zhǎng)即可

DPC525:1=1:CO,CO=25OR是ΔOBC的中位線5OR是CO的一半，為551面積為（）2=55

Q52ORN1A1

MB7.如圖2所示，字母A到G分別代表1到7中的一個(gè)自然數(shù)，若A+G+D,B+G+E,C+G+F分別被3除，都余1，則G是（）(A)1或4(B)1或7(C)4或7(D)1或4或7

解析:1~7被3除結(jié)果又3類，分為3組，1,4,7被3除余12,5被3除余2,

3,6被3整除G是1,4，7的其中一個(gè)，都是被3除余1，則另外2個(gè)只要滿足和能被3整除，

8.以下說(shuō)法：

①平行四邊形包含矩形、菱形和正方形②平行四邊形是中心對(duì)稱圖形

5

③平行四邊形的任一條角平分線可把平行四邊形分成兩個(gè)全等的三角形④平行四邊形兩條對(duì)角線把平行四邊形分成四個(gè)面積相等的三角形其中正確說(shuō)法的序號(hào)是()

(A)①②④(B)①③④(C)①②③(D)①②③④

解析;第三個(gè)應(yīng)為任一條對(duì)角線才行。

9.有一列數(shù)：10,2,5,2,1,2，x，（x是正整數(shù)），若將這列數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)依照大小次序排列，恰好中間的數(shù)是左、右兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，則x可能取得值得和是（）(A)3(B)9(C)17(D)20

解析：按從大到小排列為10,5,2,2,2,1，x未知，不插入排列，眾數(shù)為2，無(wú)論x為多少，中位數(shù)仍為2，平均數(shù)為

10.對(duì)于自然數(shù)m，假使m能夠整除13232223（m-1），那么稱m為“公除數(shù)〞，則4到20（包括4和20）的自然數(shù)中，“公除數(shù)〞的個(gè)數(shù)是（）

(A)9(B)10(C)11(D)12

解析：只要是不是質(zhì)數(shù)，但4除外，都是公除數(shù)，6,8,9，10,12,14,15,16,18,20都是四、A組填空題（每題4分，共40分）11.若

,

,則

，無(wú)論x為何值，中間數(shù)為2，

與題目x是正整數(shù)相矛盾，無(wú)解？？？？？？？？

解析;

12.已知a，b都是有理數(shù)，且解析：

,則a+b=____________

也是有理數(shù)，

，

由于a，b是有理數(shù)，故左邊(a+1)也是有理數(shù)，但右邊是則

必為無(wú)理數(shù)，若等式成立，則

，(a+1)=0，得到a=-1，b=-1,z則a+b=-2

13.已知a+b+c=1.

解析：=1+.

6

14.已知m，n是實(shí)數(shù)，且當(dāng)x>2023時(shí)，

解析：恒成立，值與x無(wú)關(guān)，則m+n=5,2(m-n)=2

則

15.設(shè)a,b,c都是正整數(shù)，且1解析:由于2023=1*5*13*31,分解因數(shù)有1,5,13,31，由于1

16.若關(guān)于x,y的方程組與方程組的解一致，則a+b=___________

解析：這四個(gè)方程共解，解方程組解得，代入剩余的2個(gè)方程得到以a，b為未知數(shù)的方

程組

，解得，所以a+b=6+2=8

17.AsshownintheFig.3,BandCarepointsonADin△AED.AB=CD,EB=EC=10,BC=12.Theperimeterof△AEDistwicetheperimeterof△EBC.Then

.

(S△AEDrepresentstheareaof△AED,S△EBCrepresentstheareaof△EBC).(英漢小詞典；perimeter周長(zhǎng)，area面積)

解析;翻譯如圖3，B和C是△AED中AD邊上的兩點(diǎn)，

已知AB=CD,EB=EC=10,BC=12，△AED的周長(zhǎng)是△EBC周長(zhǎng)的2倍，求△AED和△EBC的面積之比。以AD所在直線為底邊，E為頂點(diǎn)，兩個(gè)三角形高相等，所求面積